數(shù)學(xué)互動課堂曲邊梯形的面積

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)本課時重點是用化歸和逼近的思想求曲邊梯形的面積及求曲邊梯形面積的步驟。1。曲邊梯形的面積問題圖(1）中,陰影部分類似于一個梯形，但有一邊是曲線y=f（x）的一段。我們把由直線x=a，x=b（a≠b)，y=0和曲線y=f（x）所圍成的圖形稱為曲邊梯形.如何計算這個曲邊梯形的面積呢？下面先研究一個特殊情形：如何求由拋物線y=x2與直線x=1,y=0所圍成的平面圖形〔圖(2）的陰影部分〕的面積S?圖（2)中的曲邊梯形與我們熟悉的“直邊圖形"的主要區(qū)別是什么?能否將求這個曲邊梯形面積S的問題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形"面積的問題？可以發(fā)現(xiàn)，圖(2）中的曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別是，前者有一邊是曲線段，而“直邊圖形”的所有邊都是直線段.在過去的學(xué)習(xí)中，我們曾經(jīng)用正多邊形逼近圓的方法,利用正多邊形面積求出了圓的面積.這種“以直代曲”的思想啟發(fā)我們，是否也能用直邊形（比如矩形)逼近曲邊梯形的方法求圖（2）中陰影部分面積呢？如圖（3），把區(qū)間[0，1］分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分成一些小曲邊梯形.對每個小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,得到每個小曲邊梯形面積的近似值,對這些近似值求和,就得到曲邊梯形面積的近似值.可以想象，隨著拆分越來越細(xì),近似程度就會越來越好.也即用化歸為計算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積.我們通過下面的步驟來具體實施這種方法.（1)分割在區(qū)間［0,1］上等間隔地插入n—1個點，將它等分成n個小區(qū)間:［0,］,[,］,…，[,1]。記第i個區(qū)間為［,］（i=1，2,…，n）,其長度為Δx=-=。分別過上述n-1個分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形〔如圖（3）〕,它們的面積記作：ΔS1,ΔS2,…,ΔSn。顯然,S=ΔSi。（2）近似代替記f（x)=x2。如圖(3），當(dāng)n很大，即Δx很小時,在區(qū)間[，]上，可以認(rèn)為函數(shù)f(x）=x2的值變化很小,近似地等于一個常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似地等于左端點處的函數(shù)值f()。從圖形上看，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊〔圖（4）〕.這樣，在區(qū)間［,]上，用小矩形的面積ΔS′i近似地代替ΔSi,即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”，則有ΔSi≈ΔS′i=f()Δx=（)2·Δx=()2·（i=1,2，…,n)。（3）求和由①，圖(4）中陰影部分的面積Sn為Sn=ΔS′i=f（)Δx=（）2·=0·+（）2·+…+（)2·=［12+22+…+（n-1)2］==（1-)(1-).從而得到S的近似值S≈Sn=(1-)（1—）。（4）取極限分別將區(qū)間［0，1］等分成8,16，20,…等份〔如圖(5)〕，可以看到，當(dāng)n趨向于無窮大，即Δx趨向于0時，Sn=(1-）（1-)趨向于S，從而有S=Sn=f（）=（1-)（1-）=。2。汽車行駛路程的問題若做直線運(yùn)動的物體,它的速度是時間t的函數(shù)v（t)，則物體在t=t0到t=t1這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程s為v(ξi)Δt,其中ξi∈［t0+，t0+］，Δt=.物體在t=t0到t=t1這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程s是曲線v=v（t）與直線t=t0，t=t1及橫軸圍成的曲邊梯形的面積。活學(xué)巧用1.求由直線x=1,x=2,y=0及曲線y=圍成的圖形的面積S.解析:（1)分割在區(qū)間[1，2］上等間隔地插入n-1個點，將它等分成n個小區(qū)間：［1，］,[，],…，[，2］，記第i個區(qū)間為[，]（i=1，2，…,n）,其長度為Δx=-=。分別過上述n-1個分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形(如下圖），它們的面積記作：ΔS1,ΔS2，…，ΔSn，則小區(qū)邊梯形面積的和為S=ΔSi.（2)近似代替記f(x)=.當(dāng)n很大,即Δx很小時，在區(qū)間［，］上，可以認(rèn)為f（x)=的值變化很小，近似地等于一個常數(shù)，不妨認(rèn)為它等于f（)。從圖形上看，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊。這樣，在區(qū)間[,］上，用小矩形面積ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”,則有ΔSi≈ΔSi′=f()Δx=·=(i=1,2,…,n).(3)求和小曲邊梯形的面積和Sn=ΔSi≈ΔSi′==+…+=n（-+—+…+—）=n（-)=。從而得到S的近似值S≈Sn=。（4）取極限分別將區(qū)間［1,2］等分成8，16，20，…等份時，Sn越來越趨向于S，從而有S=Sn=.∴由直線x=1,x=2,y=0及曲線y=圍成的圖形的面積S為。2.求由y=3x,x=0，x=1,y=0圍成的圖形的面積。解析：(1）分割：把區(qū)間［0，1］等分成n個小區(qū)間［，］(i=1,2,…，n）。其長度為Δx=,把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形,其面積記為ΔSi(i=1,2,…，n）。（2)近似代替：用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積。ΔSi=f()Δx=3··=(i—1）(i=1，2,…,n).(3)作和：ΔSi=（i—1)=［1+2+…+（n—1)］=·。(4)求極限：S=(i-1)=·=。3。已知某運(yùn)動物體做變速直線運(yùn)動,它的速度v是時間t的函數(shù)v（t），求物體在t=0到t=t0這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程s.解析：(1)分割將時間區(qū)間[0，t0］分成n等份：［t0，t0］(i=1,2,…，n)，每個小區(qū)間所表示的時間為Δt=；各區(qū)間物體運(yùn)動的距離記作Δsi（i=1,2,…，n）。（2)近似代替在每個小區(qū)間上以勻速直線運(yùn)動的路程近似代替變速直線運(yùn)動的距離：在小區(qū)間［t0，t0］上任取一時刻ξi（i=1,2,…，n）,用時刻ξi的速度v（ξi)近似代替第i個小區(qū)間上的速度.由勻速直線運(yùn)動的路程公式，每個小區(qū)間物體運(yùn)動所經(jīng)過的距離可以近似地表示為Δsi≈v（ξi)Δt（i=1,2,…,n)。(3)求和因為每個小區(qū)間上物體運(yùn)動的距離可以用這一區(qū)間上做勻速直線運(yùn)動的路程近似代替，所以在時間［0,t0］范圍內(nèi)物體運(yùn)動的距離s就可以用這一物體分別在n個小區(qū)間上做n個勻速直線運(yùn)動的路程和近似代替，即s=Δsi≈v(ξ