數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂曲邊梯形的面積

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)本課時(shí)重點(diǎn)是用化歸和逼近的思想求曲邊梯形的面積及求曲邊梯形面積的步驟。1。曲邊梯形的面積問(wèn)題圖(1）中,陰影部分類(lèi)似于一個(gè)梯形，但有一邊是曲線(xiàn)y=f（x）的一段。我們把由直線(xiàn)x=a，x=b（a≠b)，y=0和曲線(xiàn)y=f（x）所圍成的圖形稱(chēng)為曲邊梯形.如何計(jì)算這個(gè)曲邊梯形的面積呢？下面先研究一個(gè)特殊情形：如何求由拋物線(xiàn)y=x2與直線(xiàn)x=1,y=0所圍成的平面圖形〔圖(2）的陰影部分〕的面積S?圖（2)中的曲邊梯形與我們熟悉的“直邊圖形"的主要區(qū)別是什么?能否將求這個(gè)曲邊梯形面積S的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形"面積的問(wèn)題？可以發(fā)現(xiàn)，圖(2）中的曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別是，前者有一邊是曲線(xiàn)段，而“直邊圖形”的所有邊都是直線(xiàn)段.在過(guò)去的學(xué)習(xí)中，我們?cè)?jīng)用正多邊形逼近圓的方法,利用正多邊形面積求出了圓的面積.這種“以直代曲”的思想啟發(fā)我們，是否也能用直邊形（比如矩形)逼近曲邊梯形的方法求圖（2）中陰影部分面積呢？如圖（3），把區(qū)間[0，1］分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分成一些小曲邊梯形.對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值,對(duì)這些近似值求和,就得到曲邊梯形面積的近似值.可以想象，隨著拆分越來(lái)越細(xì),近似程度就會(huì)越來(lái)越好.也即用化歸為計(jì)算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積.我們通過(guò)下面的步驟來(lái)具體實(shí)施這種方法.（1)分割在區(qū)間［0,1］上等間隔地插入n—1個(gè)點(diǎn)，將它等分成n個(gè)小區(qū)間:［0,］,[,］,…，[,1]。記第i個(gè)區(qū)間為［,］（i=1，2,…，n）,其長(zhǎng)度為Δx=-=。分別過(guò)上述n-1個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形〔如圖（3）〕,它們的面積記作：ΔS1,ΔS2,…,ΔSn。顯然,S=ΔSi。（2）近似代替記f（x)=x2。如圖(3），當(dāng)n很大，即Δx很小時(shí),在區(qū)間[，]上，可以認(rèn)為函數(shù)f(x）=x2的值變化很小,近似地等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似地等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值f()。從圖形上看，就是用平行于x軸的直線(xiàn)段近似地代替小曲邊梯形的曲邊〔圖（4）〕.這樣，在區(qū)間［,]上，用小矩形的面積ΔS′i近似地代替ΔSi,即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”，則有ΔSi≈ΔS′i=f()Δx=（)2·Δx=()2·（i=1,2，…,n)。（3）求和由①，圖(4）中陰影部分的面積Sn為Sn=ΔS′i=f（)Δx=（）2·=0·+（）2·+…+（)2·=［12+22+…+（n-1)2］==（1-)(1-).從而得到S的近似值S≈Sn=(1-)（1—）。（4）取極限分別將區(qū)間［0，1］等分成8,16，20,…等份〔如圖(5)〕，可以看到，當(dāng)n趨向于無(wú)窮大，即Δx趨向于0時(shí)，Sn=(1-）（1-)趨向于S，從而有S=Sn=f（）=（1-)（1-）=。2。汽車(chē)行駛路程的問(wèn)題若做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體,它的速度是時(shí)間t的函數(shù)v（t)，則物體在t=t0到t=t1這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程s為v(ξi)Δt,其中ξi∈［t0+，t0+］，Δt=.物體在t=t0到t=t1這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程s是曲線(xiàn)v=v（t）與直線(xiàn)t=t0，t=t1及橫軸圍成的曲邊梯形的面積?；顚W(xué)巧用1.求由直線(xiàn)x=1,x=2,y=0及曲線(xiàn)y=圍成的圖形的面積S.解析:（1)分割在區(qū)間[1，2］上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn)，將它等分成n個(gè)小區(qū)間：［1，］,[，],…，[，2］，記第i個(gè)區(qū)間為[，]（i=1，2，…,n）,其長(zhǎng)度為Δx=-=。分別過(guò)上述n-1個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形(如下圖），它們的面積記作：ΔS1,ΔS2，…，ΔSn，則小區(qū)邊梯形面積的和為S=ΔSi.（2)近似代替記f(x)=.當(dāng)n很大,即Δx很小時(shí)，在區(qū)間［，］上，可以認(rèn)為f（x)=的值變化很小，近似地等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它等于f（)。從圖形上看，就是用平行于x軸的直線(xiàn)段近似地代替小曲邊梯形的曲邊。這樣，在區(qū)間[,］上，用小矩形面積ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”,則有ΔSi≈ΔSi′=f()Δx=·=(i=1,2,…,n).(3)求和小曲邊梯形的面積和Sn=ΔSi≈ΔSi′==+…+=n（-+—+…+—）=n（-)=。從而得到S的近似值S≈Sn=。（4）取極限分別將區(qū)間［1,2］等分成8，16，20，…等份時(shí)，Sn越來(lái)越趨向于S，從而有S=Sn=.∴由直線(xiàn)x=1,x=2,y=0及曲線(xiàn)y=圍成的圖形的面積S為。2.求由y=3x,x=0，x=1,y=0圍成的圖形的面積。解析：(1）分割：把區(qū)間［0，1］等分成n個(gè)小區(qū)間［，］(i=1,2,…，n）。其長(zhǎng)度為Δx=,把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形,其面積記為ΔSi(i=1,2,…，n）。（2)近似代替：用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積。ΔSi=f()Δx=3··=(i—1）(i=1，2,…,n).(3)作和：ΔSi=（i—1)=［1+2+…+（n—1)］=·。(4)求極限：S=(i-1)=·=。3。已知某運(yùn)動(dòng)物體做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),它的速度v是時(shí)間t的函數(shù)v（t），求物體在t=0到t=t0這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程s.解析：(1)分割將時(shí)間區(qū)間[0，t0］分成n等份：［t0，t0］(i=1,2,…，n)，每個(gè)小區(qū)間所表示的時(shí)間為Δt=；各區(qū)間物體運(yùn)動(dòng)的距離記作Δsi（i=1,2,…，n）。（2)近似代替在每個(gè)小區(qū)間上以勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程近似代替變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的距離：在小區(qū)間［t0，t0］上任取一時(shí)刻ξi（i=1,2,…，n）,用時(shí)刻ξi的速度v（ξi)近似代替第i個(gè)小區(qū)間上的速度.由勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程公式，每個(gè)小區(qū)間物體運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的距離可以近似地表示為Δsi≈v（ξi)Δt（i=1,2,…,n)。(3)求和因?yàn)槊總€(gè)小區(qū)間上物體運(yùn)動(dòng)的距離可以用這一區(qū)間上做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程近似代替，所以在時(shí)間［0,t0］范圍內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的距離s就可以用這一物體分別在n個(gè)小區(qū)間上做n個(gè)勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程和近似代替，即s=Δsi≈v(ξ