第15講三角形全等的判定-2021年新八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假課程（滬科版）（原卷版）

第15講三角形全等的判定【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“邊角邊”，判定方法2——“角邊角”，判定方法3——“角角邊”；能運(yùn)用它們判定兩個(gè)三角形全等．2．能把證明角相等或線段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等．3．理解和掌握全等三角形判定方法4——“邊邊邊”；4．能把證明角相等或線段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等.5.探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；6．理解和掌握判定直角三角形全等的一種特殊方法——“斜邊，直角邊”（即“HL”）.7．能熟練地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定兩個(gè)直角三角形全等.【基礎(chǔ)知識(shí)】一、全等三角形判定1——“邊角邊”1.全等三角形判定1——“邊角邊”兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.2.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.二、全等三角形判定2——“角邊角”全等三角形判定2——“角邊角”兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.三、全等三角形判定3——“角角邊”1.全等三角形判定3——“角角邊”兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”）要點(diǎn)詮釋：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說(shuō)，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說(shuō)明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.四、如何選擇三角形證全等1.可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；2.可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；3.由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)龋?.如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.五、全等三角形判定4——“邊邊邊”全等三角形判定4——“邊邊邊”三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.六、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見(jiàn)下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對(duì)應(yīng)相等SASAASASA兩角對(duì)應(yīng)相等ASAAAS兩邊對(duì)應(yīng)相等SASSSS七、如何選擇三角形證全等1.可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；2.可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；3.由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)龋?.如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.八、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切?、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見(jiàn)的幾何問(wèn)題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(3)等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4)同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等.(5)對(duì)頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法；可通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長(zhǎng)中線法；(3)作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過(guò)構(gòu)造出全等三角形來(lái)研究平面圖形的性質(zhì).九、三角形的穩(wěn)定性三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長(zhǎng)不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門(mén)上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門(mén)不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理．

（3）四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性，也就是說(shuō)，四邊形的四條邊長(zhǎng)確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺．有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門(mén)框未安好之前，先在門(mén)框上斜著釘一根木板，使它不變形．十、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的條件可知，對(duì)于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.十一、判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.要點(diǎn)詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過(guò)程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書(shū)寫(xiě)時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：使三角形全等所需添加的條件．1．根據(jù)下列已知條件，能唯一畫(huà)出的是（）A．，， B．，C．，， D．，，考點(diǎn)二：靈活選用判定方法證全等．2．如圖，，，，，則等于（）A． B． C． D．考點(diǎn)三：三角形全等的證明3．如圖，已知AB＝DB，BC＝BE，，由這三個(gè)條件，就可得出△ABE≌△DBC，依據(jù)的判定方法是（）A．邊邊邊 B．邊角邊C．角邊角 D．角角邊【真題演練】1．如圖，有一塊三角形玻璃，小明不小心將它打破．帶上這塊玻璃，能配成同樣大小的一塊，其理由是（）A． B． C． D．2．下列給出的簡(jiǎn)記中，不能判定兩個(gè)三角形全等的是（）A． B． C． D．3．下列說(shuō)法正確的是（）A．形狀相同的兩個(gè)三角形全等 B．兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 D．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等4．下列所給的四組條件中，能作出唯一三角形的是（）A．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90° B．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝4cmC．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°5．根據(jù)下列已知條件，不能唯一畫(huà)出的是（）A． B．C． D．6．根據(jù)下列已知條件，不能唯一畫(huà)出的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，7．下列方法中，不能判定三角形全等的是()A．AAA B．SSS C．ASA D．SAS8．下列判定直角三角形全等的方法，不正確的是（）A．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等 B．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等C．斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等 D．斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1．課本上運(yùn)用尺規(guī)作圖：作一個(gè)角等于已知角，其作圖的依據(jù)是（）A． B． C． D．2．等腰△ABC中，AB=AC，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，有下列結(jié)論：①AD⊥BC；②BD=DC；③∠B=∠C；④∠BAD=∠CAD，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)3．在和中，已知，，添加下列條件中的一個(gè)，不能使一定成立的是（）A． B． C． D．4．“三角形具有穩(wěn)定性”這個(gè)事實(shí)說(shuō)明了（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS5．在△ABC與△DEF中，下列六個(gè)條件中：①AB＝DE；②BC＝EF；③AC＝DF；④∠A＝∠D；⑤∠B＝∠E；⑥∠C＝∠F，不能判斷△ABC與△DEF全等的是（）A．①②④ B．①②③ C．④⑥① D．②③⑥6．下列條件不可推得和全等的條件是（）A．，， B．，，C．，， D．，，7．已知：在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，∠C＝∠F，在下列條件中，增加以后能證明△ABC≌△DEF的條件是（）A．AB＝DF B．BC＝DF C．BC＝EF D．AC＝DE8．在下列命題中，是假命題的個(gè)數(shù)有（）①如果，那么.②兩條直線被第三條直線所截，同位角相等③面積相等的兩