專題13直線和圓的位置關(guān)系(原卷版+解析)(重點突圍)

專題13直線和圓的位置關(guān)系考點一直線與圓的位置關(guān)系考點二已知直線與圓的位置關(guān)系求半徑的求值考點三切線的性質(zhì)定理考點四判斷或補全使直線為切線的條件考點五證明某直線是圓的切線考點六應(yīng)用切線長定理求解考點一直線與圓的位置關(guān)系例題：（2022·四川成都·二模）⊙O的直徑為8，圓心O到直線a的距離為4，則直線a與⊙O的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【變式訓(xùn)練】1．（2022·河北承德·九年級期末）在中，，，以A為圓心2.5為半徑作圓．下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線BC與圓O相切B．直線BC與相離C．點B在圓內(nèi)D．點C在圓上2．（2020·全國·九年級期中）已知的直徑為6cm，點O到直線a的距離為，則與直線a的位置關(guān)系是____________．考點二已知直線與圓的位置關(guān)系求半徑的求值例題：（2022·浙江寧波·九年級期末）已知圓與直線有兩個公共點，且圓心到直線的距離為4，則該圓的半徑可能為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇南通·一模）如圖，點D是等腰直角△ABC斜邊AB上一點，點E是BC上一點，AB＝2，DA＝DE，則AD的取值范圍是____．2．（2021·河北·金華中學(xué)九年級階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以點C為圓心，r為半徑的圓與邊AB所在直線相離，則r的取值范圍為_____；若⊙C與AB邊只有一個有公共點，則r的取值范圍為_____．考點三切線的性質(zhì)定理例題：（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖，PA與⊙O相切于點A，PO與⊙O相交于點B，點C在上，且與點A，B不重合，若∠P=26°，則∠C的度數(shù)為_________°．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東德州·九年級期末）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B，C為⊙O上一點，∠ACB=126°，則∠P的度數(shù)為________．2．（2022·湖北鄂州·中考真題）工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計了一個如圖（1）所示的工件槽，其兩個底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若同時具有圖（1）所示的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，則這種鐵球的直徑為（

）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm考點四判斷或補全使直線為切線的條件例題：（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是⊙O的直徑，交⊙O于點，于點，下列說法不正確的是（

）A．若，則是⊙O的切線 B．若，則是⊙O的切線C．若，則是⊙O的切線 D．若是⊙O的切線，則【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，為的直徑，，當(dāng)________時，直線與相切．2．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）在下圖中，是的直徑，要使得直線是的切線，需要添加的一個條件是________．（寫一個條件即可）考點五證明某直線是圓的切線例題：（2022·遼寧盤錦·模擬預(yù)測）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝45°，連接AO并延長交⊙O于點D，連接BD，過點C作CE∥AD與BA的延長線交于點E．(1)求證：CE與⊙O相切；(2)若AD＝4，∠D＝60°，求線段AB，BC的長．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東威海·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，且DC＝AD．過點A作⊙O的切線，過點C作DA的平行線，兩直線交于點F，F(xiàn)C的延長線交AB的延長線于點G．(1)求證：FG與⊙O相切；(2)連接EF，若AF＝2，求EF的長．2．（2022·廣西·中考真題）如圖，在中，，以AC為直徑作交BC于點D，過點D作，垂足為E，延長BA交于點F．(1)求證：DE是的切線(2)若，求的半徑．考點六應(yīng)用切線長定理求解例題：（2022·湖北·武漢一初慧泉中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，是四邊形的內(nèi)切圓，分別切于F，E兩點，若，則的長是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧·黑山縣教師進(jìn)修學(xué)校二模）如圖所示，AB、AC為⊙O的切線，B和C是切點，延長OB到D，使BD＝OB，連接AD．∠DAC＝78°，那么∠AOD等于_____度．2．（2022·天津河?xùn)|·二模）已知是直徑，，分別切于點，．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，延長到點，使，連接，若，求的度數(shù)．一、選擇題1．（2022秋·遼寧沈陽·九年級期末）圓的半徑是，如果圓心與直線的距離是，那么直線和圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷2．（2022秋·甘肅隴南·九年級?？计谀┤鐖D，是的直徑，點在的延長線上，與相切于點，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．3．（2022秋·天津?qū)氎妗ぞ拍昙壭？计谀┤鐖D，為切線，點A為切點，交于點C，點B在上，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2022秋·江西上饒·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，為的直徑，過圓上一點作的切線，交直徑的延長線于點，若，的半徑為，則的長為（）A．1 B．2 C． D．5．（2022秋·河南安陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖，分別切于點A，B，切于點E，且分別交于點C，D，若，則的周長為（）A．5 B．7 C．12 D．10二、填空題6．（2022秋·天津河西·九年級天津市第四十二中學(xué)?？计谀┤鐖D，、是的切線，、是切點，已知，，那么的長為________．7．（2022秋·河南安陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖，是的直徑，是的切線，為切點．若，則___________．8．（2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，與相切于點A，與相交于點B，點C在優(yōu)弧上，且與點A、B不重合，若，則的度數(shù)為_____°．9．（2022秋·河北邢臺·九年級金華中學(xué)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，點為直線上的動點，過點作的切線，切點為，則當(dāng)______時，切線長值最小，最小值為______．10．（2022秋·福建南平·九年級順昌縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直線、相交于點，，半徑為的圓的圓心P在直線上，且與點的距離為，若點以的速度由A向B的方向運動，當(dāng)運動時間為________時，與直線相切．三、解答題11．（2021秋·河南商丘·九年級統(tǒng)考期中）如圖，A、B是上的兩點，過O作的垂線交于C，交于E，交的切線于D．(1)求證：；(2)當(dāng)時，求及的長．12．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在中，是的平分線，O是上一點，以為半徑的經(jīng)過點D．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．13．（2022秋·遼寧沈陽·九年級期末）是的直徑，是上一點，，垂足為，過點作的切線，與的延長線相交于點．(1)如圖1，求證；(2)如圖2，連接，若，求的長．14．（2022秋·湖北恩施·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知為的直徑，分別與相切于點點D是延長線上一點，連接，且．(1)證明：是的切線；(2)若，，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．15．（2022秋·湖北黃岡·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是直徑，點是上一點，，點為延長線上一點，且．(1)求證：是的切線；(2)過點作交于點，的延長線交于點，若的直徑為2，求線段的長．16．（2022秋·廣東廣州·九年級執(zhí)信中學(xué)?？计谀┤鐖D，是的直徑，點D在的延長線上，C、E是上的兩點，，，延長交的延長線于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，求弦的長．17．（2022秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，過點C作的垂線，交的延長線于點E，連接．(1)若平分，求證：是的切線；(2)若是的切線，，求的度數(shù)．18．（2022秋·福建福州·九年級?？计谥校┤鐖D，圓O的直徑，，點P是射線上的一個動點(1)如圖1，求的長；(2)如圖1，若，連接，求證：為圓O的切線；(3)如圖2，連接、點P在運動過程中，求的最小值．專題13直線和圓的位置關(guān)系考點一直線與圓的位置關(guān)系考點二已知直線與圓的位置關(guān)系求半徑的求值考點三切線的性質(zhì)定理考點四判斷或補全使直線為切線的條件考點五證明某直線是圓的切線考點六應(yīng)用切線長定理求解考點一直線與圓的位置關(guān)系例題：（2022·四川成都·二模）⊙O的直徑為8，圓心O到直線a的距離為4，則直線a與⊙O的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵⊙O的直徑是8，∴⊙O的半徑是4，又∵圓心O到直線a的距離是4，∴直線a與⊙O相切．故選：B．【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，當(dāng)d<r時，直線與圓O相交；當(dāng)d=r時，直線與圓O相切；當(dāng)d>r時，直線與圓O相離．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河北承德·九年級期末）在中，，，以A為圓心2.5為半徑作圓．下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線BC與圓O相切B．直線BC與相離C．點B在圓內(nèi)D．點C在圓上【答案】B【解析】【分析】過A點作AH⊥BC于H，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得到BH=CH=BC=4，則利用勾股定理可計算出AH=3，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法對A選項和B選項進(jìn)行判斷；根據(jù)點與圓的位置關(guān)系對C選項和D選項進(jìn)行判斷．【詳解】解：過A點作AH⊥BC于H，如圖，∵AB=AC，∴BH=CH=BC=4，在Rt△ABH中，，∵AH⊥BC，AH=3＞2.5，∴直線BC與⊙A相離，所以A選項不符合題意，B選項符合題意．∵AB=5＞2.5，∴B點在⊙A外，所以C選項不符合題意；∵AC=5＞2.5，∴C點在⊙A外，所以D選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，若直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了點與圓的位置關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)．2．（2020·全國·九年級期中）已知的直徑為6cm，點O到直線a的距離為，則與直線a的位置關(guān)系是____________．【答案】相離【解析】【分析】先求出的半徑，再比較點O到直線a的距離d與圓半徑r大小，根據(jù)當(dāng)d>r，則直線與圓相離，當(dāng)d=r，則直線與圓相切，當(dāng)d<r，則直線與圓相交，所此即可求解．【詳解】解：∵的直徑為6cm，∴的半徑為3cm，∵4cm>3cm，∴與直線a的位置關(guān)系是相離．故答案為：相離【點睛】本題考查直線與圓滿的位置關(guān)系，熟練掌握“設(shè)點O到直線a的距離d，圓半徑r，當(dāng)d>r，則直線與圓相離，當(dāng)d=r，則直線與圓相切，當(dāng)d<r，則直線與圓相交”是解題的關(guān)鍵．考點二已知直線與圓的位置關(guān)系求半徑的求值例題：（2022·浙江寧波·九年級期末）已知圓與直線有兩個公共點，且圓心到直線的距離為4，則該圓的半徑可能為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線和圓相交，則圓心到直線的距離小于圓的半徑，即可得到問題答案．【詳解】解：∵圓與直線有兩個公共點，且圓心到直線的距離為4，∴該圓的半徑＞4，故選：D．【點睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，熟悉直線和圓的位置關(guān)系，圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇南通·一模）如圖，點D是等腰直角△ABC斜邊AB上一點，點E是BC上一點，AB＝2，DA＝DE，則AD的取值范圍是____．【答案】【解析】【分析】以D為圓心，AD的長為半徑畫圓，分BC與圓相交和相切時分情況討論，即可求出．【詳解】以D為圓心，AD的長為半徑畫圓①如圖，當(dāng)圓與BC相切時，DE⊥BC時，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴BD＝DE，∵AB＝2，DA＝DE，∴AD+AD＝2，∴AD＝2﹣2；②如圖，當(dāng)圓與BC相交時，若交點為B或C，則AD＝AB＝1，∴AD的取值范圍是2﹣2≤AD≤1．故答案為：．【點睛】本題考查了圓的作法，圓與直線的位置關(guān)系，圓的相關(guān)性質(zhì)，分情況討論并畫出圖形是解題的關(guān)鍵．2．（2021·河北·金華中學(xué)九年級階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以點C為圓心，r為半徑的圓與邊AB所在直線相離，則r的取值范圍為_____；若⊙C與AB邊只有一個有公共點，則r的取值范圍為_____．【答案】

0<r<

r=【解析】【分析】根據(jù)d＞r時，點在圓外；當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)，可得答案；根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑時直線與圓只有一個公共點．【詳解】解：如圖，作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∵S△ABC=?AC?BC=?AB?CH，∴CH=，∵以點C為圓心，r為半徑的圓與邊AB所在直線相離，∴0<r<；∵以點C為圓心，r為半徑的圓與邊AB所在直線只有一個公共點，∴r=．故答案為：0<r<；r=．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，d＞r時，點在圓外；當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)．考點三切線的性質(zhì)定理例題：（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖，PA與⊙O相切于點A，PO與⊙O相交于點B，點C在上，且與點A，B不重合，若∠P=26°，則∠C的度數(shù)為_________°．【答案】32【解析】【分析】連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求出∠O=64°．再根據(jù)圓周角的定理，求解即可．【詳解】解：連接OA，∵PA與⊙O相切于點A，∴∠PAO=90°，∴∠O=90°-∠P，∵∠P=26°，∴∠O=64°，∴∠C=∠O=32°．故答案為：32．【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是正確利用切線的定理，作出輔助線，求出∠O的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東德州·九年級期末）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B，C為⊙O上一點，∠ACB=126°，則∠P的度數(shù)為________．【答案】72°##72度【解析】【分析】利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADB=54°，再根據(jù)圓周角定理得到∠AOB=108°，接著利用切線的性質(zhì)得到∠OAP=∠OBP=90°，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和計算∠P的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，連接OA，OB，在優(yōu)弧AB上取點D，連接AD，BD，∵∠ACB+∠ADB=180°，∴∠ADB=180°-126°=54°，∴∠AOB=2∠ADB=108°，∵PA、PB分別與⊙O相切于A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠P=180°-∠AOB=180°-108°=72°．故答案為：72°．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理．2．（2022·湖北鄂州·中考真題）工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計了一個如圖（1）所示的工件槽，其兩個底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若同時具有圖（1）所示的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，則這種鐵球的直徑為（

）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm【答案】C【解析】【分析】連接OA，OE，設(shè)OE與AB交于點P，根據(jù)，，得四邊形ABDC是矩形，根據(jù)CD與切于點E，OE為的半徑得，，即，，根據(jù)邊之間的關(guān)系得，，在，由勾股定理得，，進(jìn)行計算可得，即可得這種鐵球的直徑．【詳解】解：如圖所示，連接OA，OE，設(shè)OE與AB交于點P，∵，，，∴四邊形ABDC是矩形，∵CD與切于點E，OE為的半徑，∴，，∴，，∵AB=CD=16cm，∴，∵，在，由勾股定理得，解得，，則這種鐵球的直徑＝，故選C．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．考點四判斷或補全使直線為切線的條件例題：（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是⊙O的直徑，交⊙O于點，于點，下列說法不正確的是（

）A．若，則是⊙O的切線 B．若，則是⊙O的切線C．若，則是⊙O的切線 D．若是⊙O的切線，則【答案】A【分析】根據(jù)AB=AC，連接AD，利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)可以得到點D是BC的中點，OD是△ABC的中位線，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以證明DE是⊙O的切線，可判斷B選項正確；若DE是⊙O的切線，同上法倒推可證明AB=AC，可判斷D選項正確；根據(jù)CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位線，同上可以證明DE是⊙O的切線，可判斷C選項正確；若，沒有理由可證明DE是⊙O的切線．【詳解】解：當(dāng)AB=AC時，如圖：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線，所以B選項正確；當(dāng)DE是⊙O的切線時，如圖：連接AD，∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位線，∴CD∥BD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴AD是線段BC的垂直平分線，∴AB=AC，所以D選項正確；當(dāng)CD=BD時，又AO=BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線，所以C選項正確．若，沒有理由證明DE是⊙O的切線，所以A選項錯誤．故選：A．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，為的直徑，，當(dāng)________時，直線與相切．【答案】1【分析】直線與相切時，，根據(jù)勾股定理即可求出．【詳解】解：當(dāng)時，直線與相切，∴（cm），故答案為：1．【點睛】本題考查了切線的判定，掌握切線的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）在下圖中，是的直徑，要使得直線是的切線，需要添加的一個條件是________．（寫一個條件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【分析】根據(jù)切線的判定條件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加條件：∠ABT=∠ATB=45°即可．【詳解】解：添加條件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圓O的直徑，∴AT是圓O的切線，故答案為：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了圓切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟知圓切線的判定條件是解題的關(guān)鍵．考點五證明某直線是圓的切線例題：（2022·遼寧盤錦·模擬預(yù)測）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝45°，連接AO并延長交⊙O于點D，連接BD，過點C作CE∥AD與BA的延長線交于點E．(1)求證：CE與⊙O相切；(2)若AD＝4，∠D＝60°，求線段AB，BC的長．【答案】(1)見解析(2)線段AB的長為2，線段BC的長為+【解析】【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得∠AOC＝90°，再根據(jù)AD∥EC，可得∠OCE＝90°，從而證明結(jié)論；（2）過點A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圓O的直徑，得∠ABD＝90°，結(jié)合AD＝4，可得到，根據(jù)，知△ABF是等腰直角三角形，進(jìn)而求出，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)，由勾股定理求出CF，即可求解．(1)證明：連接OC，如圖：∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°．∵AD∥EC，∴∠AOC+∠OCE＝180°，∴∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，∵OC為半徑，∴CE是⊙O的切線；(2)解：過點A作AF⊥BC于F，如圖．∵AD是圓O的直徑，∴∠ABD＝90°，∵AD＝4，∠D＝60°，∴∠BAD＝30°，∴，∴．∵∠ABC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴．∵△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，∴，∴，∴．答：線段AB的長為2，線段BC的長為+．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造特殊的直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東威海·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，且DC＝AD．過點A作⊙O的切線，過點C作DA的平行線，兩直線交于點F，F(xiàn)C的延長線交AB的延長線于點G．(1)求證：FG與⊙O相切；(2)連接EF，若AF＝2，求EF的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）連接OC，AC．先證明△ACD為等邊三角形．可得∠ACO=∠OAC=30°．再由FG∥DA，可得∠ACF=∠DAC=60°．從而得到∠OCF=90°．即可求證；（2）根據(jù)AD∥FG，可得∠AGF=∠DAE=30°．再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得FG=2AF=4，．再證得△ADE≌△GCE．可得AE=GE=．然后由勾股定理，即可求解．(1)證明：連接OC，AC．∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE=DE，AD=AC．∵DC=AD，∴DC=AD=AC．∴△ACD為等邊三角形．∴∠D=∠DCA=∠DAC=60°．∴∠AOC=30°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC=30°．∵FG∥DA，∴∠ACF=∠DAC=60°．∴∠OCF=90°．∴OC⊥FG．∵OC為半徑，∴FG與⊙O相切．(2)解∶∵AD∥FG，∴∠AGF=∠DAE=30°．∵AF為⊙O的切線，∴∠FAG=90°，∴FG=2AF=4，∴．在△ADE和△GCE中，∵∠AGF=∠DAE=30°．∠CEG=∠AED，DE=CE，∴△ADE≌△GCE．∴AE=GE=．∴．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，切線的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，切線的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣西·中考真題）如圖，在中，，以AC為直徑作交BC于點D，過點D作，垂足為E，延長BA交于點F．(1)求證：DE是的切線(2)若，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)13【解析】【分析】（1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可；（2）連接CF，證OD是△ABC的中位線，得CF=2DE，再證DE是△FBC的中位線，得CF=2DE,設(shè)AE=2x，DE=3k，則CF=6k，BE=EF=AE+AF=2k+10，AC=BA=EF+AE=4k+10，然后在Rt△ACF中，由勾股定理，得(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，從而求得AC=4k+10=4×4+10=26，即可求得的半徑OA長，即可求解．(1)證明：連接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴ODAB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線．(2)解：連接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴ODAB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位線，∵AC是的直徑，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DECF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位線，∴CF=2DE,∵，∴設(shè)AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13,即的半徑為13．【點睛】本題考查圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的判定與性質(zhì)，證OD是△ABC的中位線，DE是△FBC的中位線是解題的關(guān)鍵．考點六應(yīng)用切線長定理求解例題：（2022·湖北·武漢一初慧泉中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，是四邊形的內(nèi)切圓，分別切于F，E兩點，若，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】作DG⊥BC于點G，連接OC、OE，根據(jù)切線長定理可得CE=CF，OC平分∠ECF，DF=DH，所以O(shè)C垂直平分EF，令OC、EF相交于點M，則EM=FM，設(shè)圓半徑為R，則DG=2R，CG=3，CD=6-R+3-R，根據(jù)勾股定理可求出R，再利用求出EM即可求得EF．【詳解】連接OC，與EF相交于點M，作DG⊥BC于點G，連接OE，設(shè)AD與圓的切點為H，如圖，∵，∴四邊形ABGD是矩形，∴BG=AD=3，CG=BC-BG=6-3=3，∵點E、F、H是切點，∴DF=DH，CF=CE，OC平分∠ECF，∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分線，∴EM=FM，設(shè)圓O半徑為R，則BE=R，DG=2R，，∴CE=CF=6-R，DF=DH=3-R，∵，∴解得：R=2，∴CE=6-2=4，∴，∵，

∴，∴，故選A．【點睛】本題考查了切線長定理，充分利用切線長定理求解相關(guān)線段長度是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧·黑山縣教師進(jìn)修學(xué)校二模）如圖所示，AB、AC為⊙O的切線，B和C是切點，延長OB到D，使BD＝OB，連接AD．∠DAC＝78°，那么∠AOD等于_____度．【答案】64【解析】【分析】由已知條件推導(dǎo)出∠CAO=∠OAB=∠BAD，∠ABD=90°，由此根據(jù)∠DAC=78°，能求出∠AOD的大?。驹斀狻拷猓骸逜B、AC為⊙O的切線，B和C是切點，BD=OB，垂直平分,∠CAO=∠OAB∠OAB=∠BAD，∴∠CAO=∠OAB=∠BAD，∠ABD=90°，∵∠DAC=78°，∴∠BAO=∠DAC=26°，∴∠AOD=90°-26°=64°．故答案為：64．【點睛】本題考查角的大小的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意切線性質(zhì)的靈活運用是解題的關(guān)鍵．2．（2022·天津河?xùn)|·二模）已知是直徑，，分別切于點，．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，延長到點，使，連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)64°(2)63°【解析】【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PCO=∠PBO=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ACO=58°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；（2）連接OP，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，證明PB是OD的垂直平分線，可得∠OPB=∠DPB=∠CPO，進(jìn)而可以解決問題．(1)解∶如圖，連接OC，∵PC，PB分別切OO于點C，B，AB是直徑，∴∠PCO=∠PBO=90°，∵OC=OA，∴∠A=∠ACO=58°，∴∠BOC=∠A+∠ACO=116°，∴∠P=360°-90°-90°-116°=64°；(2)解：如圖，連接OP，∵PC，PB分別切OO于點C，B，AB是直徑，∴∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，∵BD=OB，∴PB是OD的垂直平分線，∴PO=PD，∴∠OPB=∠DPB，∴∠OPB=∠DPB=∠CPO，∵∠DPC=81°，∴∠OPB=∠DPB=∠CPO=27°，∴∠D=90°-27°=63°．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（2022秋·遼寧沈陽·九年級期末）圓的半徑是，如果圓心與直線的距離是，那么直線和圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷【答案】A【分析】先確定圓的半徑為6.5，而圓心到直線的距離為4.5，即圓心O到直線的距離小于圓的半徑，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到直線與圓相交，則直線與圓有兩個交點．【詳解】解：∵圓的半徑為，∵圓心到直線的距離為，∴圓心到直線的距離＜圓的半徑，∴直線與圓相交，故選：A．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，直線和相交?；直線和相切?；當(dāng)直線相離?．2．（2022秋·甘肅隴南·九年級?？计谀┤鐖D，是的直徑，點在的延長線上，與相切于點，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得，利用直角三角形兩銳角互余得，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可得，然后計算即可．【詳解】解：連接，如圖，∵與相切于點，∴，∴，∴，∵，∴，而，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022秋·天津?qū)氎妗ぞ拍昙壭？计谀┤鐖D，為切線，點A為切點，交于點C，點B在上，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理解答即可．【詳解】解：連接，∵為切線，∴，∵，∴，由圓周角定理得，，故選：D．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·江西上饒·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，為的直徑，過圓上一點作的切線，交直徑的延長線于點，若，的半徑為，則的長為（）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)圓周角定理和等腰直角三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】連接，，，是的切線，，是等腰直角三角形，，，，故選：C．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·河南安陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖，分別切于點A，B，切于點E，且分別交于點C，D，若，則的周長為（）A．5 B．7 C．12 D．10【答案】C【分析】根據(jù)切線長定理得到，再根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】解：∵分別切于點A，B，切于點E，，∴，∴的周長，故選：C．【點睛】本題主要考查了切線長定理，熟練掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022秋·天津河西·九年級天津市第四十二中學(xué)校考期末）如圖，、是的切線，、是切點，已知，，那么的長為________．【答案】【分析】由切線長定理得到，，判定是等邊三角形，連接，得到，求出，再利用勾股定理求出即可．【詳解】解：∵、是的切線，、是切點，∴，，∵，∴是等邊三角形，連接，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了切線長定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形角的性質(zhì)，熟記各定理及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·河南安陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖，是的直徑，是的切線，為切點．若，則___________．【答案】##度【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出，再根據(jù)圓周角定理計算，得到答案．【詳解】解：連接，是的切線，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，求得是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，與相切于點A，與相交于點B，點C在優(yōu)弧上，且與點A、B不重合，若，則的度數(shù)為_____°．【答案】38【分析】如圖所示，連接，先由圓周角定理求出，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到，由此即可利用直角三角形兩銳角互余求出答案．【詳解】解；如圖所示，連接，∵，∴，∵與相切于點A，∴，∴，故答案為：38．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·河北邢臺·九年級金華中學(xué)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，點為直線上的動點，過點作的切線，切點為，則當(dāng)______時，切線長值最小，最小值為______．【答案】

【分析】作⊥直線垂足為，作的切線，切點為，在中，，當(dāng)最小時，切線長最小，證明，求得，進(jìn)而勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，作⊥直線垂足為，作的切線，切點為，此時切線長最小，∵的坐標(biāo)為設(shè)直線與軸,軸分別交于，，∴∴∴∴在與中，∴，∴∴故答案為：，【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，根據(jù)題意得出時，最小是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·福建南平·九年級順昌縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直線、相交于點，，半徑為的圓的圓心P在直線上，且與點的距離為，若點以的速度由A向B的方向運動，當(dāng)運動時間為________時，與直線相切．【答案】或【分析】在射線上或在射線上，設(shè)對應(yīng)的圓的圓心分別在M，根據(jù)切線的性質(zhì)，在中，根據(jù)30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得的長，進(jìn)而求得的長，從而求得由P到M移動的時間；根據(jù)，即可求得，也可以求得由P到M移動的時間．【詳解】解：當(dāng)在射線上，設(shè)與相切于點E，P移動到M時，連接．∵與直線相切，∴，∵在中，，，∴，則，∵以的速度沿由A向B的方向移動，∴移動時與直線相切．當(dāng)在射線上時，同理可求移動時與直線相切．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，注意已知圓的切線時，常用的輔助線是連接圓心與切點，本題中注意到分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2021秋·河南商丘·九年級統(tǒng)考期中）如圖，A、B是上的兩點，過O作的垂線交于C，交于E，交的切線于D．(1)求證：；(2)當(dāng)時，求及的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）要證明，只要證明即可，根據(jù)題目中的條件可以得到，結(jié)論得以證明；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和勾股定理可以求得及的長．【詳解】（1）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴設(shè)，則，解得，，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，解答此類題目的關(guān)鍵是明確題目中所要證明的結(jié)論和所要解答的問題，然后根據(jù)數(shù)形結(jié)合和勾股定理的相關(guān)知識解答．12．（2022·上海·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，是的平分線，O是上一點，以為半徑的經(jīng)過點D．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）要證是的切線，只要連接，再證即可．（2）過點D作于點E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，由勾股定理得到的長，再通過證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出的長．【詳解】（1）證明：連接，∵是的平分線，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴是的切線；（2）解：過點D作于點E，∵是的平分線，，∴．在中，，由勾股定理得：，∵，∴．∴．∴．∴．【點睛】本題綜合性較強，既考查了切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理得到的長，及相似三角形的性質(zhì)．13．（2022秋·遼寧沈陽·九年級期末）是的直徑，是上一點，，垂足為，過點作的切線，與的延長線相交于點．(1)如圖1，求證；(2)如圖2，連接，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明，，即可得出；（2）根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)勾股定理分別求出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵是的切線，∴，在和中，，，∴；（2）解：如圖，連接．∵，∴，∵是的直徑，∴°，∴，∴，∴，由勾股定理得：，∵在和中，，，∴，∴，即，解得：．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強，熟練掌握上述知識點，通過證明是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·湖北恩施·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知為的直徑，分別與相切于點點D是延長線上一點，連接，且．(1)證明：是的切線；(2)若，，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．【答案】(1)證明見詳解(2)y【分析】（1）連接，依據(jù)切線的性質(zhì)可知，