第35課時(shí)二次根式考點(diǎn)過(guò)關(guān)易錯(cuò)點(diǎn)警示及能力點(diǎn)拓展

第35課時(shí)二次根式（解析版）核心考點(diǎn)：1.掌握二次根式的概念，理解二次根式的有意義的條件2.能用、解決問(wèn)題一、核心考點(diǎn)過(guò)關(guān)1．（2021秋?臥龍區(qū)期末）若x＜﹣1，則下列二次根式一定有意義的是（）A．x B．x?1 C．x+1 D．1?x【思路引領(lǐng)】根據(jù)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根確定出所求即可．【解答】解：∵x＜﹣1，∴x+1＜0，∴x﹣1＜0，1﹣x＞0，則當(dāng)x＜﹣1時(shí)，1?x有意義．故選：D．【總結(jié)提升】此題考查了二次根式的定義，了解負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根是解本題的關(guān)鍵．2．有下列式子：13，a+1，3a，b2+1，35，A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【思路引領(lǐng)】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，逐一判斷可得答案．【解答】解：a+1，3a中未確定a35?111中被開(kāi)方數(shù)小于0，無(wú)意義，不是二次根式；是二次根式的為13，b2+1，故選：B．【總結(jié)提升】本題主要考查二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的定義：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．3．（2020?豐潤(rùn)區(qū)一模）使得式子x4?x有意義的xA．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4【思路引領(lǐng)】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．【解答】解：使得式子x4?x有意義，則：4﹣x解得：x＜4，即x的取值范圍是：x＜4．故選：D．【總結(jié)提升】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．4．（2022春?敘州區(qū)期中）在函數(shù)y=23x?1中自變量x的取值范圍為x≠【思路引領(lǐng)】根據(jù)分母不為0可得：3x﹣1≠0，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：3x﹣1≠0，解得：x≠1故答案為：x≠1【總結(jié)提升】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，熟練掌握分母不為0是解題的關(guān)鍵．5．（2022春?東港區(qū)期末）代數(shù)式x?1x?3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是x≥1且x≠3【思路引領(lǐng)】根據(jù)二次根式有意義和分式的分母不能為0得出x﹣1≥0且x﹣3≠0，再求出答案即可．【解答】解：∵代數(shù)式x?1x?3∴x﹣1≥0且x﹣3≠0，解得：x≥1且x≠3，故答案為：x≥1且x≠3．【總結(jié)提升】本題考查了二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，注意：①式子a中a≥0，②分式AB的分母B6．（2022春?谷城縣期末）已知二次根式5?a有意義，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥0 B．a(chǎn)≤0 C．a(chǎn)≥5 D．a(chǎn)≤5【思路引領(lǐng)】根據(jù)二次根式有意義，被開(kāi)方數(shù)大于等于0列不等式求解即可．【解答】解：由題意得，5﹣a≥0，解得a≤5．故選：D．【總結(jié)提升】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義．7．（2023春?西城區(qū)校級(jí)期中）下列等式正確的是（）A．(?2)2=?2 B．3?8=?2 C．【思路引領(lǐng)】先利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)化簡(jiǎn)結(jié)果得結(jié)論．【解答】解：A．(?2)2=B．3?8=?2，故選項(xiàng)C．±169=±13≠13，故選項(xiàng)CD．?36沒(méi)有意義，故選項(xiàng)D不正確．故選：B．【總結(jié)提升】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．8．（2020春?萊西市期中）當(dāng)a為實(shí)數(shù)時(shí)，a2=?a，則A．原點(diǎn)的左側(cè) B．原點(diǎn)或原點(diǎn)右側(cè) C．原點(diǎn)的右側(cè) D．原點(diǎn)或原點(diǎn)的左側(cè)【思路引領(lǐng)】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：由題意可知：﹣a≥0，∴a≤0，故選：D．【總結(jié)提升】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．9．（2020?呼倫貝爾）已知實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示，則化簡(jiǎn)|a﹣1|?(a?2A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3【思路引領(lǐng)】根據(jù)數(shù)軸上a點(diǎn)的位置，判斷出（a﹣1）和（a﹣2）的符號(hào)，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．【解答】解：由圖知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．故選：D．【總結(jié)提升】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確得出a﹣1＞0，a﹣2＜0是解題關(guān)鍵．10．若a?b?3與|a+b+1|互為相反數(shù)，求（a+b）5的值是多少？【思路引領(lǐng)】根據(jù)互為相反數(shù)的性質(zhì)和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a，b的值，再進(jìn)一步代入求解．【解答】解：∵a?b?3與|a+b+1|互為相反數(shù)，∴a?b?3+|a+b+1|=0∵a?b?3≥0且|a+b∴a﹣b﹣3＝0且a+b+1＝0．解得a＝1，b＝﹣2．∴（a+b）5＝（1﹣2）5＝（﹣1）5＝﹣1．【總結(jié)提升】此題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、互為相反數(shù)的性質(zhì)．幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0．11．（2021秋?泰興市期中）閱讀：已知，a2=|a|．當(dāng)a＞0時(shí)，a2=a；當(dāng)a＝0時(shí)，a2=例題：若代數(shù)式(2?a)2+(a?4)解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|，當(dāng)a＜2時(shí)，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）；當(dāng)2≤a＜4時(shí)，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立；當(dāng)a≥4時(shí)，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4；所以，a的取值范圍是2≤a≤4．上述解題過(guò)程主要運(yùn)用了分類討論的方法，請(qǐng)你根據(jù)上述理解，解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)2≤a≤5時(shí)，化簡(jiǎn)：(a?5)2+（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足(a?3)2+(a+4)2=7的a（3）若(a+1)2+(a?2)【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案；（2）先將等式的左邊進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后分情況討論即可求出答案；（3）先將等式的左邊進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后分情況討論即可求出答案；【解答】解：（1）∵2≤a≤5，∴a﹣5≤0，2﹣a≥0，∴原式＝|a﹣5|+|2﹣a|＝5﹣a+a﹣2＝3；故答案為：3；（2）由題意可知：|a﹣3|+|a+4|＝7，當(dāng)a＜﹣4時(shí)，a﹣3＜0，a+4＜0，∴原方程化為：3﹣a﹣（a+4）＝﹣2a+7，∴a＜﹣4不符合題意；當(dāng)﹣4≤a≤3時(shí)，a﹣3≤0，a+4＞0，∴原方程化為：3﹣a+（a+4）＝7，∴﹣4≤a≤3符合題意；當(dāng)a＞3時(shí)，a﹣3≥0，a+4＞0，∴原方程化為：a﹣3+（a+4）＝2a+1，∴a≥3不符合題意；綜上所述，﹣4≤a≤3；故答案為：﹣4≤a≤3；（3）原方程可化為：|a+1|+|a﹣2|＝5，當(dāng)a≤﹣1時(shí)，a+1≤0，a﹣2＜0，∴原方程化為：﹣a﹣1+（2﹣a）＝5，解得a＝﹣2；當(dāng)﹣1≤a＜2時(shí)，a+1≥0，a﹣2＜0，∴原方程化為：a﹣1+（2﹣a）＝5，∴此方程無(wú)解，故﹣1≤a＜2不符合題意；當(dāng)a≥2時(shí)，a+1＞0，a﹣2＞0，∴原方程化為：a+1+（a﹣2）＝5，∴a＝3，符合題意；綜上所述，a＝﹣2或a＝3．【總結(jié)提升】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)：熟練掌握二次根式的基本性質(zhì)二、提優(yōu)拔尖訓(xùn)練12．（2022春?荔灣區(qū)期末）若(2a?1)2=1﹣2aA．a(chǎn)＜12 B．a(chǎn)＞12 C．a(chǎn)≤【思路引領(lǐng)】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得(2a?1)2=|2a﹣1|，則|2a﹣1|＝1﹣2a【解答】解：∵(2a?1)2=∴|2a﹣1|＝1﹣2a，∴2a﹣1≤0，∴a≤1故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了二次根式的性質(zhì)：a2=|13．（2014秋?萬(wàn)州區(qū)校級(jí)期中）如果式子?3x+1x2yA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【思路引領(lǐng)】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件可得x＞0，y＞0，進(jìn)而可得點(diǎn)（x，y）在第一象限．【解答】解：由題意得：x＜0，y＞0點(diǎn)（x，y）在第二象限，故選：B．【總結(jié)提升】此題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義，分母不為0；二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．14．（2019春?璧山區(qū)期中）若x、y都是實(shí)數(shù)，且2x?1+1?2x+yA．2 B．±2 C．2 D．不能確定【思路引領(lǐng)】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：由題意得，2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，解得x≥12且x∴x=1y＝4，∴xy=1∴xy的算術(shù)平方根為2．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．15．（2017秋?沂源縣期末）無(wú)論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式x2?6x+m都有意義，則A．m≥9 B．m＞36 C．m≤9 D．m≤6【思路引領(lǐng)】將被開(kāi)方數(shù)配方，再根據(jù)二次根式有意義，被開(kāi)方數(shù)大于等于0進(jìn)行判斷即可．【解答】解：x2∵無(wú)論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式x2∴m﹣9≥0，∴m≥9．故選：A．【總結(jié)提升】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義．16．（2020秋?沈北新區(qū)校級(jí)期末）化簡(jiǎn)1?6x+9xA．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．4【思路引領(lǐng)】由二次根式的非負(fù)性及被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性可得x的范圍，從而可將根號(hào)化簡(jiǎn)掉，從而問(wèn)題可解．【解答】解：由二次根式的非負(fù)性及被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性可得：3x﹣5≥0∴x≥∴1﹣3x＜0∴1?6x+9=(1?3x)2＝3x﹣1﹣3x+5＝4故選：D．【總結(jié)提升】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，明確被開(kāi)方數(shù)的特點(diǎn)，會(huì)利用完全平方公式化簡(jiǎn)，是解題的關(guān)鍵．17．（2021春?江岸區(qū)校級(jí)月考）若化簡(jiǎn)：1?2x+x2?x2A．x為任意實(shí)數(shù) B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4【思路引領(lǐng)】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)已知條件得出1?2x+x2?x2?8x+16=|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1+x【解答】解：1?2x+=(1?x＝|1﹣x|﹣|x﹣4|，∵1?2x+x2?∴|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1+x﹣4＝2x﹣5，∴1﹣x≤0且x﹣4≤0，解得：1≤x≤4，故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，能熟記二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，a2=|a|18．（2012秋?溫州校級(jí)期中）已知m=1+2，n=1?2，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）＝8，則A．﹣5 B．5 C．﹣9 D．9【思路引領(lǐng)】觀察已知等式可知，兩個(gè)括號(hào)里分別有m2﹣2m，n2﹣2n的結(jié)構(gòu)，可由已知m、n的值移項(xiàng)，平方得出m2﹣2m，n2﹣2n的值，代入已知等式即可．【解答】解：由m＝1+2得m﹣1=兩邊平方，得m2﹣2m+1＝2即m2﹣2m＝1，同理得n2﹣2n＝1．又（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）＝8，所以（7+a）（3﹣7）＝8，解得a＝﹣9故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了二次根式的靈活運(yùn)用，直接將m、n的值代入，可能使運(yùn)算復(fù)雜，可以先求部分代數(shù)式的值．19．（2018春?青州市期中）已知實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)代數(shù)式|a|?(a+c)2+(c?a)2?3?b【思路引領(lǐng)】根據(jù)a2=|【解答】解：原式＝|a|﹣|a+c|+|c﹣a|+b，＝a﹣（a+c）+（a﹣c）+b，＝a﹣a﹣c+a﹣c+b，＝a+b﹣2c．故答案為：a+b﹣2c．【總結(jié)提升】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)．20．（2022春?泰來(lái)縣校級(jí)期中）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）4x2﹣20；（2）x2﹣23x+3．【思路引領(lǐng)】（1）先提取公因式，再根據(jù)平方差公式分解因式即可；（2）根據(jù)完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）4x2﹣20＝4（x2﹣5）＝4（x+5）（x?（2）x2﹣23x+3＝x2﹣23x+（3）2＝（x?3）2【總結(jié)提升】本題考查了在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，能熟練掌握因式分解的方法是解此題的關(guān)鍵．21．（2015春?利州區(qū)校級(jí)期中）若x、y為實(shí)數(shù)，且y=x2?4+4?【思路引領(lǐng)】根據(jù)二次根式有意義的得出x，y的值進(jìn)而代入原式求出即可．【解答】解：∵y=x∴x2﹣4＝0，x+2≠0，解得：x＝2，∴y=1∴x+y?x?y=【總結(jié)提升】此題主要考查了二次根式有意義的條件，得出x，y的值是解題關(guān)鍵．22．已知x，y都是實(shí)數(shù)，且滿足y＜x?1+1?x+1【思路引領(lǐng)】根據(jù)x，y都是實(shí)數(shù)，且滿足y＜x?1+1?x+12，可得x【解答】解：∵x，y都是實(shí)數(shù)，且滿足y＜x?1∴x﹣1＝0，∴x＝1，∴y＜1∴1﹣y＞0，∴1y?1?=1=1＝﹣1．【總結(jié)提升】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，二次根式的性質(zhì)，二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．23．（2021秋?寧遠(yuǎn)縣期末）設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，化簡(jiǎn)：(a+b+c)【思路引領(lǐng)】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判定出a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a的符號(hào)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)a，b，c為△ABC的三邊，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，則原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣b﹣a|＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b+c﹣a﹣b＝4c．【總結(jié)提升】此題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，以及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．24．（2022?杭州模擬）已知m=8?2n+2n?8?3，求（m+【思路引領(lǐng)】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0列式求出n，再求出m，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：由題意得，8﹣2n≥0且2n﹣8≥0，解得n≤4且n≥4，∴n＝4，∴m＝﹣3，∴（m+n）2020＝（﹣3+4）2020＝1．【總結(jié)提升】本題考查二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是關(guān)鍵．三、思維拓展訓(xùn)練25．（2018春?五蓮縣期中）若m適合關(guān)系式3x+2y?1?m+2x+3y?m=x?2013+y?2013?x?y，則【思路引領(lǐng)】先根據(jù)二次根式有意義的條件得出x+y的值，再列出關(guān)于x、y、m的三元一次方程組解答即可．【解答】解：根據(jù)題意得：x?2013+y≥02013?x?y≥0則x+y＝2013，即3x+2y?1?m+則x+y=20133x+2y?1?m=0解得x=1007y=1006故m＝5032．故答案為：5032．【總結(jié)提升】考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義．同時(shí)考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．26．（2022春?嵐山區(qū)校級(jí)期中）二次根式a的雙重非負(fù)性是指被開(kāi)方數(shù)a≥0，其化簡(jiǎn)的結(jié)果a≥0，利用a（1）已知a?1+3+b=0，則a+b（2）若x，y為實(shí)數(shù)，且x2=y?5+5?y+9，求（3）已知實(shí)數(shù)m，n（n≠0）滿足|2m﹣4|+|n+2|+(m?3)n2+4＝2m，求【思路引領(lǐng)】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可求a，b的值，從而求得a+b的值為﹣2；（2）利用二次根式有意義的條件，可得y值，進(jìn)而求x值，最終得x+y的值；（3）是上兩個(gè)題目的綜合運(yùn)用，利用（1）（2）可出得m+n的值．【解答】解：（1）∵a?1+且a?1≥0，∴a﹣1＝0，且3+b＝0，∴a＝1，b＝﹣3，∴a+b＝