專題02三角函數(shù)值的相關計算與應用（11大題型）

專題02三角函數(shù)值的相關計算與應用（11大題型）【題型目錄】題型一求特殊角的三角函數(shù)值題型二特殊角三角函數(shù)值的混合運算題型三由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀題型四由計算器求銳角三角函數(shù)值題型五根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)題型六已知角度比較三角函數(shù)值的大小題型七根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍題型八利用同角三角函數(shù)關系求值題型九求證同角三角函數(shù)關系式題型十互余兩角三角函數(shù)的關系題型十一三角函數(shù)綜合【知識梳理】知識點1：特殊銳角三角比的值1.特殊銳角的三角比的值30°45°1160°3.通過觀察上面的表格，可以總結出：當090，的正弦值隨著角度的增大而增大，的余弦值隨著角度的增大而減??；的正切值隨著角度的增大而增大，的余切值隨著角度的增大而減?。窘?jīng)典例題一求特殊角的三角函數(shù)值】1．（22·23·杭州·中考真題）如圖，矩形的對角線相交于點．若，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出，推出則有等邊三角形，即，然后運用余切函數(shù)即可解答．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，故D正確．故選：D．【點睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、余切的定義等知識點，求出是解答本題的關鍵．2．（22·23下·婁底·一模）定義一種運算：，例如：當，時，，則的值為()A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，可以計算出的值．【詳解】解：由題意可得，，故選：B．【點睛】本題考查解直角三角形、二次根式的混合運算、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，利用新定義解答．3．（22·23·榆林·三模）如圖，在菱形中，．點分別為四邊的中點，連接，則．

【答案】【分析】連接，如圖所示，由菱形性質(zhì)及三角形中位線的判定與性質(zhì)證得，，在中，．【詳解】解：連接，如圖所示：

在菱形中，，點分別為的中點，，，，在菱形中，，點分別為的中點，，四邊形是平行四邊形，，，，，在中，點分別為菱形的中點，，，，在中，點分別為菱形的中點，，，在菱形中，，則，在中，，，則，故答案為：．【點睛】本題考查利用菱形性質(zhì)求特殊角的三角形函數(shù)值，根據(jù)菱形性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)求出及是解決問題的關鍵．4．（22·23下·二模）小明在計算時，先對題目進行了分析，請你根據(jù)他的思路填空：（1）原式中“”可以轉(zhuǎn)化為，的值為.（2）原式中“”的結果為；（3）原式中“”的結構特征滿足某個乘法公式，該公式為；（4）原式的最終結果為1.【答案】22【分析】（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則，即可求解；（2）根據(jù)求一個數(shù)的立方根，即可求解；（3）根據(jù)完全平方公式進行運算即可；（4）根據(jù)（1）（2）（3）及特殊角的三角函數(shù)值，進行運算，即可解答【詳解】解：（1），故的值為2，故答案為：2；（2），故答案為：2；（3）；（4）【點睛】本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則，求一個數(shù)的立方根，完全平方公式，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的混合運算，熟練掌握和運用各法則是解決本題的關鍵．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中；．【答案】；【分析】分別化簡代數(shù)式和字母的值，再代入計算．【詳解】原式，∵；，∴原式．【點睛】本題考查分式的化簡求值，分母有理化，特殊角三角函數(shù)值，解題的關鍵是先化簡，然后把給定的值代入求解．【經(jīng)典例題二特殊角三角函數(shù)值的混合運算】1．（22·23上·洛陽·期末）下列計算錯誤的個數(shù)是（

）①；；③；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行運算，即可一一判定．【詳解】解：，，，故①錯誤；，故②正確；，故③錯誤；，，，故④正確；綜上分析可知，錯誤的有2個，故B正確．故選：B．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的相關運算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關鍵．2．（22·23上·泰州·階段練習）下列各式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值，代入計算即可．【詳解】A．，此選項不符合題意；B．，，所以，此選項不符合題意；C．，，所以，此選項不符合題意；D．，此選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，掌握特殊銳角三角函數(shù)值是正確解答的前提．3．（2020上·萬州·期中）計算：=．【答案】【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值化簡，然后再計算即可．【詳解】解：===．故答案為．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和實數(shù)的運算，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關鍵．4（2022上·永州·期末）某中學數(shù)學興趣小組在一次課外學習與探究中遇到一些新的數(shù)學符號，他們將其中某些材料摘錄如下：對于三個實數(shù)a，b，c，用表示這三個數(shù)中最大的數(shù)，例如，．請結合上述材料，求．【答案】【分析】根據(jù)定義，計算三角函數(shù)值，比較大小即可求解．【詳解】解：，，，又，，即．故答案為：3．【點睛】本題考查新定義題型，本質(zhì)上是特殊角的三角函數(shù)值及比較實數(shù)大小，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關鍵．5．（上海市閔行區(qū)20232024學年九年級上學期期中數(shù)學試題）計算：【答案】【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值，分別代入計算得出答案．【詳解】解：原式．【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵．【經(jīng)典例題三由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀】1．（22·23上·盤錦·期末）在中，、均為銳角，且，則是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出與的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出、的值即可．【詳解】解：，，，，，，，，在中，，且，是直角三角形．故選：C．【點睛】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解題的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，并充分利用非負數(shù)的性質(zhì)．2．（2017下·蕪湖·一模）在ABC中，，則ABC一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】結合題意，根據(jù)乘方和絕對值的性質(zhì)，得，，從而得，，根據(jù)特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì)，得，；根據(jù)等腰三角形和三角形內(nèi)角和性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】解：∵∴，∴，∴，∴，∴，∴ABC一定是等腰直角三角形故選：D．【點睛】本題考查了絕對值、三角函數(shù)、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握絕對值、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．3．（22·23上·嘉峪關·期末）在中，，則的形狀是．【答案】等邊三角形【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出，，再根據(jù)三角函數(shù)作答．【詳解】∵，∴，，即，，∴，，∴，則一定是等邊三角形，故答案為:等邊三角形．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)，等邊三角形的判定，數(shù)量掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．4．（2021下·孝感·二模）如圖，在四邊形中，連接，，，．若，，則．【答案】【分析】過點C作BD垂線，垂足為E，設BE為x，DE為y，根據(jù)，可得為等腰直角三角形，以及可證，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)列方程求出x、y的值，即可求得BD的值．【詳解】解：如圖：過點C作BD垂線，垂足為E，在中，，，設BE為x，DE為y，則根據(jù)勾股定理可得：，即：，，，，，，，即；根據(jù)，解得：，則，故答案為：．【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)，相似三角形，勾股定理等知識點，根據(jù)相似三角形性質(zhì)以及勾股定理列出方程是解題的關鍵．5．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，在平面坐標系內(nèi)，點，．點為軸上動點，求的最小值．【答案】【分析】取，連接，作，于交軸于，先利用坐標求出線段長，得到，進而得到，推出，，得到，再利用垂線段最短，得到當與重合，與重合時，最短，即為的長，利用三角函數(shù)即可求出答案．【詳解】解：如圖，取，連接，作，于交軸于，，，，，，，，，，，，當與重合，與重合時，最短，最小值即為的長，在中，，的最小值為．【點睛】本題考查了垂線段最短，銳角三角函數(shù)，30度角所對的直角邊等于斜邊一半，學會轉(zhuǎn)化線段是解題關鍵．【經(jīng)典例題四由計算器求銳角三角函數(shù)值】1．（2022·山東東營·模擬預測）若用我們數(shù)學課本上采用的科學計算器進行計算，其按鍵順序及結果如下：2yx3－16＝，按鍵的結果為m；2ndF64－2x2＝，按鍵的結果為n；9ab/c

2

－

cos

60＝，按鍵的結果為k．下列判斷正確的是（

）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k【答案】C【分析】分別計算出m，n，k的值即可得出答案．【詳解】解：m＝23?＝8?4＝4；n＝?22＝4?4＝0；k＝?cos60°＝?＝4；∴m＝k，故選：C．【點睛】本題考查了計算器的使用，注意二次根式的副功能是立方根．2．（2023秋·九年級課時練習）請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按第一題計分．A．若正多邊形的一個內(nèi)角等于140°，則這個正多邊形的邊數(shù)是．B．用科學計算器計算：13××sin14°≈（結果精確到0.1）【答案】911.3【分析】A、首先根據(jù)求出外角度數(shù)，再利用外角和定理求出邊數(shù)；B、利用科學計算器計算可得．【詳解】解：A．∵正多邊形的一個內(nèi)角是140°，∴它的外角是：180°140°=40°，則這個正多邊形的邊數(shù)為：360°÷40°=9．故答案為：9．B.13××sin14°≈13×3.61×0.24≈11.3，故答案為：11.3．【點睛】此題主要考查了多邊形的外角與內(nèi)角和計算器的使用，做此類題目，首先求出正多邊形的外角度數(shù)，再利用外角和定理求出求邊數(shù)．3．（2023秋·九年級課時練習）用計算器求下列各式的值（精確到0.0001）：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)0.7314(2)0.2164(3)0.9041(4)【分析】利用計算器求出結果，根據(jù)有效數(shù)字的概念用四舍五入法取近似數(shù)即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查計算銳角三角函數(shù)值，熟練使用計算器是解題的關鍵．【經(jīng)典例題五根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)】1．（22·23上·西安·階段練習）如圖，點A為反比例函數(shù)圖像上一點，B、C分別在x、y軸上，連接AB與y軸相交于點D，已知，且的面積為2，則k的值為（

）

A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】先根據(jù)，得，根據(jù)同底等高可以得到，即可求得k的值．【詳解】解：連結

，軸，故選C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．2．（22·23下·九江·三模）如圖，已知在拋物線上有一點，軸于B點，連接，將繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后，該三角形的A．B兩點中必有一個頂點落在拋物線上，這個角度是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，設拋物線與y軸的交點為點C，則點C坐標為，再根據(jù)可得當點A與拋物線頂點C重合時滿足題意，再利用銳角三角函數(shù)求得，從而求得旋轉(zhuǎn)角度．【詳解】解：如圖，設拋物線與y軸的交點為點C，則點C坐標為，∵，軸于B點，∴，，，∵，∴，∴，∴將繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)，該三角形的A與拋物線的頂點C重合，故選：B．

【點睛】本題考查拋物線與y軸的交點，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理及銳角三角函數(shù)，根據(jù)拋物線求得頂點坐標，從而確定旋轉(zhuǎn)角度是解題的關鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為的拋物線經(jīng)過點和軸正半軸上的點，．

(1)求這條拋物線的表達式；(2)聯(lián)結，求的度數(shù)；(3)聯(lián)結、、，若在坐標軸上存在一點，使，求點的坐標．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)已知條件求出點的坐標，將，的坐標代入，即可求得、，從而求得拋物線的表達式.（2）應用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出點的坐標，從而求得，進而求得的大小.（3）根據(jù)（2）的結論得出，進而分類討論，即可求解．【詳解】（1）解：∵∴，∵∴，則將，代入得：，解得，∴這條拋物線的表達式為；（2）過點作軸于點，過點作軸于點，∵∴，∴，則∵

∵∴，即，∴，∴.∴.（3）解：∵,∴∵∴，∴，∵∴軸或如圖所示，

當軸時，，當時，，則是等邊三角形，∴，∴，綜上所述，或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，已知特殊角的三角函數(shù)值求角度，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．【經(jīng)典例題六已知角度比較三角函數(shù)值的大小】1．（2019上·淮北·階段練習）已知，那么銳角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)當α=45°時sinα=cosα和正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的增減性即可得出答案．【詳解】解：∵α=45°時sinα=cosα，當α是銳角時sinα隨α的增大而增大，cosα隨α的增大而減小，∴45°＜α＜90°．故選D．【點睛】考查了銳角三角函數(shù)的增減性，當角度在0°～90°間變化時，正弦值隨著角度的增大而增大，余弦值隨著角度的增大而減?。?．（2022上·邵陽·期末）下列說法中正確的是（

）A． B．若為銳角，則C．對于銳角，必有 D．若為銳角，則【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義及性質(zhì)、特殊角三角函數(shù)逐項判斷即可．【詳解】A、，故說法不正確；B、對于任一銳角，這個角的正弦等于它的余角的余弦，即若為銳角，則，故說法正確；C、當β=60°時，，則，故說法不正確；D、當α=45°時，，故說法不正確；故選：B【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)等知識，掌握它們是關鍵．3．（2021春·全國·九年級專題練習）我們知道，銳角的三角函數(shù)值都是隨著銳角的確定而確定、變化而變化的，如圖所示.（1）試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的三角函數(shù)值的變化規(guī)律；（2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試分別比較，，，角的正弦，余弦，正切值的大小.【答案】（1）銳角的正弦值隨著角度的增大而增大，銳角的余弦值隨著角度的增大而減小.銳角的正切值隨著角度的增大面增大；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)概念結合圖中幾個銳角角，就能發(fā)現(xiàn)隨著一個銳角的增大，它的對邊在減小，鄰邊在增大，即可找到正余弦變化規(guī)律（2）根據(jù)（1）中規(guī)律即可【詳解】解：（1）由題圖可知，.∵，，，又∵，且，∴，∴∵，，，又∵，∴，∴．∵，，又∵，，∴.∴.規(guī)律：銳角的正弦值隨著角度的增大而增大，銳角的余弦值隨著角度的增大而減小.銳角的正切值隨著角度的增大面增大.（2）；；.【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的求法以及比較大小，熟練掌握銳角函數(shù)的定義是解題關鍵【經(jīng)典例題七根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍】1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校聯(lián)考開學考試）已知，則銳角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，，，再由余弦函數(shù)值在銳角范圍內(nèi)，隨角度增大而減小即可得到答案【詳解】解：，，由可得，在銳角范圍內(nèi)，余弦函數(shù)值隨著角度的增大而減小，，故選：D．【點睛】本題考查利用特殊角的三角函數(shù)值及余弦函數(shù)的性質(zhì)比較角度大小，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值性質(zhì)是解決問題的關鍵．2．（2022春·九年級課時練習）如圖，在矩形ABCD中，O是對角線AC的中點，E為AD上一點，若，則AB的最大值為．【答案】4【分析】設，則，根據(jù)，，根據(jù)正弦的增減性可得，當最大值，取得最大值，進而即可求解．【詳解】設，則，則過點，則，當點與點重合時，取得最大值，此時最大，則最大，即取得最大值，此時，的最大值為故答案為：4【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正弦的增減性，掌握三角函數(shù)的關系，矩形的性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2022春·九年級單元測試）（1）如圖，銳角的正弦和余弦都隨著銳角的確定而確定，也隨著其變化而變化，試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的正弦值和余弦值的變化規(guī)律；（2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試比較，，，，，這些角的正弦值的大小和余弦值的大??；（3）比較大?。海ㄔ诳崭裉幪顚憽埃肌被颉?gt;”或“=”）若，則___________；若，則__________；若，則__________；（4）利用互余的兩個角的正弦和余弦的關系，比較下列正弦值和余弦值的大?。?，，，．【答案】（1）見解析；（2）；；（3）=，＜，>；（4）【分析】（1）在圖（1）中，令，于點，于點，于點，有，．利用正弦公式求得；依據(jù)余弦公式得到；（2）由（1）得，當角度越大時，正弦值越大；當角度越大時，余弦值越小，即可得到答案；（3）利用概念分別得到、、的正弦值和余弦值，比較即可得到答案；（4）由，，利用（1）的結論解答即可．【詳解】（1）在圖（1）中，令，于點，于點，于點，顯然有：，．∵，，，而．∴．在圖（2）中，中，，，，，∵，∴．即．（2）由（1）得，當角度越大時，正弦值越大；當角度越大時，余弦值越小，∴；．（3）∵，，∴若，則；∵，，∴若，則；∵，，∴若，則．故答案為：=，<，>；（4）∵，，且，∴．【點睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的概念，掌握銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律以及正余弦的轉(zhuǎn)換方法是解題的關鍵．【經(jīng)典例題八利用同角三角函數(shù)關系求值】1．（22·23·婁底·中考真題）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)學九章》一書中，給出了這樣的一個結論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題利用三角函數(shù)間的關系和面積相等進行變形解題即可．【詳解】解：∵，，∴即，，，故選：A．【點睛】本題考查等式利用等式的性質(zhì)解題化簡，熟悉是解題的關鍵．2．（2022下·專題練習）已知，關于角的三角函數(shù)的命題有：①，②，③，④，其中是真命題的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的計算法則以及余弦函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù)的增減性即可作答．【詳解】解：由，得，故①正確；，故②錯誤；由可得，與矛盾，故③錯誤；，故④正確；故選：B．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的計算，掌握相應的考點知識是解答本題的關鍵．3．（2022·湖南湘潭·?？家荒＃┩瑢W們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數(shù)公式：，；，．例：．(1)試仿照例題，求出的值；(2)若已知銳角α滿足條件，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把化為直接代入三角函數(shù)公式計算即可；（2）把化為直接代入三角函數(shù)公式計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，α為銳角，解得，∴．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的應用，屬于新題型，解答本題的關鍵是根據(jù)題目中所給信息結合特殊角的三角函數(shù)值來求解．【經(jīng)典例題九求證同角三角函數(shù)關系式】1．（2021春·九年級課時練習）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記作cotA＝.則下列關系式中不成立的是()A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosAC．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1【答案】D【分析】可根據(jù)同角三角函數(shù)的關系：平方關系；正余弦與正切之間的關系（積的關系）；正切之間的關系進行解答．【詳解】解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得A.tanA?cotA==1，關系式成立；B.sinA=，tanA?cosA==，關系式成立；C.cosA=，cotA?sinA==，關系式成立；D.tan2A+cot2A=≠1，關系式不成立．故選D．【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關系解題關鍵是明確三角函數(shù)的意義，準確進行推理證明．2．（2022春·全國·九年級專題練習）下列結論中（其中，均為銳角），正確的是．（填序號）①；②；③當時，；④．【答案】①③④【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關系及銳角三角函數(shù)的增減性進行判斷即可．【詳解】解：①如圖，在中，∵，，∴，故①正確；②若，則，，∴∴，故②錯誤；③當時，，∴越大，對邊越大，且越接近斜邊，∴越大，∴當時，，故③正確；④∵，，，∴，故④正確．故答案為：①③④．【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關系及銳角三角函數(shù)的增減性，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關鍵．3．（2022春·九年級單元測試）如圖，在中，、、三邊的長分別為、、，則，，．我們不難發(fā)現(xiàn)：，試探求、、之間存在的一般關系，并說明理由．

【答案】；，理由見解析【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根據(jù)題意得出，即可得出．【詳解】存在的一般關系有：，，證明：，，，，，，．【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關系，勾股定理的知識，熟練應用銳角三角函數(shù)關系是解答本題的關鍵．【經(jīng)典例題十互余兩角三角函數(shù)的關系】1．（2022秋·廣西百色·九年級?？计谀┫铝惺阶又?，不成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值的運算以及互余兩角三角函數(shù)的關系對各選項進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，A中式子成立，故不符合題意；如圖，∵，∴∴B中式子成立，故不符合題意；∵，∴∴C中式子成立，故不符合題意；∵，∴，D中式子不成立，故符合題意；故選D．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，互余兩角三角函數(shù)的關系等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與正確的計算．2．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）同學們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數(shù)公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則．【答案】【分析】先根據(jù)求出，把變?yōu)?，然后根?jù)計算即可．【詳解】解：如圖，在中，

∵，∴．∵，∴．∵為銳角，∴．∵∴．故答案為：．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的運算，正確理解所給計算公式是解答本題的關鍵．3．（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題．(1)；；．(2)觀察上述等式，猜想：在中，，都有；(3)如圖④，在中，，，，的對邊分別是，，，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理，證明你的猜想；(4)若，且，求的值．【答案】(1)1，1，1(2)1(3)證明見解析(4)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義，數(shù)形結合，分別得到正弦函數(shù)值與余弦函數(shù)值，代入式子求解即可得到答案；（2）由（1）中運算結果即可得到答案；（3）根據(jù)題意，由勾股定理及三角函數(shù)定義，得到正弦函數(shù)值與余弦函數(shù)值，代入式子求解即可得證；（4）由上述歸納及證明的結論知，結合，根據(jù)完全平方和公式恒等變形，由確定，代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：，，，故答案為：1，1，1；（2）解：由（1）中運算結果即可猜想在中，，都有，故答案為：1；（3）證明：在中，，，，的對邊分別是，，，由勾股定理即可得到，，；（4）解：，，，，．【點睛】本題考查三角函數(shù)計算綜合，涉及三角函數(shù)定義、同角三角函數(shù)關系、勾股定理及三角函數(shù)恒等變形求值，數(shù)形結合，靈活運用三角函數(shù)定義是解決問題的關鍵．【經(jīng)典例題十一三角函數(shù)綜合】1．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形紙片中，E為的中點，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長為（

）

A．3 B． C． D．【答案】D【分析】連接，交于點G，，根據(jù)對稱的性質(zhì)，可得垂直平分，，，根據(jù)E為中點，可證，通過等邊對等角可證明，利用勾股定理求出，再利用三角函數(shù)求出，則根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：連接，交于點G，如圖所示，

由翻折性質(zhì)可得：垂直平分，∴，，∵E為的中點，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了折疊對稱的性質(zhì)、解直角三角形，熟練運用對稱性質(zhì)證明相關線段相等是解題的關鍵．2．（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）如圖，點在正方形的邊上，的平分線交邊于點，連接，如果正方形的面積為12，且，那么的值為．【答案】【分析】過點E作交于點G，證明，根據(jù)正方形的面積求出，然后求出結果即可．【詳解】解：過點E作交于點G，如圖所示：∵四邊形為正方形，∴，，∵，∴，∴，，∴，∵正方形的面積為12，∴，∵，∴．答案：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角函數(shù)的計算，解題的關鍵是作出輔助線，求出．3．（2022秋·江蘇徐州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖（1），中，于點D．由直角三角形邊角關系，可將三角形的面積公式變形為，即三角形的面積等于兩邊之長與夾角正弦值之積的一半

如圖（2），在中，于點D，，，∵，由公式①，得，即：．(1)請證明等式：；(2)請利用結論求出的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】由題意知，，，由，兩邊同時除以得，，代入求解即可；（2）根據(jù)，計算求解即可．【詳解】（1）證明：由題意知，，，∵，兩邊同時除以得，，∴；（2）解：由題意知，；【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的應用．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【重難點訓練】1．（23·24上·廣元·階段練習）在中，，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，設，根據(jù)正切的定義，即可得答案．【詳解】解：由題意，得，故設則，故選：B．【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及勾股定理，設是解題關鍵．2．（23·24上·聊城·階段練習）在中，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意知，，解得，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：∵，∴，，解得，，∴，故選：C．【點睛】本題考查了絕對值的非負性，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，三角形內(nèi)角和定理．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．3．（22·23下·階段練習）如圖，中，，，，，則（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用銳角三角函數(shù)關系分別表示出，的長進而得出答案．【詳解】解：∵，，，，∴，則，而，故，∵，∴，則．故選：C．【點睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確表示出的長是解題關鍵．4．（22·23下·恩施·一模）如圖，在矩形紙片中，E為的中點，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長為（

）

A．3 B． C． D．【答案】D【分析】連接，交于點G，，根據(jù)對稱的性質(zhì)，可得垂直平分，，，根據(jù)E為中點，可證，通過等邊對等角可證明，利用勾股定理求出，再利用三角函數(shù)求出，則根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：連接，交于點G，如圖所示，

由翻折性質(zhì)可得：垂直平分，∴，，∵E為的中點，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了折疊對稱的性質(zhì)、解直角三角形，熟練運用對稱性質(zhì)證明相關線段相等是解題的關鍵．5．（22·23下·西安·模擬預測）如圖，D為邊上一點，且，，，，于點E，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，則，，根據(jù)等腰三角形的判定得出，根據(jù)三角函數(shù)得出，求出x的值即可．【詳解】解：設，則，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，解得：，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)的應用，解題的關鍵是根據(jù)三角函數(shù)列出方程，準確解方程．6．（23·24上·威?！るA段練習）在中，，，，則邊的長為．【答案】或/或【分析】作于，根據(jù)“”，得出，計算出、，根據(jù)勾股定理計算出，當在的內(nèi)部時，；當在的外部時，．分類討論計算即可．【詳解】如下圖，作于，

∵，，∴，在中，，，∴在中，，當在的內(nèi)部時，；當在的外部時，．綜上所述，邊的長為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了三角函數(shù)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握知識點分類討論、計算是解題的關鍵．7．（22·23上·青島·階段練習）如圖（1）中，是一張正方形紙片，，分別為，的中點，沿過點的折痕將翻折，使得點落在（）中上，折痕交于點，那么．

【答案】/度【分析】利用正方形的性質(zhì)和正弦的概念得出，進而根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

，，∵折疊，，．故答案為：．【點睛】本題利用了正方形的性質(zhì)，中點的性質(zhì)，正弦的概念求解，得出是解題的關鍵．8．（22·23下·六安·二模）如圖，過原點，與軸、軸分別交于兩點，已知，則弧的長為．

【答案】【分析】如圖，連接，，過作于，由，可得，，，可得，，，再利用弧長公式進行計算即可．【詳解】解：如圖，連接，，過作于，

∵，∴，，，∴，，∴，，∴的長為；故答案為：【點睛】本題考查的是坐標與圖形，勾股定理的應用，垂徑定理的應用，銳角三角函數(shù)的應用，熟練的求解是解本題的關鍵．9．（22·23下·咸陽·二模）如圖，在中，，，點P是邊上的動點，在邊上截取，連接，則的最小值為．

【答案】【分析】由“”可證，可得，則的最小值為，由勾股定理可求解．【詳解】解：過點C作，并截取，連接，設交于點E，∵，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∴，在中，，∴的最小值為，如圖，過點B作于F，

∴，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關系，勾股定理等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．10．（22·23下·張家口·一模）如圖，矩形紙片中，，，P為邊上一點，將沿折疊，得到．（1）當時，點E落在上；（2）點E，F(xiàn)關于對稱，若，則=．【答案】或【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)正切值求出，再利用正切求出；（2）根據(jù)，得到是等邊三角形，求出，再分當點在上方時，當點在下方時，分別求出答案．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，∴．當點落在上時，，．（2）若，則，∴是等邊三角形，∴，當點在上方時，，則；當點在下方時，，．故答案為：或．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，分類討論，正確掌握各知識點是解題的關鍵．11．（22·23上·哈爾濱·專題練習）如圖，在中，于點D，點E為的中點，與交于點G，點F在邊上．

(1)如圖l，，，求證：；(2)如圖2，，，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)三角形函數(shù)的定義和線段中點定義，得出，證明，得出結果即可；（2）過E作于M，于N，證明，得出，證明，得出，根據(jù)，，得出即可．【詳解】（1）證明：，，∴，為的中點，，，，，，，，∵，∴，∴，，．（2）解：過E作于M，于N，

，，，四邊形內(nèi)角和為，，，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，三角函數(shù)的應用，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相似