數學互動課堂學案：平面向量的坐標運算第一課時

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導引導1.向量的直角坐標在直角坐標系xOy內，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量e1,e2。這時，我們就在坐標平面內建立了一個單位基底{e1,e2｝。在坐標平面xOy內，任作一向量a(用有向線段AB表示）,由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序實數對(a1，a2）,使得a=a1e1+a2e2。(a1,a2)就是向量a在基底｛e1，e2｝下的坐標,即a=（a1,a2）。2.如何求向量a=的坐標分別過向量的始點和終點作x軸、y軸的垂線，設垂足分別為A1、B1、A2、B2。坐標分量a1為向量在x軸上的坐標，坐標分量a2為向量在y軸上的坐標。顯然0=（0，0），e1=(1，0）,e2=(0,1）.設向量a=(a1，a2），a的方向相對于x軸的轉角為θ，由三角函數的定義可知a1=|a｜cosθ,a2=|a｜sinθ。3。向量的直角坐標的意義在直角坐標系中，一點A的位置被點A的位置向量所唯一確定,設點A的坐標為（x，y）,容易看出=xe1+ye2=(x，y)即點A的位置向量的坐標（x,y)，也就是點A的坐標；反之點A的坐標也是點A相對于坐標原點的位置向量的坐標.4.向量的直角坐標運算（1）若a=（a1,a2），b=（b1,b2),則a+b=(a1+b1,a2+b2)，即兩個向量的和的坐標,等于這兩個向量相應坐標的和.（2）若a=(a1,a2），b=(b1,b2），則a—b=（a1-b1，a2—b2),即兩個向量的差的坐標,等于這兩個向量相應坐標的差.(3）若A（x1,y1),B（x2，y2），則=(x2—x1,y2-y1）,即一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點坐標。(4)若a=（a1,a2）,λ∈R，則λa=（λa1,λa2）即向量數乘積的坐標等于數乘以向量的相應坐標的積.對以上運算規(guī)則證明如下，①設a=（a1，a2），b=(b1，b2），則a+b=（a1e1+a2e2）+（b1e1+b2e2）=(a1+b1)e1+（a2+b2）e2即a+b=(a1+b1，a2+b2)用同樣的方法可以證明：a—b=（a1—b1,a2-b2)λa=λ（a1，a2)=(λa1，λa2）②已知：A(x1，y1),B(x2，y2）則=-=（x2,y2)—（x1,y1）=(x2-x1,y2-y1）.5.中點公式設線段AB兩端點的坐標分別為A（x1,y1）,B（x2,y2)，則其中點M（x,y）的坐標計算公式為x=，y=.推導如下:設點M（x,y)是線段AB的中點，則=（+）.上式換用向量的坐標得(x,y)=［（x1,y1）+（x2,y2)］，即x=，y=?；顚W巧用【例1】已知作用在原點的三個力F1=（1，2），F2=（—2，3)，F3=（-1，-4）,則它們的合力的坐標為________________.解析：F=F2+F2+F3=（1，2)+(—2，3)+（-1，—4)=(—2，1）。答案：(—2，1）【例2】若{e1，e2}為單位基底，設a=(x2+x+1）e1-（x2—x+1）e2，（其中x∈R），則向量a位于（）A.第一、二象限B。第二、三象限C。第三象限D。第四象限解析:a=（x2+x+1,-x2+x—1）x2+x+1=x2+x++=(x+）2+≥＞0-x2+x—1=—(x2-x)—1=—(x2—x+)—=—（x—)2-≤-＜0,∴a位于第四象限。答案：D【例3】在直角坐標系xOy中，向量a，b,c的方向和長度如右圖所示，分別求它們的坐標.解析：設a=(a1，a2）,b=（b1，b2），c=（c1，c2），則a1=|a｜·cos45°=2×=，a2=|a|·sin45°=2×=,b1=|b｜·cos120°=3×（-）=,b2=|b｜·sin120°=3×=.c1=｜c|·cos（—30°)=4×=，c2=｜c｜·sin（-30°)=4×（—）=-2.∴a=（,)，b=(-,)，c=(，—2).【例4】設向量a，b的坐標分別是(—1,2），（3，—5），求a+b,a—b，3a,2a+3解析:a+b=（-1，2)+（3，—5）=（-1+3,2—5）=（2，—3）。a—b=（-1，2)—(3，-5)=(—1-3，2+5）=（—4，7）.3a2a+3b=（—2+9,4-15）=（7，—11）?！纠?】已知點A（—1,2）,B（2，8)及=，=-,求點C、D和的坐標.解析:設C、D的坐標分別為（x1，y1）,（x2,y2）由題意可得=(x1+1,y1-2),=(3,6），=（—1—x2,2—y2),=(-3，-6)?！?，=—?！啵▁1+1，y1—2）=(3