數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂演繹推理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)“三段論”是由古希臘的亞里士多德創(chuàng)立的。亞里士多德還提出了用演繹推理來(lái)建立各門(mén)學(xué)科體系的思想。例如歐幾里得的《原本》就是一個(gè)典型的演繹系統(tǒng),它從10條公理和公設(shè)出發(fā)，利用演繹推理,推出所有其他命題.像這種盡可能少地選取原始概念和一組不加證明的原始命題(公理、公設(shè)),以此為出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)用演繹推理,推出盡可能多的結(jié)論的方法,稱(chēng)為公理化方法。公理化方法的精髓是：利用盡可能少的前提，推出盡可能多的結(jié)論。演繹推理是由一般性的命題推出特殊性命題的一種推理模式.演繹推理的主要形式,就是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論式推理.三段論式推理常用的一種格式,可以用以下公式來(lái)表示：M—P（M是P)三段論推理的根據(jù),用集合論的觀點(diǎn)來(lái)講，就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P。三段論的公式中包含三個(gè)判斷：第一個(gè)判斷稱(chēng)為大前提,它提供了一個(gè)一般的原理;第二個(gè)判斷叫小前提,它指出了一個(gè)特殊情況;這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來(lái),揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷--結(jié)論.例如,用三段論證明并指出每一步推理的大前提和小前提.如圖所示,在銳角△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D、E是垂足.求證:AB的中點(diǎn)M到D、E的距離相等。分析：解答題需要利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)作為大前提。證明：（1)因?yàn)橛幸粋€(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形,(大前提）在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB=90°,（小前提）所以△ABD是直角三角形。（結(jié)論)同理,△AEB也是直角三角形.（2)因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半,（大前提）而M是Rt△ABD斜邊AB的中點(diǎn)，DM是斜邊上的中線，(小前提)所以DM=。（結(jié)論）同理，EM=，所以，DM=EM.案例已知函數(shù)f(x）=ax+（a＞1）.證明：函數(shù)f（x)在(—1，+∞)上為增函數(shù)?！咎骄俊坑醚堇[推理解決問(wèn)題的常見(jiàn)模式是三段論.證明本題所依據(jù)的大前提是增函數(shù)的定義，即函數(shù)y=f（x）滿(mǎn)足：在給定區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)自變量x1，x2，若x1＜x2,則有f(x1）＜f（x2)，小前提是函數(shù)f(x）=ax+(a＞1）在(—1，+∞）上滿(mǎn)足增函數(shù)的定義，這是證明本例的關(guān)鍵。證明：設(shè)—1＜x1＜x2，f(x2)-f(x1）=+-—=-+-=（）+=(）+因?yàn)閤2—x1＞0,又a＞1，所以-x1＞1。所以，而—1＜x1＜x2，所以x1+1＞0,x2+1＞0,所以f(x2)-f(x1)＞0,∴f(x）在(—1,+∞)上為增函數(shù)。規(guī)律總結(jié)演繹推理一般分三段，稱(chēng)為“三段論"，其中第一段稱(chēng)為“大前提”，指的是一個(gè)一般原理。第二段稱(chēng)為“小前提”指的是一種特殊情況，第三段稱(chēng)為“結(jié)論”是所得的結(jié)論，當(dāng)大前提是很顯然時(shí)，一般可以省略不寫(xiě)。演繹推理在數(shù)學(xué)命題的推理中是常用的方法，證題中要注意靈活應(yīng)用?；顚W(xué)巧用例1已知a、b∈R，求證：.證明：設(shè)f(x）=，x∈［0,+∞),x1、x2是［0，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且0≤x1＜x2,f（x2)-f(x1)=。因?yàn)閤2＞x1≥0,所以f（x2）＞f(x1）.所以f（x)=在［0，+∞)上是增函數(shù)。（大前提)由｜a|+｜b|≥｜a+b｜≥0，（小前提）知f（｜a｜+｜b｜）≥f（｜a+b|)（結(jié)論），即成立。例2梯形的兩腰和一底如果相等,它的對(duì)角線必平分另一底上的兩個(gè)角。已知在梯形ABCD中(如圖),AB=DC=AD，AC和BD是它的對(duì)角線，求證：AC平分∠BCD,DB平分∠CBA。證明:(1）等腰三角形兩底角相等（大前提),△DAC是等腰三角形，DA、DC是兩腰（小前提），∠1=∠2（結(jié)論）。（2)兩條平行線被第三條直線截出的內(nèi)錯(cuò)角相等(大前提)，∠1和∠3是平行線AD、BC被AC截出的內(nèi)錯(cuò)角（小前提),∠1=∠3（結(jié)論）。（3)等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等(大前提),∠2和∠3都等于∠1（小前提),∠2=∠3（結(jié)論)，即AC平分∠BCD。(4）同理,DB平分∠CBA.例3已知函數(shù)f（x)=,其中a＞0，b＞0,x∈(0，+∞),確定f（x)的單調(diào)區(qū)間,并證明在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上的增減性。證明：設(shè)0＜x1＜x2,則f（x1）—f(x2)=（）—（）=（x2-x1）().當(dāng)0＜x1＜x2≤時(shí),則x2—x1＞0，，∴f(x1）—f(x2）＞0,即f（x1)＞f(x2）?！鄁（x)在(0，]上是減函數(shù).當(dāng)時(shí),則x2—x1＞0,,，∴f(x1）—f（x2)＜0,即f(x1)＜f(x2）?！鄁（x)在［,+∞)上是增函數(shù)。例4已知函數(shù)f(x)=(a＞0且a≠1)(1）證明：函數(shù)y=f(x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（）對(duì)稱(chēng)；(2)求f(—2）+f（—1)+f(0）+f（1)+f（2)+f(3）的值。證明：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，任取一點(diǎn)（x,y），它關(guān)于點(diǎn)（，）對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1—x,-1—y）.由已知,y=,則—1—y=,f(1—x）==，∴—1-y=f(1—x）。即函數(shù)y=f（x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(）對(duì)稱(chēng)。(2