數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1。周期性(1)周期函數(shù)：一般地，對于函數(shù)f（x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值,都滿足f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f（x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.(2）正弦函數(shù)的周期從正弦線的變化規(guī)律可以看出,正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ（k∈Z且k≠0)是它的周期,最小正周期是2π.正弦函數(shù)的周期也可由誘導(dǎo)公式sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z)得到。由sin(x+2kπ）=sinx(k∈Z)可知當(dāng)自變量x的值每增加或減少2π的整數(shù)倍時(shí)，正弦函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，即正弦函數(shù)具有周期性，且周期為2kπ（k∈Z),最小正周期為2π.類似地，可以探索余弦函數(shù)的周期為2kπ，最小正周期為2π.2.奇偶性（1)正弦函數(shù)y=sinx(x∈R)是奇函數(shù),①由誘導(dǎo)公式sin（-x)=—sinx可知上述結(jié)論成立.②反映在圖象上,正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對稱。③正弦曲線是中心對稱圖形,其所有對稱中心為（kπ,0)；正弦曲線也是軸對稱圖形，其所有對稱軸方程為x=kπ+，k∈Z.（2）余弦函數(shù)的奇偶性與對稱性①奇偶性:由誘導(dǎo)公式知cos（-x)=cosx，可知余弦函數(shù)是偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸對稱。②對稱性：余弦曲線是中心對稱圖形，其所有的對稱中心坐標(biāo)是(kπ+,0)(k∈Z）;余弦曲線是軸對稱圖形,其所有的對稱軸方程是x=kπ（k∈Z).3.單調(diào)性（1)正弦函數(shù)的單調(diào)性在正弦函數(shù)的一個(gè)周期中,由正弦曲線可以看出,當(dāng)x由-增加到時(shí),sinx由—1增加到1；當(dāng)x由增大到時(shí),sinx由1減小到-1,情況如下表：x-0πsinx-1010—1由正弦函數(shù)的周期性可知：正弦函數(shù)y=sinx在每一個(gè)閉區(qū)間［—+2kπ，+2kπ]（k∈Z）上,都從-1增大到1，是增函數(shù)；在每一個(gè)閉區(qū)間[+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上，都從1減小到-1,是減函數(shù).(2)余弦函數(shù)的單調(diào)性通過觀察余弦函數(shù)的圖象，可得余弦函數(shù)的單調(diào)性。余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［2kπ，（2k+1）π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，它的值由1減小到—1;在每一個(gè)閉區(qū)間［（2k+1）π，2（k+1）π］(k∈Z）上都是增函數(shù),它的值由—1增大到1。4.最值從正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象可以看出，它們的值域都為［-1，1］。對正弦函數(shù)來說,當(dāng)x=2kπ+（k∈Z)時(shí)，取得最大值1;當(dāng)x=2kπ-（k∈Z）時(shí),取得最小值-1。對余弦函數(shù)來說,當(dāng)x=2kπ(k∈Z）時(shí),取得最大值1；當(dāng)x=2kπ+π(k∈Z)時(shí)，取得最小值—1。活學(xué)巧用1。求下列函數(shù)的周期：(1）y=sinx；（2）y=2sin（-）.解析：（1)如果令m=x,則sinx=sinm是周期函數(shù)且周期為2π?！鄐in（x+2π）=sinx，即sin［（x+4π)］=sinx.∴y=sinx的周期是4π.(2)∵2sin(-+2π)=2sin（—）,即2sin［(x+6π)—］=2sin（—)，∴2sin(—)的周期是6π.答案：(1)4π;(2）6π。2.若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x）=x2-sinx,當(dāng)x＜0時(shí),求f(x）的解析式。解析:設(shè)x＜0,則-x＞0?！選＞0時(shí),f(x)=x2—sinx，∴f（-x)=x2—sin（—x)=x2+sinx。又∵f(x）為奇函數(shù),∴f(-x)=-f（x）.∴-f（x）=x2+sinx?！鄁(x）=—x2-sinx。答案:f(x）=—x2—sinx（x＜0).3。寫出函數(shù)y=sin（2x+）圖象的對稱軸方程及對稱中心坐標(biāo)。解析：令2x+=kπ+(k∈Z）得x=+(k∈Z)，令2x+=kπ（k∈Z）得x=-(k∈Z).∴函數(shù)y=sin（2x+)圖象的對稱軸方程為x=+(k∈Z）,對稱中心坐標(biāo)為(—，0)(k∈Z)。答案:對稱軸方程x=+（k∈Z）,對稱中心(—,0)（k∈Z）.4.求y=cos（-x)的單調(diào)遞增區(qū)間。解析：函數(shù)y=cos(—x)=cos（x—），∴y=cos（—x)的單調(diào)遞增區(qū)間就是y=cos（x-）的單調(diào)遞增區(qū)間,由下式確定:2kπ-π≤x-≤2kπ，k∈Z.∴2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,即函數(shù)y=cos（—x)的單調(diào)遞增區(qū)間是［2kπ—,2kπ+］，k∈Z。5.若sinx=a—1有意義，則a的取值范圍是____________________。解析:∵|sinx｜≤1，∴｜a-1|≤1.∴—1≤a-1≤1?！?≤a≤2。答案：0≤a≤26.y=4cos2x,x∈R有最值嗎?若有，