2021-2022年上海各區(qū)二模壓軸題分類(lèi)匯編-18題-答案

專(zhuān)題2022年二模分類(lèi)匯編18題專(zhuān)題一圖形的翻折【歷年真題】1．（2022?奉賢區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，點(diǎn)E在邊DC上，聯(lián)結(jié)AE，將矩形沿AE所在直線翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P，聯(lián)結(jié)PE，如果∠CEP＝30°，那么DE的長(zhǎng)度是8﹣4．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）．【專(zhuān)題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱(chēng)；推理能力．【分析】過(guò)點(diǎn)P作MN∥AD，交AB于點(diǎn)N，交CD于點(diǎn)M，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)知AN、PN的長(zhǎng)，從而得出MP的長(zhǎng)，進(jìn)而解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作MN∥AD，交AB于點(diǎn)N，交CD于點(diǎn)M，由題意得：MN⊥CD，MN＝AD＝4，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：DE＝EP，AP＝AD＝4，∠EPA＝∠EDA＝90°，∵∠CEP＝30°，∴∠EPM＝60°，∵∠APN+∠APE+∠EPM＝180°，∴∠APN＝30°，∴AN＝AP?sin30°＝2，PN＝AP?cos30°＝2＝2，∴MP＝MN﹣PN＝4﹣2，∴DE＝EP＝＝8﹣4，故答案為：8﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022?虹口區(qū)二模）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn)，將△BCM沿直線BM翻折，使得點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)E處，聯(lián)結(jié)AE并延長(zhǎng)交射線BM于點(diǎn)F，那么EF的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；正方形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱(chēng)；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】連接CE，交BF于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AF于點(diǎn)N，由翻折和等腰三角形三線合一可得△BNF是等腰直角三角形，∠F＝45°，△EHF是等腰直角三角形，在Rt△BEM中，根據(jù)勾股定理得BM的長(zhǎng)，再根據(jù)面積即可求出EH的長(zhǎng)，從而求解．【解答】解：連接CE，交BF于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AF于點(diǎn)N，由翻折得，BM垂直平分EC，△BEH≌△BCH，∠1＝∠2，∵AB＝BC＝BE＝1，BN⊥AF，∴∠ABN＝∠NBE，∴∠NBE+∠1＝∠ABC＝×90°＝45°，∴△BNF是等腰直角三角形，∠F＝45°，∴△EHF是等腰直角三角形，在Rt△BEM中，BM＝＝＝，∵S△BEM＝BE?EM＝BM?EH，∴×1×＝×EH，∴EH＝，∴EF＝EH＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的三線合一，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)作出輔助線，屬于中考填空題中的壓軸題．3．（2022?嘉定區(qū)二模）在正方形ABCD中，AB＝5，點(diǎn)E在邊BC上，△ABE沿直線AE翻折后點(diǎn)B落到正方形ABCD的內(nèi)部點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BF、CF、DF，如圖，如果∠BFC＝90°，那么DF＝．【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；正方形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】矩形菱形正方形；展開(kāi)與折疊；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】連接EF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，延長(zhǎng)HF交AD于點(diǎn)G，先證明四邊形GHCD是矩形，可得GD＝CH，GH＝CD，根據(jù)翻折可得∠AFE＝∠ABE，BE＝FE，再根據(jù)∠BFC＝90°，可得E是BC的中點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，易證△AGF∽△FHE，可得，設(shè)EH＝m，F(xiàn)H＝n，列二元一次方程組，求出m和n的值，再根據(jù)勾股定理可得DF的長(zhǎng)．【解答】解：連接EF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，延長(zhǎng)HF交AD于點(diǎn)G，如圖所示：∴∠GHC＝90°，在正方形ABCD中，∠BCD＝∠CDA＝90°，∴四邊形GHCD是矩形，∴GH＝CD，GD＝HC，根據(jù)翻折，可得△ABE≌△AFE，∴∠AFE＝∠ABE，BE＝FE，∴∠EBF＝∠EFB，∵∠BFC＝90°，∴∠FBC+∠FCB＝90°，∴∠EFC＝∠ECF，∴FE＝CE，∴BE＝CE，在正方形ABCD中，∠ABE＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC，∴∠AFE＝90°，，∴∠AFG+∠EFH＝90°，∵∠EFH+∠FEH＝90°，∴∠AFG＝∠FEH，∵FH⊥BC，且AD∥BC，∴∠AGF＝∠FHE＝90°，∴△AGF∽△FHE，∴，設(shè)EH＝m，F(xiàn)H＝n，則GF＝2m，AG＝2n，∵EC＝，CH＝，∵GD＝CH，GH＝CD，∴，解得，∴GF＝2m＝3，GD＝＝1，根據(jù)勾股定理，得DF＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，本題綜合性較強(qiáng)，屬于中考?？碱}型．4．（2022?徐匯區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B'DE的位置，B′D交AB于點(diǎn)F，如果△AB′F為直角三角形，那么BE的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；勾股定理．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱(chēng)；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】分兩種情況畫(huà)出圖形，①方法一：如圖1，當(dāng)∠AFB′＝90°時(shí)，由相似三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可求出答案；方法二：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)EH＝3a，BE＝5a，則BH＝4a，由BF的長(zhǎng)列出方程，解方程求出a即可；②方法一如圖2，當(dāng)∠AB′F＝90°時(shí)，由相似三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可求出答案．方法二：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BD于點(diǎn)G，設(shè)EG＝3a，BG＝4a，BE＝5a，得出＝4，求出a的值則可得出答案．【解答】解：①方法一：如圖1，當(dāng)∠AFB′＝90°時(shí)．在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD＝BC＝4，∵∠AFB'＝∠BFD＝90°，∠ACB＝90°，∴∠DFB＝∠ACB，又∵∠DBF＝∠ABC，∴△BDF∽△BAC，∴，即，解得：BF＝，設(shè)BE＝B'E＝x，則EF＝﹣x，∵∠B＝∠FB'E，∴sin∠B＝sin∠FB'E，∴，∴，解得x＝2．∴BE＝2．方法二：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)EH＝3a，BE＝5a，則BH＝4a，∵將△BDE沿直線DE翻折，∴EF＝3a，∴BF＝8a＝BD?cos∠B＝4×，∴a＝，∴BE＝5a＝2；②如圖2中，當(dāng)∠AB′F＝90°時(shí)，連接AD，作EH⊥AB′交AB′的延長(zhǎng)線于H．∵AD＝AD，CD＝DB′，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），∴AC＝AB′＝6，∵將△BDE沿直線DE翻折，∴∠B＝∠DB'E，∵AB'⊥DB'，EH⊥AH，∴DB'∥EH，∴∠DB'E＝∠B'EH，∴∠B＝∠B'EH，∴sin∠B＝sin∠B'EH，設(shè)BE＝x，則B'H＝x，EH＝x，在Rt△AEH中，AH2+EH2＝AE2，∴，解得x＝，∴BE＝．則BE的長(zhǎng)為．方法二：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BD于點(diǎn)G，設(shè)EG＝3a，BG＝4a，BE＝5a，∴DG＝EG×＝a，∵DG+GB＝DB，∴，∴a＝，∴BE＝．故答案為：2或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題．5．（2022?楊浦區(qū)二模）已知鈍角△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝BC，將△ABC沿AO所在直線翻折，得到△AB'C'，聯(lián)結(jié)BB'、CC'，如果BB'：CC'＝4：3，那么tan∠BAC的值為．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；翻折變換（折疊問(wèn)題）；解直角三角形；圓周角定理．【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力．【分析】延長(zhǎng)AO交⊙O于F，設(shè)BB'、CC'交AF于N、E，連接OC，OB，設(shè)BB'＝4x，CC'＝3x，由翻折知AF是BB'、CC'的垂直平分線，則BN＝2x，CE＝，說(shuō)明△BON≌△COM（AAS），得CM＝BN＝2x，則AC＝2CM＝4x，再利用△AMO∽△AEC，可得OM＝，從而解決問(wèn)題．【解答】解：延長(zhǎng)AO交⊙O于F，設(shè)BB'、CC'交AF于N、E，連接OC，OB，如圖，∵BB'：CC'＝4：3，設(shè)BB'＝4x，CC'＝3x，由翻折知AF是BB'、CC'的垂直平分線，∴BN＝2x，CE＝，∵AB＝BC，∴，∴∠AOB＝∠BOC，在△BON和△COM中，∴△BON≌△COM（AAS），∴CM＝BN＝2x，∴AC＝2CM＝4x，∵∠AMO＝∠AEC，∠OAM＝∠CAE，∴△AMO∽△AEC，∴，∴OM＝，在Rt△AOM中，由勾股定理得，（2x）2+（）2＝r2，解得r＝，∴BM＝，∴tan∠BAC＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的外接圓，等腰三角形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)等知識(shí)，運(yùn)用相似表示出OM＝是解題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，屬于中考?jí)狠S題．6．（2022?閔行區(qū)二模）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，將AM沿CM所在的直線翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，A'M⊥AB，且交BC于點(diǎn)D，A'D：DM的值為．【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；直角三角形斜邊上的中線．【專(zhuān)題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱(chēng)；推理能力．【分析】連接AA'，交CM于點(diǎn)P，可設(shè)DM＝a（a＞0），AM＝b（b＞0），由直角三角形斜邊上的中線的定義可得CM是Rt△ABC有斜邊上的中線，可得BM＝CM＝b，AB＝AM+BM＝2b，再由折疊的性質(zhì)可得A'M＝AM，∠AMC＝∠A'MC，AA'⊥CM，從而可求得∠AMC＝45°，則可證得△APM是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，故有CP＝CM﹣MP＝b﹣b＝b，從而可求得AC＝b，再由sinB＝，sinB＝，得，可求得，，即可求解．【解答】解：連接AA'，交CM于點(diǎn)P，如圖，設(shè)DM＝a（a＞0），AM＝b（b＞0），∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∴CM是Rt△ABC有斜邊上的中線，∴CM＝AB，即AM＝BM＝CM，∴BM＝CM＝b，AB＝AM+BM＝2b，∵A'M⊥AB，∴∠A'MB＝∠A'MA＝90°，即∠DMA＝∠DMB＝90°，∴DB＝，∵AM、A'M關(guān)于CM對(duì)稱(chēng)，∴A'M＝AM，∠AMC＝∠A'MC，AA'⊥CM，∴A'M＝b，∴A'D＝A'M﹣DM＝b﹣a．∵∠A'MA＝90°，∴∠AMC+∠A'MC＝90°，∴2∠AMC＝90°，∴∠AMC＝45°，∵AA'⊥CM，∴△APM是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴AP＝MP＝AM＝b，∴CP＝CM﹣MP＝b﹣b＝b，∵AA'⊥CM，∴∠APC＝90°，∴AC＝＝＝，∵b＞0，∴，故AC＝b，∵在Rt△ABC中，sinB＝，在Rt△DMB中，sinB＝，∴，∴，∴，∴＝，故，∴1+＝＝4+2，∴，∵a＞0，b＞0，∴，∴，∴，即A'D：DM的值為．解法二：如圖，∵A'M⊥AB，∴∠AMA'＝∠3＝90°，由翻折得：∠1＝∠2＝∠AMA'＝45°，AM＝A'M，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB的中點(diǎn)，∴AM＝BM＝CM，∴A'M＝BM，∴∠A'＝∠A'BM＝45°，∴∠A'BM＝∠1，∴A'B∥CM，∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查翻折變換（折疊問(wèn)題），解答的關(guān)鍵是明確折疊的過(guò)程中相應(yīng)的邊或角之間的關(guān)系．專(zhuān)題二圖形的旋轉(zhuǎn)【歷年真題】1．（2022?浦東新區(qū)二模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，將△ABC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B恰好落在邊AB上的點(diǎn)D（不與點(diǎn)B重合）處，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，如果DE∥BC，聯(lián)結(jié)AE，那么sin∠EAC的值為．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；解直角三角形；平行線的性質(zhì)．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱(chēng)；幾何直觀．【分析】畫(huà)出圖形，根據(jù)將△ABC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B恰好落在邊AB上的點(diǎn)D，可得∠CDB＝∠B＝∠EDC，又DE∥BC，即可得△DCB是等邊三角形，∠DCB＝60°，從而△ACE是等邊三角形，∠EAC＝60°，即可得sin∠EAC＝．【解答】解：如圖：∵將△ABC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B恰好落在邊AB上的點(diǎn)D，∴BC＝DC，∠EDC＝∠B，AC＝EC，∴∠CDB＝∠B＝∠EDC，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∴∠CDB＝∠B＝∠DCB，∴△DCB是等邊三角形，∠DCB＝60°，∴∠ACE＝90°﹣∠ACD＝∠DCB＝60°，∴△ACE是等邊三角形，∴∠EAC＝60°，∴sin∠EAC＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形中的旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到△DCB，△ACE是等邊三角形．2．（2022?金山區(qū)二模）如圖，菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，把菱形ABCD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形AB'C'D'，其中點(diǎn)B'正好在AC上，那么點(diǎn)C和點(diǎn)C'之間的距離等于．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱(chēng)；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【分析】連接BD交AC于O，由菱形的性質(zhì)得出CD＝AB＝BC＝5，AO＝CO＝4，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD，由直角三角形的性質(zhì)求出OB＝3，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC＝AC′＝8，AB＝AB′＝AD＝AD′＝5，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AC′于E，由sin∠BAC＝sin∠B′AC，求出CE＝，AE＝，求出C′E＝，由勾股定理即可得出結(jié)果．【解答】解：連接BD交AC于O，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝AB＝BC＝5，AO＝CO＝4，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD，AC⊥BD，∴OB＝＝3，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AC＝AC′＝8，AB＝AB′＝AD＝AD′＝5，∠BAC＝∠B′AC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AC′于E，∴sin∠BAC＝sin∠B′AC＝，∴，∴CE＝，∴AE＝＝，∴C′E＝AC′﹣AE＝，∴CC′＝＝．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022?普陀區(qū)二模）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．矩形ABCD繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B、C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)B′、C′、D′，如果點(diǎn)B′恰好落在對(duì)角線BD上，聯(lián)結(jié)DD′，DD'與B′C′交于點(diǎn)E，那么DE＝．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱(chēng)；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，由勾股定理求出BD，根據(jù)三角形ABD的面積求出AF，可求出BF＝B'F＝，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB＝AB'，∠ABC＝∠AB'C'＝90°，AD＝AD'，求出B'D＝，證明△AFB'∽△B'DE，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可求出答案．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，∵AB＝3，BC＝AD＝4，∠ABC＝90°，∴BD＝＝＝5，∵S△ABD＝AB×AD＝BD×AF，∴3×4＝5AF，∴AF＝，∴BF＝＝＝，∵將矩形ABCD繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到矩形AB'C'D'，∴AB＝AB'，∠ABC＝∠AB'C'＝90°，AD＝AD'，∵AF⊥BD，∴BF＝B'F＝，∴B'D＝BD﹣BB'＝5﹣＝，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AB＝AB'，AD＝AD'，∠BAB'＝∠DAD'，∴∠ABD＝∠ADD'，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ADD'+∠ADB＝90°，∵∠AB'F+∠DB'E＝90°，∠DB'E+∠B'ED＝90°，∴∠AB'F＝∠DEB'，∵∠AFB'＝∠B'DE＝90°，∴△AFB'∽△B'DE，∴，∴，∴DE＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求出B'D的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵．4．（2022?長(zhǎng)寧區(qū)二模）如圖，M是Rt△ABC斜邊AB上的中點(diǎn)，將Rt△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)C落在射線CM上的點(diǎn)D處，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，邊ED的延長(zhǎng)線交邊AC于點(diǎn)F．如果BC＝6，AC＝8，那么CF的長(zhǎng)等于．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．【專(zhuān)題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱(chēng)；推理能力．【分析】如圖，連接BF．證明Rt△BFC≌Rt△BFD（HL），推出CF＝DF，證明BF垂直平分線段CD，再證明△ACB∽△BCF，可得＝，即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，連接BF．在Rt△BFC和Rt△BFD中，，∴Rt△BFC≌Rt△BFD（HL），∴CF＝DF，∵BC＝BD，∴BF垂直平分線段CD，∴∠MCB+∠CBF＝90°，∠ACM+∠BCM＝90°，∴∠ACM＝∠CBM，∵∠ACB＝90°，AM＝BM，∴CM＝MA＝MB，∴∠ACM＝∠A，∴∠CBF＝∠A，∵∠ACB＝∠BCF＝90°，∴△ACB∽△BCF，∴＝，∴CF＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題．5．（2022?松江區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3．將矩形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形A'BC′D'，點(diǎn)A、C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'、C′、D′．當(dāng)點(diǎn)A′落在對(duì)角線AC上時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)D′之間的距離是2．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱(chēng)；推理能力．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝A'B，BD＝BD'，∠ABA'＝∠DBD'，由矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)∠BDC＝∠BDD'＝∠BAA'，可得點(diǎn)D，點(diǎn)C，點(diǎn)D'三點(diǎn)共線，即可求解．【解答】解：如圖，連接BD，BD'，DD'，∵將矩形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形A'BC′D'，∴AB＝A'B，BD＝BD'，∠ABA'＝∠DBD'，∴∠BAC＝∠BA'A＝∠BDD'＝∠BD'D，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC＝∠BDD'，∴點(diǎn)D，點(diǎn)C，點(diǎn)D'三點(diǎn)共線，∵BD＝BD'，BC⊥DD'，∴CD＝CD'＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．專(zhuān)題三定義新圖形【歷年真題】1．（2022?靜安區(qū)二模）如圖，∠MON＝30°，點(diǎn)A在OM上，OA＝1，點(diǎn)P在ON上，將∠MON沿AP翻折，設(shè)點(diǎn)O落在點(diǎn)O′處，如果AO′⊥AO，那么OP的長(zhǎng)為+1或﹣1．【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．【專(zhuān)題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱(chēng)；運(yùn)算能力．【分析】連接OO′交直線AP于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥OM于點(diǎn)C，則∠OCP＝∠ACP＝90°，設(shè)OP＝x，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得OAB＝∠OAO′＝45°，OB＝OA?sin∠OAB＝1×＝，然后分兩種情況：若點(diǎn)O′在OM上方，若O′在OM下方，分別根據(jù)解直角三角形與勾股定理即可解答．【解答】解：連接OO′交直線AP于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥OM于點(diǎn)C，則∠OCP＝∠ACP＝90°，設(shè)OP＝x，∵∠MON＝30°，OA＝1，∴PC＝OP＝x，∵點(diǎn)A在OM上，點(diǎn)P在ON上，將∠MON沿AP翻折，點(diǎn)O落在O′處，∴O′與O關(guān)于直線AP對(duì)稱(chēng)，O′A＝OA＝1，∴AP垂直平分OO′，∴O′B＝OB＝OO′，∠OBP＝90°，∴∠OAB＝∠O′AB＝∠OAO′，∵AO′⊥AO，∴∠OAO′＝90°，∴∠OAB＝∠OAO′＝45°，∴OB＝OA?sin∠OAB＝1×＝，若點(diǎn)O′在OM上方，如圖：在Rt△ACP中，AP＝＝x，∴BP＝AB﹣AP＝，在Rt△OBP中，BP2+OB2＝OP2，∴（）＝x2，整理得：x2+2x﹣2＝0，∴x＝﹣1±，∵x＞0，∴x＝﹣1；若O′在OM下方，如圖：∴∠CAP＝∠OAB＝45°，在Rt△ACP中，AP＝＝x，∴BP＝AB+AP＝x，在Rt△OBP中，BP2+OB2＝OP2，∴（）＝x2，整理得：x＝1±，∵x＞1，∴x＝+1，綜上所述，OP的長(zhǎng)為+1或﹣1，故答案為：+1或﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是翻折變換、解直角三角形、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線分情況進(jìn)行討論是解決此題的關(guān)鍵．2．（2022?崇明區(qū)二模）如果三角形一條邊上的中線恰好等于這條邊的長(zhǎng)，那么我們稱(chēng)這個(gè)三角形為“勻稱(chēng)三角形”．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若Rt△ABC是“勻稱(chēng)三角形”，那么BC：AC：AB＝．【考點(diǎn)】勾股定理；三角形的角平分線、中線和高．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí)．【分析】根據(jù)題意做出圖形，設(shè)CD為x，根據(jù)“勻稱(chēng)三角形”的定義求出三角形的各邊長(zhǎng)即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意作圖如下：∵BD＝AC＝2CD，∴∠CBD＝90°，設(shè)CD＝x，則AC＝2x，BC＝x，∴AB＝＝x，∴BC：AC：AB＝：2：，故答案為：：2：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查