數(shù)學(xué)互動課堂幾何概型

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1。幾何概型的定義在古典概型中，利用等可能性的概念,成功地計算了某一類問題的概率;不過,古典概型要求可能結(jié)果的總數(shù)必須有限。這不能不說是一個很大的限制,人們當(dāng)然要竭力突破這個限制,以擴(kuò)大自己的研究范圍。因此歷史上有不少人企圖把這種做法推廣到有無限多個結(jié)果而又有某種等可能性的場合。這類問題一般可以通過幾何方法來求解.對于一個隨機(jī)試驗,我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機(jī)會都一樣；而一個隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點.這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等。用這種方法處理隨機(jī)試驗，稱為幾何概型.對于這一定義也可以作以下理解：設(shè)在空間上有一區(qū)域D,又知區(qū)域d包含在區(qū)域D內(nèi)（如下圖所示）,而區(qū)域D與d都是可以度量的（可求面積、長度、體積等)，現(xiàn)隨機(jī)地向D內(nèi)投擲一點M,假設(shè)點M必落在D中，且點M可能落在區(qū)域D的任何部分,那么落在區(qū)域d內(nèi)的概率只與d的度量（長度、面積、體積等）成正比，而與d的位置和形狀無關(guān)。具有這種性質(zhì)的隨機(jī)試驗（擲點）,稱為幾何概型.2。幾何概型的概率計算一般地，在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地抽取一點，記“該點落在其內(nèi)部的一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A,則事件A發(fā)生的概率P（A）=。這里要求D的測度不為0，其中“測度”的意義依D確定,當(dāng)D分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應(yīng)的“測度”分別是長度、面積和體積等。疑難疏引(1)幾何概型的概率的取值范圍同古典概型概率的取值范圍一樣，幾何概型的概率的取值范圍也是0≤P(A）≤1。這是因為區(qū)域d包含在區(qū)域D內(nèi)，則區(qū)域d的“測度”不大于區(qū)域D的“測度".當(dāng)區(qū)域d的“測度"為0時,事件A是不可能事件，此時P（A）=0；當(dāng)區(qū)域d的“測度”與區(qū)域D的“測度"相等時，事件A是必然事件,此時P（A）=1。（2）求古典概型概率的步驟：①求區(qū)域D的“測度”；②求區(qū)域d的“測度";③代入計算公式。（3）對于一個具體問題能否應(yīng)用幾何概率公式計算事件的概率，關(guān)鍵在于將問題幾何化，也即可根據(jù)問題的情況，選取合適的參數(shù),建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,在此基礎(chǔ)上,將試驗的每一結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一點，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個區(qū)域,且是可度量的。案例1某公共汽車站每隔5分鐘有一輛車通過（假設(shè)每一輛車帶走站上的所有乘客）,乘客到達(dá)汽車站的任一時刻是任意的,求乘客候車時間不超過3分鐘的概率?！咎骄俊窟@是一個與長度有關(guān)的幾何概型問題.記A=“候車時間不超過3分鐘"。以x表示乘客到車站的時刻，以t表示乘客到車站后來到的第一輛汽車的時刻，據(jù)題意，乘客必然在（t—5,t］內(nèi)來到車站,于是D=｛x|t-5＜x≤t｝。若乘客候車時間不超過3分鐘，必須t—3≤x≤t,所以A={x|t-3≤x≤t}據(jù)幾何概率公式得P（A）==0.6規(guī)律總結(jié)（1）把所求問題歸結(jié)到x軸上的一個區(qū)間內(nèi)是解題的關(guān)鍵。然后尋找事件A發(fā)生的區(qū)域，從而求得d的測度。（2)本題也可這樣理解:乘客在時間段（0，5]內(nèi)任意時刻到達(dá),等待不超過3分鐘，則到達(dá)的時間在區(qū)間［2,5］內(nèi).案例2甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機(jī)地到達(dá),試求這兩艘船中至少有一艘在停靠時必須等待的概率。【探究】這是一類與面積有關(guān)的幾何概型問題。設(shè)A={兩艘船中至少有一艘?？繒r等待｝.建立平面直角坐標(biāo)系，x軸表示甲船到達(dá)的時間,y軸表示乙船到達(dá)的時間，則（x,y)表示的所有結(jié)果是以24為邊長的正方形.事件A發(fā)生的條件是0＜x—y＜6或0＜y—x＜6,即圖中陰影部分，則D的面積為242,d的面積為242-182。∴P(A）=。規(guī)律總結(jié)(1)甲、乙兩船都是在0—24小時內(nèi)的任一時刻?？浚拭恳粋€結(jié)果對應(yīng)兩個時間；分別用x，y軸上的數(shù)表示,則每一個結(jié)果（x，y）就對應(yīng)于圖中正方形內(nèi)的任一點.（2）找出事件A發(fā)生的條件，并把它在圖中的區(qū)域找出來，分別計算面積即可.(3)這一類問題我們稱為約會問題.案例3在長度為a的線段上任取兩點將線段分成三段，求它們可以構(gòu)成三角形的概率?！咎骄俊拷夥ㄒ唬杭僭O(shè)x、y表示三段長度中的任意兩個，因為是長度，所以應(yīng)有x＞0，y＞0且x+y＜a，即x、y的值在以（0,a)、（a，0)和（0,0）為頂點的三角形內(nèi)，如右圖所示.要形成三角形,由構(gòu)成三角形的條件知，x和y都小于,且x+y＞（如圖陰影部分）。又因為陰影部分的三角形的面積占形成總面積的,故能夠形成三角形的概率為。解法二：如右圖,作等邊三角形ABC，使其高為a,過各邊中點作△DEF.△DEF的面積占△ABC的面積的。因為從△ABC內(nèi)任意一點P到等邊三角形三邊的垂線段長度之和等于三角形的高（由等積法易知），為了使這三條垂線線段中沒有一條的長度大于，P點必須落在陰影部分即△DEF內(nèi)（DM=）.所以符合題意要求的情況占全部情況的，即所求概率為。解法三：如下圖，作一邊長為a的正方形,過相對兩邊的中點作兩條斜線,陰影部分占整個正方形面積的。令A(yù)B上距離底邊為x的點表示第一個截點的位置,則第二個截點一定落入陰影部分（y＜，z＜）.因此,符合題意要求的情況占全部情況的.所以所求的概率為。規(guī)律總結(jié)解決此題的關(guān)鍵在于弄清三角形三邊長之間的關(guān)系,由題意易知,三邊長之和為定值a,且三邊長分別小于a2。把握住了這兩點,就能使問題準(zhǔn)確獲解.3.隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與隨機(jī)模擬方法(1)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生利用計算器或計算機(jī)產(chǎn)生［0，1］上的均勻隨機(jī)數(shù)x1=RAND，然后利用伸縮和平移變換,x=x1＊(b—a)+a,就可以得到［a，b］內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù),試驗的結(jié)果是［a，b］上的任何一個實數(shù)，并且任何一個實數(shù)都是等可能出現(xiàn)的.（2）隨機(jī)模擬試驗用頻率估計概率時，需做大量的重復(fù)試驗,費時費力，并且有些試驗具有破壞性,有些試驗無法進(jìn)行，因而隨機(jī)模擬試驗就成為一種重要的方法，它可以在短時間內(nèi)多次重復(fù).用計算器或計算機(jī)模擬試驗,首先需要把實際問題轉(zhuǎn)化為可以用隨機(jī)數(shù)來模擬試驗結(jié)果的概率模型，也就是怎樣用隨機(jī)數(shù)刻畫影響隨機(jī)事件結(jié)果的量.我們可以從以下幾個方面考慮：①由影響隨機(jī)事件結(jié)果的量的個數(shù)確定需要產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)組數(shù).如長度型、角度型(一維)只用一組,面積型(二維)需要用兩組。②由所有的基本事件總體（基本事件空間）對應(yīng)區(qū)域確定產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的范圍.③由事件A發(fā)生的條件確定隨機(jī)數(shù)所應(yīng)滿足的關(guān)系式.（3）隨機(jī)模擬的基本思想是用頻率近似于概率,頻率可由試驗獲得。案例4取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，用隨機(jī)模擬法估算剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大?【探究】在任意位置剪斷繩子，則剪斷位置到一端點的距離取遍［0,3］內(nèi)的任意實數(shù),并且每一個實數(shù)被取到的可能性相等，因此在任意位置剪斷繩子的所有結(jié)果(即基本事件）對應(yīng)[0,3]上的均勻隨機(jī)數(shù),其中［1,2]上的均勻隨機(jī)數(shù)就表示剪斷位置與端點的距離在［1，2］內(nèi)，也就是剪得兩段的長都不小于1m,這樣取得的［1,2］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個數(shù)與［0,3]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個數(shù)之比就是事件A發(fā)生的頻率?！窘馕觥坑浭录嗀={剪得兩段的長都不小于1m｝.①利用計算器或計算機(jī)產(chǎn)生一組0到1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)a1=RAND.②經(jīng)過伸縮變換,a=a1*3.③統(tǒng)計出試驗總次數(shù)N和［1,2］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個數(shù)N1.④計算頻率fn(A)=N1/N即為概率P（A）的近似值。規(guī)律總結(jié)用隨機(jī)模擬法估算幾何概率的關(guān)鍵是把事件A及基本事件空間對應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機(jī)數(shù)的范圍.案例5利用隨機(jī)模擬方法計算圖中陰影部分（曲線y=2x與x軸，x=±1圍成的部分）的面積?！咎骄俊吭谧鴺?biāo)系中畫出正方形，用隨機(jī)模擬的方法可以求出陰影部分面積與正方形面積之比,從而求得陰影部分面積的近似值.【解析】（1）利用計算機(jī)產(chǎn)生兩組［0，1］上的均勻隨機(jī)數(shù)，a1=RAND,b1=RAND。（2)進(jìn)行平移和伸縮變換,a=2a1-1，b=b1*2，得到一組[—1，1］上的均勻隨機(jī)數(shù)和一組［0,2］上的均勻隨機(jī)數(shù).（3）統(tǒng)計試驗總次數(shù)N和落在陰影內(nèi)的次數(shù)N1(滿足條件b＜2a(4)計算頻率,即為點落在陰影部分的概率的近似值。（5）用幾何概率公式求得點落在陰影部分的概率為P=.∴≈.∴S≈即為陰影部分面積的近似值。規(guī)律總結(jié)解決本題的關(guān)鍵是利用隨機(jī)模擬法和幾何概率公式分別求得幾何概率,然后通過方程求得陰影部分面積的近似值。活學(xué)巧用1。判斷下列概率模型是古典概型還是幾何概型?（1）如下圖,轉(zhuǎn)盤上有8個面積相等的扇形。轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,求轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時指針落在陰影部分的概率。(2）在500mL的水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2mL水樣放到顯微鏡下觀察,求發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率.解析:以上2個試驗的可能結(jié)果個數(shù)無限，所以它們都不是古典概型.而是幾何概型.2。利用幾何概型求概率應(yīng)注意哪些問題？解：應(yīng)該注意到:（1）幾何型適用于試驗結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率類型;(2）幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關(guān)的題目;（3）公式為P(A）=；（4)計算幾何概率要先計算基本事件總體與事件A包含的基本事件對應(yīng)的長度（角度、面積、體積）。3。有一杯1L的水,其中含有1個細(xì)菌，用一個小杯從這杯水中取出0.1L水,則小杯水中含有這個細(xì)菌的概率為（)A.0B。0.1解析：1個細(xì)菌在1L的水中，在每一個位置都是可能的,那么只有這個細(xì)菌在這0.1L的水中,這件事件才能發(fā)生。由幾何概型公式得P（A）==0.1。答案:B4。如下圖，如果你向靶子上射200支鏢，大概有多少支鏢落在紅色區(qū)域（顏色較深的區(qū)域）（)A。50B。100C.150解析：這是幾何概型問題.這200支鏢落在每一點的可能性都是一樣的,對每一支鏢來說，落在紅色區(qū)域的概率P=，每一支鏢落在紅色區(qū)域的概率都是12，則200支鏢落在紅色區(qū)域的概率還是，則落在紅色區(qū)域的支數(shù)=200支×=100支。答案:B5。如下圖,假設(shè)你在每個圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率分別為_____________________，___________________.解析：這是幾何概型問題,在平面上隨機(jī)撒一粒黃豆，那么黃豆既可能落在三角形內(nèi)，也可能落在圓內(nèi)空白區(qū)域，并且落在每一點的可能性是一樣的,只有落在三角形內(nèi)才說明事件A發(fā)生。①P（A）==。②P(A）==.答案：6。一個路口的紅綠燈,紅燈亮的時間為30秒，黃燈亮的時間為5秒，綠燈亮的時間為40秒。當(dāng)你到達(dá)路口時，看見下列三種情況的概率各是多少?（1）紅燈；(2)黃燈；（3)不是紅燈。解：在75秒內(nèi),每一時刻到達(dá)路口的時候是等可能的，屬于幾何概型。(1）P==；（2）P==；（3)P===.7。在線段［0,3］上任取一點，則此點坐標(biāo)不小于2的概率是（)A。B.C。D.解析：在線段［0,3]上任取一點的可能性是相等的,若在其上任意取一點,此點坐標(biāo)不小于2,則該點應(yīng)落在線段[2,3］上.所以,在線段［0，3]上任取一點,則此點坐標(biāo)不小于2的概率應(yīng)是線段[2,3］的長度與線段［0,3］的長度之比，即為.答案:A8.圓O有一內(nèi)接正三角形，向圓O隨機(jī)投一點，則該點落在內(nèi)接正三角形內(nèi)的概率是_______.解析:向圓內(nèi)投點,所投的點落在圓形區(qū)域內(nèi)任意一點的可能性相等，所以本題的概率模型是幾何概型.向圓O隨機(jī)投一點,則該點落在內(nèi)接正三角形內(nèi)的概率應(yīng)為正三角形的面積與圓的面積的比。答案：9.假設(shè)你家訂了一份報紙,送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家,你父親離開家去工作的時間在早上7：00—8：00之間，問你父親在離開家之前能得到報紙（稱為事件A）的概率是多少?解析:如下圖所示，正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的橫坐標(biāo)表示送報人到達(dá)的時間，縱坐標(biāo)表示父親離開家去工作的時間。假設(shè)隨機(jī)試驗落在正方形內(nèi)任何一點是等可能的,所以符合幾何概型的條件，根據(jù)題意,只要點落到陰影部分,就表示父親在離開家前得到報紙，即事件A發(fā)生,所以P(A）==87。5%.10。如右圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi),射線OT落在60°的終邊上,任作一條射線OA，求射線OA落∠xOT內(nèi)的概率.分析：以O(shè)為起點作射線OA是隨機(jī)的,因而射線OA落在任何位置都是等可能的,落在∠xOT內(nèi)的概率只與∠xOT的大小有關(guān),符合幾何概型的條件.解：設(shè)事件A“射線OA落在∠xOT內(nèi)”。事件A的角度是60°，區(qū)域D的角度是360°,所以,由幾何概率公式得P(A）=.11.甲、乙兩輛貨車?？空九_卸貨的時間分別是6小時和4小時，用隨機(jī)模擬法估算有一輛貨車?？空九_時必須等待一段時間的概率.解析：設(shè)事件A：“有一輛貨車停靠站臺時必須等待一段時間”.（1）利用計算器或計算機(jī)產(chǎn)生兩組0到1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)，x1=RAND，y1=RAND.（2）經(jīng)過伸縮變換，x=x1＊24,y=y1＊24得到兩組［0,24］上的均勻隨機(jī)數(shù).(3)統(tǒng)計出試驗總次數(shù)N和滿足條件-4