專題02一元二次方程的解法（直接開平方法配方法）（3個知識點7種題型2個易錯點中考4種考法）原卷版

專題02一元二次方程的解法（直接開平方法、配方法）（3個知識點7種題型2個易錯點中考4種考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：直接配平方法（重點）知識點2：配方法（重點）知識點3：配方法的應(yīng)用（難點）【方法二】實例探索法題型1：用直接開平方法解一元二次方程題型2：用配方法解一元二次方程題型3：用配方法求字母的值題型4：用用配方法求代數(shù)式的最大（最小）值題型5：直接開平方法在實際生活中的應(yīng)用題型6：用配方法判斷三角形的形狀題型7：利用換元法解方程【方法三】差異對比法易錯點1混淆方程配方與代數(shù)式配方易錯點2配方時，沒有進(jìn)行恒等式變形而導(dǎo)致錯誤【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1．解一元二次方程直接開平方法考法2：解一元二次方程配方法考法3：換元法解一元二次方程考法4：配方法的應(yīng)用【方法五】成果評定法【知識導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：直接配平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負(fù)數(shù)．②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．例1.（2022秋?江都區(qū)校級期末）方程x2＝4的解是（）A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4知識點2：配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．要點詮釋：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．例2．用配方法解一元二次方程.例3.如何用配方法解方程知識點3：配方法的應(yīng)用1．用于比較大?。涸诒容^大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項或添項、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（?。┲禃r的應(yīng)用，將原式化成一個完全平方式后可求出最值．4．用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．要點詮釋：“配方法”在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧，是挖掘題目當(dāng)中隱含條件的有力工具，同學(xué)們一定要把它學(xué)好．【方法二】實例探索法題型1：用直接開平方法解一元二次方程例4.解方程(x3)2=49．

例5．（2022秋?江都區(qū)期中）解方程：（1）4x2＝49；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0．例6.解關(guān)于的方程：．例7.解關(guān)于的方程：．例8.解關(guān)于的方程：．例9.解關(guān)于的方程：．例10.解關(guān)于的方程：．例11.解關(guān)于的方程：．題型2：用配方法解一元二次方程例12.用配方法解方程：．例13.用配方法解方程：．例14.用配方法解方程：．例15.用配方法解方程：．例16.用配方法解方程：．例17.用配方法解方程：．例18.用配方法解關(guān)于x的方程：．題型3：用配方法求字母的值例19.若把代數(shù)式化為的形式，其中m、k為常數(shù)，則 ．例20.已知，求的值．題型4：用用配方法求代數(shù)式的最大（最?。┲道?1.用配方法說明：代數(shù)式x2+8x+17的值總大于0.例22求代數(shù)式x2+8x+17的最小值題型5：直接開平方法在實際生活中的應(yīng)用例23.某工廠今年月份產(chǎn)品數(shù)是萬件，要求月份達(dá)到萬件，求這個工廠月份和月份的月平均增長率．題型6：用配方法判斷三角形的形狀例24.已知△ABC的一邊長為4，另外兩邊長是關(guān)于x的方程的兩根，當(dāng)k為何值時，△ABC是等腰三角形？題型7：利用換元法解方程例25.用配方法解方程：（要求用整體法的思想求解）．【方法三】差異對比法易錯點1混淆方程配方與代數(shù)式配方若把代數(shù)式化為的形式，其中m、k為常數(shù)，則 ．易錯點2配方時，沒有進(jìn)行恒等式變形而導(dǎo)致錯誤如何用配方法解方程解：移常數(shù)項方程兩邊同除以二次項系數(shù)兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方轉(zhuǎn)化為的形式開平方解得求解所以原方程的根是.【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1．解一元二次方程直接開平方法1．（2020?揚(yáng)州）方程（x+1）2＝9的根是．考法2：解一元二次方程配方法2．（2019?南通）用配方法解方程x2+8x+9＝0，變形后的結(jié)果正確的是（）A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25考法3：換元法解一元二次方程3．（2002?南京）用換元法解方程：（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0，如果設(shè)x2﹣x＝y(tǒng)，那么原方程變?yōu)椋挤?：配方法的應(yīng)用4．（2018?泰州）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，則實數(shù)a的值為．【方法五】成功評定法一．解一元二次方程直接開平方法（共4小題）1．（2022秋?江都區(qū)校級期末）方程x2＝4的解是（）A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣42．（2023春?東莞市月考）解方程（x﹣1）2＝64．3．（2022秋?江都區(qū)期中）解方程：（1）4x2＝49；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0．4．（2022?鹽城開學(xué)）解方程（x﹣1）2＝225．二．解一元二次方程配方法（共8小題）5．（2022秋?儀征市期中）某數(shù)學(xué)興趣小組四人以接龍的方式用配方法解一元二次方程，每人負(fù)責(zé)完成一個步驟．如圖所示，老師看后，發(fā)現(xiàn)有一位同學(xué)所負(fù)責(zé)的步驟是錯誤的，則這位同學(xué)是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．（2022秋?花都區(qū)期末）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣1＝0時，此方程可變形為（）A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝57．（2022秋?邳州市期中）將方程x2﹣6x＝0化成（x+m）2＝n的形式是．8．（2022秋?高郵市期中）若用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0時，則可以將該方程變形為．9．（2022秋?惠山區(qū)校級月考）將一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b為常數(shù)）的形式，則a+b的值是．10．（2022春?東臺市期中）將一元二次方程x2﹣8x+5＝0化成（x+a）2＝b（a、b為常數(shù)）的形式，則a+b的值為．11．（2021秋?鎮(zhèn)江期末）對方程x2x＝0進(jìn)行配方，得+m＝+m，其中m＝．12．（2022秋?秦淮區(qū)期末）解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法）三．配方法的應(yīng)用（共9小題）13．（2023春?梁溪區(qū)校級期中）在求解代數(shù)式2a2﹣12a+22的最值（最大值或最小值）時，老師給出以下解法：解：原式＝2（a2﹣6a）+22＝2（a2﹣6a+9）﹣18+22＝2（a﹣3）2+4，∵無論a取何值，2（a﹣3）2≥0，∴代數(shù)式2（a﹣3）2+4≥4，即當(dāng)a＝3時，代數(shù)式2a2﹣12a+22有最小值為4．仿照上述思路，則代數(shù)式﹣3a2+6a﹣8的最值為（）A．最大值﹣5 B．最小值﹣8 C．最大值﹣11 D．最小值﹣514．（2023春?工業(yè)園區(qū)校級期中）【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數(shù)能表示成a2+b2（a，b是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因為5＝22+12，所以5是“完美數(shù)”．【解決問題】（1）數(shù)53“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究問題】（2）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，則x+y＝；（3）已知S＝2x2+y2+2xy+12x+k（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值，并說明理由；【拓展結(jié)論】（4）已知實數(shù)x、y滿足，求x﹣2y的最大值．15．（2023春?吳江區(qū)期中）我們可以將一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多項式變形為a（x+m）2+n的形式，例如x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9，我們把這樣的變形叫做多項式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．已知關(guān)于a，b的代數(shù)式滿足a2+b2+2a﹣4b+5＝0，請你利用配方法求a+b的值．16．（2023春?吳中區(qū)期中）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求邊c的值．17．（2023春?南京期中）閱讀下列材料：若x2﹣9＝0，則（x+3）（x﹣3）＝0，得x＝3或x＝﹣3；若x3+2x2y+xy2＝0，則x（x+y）2＝0，得x＝0或x＝﹣y；若2x2﹣2xy+y2﹣2x+1＝0，則（x﹣y）2+（x﹣1）2＝0，得x＝y(tǒng)＝1；……下列問題：（1）（a+b）2﹣4ab＝0，求證a＝b；（2）a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，求證a＝b＝c．18．（2022秋?淮安區(qū)校級期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因為m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．所以m+n＝0，n﹣3＝0．所以m＝﹣3，n＝3．問題：（1）若x2+2xy+5y2+4y+1＝0，求xy的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三邊長，且a，b滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周長．19．（2022秋?東臺市月考）【項目學(xué)習(xí)】“我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法．例如：求當(dāng)a取何值，代數(shù)式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1因為（a+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，因此，當(dāng)a＝﹣3時，代數(shù)式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．【問題解決】利用配方法解決下列問題：（1））當(dāng)x＝時，代數(shù)式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值為．（2）當(dāng)x取何值時，代數(shù)式2x2+8x+12有最小值？最小值是多少？【拓展提高】（3）當(dāng)x，y何值時，代數(shù)式5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值為多少？（4）如圖所示的第一個長方形邊長分別是2a+5、3a+2，面積為S1；如圖所示的第二個長方形邊長分別是5a、a+5，面積為S2．試比較S1與S2的大小，并說明理由．20．（2022春?廣陵區(qū)校級期中）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3問題：（1）不論x，y為何有理數(shù)，x2+y2﹣10x+8y+45的值均為．A．正數(shù)B．零C．負(fù)數(shù)D．非負(fù)數(shù)（2）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值．（3）已知a，b，c是△ABC的三邊長，滿足a2