數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂學(xué)案：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算第一課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1.向量的直角坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量e1,e2。這時(shí)，我們就在坐標(biāo)平面內(nèi)建立了一個(gè)單位基底{e1,e2｝。在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，任作一向量a(用有向線段AB表示）,由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(a1，a2）,使得a=a1e1+a2e2。(a1,a2)就是向量a在基底｛e1，e2｝下的坐標(biāo),即a=（a1,a2）。2.如何求向量a=的坐標(biāo)分別過(guò)向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，設(shè)垂足分別為A1、B1、A2、B2。坐標(biāo)分量a1為向量在x軸上的坐標(biāo)，坐標(biāo)分量a2為向量在y軸上的坐標(biāo)。顯然0=（0，0），e1=(1，0）,e2=(0,1）.設(shè)向量a=(a1，a2），a的方向相對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)角為θ，由三角函數(shù)的定義可知a1=|a｜c(diǎn)osθ,a2=|a｜sinθ。3。向量的直角坐標(biāo)的意義在直角坐標(biāo)系中，一點(diǎn)A的位置被點(diǎn)A的位置向量所唯一確定,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y）,容易看出=xe1+ye2=(x，y)即點(diǎn)A的位置向量的坐標(biāo)（x,y)，也就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反之點(diǎn)A的坐標(biāo)也是點(diǎn)A相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo).4.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算（1）若a=（a1,a2），b=（b1,b2),則a+b=(a1+b1,a2+b2)，即兩個(gè)向量的和的坐標(biāo),等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和.（2）若a=(a1,a2），b=(b1,b2），則a—b=（a1-b1，a2—b2),即兩個(gè)向量的差的坐標(biāo),等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差.(3）若A（x1,y1),B（x2，y2），則=(x2—x1,y2-y1）,即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)。(4)若a=（a1,a2）,λ∈R，則λa=（λa1,λa2）即向量數(shù)乘積的坐標(biāo)等于數(shù)乘以向量的相應(yīng)坐標(biāo)的積.對(duì)以上運(yùn)算規(guī)則證明如下，①設(shè)a=（a1，a2），b=(b1，b2），則a+b=（a1e1+a2e2）+（b1e1+b2e2）=(a1+b1)e1+（a2+b2）e2即a+b=(a1+b1，a2+b2)用同樣的方法可以證明：a—b=（a1—b1,a2-b2)λa=λ（a1，a2)=(λa1，λa2）②已知：A(x1，y1),B(x2，y2）則=-=（x2,y2)—（x1,y1）=(x2-x1,y2-y1）.5.中點(diǎn)公式設(shè)線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1,y1）,B（x2,y2)，則其中點(diǎn)M（x,y）的坐標(biāo)計(jì)算公式為x=，y=.推導(dǎo)如下:設(shè)點(diǎn)M（x,y)是線段AB的中點(diǎn)，則=（+）.上式換用向量的坐標(biāo)得(x,y)=［（x1,y1）+（x2,y2)］，即x=，y=。活學(xué)巧用【例1】已知作用在原點(diǎn)的三個(gè)力F1=（1，2），F(xiàn)2=（—2，3)，F(xiàn)3=（-1，-4）,則它們的合力的坐標(biāo)為________________.解析：F=F2+F2+F3=（1，2)+(—2，3)+（-1，—4)=(—2，1）。答案：(—2，1）【例2】若{e1，e2}為單位基底，設(shè)a=(x2+x+1）e1-（x2—x+1）e2，（其中x∈R），則向量a位于（）A.第一、二象限B。第二、三象限C。第三象限D(zhuǎn)。第四象限解析:a=（x2+x+1,-x2+x—1）x2+x+1=x2+x++=(x+）2+≥＞0-x2+x—1=—(x2-x)—1=—(x2—x+)—=—（x—)2-≤-＜0,∴a位于第四象限。答案：D【例3】在直角坐標(biāo)系xOy中，向量a，b,c的方向和長(zhǎng)度如右圖所示，分別求它們的坐標(biāo).解析：設(shè)a=(a1，a2）,b=（b1，b2），c=（c1，c2），則a1=|a｜·cos45°=2×=，a2=|a|·sin45°=2×=,b1=|b｜·cos120°=3×（-）=,b2=|b｜·sin120°=3×=.c1=｜c(diǎn)|·cos（—30°)=4×=，c2=｜c(diǎn)｜·sin（-30°)=4×（—）=-2.∴a=（,)，b=(-,)，c=(，—2).【例4】設(shè)向量a，b的坐標(biāo)分別是(—1,2），（3，—5），求a+b,a—b，3a,2a+3解析:a+b=（-1，2)+（3，—5）=（-1+3,2—5）=（2，—3）。a—b=（-1，2)—(3，-5)=(—1-3，2+5）=（—4，7）.3a2a+3b=（—2+9,4-15）=（7，—11）?！纠?】已知點(diǎn)A（—1,2）,B（2，8)及=，=-,求點(diǎn)C、D和的坐標(biāo).解析:設(shè)C、D的坐標(biāo)分別為（x1，y1）,（x2,y2）由題意可得=(x1+1,y1-2),=(3,6），=（—1—x2,2—y2),=(-3，-6)。∵=，=—?！啵▁1+1，y1—2）=(3