專題14三角形的中位線(原卷版+解析)

2022-2023學(xué)年浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題14三角形的中位線姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三總分評(píng)分閱卷人一、選擇題(共10題；每題2分，共20分)得分1．（2分）（2022八下·任丘期末）如圖，中，AB=10，AC=7，BC=9，點(diǎn)D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，則四邊形DBFE的周長是（）A．13 B． C．17 D．192．（2分）（2022八下·平遠(yuǎn)期末）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD=BC，∠CBD=30°，∠ADB=100°，則∠PFE的度數(shù)是（）A．15° B．25° C．30° D．35°3．（2分）（2022八下·歷下期末）如圖，在證明三角形的中位線定理時(shí)，小蘭首先將原圖形上面的三角形部分剪開，并旋轉(zhuǎn)180°拼到下方．類似地，現(xiàn)有如圖所示的四邊形ABCD，，若，，E、F分別是AB和DC的中點(diǎn)，則（）A．4 B．4.5 C．5 D．64．（2分）（2022八下·西青期末）如圖，點(diǎn)O是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．若，則的周長為（）A．10 B． C． D．145．（2分）（2022八下·懷仁期末）如圖，矩形中，交于點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．6．（2分）（2022八下·本溪期末）如圖，在中，是的平分線，是外角的平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，連接．若，，，則的長是（）A． B． C． D．7．（2分）（2022八下·臨渭期末）如圖，在中，，，分別是，的中點(diǎn)，，為上的點(diǎn)，連接，．若cm，cm，cm，則圖中陰影部分面積為（）A．25cm2 B．35cm2 C．30cm2 D．42cm28．（2分）（2022八下·南充期末）如圖，矩形中，，分別是邊，的中點(diǎn)，于，的延長線交于．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．（2分）（2022八下·港南期中）如圖所示，O為正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于點(diǎn)E，延長BC到F，使FC＝EC，連結(jié)DF交BE的延長線于點(diǎn)H，連結(jié)OH交DC于點(diǎn)G，連結(jié)HC，則下列結(jié)論：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④三角形BDF是直角三角形.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．（2分）如圖是一個(gè)由5張紙片拼成的，相鄰紙片之間互不重湜也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為，另兩張直角三角形紙片的面積都為，中間一張矩形紙片EFGH的面積為，F(xiàn)H與GE相交于點(diǎn).當(dāng)?shù)拿娣e相等時(shí)，下列結(jié)論一定成立的是（）A．. B． C． D．閱卷人二、填空題(共9題；每題2分，共18分)得分11．（2分）（2022八下·虎林期末）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，在的延長線上取點(diǎn)E，使，連接交于點(diǎn)F，若，則．12．（2分）（2022八下·曲陽期末）已知在中，，點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，連接DE，在DE上有一點(diǎn)F，，連接AF，CF，若，則AB＝．13．（2分）（2022八下·撫遠(yuǎn)期末）如圖，是邊長為1的等邊三角形，取邊中點(diǎn)，作，，，分別交，于點(diǎn)，，得到四邊形，它的面積記作；取中點(diǎn)，作，，，分別交，于點(diǎn)，，得到四邊形，它的面積記作……照此規(guī)律作下去，則．14．（2分）（2022八下·本溪期末）如圖，，是四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，順次連接，，，，若，則四邊形的周長是．15．（2分）（2022八下·臨渭期末）如圖，已知△ABC（AB>AC）中，∠BAC=60°，AC=4，D為BC邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn)D的直線DF將△ABC的周長平分且交AB于點(diǎn)F，則DF的長為．16．（2分）（2022八下·海曙期末）如圖，中，，以AB為邊在三角形外的的對(duì)角線交于點(diǎn)F，AE=2，AB=5，則CF的最大值是．17．（2分）（2022八下·拱墅期中）如圖，在?中，是對(duì)角線，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，平分，于點(diǎn)，連接已知，，則的長為.18．（2分）（2022八下·青山期中）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，以P為直角頂點(diǎn)，AP為直角邊作等腰Rt△APE，M為邊AE的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為．19．（2分）（2021八下·蘇州期末）如圖，在中，，，.將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得，直線DA、BE相交于點(diǎn)F.取BC的中點(diǎn)G，連接GF，則GF長的最大值為cm.閱卷人三、解答題(共7題；共62分)得分20．（6分）（2022八下·撫遠(yuǎn)期末）如圖，在中，已知，，平分，于點(diǎn)，為中點(diǎn)．求的長．21．（7分）（2022八下·房山期末）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．已知：如圖，中，D、E分別是的中點(diǎn)．求證：∥，且．方法一證明：如圖，延長至點(diǎn)F，使，連接．方法二證明：如圖，過點(diǎn)C作∥交的延長線于F．22．（6分）（2022八下·威縣期末）如圖，在中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DE上，交BC于點(diǎn)G．（1）（3分）證明：四邊形EFGB是菱形；（2）（3分）若，求DF的長度．23．（8分）（2022八下·城固期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，連接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)E．（1）（4分）求證：AE垂直平分CD；（2）（4分）若AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長．24．（11分）（2022八下·南海期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有長方形OABC，其中點(diǎn)C坐標(biāo)為，，點(diǎn)D是邊OC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線CA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)回答下面的問題：（1）（2分）若點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)，直接寫出．（2）（4分）如圖2，過點(diǎn)P作軸，垂足是點(diǎn)E，若以C、D、E、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）（5分）連接BP，若是等腰三角形，求CP的長度．25．（11分）（2022八下·晉中期末）綜合與實(shí)踐：圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，在研究三角形的旋轉(zhuǎn)過程中，發(fā)現(xiàn)下列問題：如圖1，在△ABC中，，，D，E分別為AB，AC邊上一點(diǎn)，連接DE，且，將△ABC繞點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．（1）（2分）觀察猜想：若，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，則DB與EC的數(shù)量關(guān)系為；（2）（4分）類比探究：若，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置，DB，CE相交于點(diǎn)O，猜想DB，CE滿足的位置關(guān)系，并說明理由；（3）（5分）拓展應(yīng)用：如圖4，在（2）的條件下，連接CD，分別取DE，DC，BC的中點(diǎn)M，P，N，連接PM，PN，MN，若，，請(qǐng)直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中△PMN面積的最大值．26．（13分）（2022八下·諸暨期末）在矩形ABCD中，AB=6，∠BAC=60°，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EP，作點(diǎn)A關(guān)于直線EP的對(duì)稱點(diǎn)A'．（1）（4分）若點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，求EP的長度．（2）（4分）若△AEP是以EP為腰的等腰三角形，求EP的長度．（3）（5分）直線A'E交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)QE，若△AEQ是直角三角形，求EP的長度．2022-2023學(xué)年浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題14三角形的中位線閱卷人一、選擇題(共10題；每題2分，共20分)得分1．（2分）（2022八下·任丘期末）如圖，中，AB=10，AC=7，BC=9，點(diǎn)D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，則四邊形DBFE的周長是（）A．13 B． C．17 D．19【答案】D【規(guī)范解答】解：點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，是的中位線，是的中位線，，，四邊形的周長為，故答案為：D．

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線段的中點(diǎn)及三角形中位線定理可得，，繼而求出四邊形的周長.2．（2分）（2022八下·平遠(yuǎn)期末）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD=BC，∠CBD=30°，∠ADB=100°，則∠PFE的度數(shù)是（）A．15° B．25° C．30° D．35°【答案】D【規(guī)范解答】解：∵點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴PE是△ABD的中位線，∴PE=AD，PE∥AD，∴∠EPD=180°-∠ADB=80°，同理可得，PF=BC，PE∥BC，∴∠FPD=∠CBD=30°，∵AD=BC，∴PE=PF，∴∠PFE=×（180°-110°）=35°，故答案為：D．

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)中位線的性質(zhì)可得PE=AD，PE∥AD，PF=BC，PE∥BC，求出∠FPD=∠CBD=30°，再利用三角形的內(nèi)角和可得∠PFE=×（180°-110°）=35°。3．（2分）（2022八下·歷下期末）如圖，在證明三角形的中位線定理時(shí)，小蘭首先將原圖形上面的三角形部分剪開，并旋轉(zhuǎn)180°拼到下方．類似地，現(xiàn)有如圖所示的四邊形ABCD，，若，，E、F分別是AB和DC的中點(diǎn)，則（）A．4 B．4.5 C．5 D．6【答案】C【規(guī)范解答】解：連接并延長，交延長線于G，如圖：，，，是中點(diǎn)，，，，，，是中點(diǎn)，是的中位線，，故C符合題意．故答案為：C．【思路點(diǎn)撥】連接并延長，交延長線于G，利用“AAS”證明可得，，再利用中位線的性質(zhì)可得。4．（2分）（2022八下·西青期末）如圖，點(diǎn)O是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．若，則的周長為（）A．10 B． C． D．14【答案】B【規(guī)范解答】解：在矩形中，，，，，，，點(diǎn)是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，則的周長為，故答案為：B．【思路點(diǎn)撥】利用中位線的性質(zhì)可得OE的長，再利用勾股定理求出BE的長，利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得OB的長，最后利用三角形的周長公式可得答案。5．（2分）（2022八下·懷仁期末）如圖，矩形中，交于點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【規(guī)范解答】解：∵E、F分別為AO、AD的中點(diǎn)，∴EF是△AOD的中位線，∴OD=2EF=2×4=8，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OD=OA=OC=8，

即：AC=16，∵AB=8，∴AC=2AB，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=30°．故答案為：A．【思路點(diǎn)撥】先利用中位線求出OD=2EF=2×4=8，可得OB=OD=OA=OC=8，即AC=16，再利用AC=2AB，即可得到∠ACB=30°。6．（2分）（2022八下·本溪期末）如圖，在中，是的平分線，是外角的平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，連接．若，，，則的長是（）A． B． C． D．【答案】C【規(guī)范解答】解：如圖，延長交于點(diǎn)F，延長、交于點(diǎn)G，∵平分，，∴，，∴，，∴，∴，∵，，，∴，∵平分，，∴，，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴是邊上的中線，即點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∵，，∴是邊上的中線，即點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴．故答案為：C．

【思路點(diǎn)撥】延長交于點(diǎn)F，延長、交于點(diǎn)G，根據(jù)已知條件證明，得出，得出是的中位線，即可得解。7．（2分）（2022八下·臨渭期末）如圖，在中，，，分別是，的中點(diǎn)，，為上的點(diǎn)，連接，．若cm，cm，cm，則圖中陰影部分面積為（）A．25cm2 B．35cm2 C．30cm2 D．42cm2【答案】C【規(guī)范解答】解：如圖，

連接MN，則MN是△ABC的中位線，

∴MN=BC=5cm，

過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，

∵AB=AC，

∴BF=BC=5cm，

∴AF=，

∵圖中陰影部分的三個(gè)三角形的底邊長都是5cm，且高的和為12cm，

∴.

故答案為：C.

【思路點(diǎn)撥】連接MN，根據(jù)中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半），可得出MN=DE=5cm，過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，利用勾股定理求出△ABC的高為12cm，圖中陰影部分的面積就是圖中三個(gè)三角形的面積，由圖可知，這三個(gè)三角形的底邊長都是5cm，且高的和為12cm，據(jù)此可求出圖中陰影部分的面積.8．（2分）（2022八下·南充期末）如圖，矩形中，，分別是邊，的中點(diǎn)，于，的延長線交于．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【規(guī)范解答】解：連接CM、DM，∵矩形ABCD∴，∵，M，N分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，∴故①正確；∵∴四邊形AMCN是平行四邊形∴AN∥CM∴∵∴CM垂直平分PB∴BC=PC∴（SSS）∴即故②正確；∵，，∴（HL）∴故③正確；取CQ中點(diǎn)E，連接EN∵N是CD中點(diǎn)∴EN是△CDQ的中位線∴∵∴∴，即故④正確；綜上所述，正確的是①②③④故答案為：D．【思路點(diǎn)撥】連接CM、DM，由矩形的性質(zhì)可得AB=CD，根據(jù)線段的中點(diǎn)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，故①正確；可證四邊形AMCN是平行四邊形，可得AN∥MC，根據(jù)SSS證明，可得，故②正確；根據(jù)HL可證明，可得PQ=AQ，故③正確；取CQ中點(diǎn)E，連接EN，可得EN是△CDQ的中位線，可得DQ=2EN，根據(jù)大角對(duì)大邊進(jìn)行判斷即可.9．（2分）（2022八下·港南期中）如圖所示，O為正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于點(diǎn)E，延長BC到F，使FC＝EC，連結(jié)DF交BE的延長線于點(diǎn)H，連結(jié)OH交DC于點(diǎn)G，連結(jié)HC，則下列結(jié)論：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④三角形BDF是直角三角形.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【規(guī)范解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠DCB=∠DCF=90°，∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠CBE=∠CDF，∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，∴∠DEH+∠CDF=90°，∴∠BHD=∠BHF=90°，∵BE平分∠DBC，∴∠HBD=∠HBF，∵BH=BH，∴△BHD≌△BHF（ASA），∴DH=HF，∵O為正方形ABCD的中心，∴OD=OB，∴OH是△DBF的中位線∴OH∥BF，故①正確；∴，∠DOH=∠CBD=45°，∠DGO=∠CGO=∠DCB=90°，連接OC，則∠ODG=∠OCG=45°，∴△OGC≌△OGD（AAS），∴，∴GH是△DCF的中位線，∴，∵CE=CF，∴，∵，∴，故③錯(cuò)誤.∵四邊形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分線，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，，∴∠EBC=∠CDF=22.5°，∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位線，CD⊥BF，∴FH=CH，∴∠HCF=∠HFC=67.5°，∴∠CHF=180°-∠HCF-∠HFC=180°-67.5°-67.5°=45°，故②正確；∵∠DBF=45°，∠DFB=67.5°，∠BDF=∠BDC+∠CDF=67.5°，∴三角形BDF不是直角三角形，故④錯(cuò)誤；故答案為：B.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=DC，∠DCB=∠DCF=90°，證明△BCE≌△DCF，得到∠CBE=∠CDF，易得∠BHD=∠BHF=90°，由角平分線的概念可得∠HBD=∠HBF，證明△BHD≌△BHF，得到DH=HF，推出OH是△DBF的中位線，據(jù)此判斷①；連接OC，證明△OGC≌△OGD，得到DG=CG=CD=BC，推出GH是△DCF的中位線，得到GH=CF，易得GH=CE，據(jù)此判斷③；根據(jù)正方形的性質(zhì)以及角平分線的概念可得BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，則∠CDF=67.5°，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得FH=CH，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠HCF=∠HFC=67.5°，結(jié)合內(nèi)角和定理可判斷②；易得∠DBF=45°，∠DFB=67.5°，∠BDF=67.5°，據(jù)此判斷④.10．（2分）如圖是一個(gè)由5張紙片拼成的，相鄰紙片之間互不重湜也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為，另兩張直角三角形紙片的面積都為，中間一張矩形紙片EFGH的面積為，F(xiàn)H與GE相交于點(diǎn).當(dāng)?shù)拿娣e相等時(shí)，下列結(jié)論一定成立的是（）A．. B． C． D．【答案】A【規(guī)范解答】由題意得，△AED和△BCG是等腰直角三角形，

∴∠ADE=∠DAE=∠BCG=∠GBC=45°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB，

∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF，

∴△AED≌△CGB，△CDH≌△ABF，

∴AE=DE=BG=CG

∵四邊形HEFG是矩形，

∴GH=EF，HE=GF，

設(shè)AE=DE=BG=CG=a，HE=GF=b，GH=EF=c

過點(diǎn)O作OP⊥EF于點(diǎn)P，OQ⊥GF于點(diǎn)Q，如圖所示，

∴OP//HE，OQ//EF

∵點(diǎn)O是矩形HEFG的對(duì)角線交點(diǎn)，即HF和EG的中點(diǎn)，

∴OP，OQ分別是△FHE和△EGF的中位線，

∴

∵

∴即

∵，

∴S1=S2，故選項(xiàng)A符合題意，

∵

∴S1≠S3，故選項(xiàng)B不符合題意，

∵AB=AD，EH=GH都不一定成立，故C、D都不符合題意，

故答案為：A

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)△AED和△BCG是等腰直角三角形，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a，HE=GF，GH=EF，點(diǎn)O是矩形HEFG的中心，設(shè)AE=DE=BG=CG=a，HE=GF=b，GH=EF=c，過點(diǎn)O作OP⊥EF于點(diǎn)P，OQ⊥GF于點(diǎn)Q，可得出OP，OQ分別是△FHE和△EGF的中位線，從而可表示OP，OQ的長，再分別計(jì)算出S1，S2，S3進(jìn)行判斷即可.閱卷人二、填空題(共9題；每題2分，共18分)得分11．（2分）（2022八下·虎林期末）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，在的延長線上取點(diǎn)E，使，連接交于點(diǎn)F，若，則．【答案】3【規(guī)范解答】解：過O作OM∥BC交CD于M，∵在平行四邊形ABCD中，，∴BO＝DO，∴CM＝DM=，∵，∴CE=CM，∵OM∥BC，∴CF是△EMO中位線，即；故答案為：3．

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分和三角形中位線定理求得，再根據(jù)中位線定理求得CF.12．（2分）（2022八下·曲陽期末）已知在中，，點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，連接DE，在DE上有一點(diǎn)F，，連接AF，CF，若，則AB＝．【答案】【規(guī)范解答】解：，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∵點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴故答案為：

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得=3cm，從而求出DE=4cm，根據(jù)三角形的中位線定理可得，繼而得解.13．（2分）（2022八下·撫遠(yuǎn)期末）如圖，是邊長為1的等邊三角形，取邊中點(diǎn)，作，，，分別交，于點(diǎn)，，得到四邊形，它的面積記作；取中點(diǎn)，作，，，分別交，于點(diǎn)，，得到四邊形，它的面積記作……照此規(guī)律作下去，則．【答案】【規(guī)范解答】解：∵△ABC是邊長為1的等邊三角形，∴△ABC的高為：，，∵DE、EF分別是△ABC的中位線，∴，∴，同理可得；…，∴；故答案為：．

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)邊長為1的等邊三角形，解得△ABC的高，求得△ABC的面積，求得、面積，找出規(guī)律即可解得.14．（2分）（2022八下·本溪期末）如圖，，是四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，順次連接，，，，若，則四邊形的周長是．【答案】4【規(guī)范解答】解：點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，、、、分別為、、、的中位線，∵AD=CD=2，，，四邊形的周長．故答案為：．

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，，再利用四邊形的周長公式計(jì)算即可。15．（2分）（2022八下·臨渭期末）如圖，已知△ABC（AB>AC）中，∠BAC=60°，AC=4，D為BC邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn)D的直線DF將△ABC的周長平分且交AB于點(diǎn)F，則DF的長為．【答案】【規(guī)范解答】解：如圖：

延長延長BA至E，使AE=AC=4，取BE的中點(diǎn)F，連接DF，連接CE，過點(diǎn)A作AG⊥CE于點(diǎn)G，

∵D為BC邊上的中點(diǎn)，

∴BD=CD，

∵EF=BF，

∴BD+BF=CD+AE+FA=CD+EF，

∴直線DF將△ABC的周長平分，

∵AE=AC=4，∠BAC=60°，

∴∠ACE=∠E=30°，

∴AG=AE=2，

∴EG=，

∵AE=AC，AG⊥CE，

∴GE=CE，

∵D為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，

∴FD為△BCE的中位線，

∴DF=CE=EG=.

故答案為：.

【思路點(diǎn)撥】延長BA至E，使AE=AC=4，取BE的中點(diǎn)F，連接DF，則直線DF將△ABC的周長平分，連接CE，過點(diǎn)A作AG⊥CE于點(diǎn)G，根據(jù)作圖可知FD為△BCE的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）可求得DF=CE=EG，再用勾股定理求得EG即可.16．（2分）（2022八下·海曙期末）如圖，中，，以AB為邊在三角形外的的對(duì)角線交于點(diǎn)F，AE=2，AB=5，則CF的最大值是．【答案】3.5【規(guī)范解答】解：如圖，取AB中點(diǎn)O，連結(jié)FO，CO，

∵?AEDB，AE=2，AB=5，

∴BD=2，AO=BO=2.5，AF=DF，

∴OF是△ABD的中位線，

∴FO=1，

又∵∠ACB=90°，

∴OC=2.5，

在△FOC中，CF＜FO+OC，

∴當(dāng)F、O、C三點(diǎn)共線時(shí)，CF最大，

∴CFmax=FO+OC=1+2.5=3.5.

故答案為：3.5.【思路點(diǎn)撥】如圖，取AB中點(diǎn)O，連結(jié)FO，CO，由平行四邊形性質(zhì)得BD=2，AO=BO=2.5，AF=DF，可證出OF是△ABD的中位線，即得FO=1，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得OC=2.5，在△FOC中，由三邊關(guān)系得CF＜FO+OC，因此當(dāng)F、O、C三點(diǎn)共線時(shí)，CF最大，求得CF值即可.17．（2分）（2022八下·拱墅期中）如圖，在?中，是對(duì)角線，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，平分，于點(diǎn)，連接已知，，則的長為.【答案】【規(guī)范解答】解：如圖，延長AB、CF交于點(diǎn)H，四邊形ABCD是平行四邊形，，，，平分，，在和中，，≌，，，，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，，，故答案為：.【思路點(diǎn)撥】如圖，延長AB、CF交于點(diǎn)H，由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，由平行線的性質(zhì)可得∠ACD=∠BAC=90°，用勾股定理可求得AC的值，由角平分線定義可得∠BAF=∠CAF，結(jié)合已知用角邊角可證ΔAFH≌ΔAFC，則AC=AH，HF=CF，由線段的構(gòu)成BH=AH-AB可求得BH的值，然后根據(jù)三角形中位線定理得EF=BH可求解.18．（2分）（2022八下·青山期中）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，以P為直角頂點(diǎn)，AP為直角邊作等腰Rt△APE，M為邊AE的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為．【答案】【規(guī)范解答】解：如下圖所示，連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接EC，過點(diǎn)E作ET⊥BC交BC的延長線于T．∵△APE是等腰直角三角形，∴∠APB+∠TPE=90°．∵四邊形ABCD是正方形，ET⊥BC，∴∠ABP=90°，∠PTE=90°．∴∠ABP=∠PTE，∠BAP+∠APB=90°．∴∠BAP=∠TPE．．．∵四邊形ABCD是正方形，．．∴BC-PC=PT-BC，即PB=CT．．∴∠TEC=∠TCE=45°．∵正方形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，∴O是AC的中點(diǎn)，∠DBC=45°．∴∠DBC=∠TCE．．∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，∴OM是△ACE的中位線．∴．∴點(diǎn)M在直線OD上．∵點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是OD．∵正方形ABCD的邊長是6，且AC，BD相交于點(diǎn)O，∴AB=6，AD=6，O是BD的中點(diǎn)．∴．∴．故答案為：．

【思路點(diǎn)撥】連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接EC，過點(diǎn)E作ET⊥BC交BC的延長線于T，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可證得∠APE=90°，AP=PE，利用余角的性質(zhì)可證得∠BAP=∠TPE，利用AAS證明△ABP≌△PTE，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可得到AB=PT，PB=ET；利用正方形的性質(zhì)可得到ABPBC，由此可推出BC=PT，即可得到PB=CT=ET；利用正方形的性質(zhì)可得到點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∠DBC=45°，從而可推出∠DBC=∠TCE，同時(shí)可證得OM是△ACE的中位線，由此可推出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是OD，利用勾股定理求出BD的長，即可得到OD的長.19．（2分）（2021八下·蘇州期末）如圖，在中，，，.將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得，直線DA、BE相交于點(diǎn)F.取BC的中點(diǎn)G，連接GF，則GF長的最大值為cm.【答案】4【規(guī)范解答】解：取的中點(diǎn)，連接、，如圖：是由繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，，，，設(shè)，則，在四邊形中，，在中，，，，，中，，是中位線，，而，當(dāng)、、在一條直線上時(shí)，最大，最大值為，故答案為：4.【思路點(diǎn)撥】取AB的中點(diǎn)H，連接HG，HF，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證得CE=CB，CD=AC，∠BCE=∠ACD，設(shè)∠BCE=∠ACD=α，可表示出∠CBE；再利用四邊形的內(nèi)角和定理可求出∠BFA的度數(shù)，利用勾股定理求出AB的長；利用直角三角形的性質(zhì)可求出HF的長；然后利用三角形的中位線定理可求出HG的長，利用三角形的三邊關(guān)系定理可知當(dāng)點(diǎn)F，H，G在同一直線上時(shí)，F(xiàn)G最大，最大值是HF+HG的長，即可求解.閱卷人三、解答題(共7題；共62分)得分20．（6分）（2022八下·撫遠(yuǎn)期末）如圖，在中，已知，，平分，于點(diǎn)，為中點(diǎn)．求的長．【答案】解：如圖，延長交于點(diǎn)．∵平分，∴．∵，∴．∴．∴，．∴是的中點(diǎn)．∵，，∴．∵為的中點(diǎn)，∴為的中位線．∴．【思路點(diǎn)撥】做輔助線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得是的中點(diǎn)，通過線段的加減可得FC，再根據(jù)中位線定理即可解得DE。21．（7分）（2022八下·房山期末）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．已知：如圖，中，D、E分別是的中點(diǎn)．求證：∥，且．方法一證明：如圖，延長至點(diǎn)F，使，連接．方法二證明：如圖，過點(diǎn)C作∥交的延長線于F．【答案】證明∶方法一：如圖，延長至點(diǎn)F，使，連接．∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，∵∠AED=∠CEF，DE=EF，∴△ADE≌△CFE，∴CF=AD，∠A=∠ECF，∴AB∥CF，即BD∥CF，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD=AD=CF，∴四邊形BCFD為平行四邊形，∴DF=BC，DF∥BC，∵，∴∥，且．方法二：過點(diǎn)C作∥交的延長線于F．∴∠A=∠ECF，∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，∵∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△CFE，∴CF=AD，DE=EF，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD=AD=CF，∵CF∥BD，∴四邊形BCFD為平行四邊形，∴DF=BC，DF∥BC，∵，∴∥，且．【思路點(diǎn)撥】利用平行四邊形的判定方法和性質(zhì)求解即可。22．（6分）（2022八下·威縣期末）如圖，在中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DE上，交BC于點(diǎn)G．（1）（3分）證明：四邊形EFGB是菱形；（2）（3分）若，求DF的長度．【答案】（1）解：∵點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線，

∴，∵，

∴四邊形BEFG是平行四邊形，

∵∠AFB=90°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

∴FE=BE=AB，∴四邊形EFGB是菱形；（2）解：∵點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線，∴DE=BC=×19=

在△ABF中，∵∠AFB=90°，∴AF2+BF2=AB2，

∵AF=5，BF=12，∴AB=13

∴EF=AB=×13=，

∴DF=DE－EF=－=3【思路點(diǎn)撥】（1）利用菱形的判定方法證明求解即可；

（2）先求出DE是△ABC的中位線，再求出AF2+BF2=AB2，最后計(jì)算求解即可。23．（8分）（2022八下·城固期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，連接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)E．（1）（4分）求證：AE垂直平分CD；（2）（4分）若AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長．【答案】（1）證明：∵∠ACD+∠BCD=∠ABC=90°，

∵∠ADC+∠DCB=90°，

∴∠ACD=∠ADC，

∴AC=AD，

∵AE平分∠CAB，

∴AE⊥CD，CE=ED（三線合一），

即AE垂直平分CD；（2）解：∵∠ABC=90°，

∴AB==10，

由（1）得AD=AC=6，

∴BD=AB-AD=4，

∵CE=ED，CF=FB，

∴EF為△BCD的中位線，

∴EF=BD=2.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)余角的性質(zhì)求出∠ACD=∠ADC，得出△ACD為等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，即可證出結(jié)論；

(2)根據(jù)勾股定理先求出AB，再根據(jù)線段的和差關(guān)系求出BD，然后根據(jù)三角形中位線定理求EF長即可.24．（11分）（2022八下·南海期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有長方形OABC，其中點(diǎn)C坐標(biāo)為，，點(diǎn)D是邊OC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線CA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)回答下面的問題：（1）（2分）若點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)，直接寫出．（2）（4分）如圖2，過點(diǎn)P作軸，垂足是點(diǎn)E，若以C、D、E、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）（5分）連接BP，若是等腰三角形，求CP的長度．【答案】（1）（2）解：∵PE⊥x軸，∴PE∥CD，若以C、D、E、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則PE＝CD＝OC＝．∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)絕對(duì)值是，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b（k≠0），把A（3，0）、C（0，）代入得，，解得：，∴直線AC的解析式為，若點(diǎn)P在線段AC上，縱坐標(biāo)是，則，解得：x＝，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；若點(diǎn)P在線段CA的延長線上，縱坐標(biāo)是，則，解得：x＝，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）；（3）解：①當(dāng)PB＝PC時(shí)，如圖：過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，∴∠PQC＝90°，∵PB＝PC，∴點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，∴CQ＝BQ＝BC＝，∵BC∥OA，∴∠PCQ＝∠CAO＝30°，∴PQ＝CQ＝，∴CP＝2PQ＝；②當(dāng)CP＝CB時(shí)，CP＝3；③當(dāng)BP＝BC時(shí)，過點(diǎn)B作BH⊥CP于點(diǎn)H，如圖：∴∠CHB＝90°，CP＝2CH，在Rt△BCH中，∠BCH＝30°，BC＝3，∴BH＝，∴CH＝BH＝，∴CP＝2CH＝．綜上，若△CPB是等腰三角形，CP的長度為：或3或．【規(guī)范解答】解：(1)∵C（0，），∠AOC＝90°，∠CAO＝30°，∴AC＝2OC＝2，∴OA＝＝3，∵點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)，∴PD是△AOC的中位線，∴PD＝OA＝，故答案為：；【思路點(diǎn)撥】（1）先利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AC的長，再利用勾股定理求出OA的長，最后利用中位線的性質(zhì)可得PD的長；

（2）先求出直線AC的解析式，再分兩種情況：①若點(diǎn)P在線段AC上，②若點(diǎn)P在線段CA的延長線上，再分別求解即可；

（3）分三種情況：①當(dāng)PB＝PC時(shí)，②當(dāng)CP＝CB時(shí)，CP＝3；③當(dāng)BP＝BC時(shí)，過點(diǎn)B作BH⊥CP于點(diǎn)H，再分別求解即可。25．（11分）（2022八下·晉中期末）綜合與實(shí)踐：圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，在研究三角形的旋轉(zhuǎn)過程中，發(fā)現(xiàn)下列問題：如圖1，在△ABC中，，，D，E分別為AB，AC邊上一點(diǎn)，連接DE，且，將△ABC繞點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．（1）（2分）觀察猜想：若，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，則DB與EC的數(shù)量關(guān)系為；（2）（4分）類比探究：若，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置，DB，CE相交于點(diǎn)O，猜想DB，CE滿足的位置關(guān)系，并說明理由；（3）（5分）拓展應(yīng)用：如圖4，在