數(shù)學(xué)例題與探究：6余弦函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講1.為什么說：在同一坐標系中正、余弦函數(shù)的圖像的形狀相同,只是位置不同？剖析:很多同學(xué)觀察它們的圖像后，知道這一點，但是離開圖像就產(chǎn)生懷疑.究其原因是通過觀察、歸納得到的結(jié)論沒有加以證明.其突破方法是數(shù)形結(jié)合，要從數(shù)和形兩方面來分析.我們知道函數(shù)的圖像經(jīng)過左右平移后,其形狀未發(fā)生變化，但在坐標系中的位置變化了.類似于一個人從北京到紐約，這個人還是他本人，只是他的地理位置改變了。由平移變換，知函數(shù)f(x）=sinx的圖像向左平移個單位得函數(shù)f(x+）=sin（x+）.根據(jù)誘導(dǎo)公式sin（x+)=cosx知平移后的函數(shù)就是余弦函數(shù)f（x）=cosx的圖像，由此可見在同一坐標系中正、余弦函數(shù)的圖像的形狀相同,只是位置不同.由于sin(2kπ++x)=cosx(k∈N）、sin(—2kπ—+x）=cosx(k∈N）,則將正弦函數(shù)的圖像向左平移2kπ+(k∈N）個單位或向右平移2kπ+（k∈N)個單位均得到余弦函數(shù)的圖像。通過數(shù)和形兩方面來分析,就真正明確了其中的正、余弦函數(shù)圖像的關(guān)系，有利于幫助我們解決問題.2.正、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式如何記憶？剖析：誘導(dǎo)公式太多，記不住。其突破路徑是從以下幾個方面找出規(guī)律：函數(shù)名稱怎樣變化；這些角和角α有何共同特點；誘導(dǎo)公式右邊的符號有什么變化規(guī)律.（1)-α，π±α，2π—α，2kπ+α（k∈Z)的三角函數(shù)值等于α的同名三角函數(shù)值,前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號，為了便于記憶，可以說成“函數(shù)名不變，符號看象限”。(2)—α，+α的三角函數(shù)值,等于α的余名三角函數(shù)值前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號，記憶口訣為“函數(shù)名改變，符號看象限”。（3）這兩套公式可以歸納為：k·+α(k∈Z)的三角函數(shù)值，當k為偶數(shù)時，得α的同名函數(shù)值；當k為奇數(shù)時，得α的余名三角函數(shù)值，然后在前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號,概括為“奇變偶不變,符號看象限”,這里的奇指k的奇偶。典題精講例1根據(jù)余弦函數(shù)的圖像，求滿足cosx≥-的x的集合.思路分析：在一個周期［-π,π]內(nèi)，找出滿足不等式的x，再拓展到全體實數(shù)即可.解:余弦函數(shù)在［-π，π］內(nèi)的圖像如圖1-5-5所示.圖1—5-5由圖，得在［-π，π］內(nèi),-≤x≤。則滿足cosx≥—的x的集合是｛x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}。綠色通道：利用余弦函數(shù)的圖像可以解三角不等式，還可以求三角函數(shù)的周期。要善于利用余弦函數(shù)的圖像即數(shù)形結(jié)合解決問題。黑色陷阱：如果在一個周期［0，2π]上,找出滿足不等式的x，再拓展到全體實數(shù)上,那么找出的范圍是間斷的,不是最簡形式.要注意保持x的范圍具有“連續(xù)性"變式訓(xùn)練1在（0，2π）內(nèi)，使sinx＞cosx成立的取值范圍是（）A.（,)∪（π，）B.（，π）C。（，）D.（，π）∪（，）思路解析:利用單位圓或三角函數(shù)圖像解決會比較簡捷直觀。方法一（圖像法)：作出[0，2π）區(qū)間上的正弦和余弦的函數(shù)圖像，如圖1—5-6（1)所示，易知兩交點的橫坐標為和，可知C正確。（1）(2）圖1方法二(單位圓法）：如圖1—5—6（2），在單位圓中作出第一、三象限的角平分線，由正弦線和余弦線可知應(yīng)選C。方法三(代入驗證法）：當x=π時，sinπ=0＞cosπ=-1，即x=π符合題意,排除A、B、D。故選C.答案:C變式訓(xùn)練2函數(shù)y=|cosx|的周期是（）A。2πB.πC.D。思路解析：畫函數(shù)y=｜cosx|的圖像，如圖1-5—7所示.圖1—5-7由函數(shù)y=|cosx｜的圖像知周期為π。答案：B例2已知角α的終邊經(jīng)過點P(—5,12)，求sinα，cosα。思路分析：分別寫出x、y、r的值,應(yīng)用定義求解.解：由x=5，y=12,得r==13。∴sinα==，cosα==—。綠色通道：如果已知角的終邊經(jīng)過的一個點求三角函數(shù)值，通常應(yīng)用三角函數(shù)的定義求解.變式訓(xùn)練已知角α的終邊經(jīng)過點P（5t，12t),t≠0，求sinα,cosα。思路分析：應(yīng)用三角函數(shù)的定義。解：由x=5t，y=12t，得r==13｜t|。當t＞0時，r=13t。因此sinα=,cosα=；當t＜0時,r=—13t.因此sinα=—,cosα=-.例3（經(jīng)典回放）設(shè)M和m分別是函數(shù)y=cosx—1的最大值和最小值，則M+m等于（)A。B.C.-D。-2思路分析：只需據(jù)y=cosx的性質(zhì)(或圖像）確定M、m。由y=cosx-1，且x∈R可知ymax=M=-1=-，ymin=m=—1=—.∴M+m==-2.答案：D綠色通道：解決y=Acosx+B和y=Acos2x+Bcosx+C類型函數(shù)，要結(jié)合圖像，利用換元法，并且正確理解運用余弦曲線的性質(zhì)解決問題.變式訓(xùn)練1函數(shù)y=cos2x—3cosx+2的最小值為（）A.2B。0C.思路解析:利用換元法化歸為求二次函數(shù)的最小值.設(shè)cosx=t,—1≤t≤1，則有y=t2—3t+2=（t—）2.畫圖可知，當t=1時，函數(shù)y=cos2x—3cosx+2取最小值0.答案：B變式訓(xùn)練2(2006北京高考卷,文2）函數(shù)y=1+cosx的圖像（）A.關(guān)于x軸對稱B.關(guān)于y軸對稱C。關(guān)于原點對稱D.關(guān)于直線x=對稱思路解析：函數(shù)y=1+cosx是偶函數(shù),其圖像關(guān)于y軸對稱。答案:B問題探究問題求適合條件cosx=的角x的集合。導(dǎo)思:要求角x的集合，必須明確怎樣表示角x的余弦值。我們知道余弦線表示余弦值，余弦函數(shù)的圖像能反映余弦值的大小，由此探究的思路有兩條，思路一：圖像法，利用余弦函數(shù)的圖像；思路二:利用余弦線。探究：方法一（圖像法）：如圖1—5—8所示，在同一坐標系中畫出余弦函數(shù)y=cosx的圖像和直線y=，則函數(shù)y=cosx的圖像和直線y=交點的橫坐標就是適合條件cosx=的角x。圖1-5-8在一個周期［-π,π］內(nèi)，有x=±.所以適合條件co