浙江省麗水市2023-2024學(xué)年高二年級下冊6月期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

浙江省麗水市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合〃={0,123,4},N={x[l<xV4},則MN=（）

A.{2}B.{2,3}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

2.已知復(fù)數(shù)2=罟，其中i為虛數(shù)單位，則忖=（）

1—1

A.0B.1C.2D.72

3.已知a,仇ceA,貝是成立的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分也不必要條件

4.已知直線和平面a,則下列判斷中正確的是（）

A.若?！▌ta//6B.若a〃6,6〃tz,則a//a

C.若a"a,b1a,則；D.若alb,blla,則a_l_a

5.若樣本X],%,尤3，L，尤”的平均數(shù)為10,方差為20,則樣本2a-2）,2（無2-2）,2（x3-2）,

L,2（尤“-2）的平均數(shù)和方差分別為（）

A.16,40B.16,80C.20,40D.20,80

6.己知a=304,6=0.43,c=logo43,則（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

7.一個(gè)袋子中有標(biāo)號分別為1,2,3,4的4個(gè)球，除標(biāo)號外沒有其他差異.采用不放回方

式從中任意摸球兩次，設(shè)事件A="第一次摸出球的標(biāo)號小于3"，事件3="第二次摸出球的

標(biāo)號小于3"，事件C="第一次摸出球的標(biāo)號為奇數(shù)”，則（）

A.A與3互斥B.A與B相互獨(dú)立

C.A與C互斥D.A與C相互獨(dú)立

8.已知函數(shù)〃x）的定義域?yàn)镽,的圖象關(guān)于（1,0）中心對稱，〃2x+2）是偶函數(shù),

則（）

A.〃。）=。B.=0C.八2）=0D./（3）=0

二、多選題

9.已知向量。=(一2,1),Z?=(l,2),c=(3,-l),則()

A.a//cB.aLb

C.卜+。卜10D.向量b在向量c上的投影向量為-'

TT

10.在VABC中，角AB,C所對的邊分別為a1,c,B=-,c=2,以下判斷正確的是()

A.若a=4,則VABC的面積為26B.若。=:,則6=6

C.若6=",貝I」。=3D.若VABC有兩解，貝ljbe(g,2)

11.如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD=2,E是AB的中點(diǎn)，沿直線將VADE翻折成

△ADE(A不在平面3。內(nèi))，”是AC的中點(diǎn)，設(shè)二面角4-DE-C的大小為6*.()

B.直線3M與AE所成的角為定值

2兀?14

C.若火三，則三棱錐4-CDE的外接球的表面積為］兀

D.設(shè)直線4。與平面BCOE所成的角為a,貝hine=&sina

三、填空題

2%<Q

12.已知函數(shù)〃x）=1--~,則/（f（T）=.

x2,x>0

13.已知aw［。,,），sin2cr=cos2cif,貝!Jtana=.

試卷第2頁，共4頁

32

14.已知x>y>0,----+-------=1,則2x+y的最小值為_____.

尤+y元-y

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=J^sin2x+2cos2x-l.

⑴求函數(shù)/(x)的最小正周期；

TT

(2)當(dāng)xe0,-時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值，以及相應(yīng)x的值.

16.本學(xué)期初，某校對全校高二學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)測試，并從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績,

被抽取的成績?nèi)拷橛?0分到100分之間(滿分100分)，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按照如下方式分成六

組：第一組［40,50),第二組［50,60),…,第六組［90,100］,畫出頻率分布直方圖如圖所示.

頻率

tn?

a.............

0.025..............................

0.020.............

0.010.........,-------------------,

0.005|||||

。，05060708090Go多數(shù)

(1)求頻率分布直方圖中。的值；

⑵求該樣本的中位數(shù)；

(3)為進(jìn)一步了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從分?jǐn)?shù)位于［50,80)的學(xué)生中，按照第二組，第三組，第

四組分層抽樣6人，再從6人中任取2人，求此2人分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)的概率.

17.如圖，在四棱錐尸—ABCD中，BC//AD,BC=CD=^AD=\,ADYCD,B4_L平面

ABCD,E為PD的中點(diǎn).

⑴求證：CE〃平面E4B；

2

(2)若三棱錐P-ABD的體積為］,求與平面PBC所成角的正弦值.

18.已知aNl,函數(shù)/(x)=ln(x+3)+x+lna.

(1)若。=1,解不等式f(x)<x+l；

⑵證明：函數(shù)”X)有唯一零點(diǎn)；

(3)設(shè)/(演)=。，證明：-^--ln(x0+3)>0.

19.設(shè)〃為正整數(shù)，a=(x1,x2,-,xn),/=(%,%,,,%),記

=][(%+%T%-%|)+(9+%-上一%|)+-+(5+%-|%一%|)]-

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，若￡=。,0),夕=(0,1),求“(以⑶的值；

⑵當(dāng)〃=3時(shí)，設(shè)集合P={a|a=&"2"3)，r”{0，l}，左=123},設(shè)。是P的子集，且滿足：

對于。中的任意兩個(gè)不同的元素%"，”(%月)=。.寫出一個(gè)集合。，使其元素個(gè)數(shù)最多;

⑶當(dāng)九=3時(shí)，a=(sinA,sinB,sinC),(3=(cosA,cosB,cosC),其中A,3,C是銳角VABC的

ABC

三個(gè)內(nèi)角，證明：M(a,>5)<4cos—coscos?

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CBBCBDDDBDACD

題號11

答案BCD

1.C

【分析】直接利用交集運(yùn)算法則求解即可.

【詳解】由題意，集合/={o,l,2,3,4},N={尤［1<XW4},

所以VN={2,3,4}.

故選：C

2.B

【分析】用復(fù)數(shù)的除法法則和模長公式即可求解.

故選：B.

3.B

【解析】分別判斷充分條件和必要條件是否成立，從而得到結(jié)果.

【詳解】當(dāng)6<”0時(shí)，6和斯無意義，可知“。>8”是“&>揚(yáng)”的不充分條件;

當(dāng)?">筋時(shí),a>b>0,可知“0>b”是“而>形”的必要條件；

綜上所述：是“夜>招”的必要不充分條件

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【分析】根據(jù)空間中直線，平面的位置關(guān)系分析判斷各個(gè)選項(xiàng).

【詳解】對于A,由a//a,blla,則。與6可能平行，相交，異面，故A錯(cuò)誤；

對于B,由a//3,blla,則a//tz或aua,故B錯(cuò)誤；

對于C,由4〃。，b±a,貝1Ja_Lb，故C正確；

對于D,由a_L6，b/la,則?！╡或。ua或。J_a,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

答案第1頁，共11頁

5.B

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)與方差的線性公式，即可求解

【詳解】因?yàn)闃颖?，%，X3,L,x”的平均數(shù)為10,方差為20,

所以樣本2（玉-2）,2（%-2）,2（無§-2）,L,2（%-2）的平均數(shù)2乂10-4=16,方差為

22X20=80.

故選：B.

6.D

【分析】分析得至！<匕<l,c<0,即得解.

【詳解】由題得。=3°4>3°=1,

6=0.43<0.4°=1,且6=0.43>0.

c=log043<log04l=0.

所以c<Z?<a.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)對數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

7.D

【分析】以X、》分別表示第1次、第2次摸球的編號，以（元廣）為一個(gè)基本事件，列舉出所

有的基本事件，以及事件A、B、C、AB.AC所包含的基本事件，利用互斥事件以及獨(dú)

立事件的定義逐項(xiàng)判斷，即可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】以X、>分別表示第1次、第2次摸球的編號，以（x?）為一個(gè)基本事件.摸球方式為

不放回摸球,則所有的基本事件有：。,2）、（1,3）、（1,4）、（2,1）、（2,3）、（2,4）、（3,1）、（3,2）、

（3,4）、（4,1）、（4,2）、（4,3）,共12種，

事件A包含的基本事件有:（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,1）、（2,3）、（2,4）,共6種，

事件B包含的基本事件有：（1,2）、（2,1）、（3,1）、（3,2）、（4,1）、（4,2）,共6種，

事件A8包含的基本事件有：（1,2）、（2,1）,共2種，

事件C包含的基本事件有：（1,2）、（1,3）、（1,4）、（3,1）、（3,2）、（3,4）,共6種，

事件AC包含的基本事件有：（1,2）、（1,3）、（1,4）,共3種，

答案第2頁，共11頁

則Al8片0,根據(jù)互斥事件的概念可知A與B不互斥，所以A錯(cuò)誤；

P(A)=P(B)=A=1,P(AB)=1NP(A)尸(B),所以A與8不相互獨(dú)立，所以B錯(cuò)誤；

AnC^0,根據(jù)互斥事件的概念可知A與C不互斥，所以C錯(cuò)誤；

P(A)=JP(C)=^=1,P(AC)=^=1=P(A)P(C),所以A與C相互獨(dú)立，

所以D正確.

故選：D

8.D

【分析】根據(jù)對稱性定義，再加賦值可解.

【詳解】的圖象關(guān)于(1,0)中心對稱，貝U/(x)=—/(r+2)(*)；

f(2x+2)是偶函數(shù)，則/(2x+2)=/(—2x+2),

則/(x)的圖象關(guān)于尤=2軸對稱，貝|〃x)="r+4)(**)；

令x=l代入(*)得，/(1)=-/(1),解得"1)=0,代入(**)得到〃1)=/(3)=0.

故選：D.

9.BD

【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示相關(guān)知識逐一作答.

【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)椤?(-2,1),4=(3,-1),不存在實(shí)數(shù)2使得a=笈成立，故A

錯(cuò)誤；

對于B選項(xiàng)，因?yàn)?。?(一2,l)(l,2)=-2xl+lx2=0,所以故B正確；

對于C選項(xiàng)，因?yàn)閝+遂=(_2,1)+(1,2)=(-1,3),所以卜+〃={(-1)2+32=加，故C錯(cuò)誤;

對于D選項(xiàng)，向量B在向量c上的投影向量為

^-s=(l,2).(3,-1)(3,-1)=1z3.1)=nO_

Hkl后"歷41°'110'io?故D正確，

故選：BD

10.ACD

【分析】根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可判斷A；根據(jù)正弦定理計(jì)算即可判斷B；根據(jù)余弦

定理計(jì)算即可判斷C；根據(jù)正弦定理和g<C(年且Cw］即可判斷D.

答案第3頁，共11頁

【詳解】A：若3=g,c=2,a=4,則S=LcsinB=L42@=26，故A正確;

3ABC222

B:若B=gc=2,C=%由正弦定理得二=三，

34sinBsinC

b_2

即無二匹，解得〃二后，故B錯(cuò)誤；

TV

C：若B=?c=2,b=用,由余弦定理得方2=+c2-2accosB,

即7=々2+4—2〃，整理得/一2〃一3=0,由〃>0解得a=3,故C正確;

b則sm八十二*

D：由正弦定理得

sinBsinC

由B=g得0<C<?,若VABC有兩個(gè)解，則9C<^且Cwg,

所以"C<1,即乎”解得阮…，故D正確.

故選：ACD

11.BCD

【分析】如圖，利用反證法即可判斷A；如圖，確定幺E尸為異面直線BM與AE的所成角,

即可判斷B；如圖，確定外接球的球心位置，建立關(guān)于R的方程，解之即可判斷C；如圖,

確定幺KG=9、4DG=a,求出堊2即可判斷D.

sina

【詳解】A：AE=AD=1,取。E的中點(diǎn)0,CO的中點(diǎn)連接4。，。以，

則401DE,四邊形AEHD為正方形，所以O(shè)E_LOH.

假設(shè)ACLDE,由4c4O=A，4C、40u平面AOC,

得DEI,平面AQC,又OCu平面AQC,所以Z)E_LOC,

這與“DELOH”矛盾，所以假設(shè)不成立，故A錯(cuò)誤；

B：取4。的中點(diǎn)/，連接MEET"則MF7/￡B且叱=班,

答案第4頁，共11頁

4\

A

所以四邊形是平行四邊形，故BMIIEF,

所以幺所為異面直線BM與A￡的所成角.

由AS=2AZ)=2,得4石=1,則A/二e，所以sinN/^EF=5,

即異面直線3"與A石的所成角為定值，故B正確；

C：如圖，由選項(xiàng)A的分析知乙*以/為二面角石-C的平面角，即44。"=火

C

當(dāng)。時(shí)，ZA,OH=^-,易知AO=OH』,

則H為,.CDE外接圓的圓心.過A作APLAF/于P,過H作。內(nèi)〃4尸，

在4P上取。使得《"=Q尸，則四邊形。"PQ為矩形，得4尸=手,。尸=乎，

則。1為三棱錐A-CDE外接球的球心，設(shè)其半徑為R,

222222222

貝IjR=AtQ+OlQ=(^--QP)+(^+^-),R=O,H+CH=QP+1,

所以(雪。分+哼+與2代+1,解得QP邛，所以RJ,

所以三棱錐A-CDE外接球的表面積為4位2=等，故C正確；

D：過A作4G，平面DC8E于點(diǎn)G,作GKLDE于點(diǎn)K,連接DG，AKEG,

NAKG為二面角A-DE-C的平面角，即4KG=9,

*DG為直線4。與平面DCBE所成的角，即4,DG=a,

答案第5頁，共11頁

由GK_L￡>E,AG1DE,GK$G=G,GK、^Gu平面4KG,

知。EL平面AKG,又AKu平面AKG,所以O(shè)ELAK,

所以K為。E的中點(diǎn)，得AK=1DE=也,

22

AGAGsin"_4。_1_Jy

又所以,即sin，=拒sina，故D正確?

/11At\U-

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決選項(xiàng)A的關(guān)鍵是熟練反證法的應(yīng)用；解決選項(xiàng)B的關(guān)鍵是幺所

為異面直線9與4E的所成角；解決選項(xiàng)C的關(guān)鍵是確定外接球的球心位置；解決選項(xiàng)D

的關(guān)鍵是確定與KG=9、A\DG=a.

12.1

【分析】根據(jù)題意，先求得=進(jìn)而求得了(/(T))的值，得到答案.

2<n

【詳解】由函數(shù)〃x)=1-x'",可得=所以/?(〃-1))="1)=12=1.

x2,x>0

故答案為：1.

13.也

2

【分析】根據(jù)二倍角公式可得sin2q=；,即可根據(jù)同角關(guān)系求解.

【詳解】由siYa=cos2a可得siYa=cos2a=l-2sin2。，進(jìn)而可得siYau；,

由于故sina=^^,進(jìn)而可得cosa=Y^,

I33

sinaJ2

HXtana=-------——,

cosa2

故答案為；叵

2

1411+61

?2

32

【分析】令。=----，b=----,把已知式用。泊表示，2x+y也用。涉表示后，利用基本不

x+yx—y

等式求得最小值.

323?

【詳確軍】令。=,b=,貝”x+y=—,x—y=-9且。>0,b>0,

x+yx-yab

答案第6頁，共11頁

所以2%=三3+724=3三—1；，又a+b=l,

ab2ab

所…以c2x+y七<3+R2W+[3萬一0#五9+11

、11c19ba11+6應(yīng)

2.----=--------,

<2F72ab2

當(dāng)且僅當(dāng)藝=1,即q=2z逑，。=逑二2人=4時(shí)等號成立.

2ab77

故答案為：11+6#

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了利用基本不等式求解最值，解題的關(guān)鍵是換元法后利用“1

的代換，使用基本不等式求解最值.

15.(1)T=TI

71

(2)2,x=-

[Jr\Z71

【分析】(1)利用三角恒等變換得到/(元)=2sin12尤+%J,利用7=同求出最小正周期;

TT

(2)xe05時(shí)，2x+TgTwTT77r,整體法求出函數(shù)的最大值及相應(yīng)的x的值.

2」61_66_

【詳解】(1)/(x)=A/3sin2x+2cos2x-l=^3sin2x+cos2x=2sin(2x+j,

27r

所以最小正周期T=T=兀；

TT71717兀

(2)因?yàn)閤e0,—,所以2x+、e，則sin2x+--1

o6,^6ir2''

/(尤)=2sin「尤+9的最大值為2,此時(shí)2x+1=g,即無=J.

V6J626

16.⑴a=0.03

(2)75

嗚

【分析】(1)由頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為1列方程即可求解;

(2)結(jié)合頻率分布直方圖和中位數(shù)的定義即可求解；

(3)通過列舉法和對立事件即可求得概率.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得：

(0.005+0.01+0.02+0.025+a+0.01)xl0=l,

答案第7頁，共11頁

得a=0.03；

（2）設(shè)中位數(shù)為該樣本的中位數(shù)為九,

所以0.05+0.1+0.2+?號；7。）=05,得＞75；

（3）由分層抽樣知，第二組中抽1人，記作。，第三組中抽2人，記作配打，第四組中抽

3人，記作q,Q,。3，

這6人中抽取2人有（。，4）,也），（a,q），（。,。2），（。，。3），（4也），（4，G）,（4。）,

（4,C3），（偽,）'（。2,。2）’（偽,。3）',。2）',。3）'（。2,。3）'共個(gè)樣本點(diǎn)；

2人來自同一組的有（偽也），（c1；c2）,（q,c3）,仁勺）共4個(gè)樣本點(diǎn)，

411

所以2人來自不同組的的概率P=1-石=同.

17.（1）證明見解析

⑵？

【分析】（1）根據(jù)中位線和平行四邊形的性質(zhì)得到CE〃BF,然后利用線面平行的判定定理

證明即可；

（2）根據(jù)線面角的定義得到為直線以與平面PBC所成角，然后求正弦值即可.

證明：取心的中點(diǎn)尸，連結(jié)8尸，所，又E為尸￡）的中點(diǎn),

所以EF〃AD,EF=-AD,

2

XBC//AD,BC=-AD,

2

所以四邊形BCEF是平行四邊形,

所以CE〃加又Mu平面上4B,CEcz平面

答案第8頁，共11頁

所以CE〃平面BIB；

(2)過A作直線2C的垂線AH,H為垂足，連結(jié)PH,

217

由三棱錐P—ABD的體積為得§SAB?X尸A=§,解得9=2,

因?yàn)樯?,平面ABC。，所以3CLPA,

又BCLAH,21u平面PAH,AHu平面R4”,且上4c47=A,

所以BC_L平面B4H,又BCu平面PBC,

所以平面R4H，平面MC,

所以直線總在平面尸BC上的射影為直線尸”，

所以NAPH即為P4與平面PBC所成角0,

在RtA4P"中，AH=1,AP=2,所以$如6=史=好，

PH5

所以R4與平面P3C所成角的正弦值為好.

5

18.(l)-3<x<e-3

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)將不等式化簡，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可；

(2)先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理即可證明；

(3)作差變形后，結(jié)合基本不等式利用作差法即可判斷.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時(shí)，不等式即為ln(x+3)+x<x+l,即ln(x+3)<l,

fx+3>0

所以4,,解得—3〈%ve—3；

[x+3<e

(2)因?yàn)?'(”=±+1,所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

又/(0)=ln3+ln〃>0,f\—3|=In—I-----3+lna=—3<0,

\a)aaa

所以由零點(diǎn)存在定理得，函數(shù)/(X)有唯一零點(diǎn)，且零點(diǎn)在]3,0)內(nèi).

(3)由/(%)=。知，ln(A0+3)=-x0-lna,

因?yàn)?+3>0,a>1,

答案第9頁，共11頁

3。i/c\3。i3ac-i

所以。，伉+3)=G+x0+ln"=+x°+3-3+ln.

—3+Intz=2J3a—3+Ina>0.

19.(1)0

(2)g={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))

(3)證明見解析

【分析】（1）由a=（l,0）,〃=（0,1）,根據(jù)題設(shè)中的計(jì)算公式，即可求解;

（2）根據(jù)題意，當(dāng)〃=3時(shí)，得出滿足題意的集合，得到答案;