河北省保定市2023-2024學年高二年級下冊期末調研考試數學試題（含答案解析）

河北省保定市2023-2024學年高二下學期期末調研考試數學試

題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4={x|l—x<0},B={x|幺，則AcB=()

A.^—1,A/2jB.V2,ljC.V2,—D.^1,V2j

2.用數字04,2,3組成三位數，各數位上的數字允許重復，則滿足條件的三位數的個數為

（）

A.12B.24C.48D.64

3.若曲線y=f（x）在X=1處的切線的斜率為-3,則+（）

-Ax

33

A.—6B.—C.—D.6

22

4.為了研究某產品的年研發(fā)費用X（單位：萬元）對年利潤y（單位：萬元）的關系，該

公司統(tǒng)計了最近8年每年投入該產品的年研發(fā)費用與年利潤的數據，根據統(tǒng)計數據的散點

圖可以看出y與龍之間有線性相關關系，設其回歸直線方程為y=bx+a.己知

88

￡占=80,￡%=200萬=2.若該公司對該產品預投入的年研發(fā)費用為25萬元，則預測

Z=1Z=1

年利潤為（）

A.55萬元B.57萬元C.60萬元D.62萬元

5.已知正實數a,b,則“a+b<2”是“a2+b2<2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.要安排4名學生（包括甲）到/,8兩個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，

每個村里至少有1名志愿者，且甲不去/鄉(xiāng)村，則不同的安排方法共有（）

A.7種B.8種C.12種D.14種

7.已知/（x+5）為偶函數，若函數了=卜-5|與y=f（x）圖象的交點為（孫乃），（如為），…，

9

（M，%）,則￡再=（）

i=l

A.45B.-45C.90D.-90

試卷第1頁，共4頁

8.在平面直角坐標系中，如果將函數y=/(x)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉方后，所

得曲線仍然是某個函數的圖象，那么稱/(X)為“旋轉函數”.下列四個函數中“旋轉函數”

的個數為()

①尸-X；②>=/_］；③y=ln(x+l)；@y=Vx+l-l(x>0).

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

9.對于［4-1］的展開式，下列說法正確的是()

A.展開式共有5項B.展開式的各項系數之和為-32

C.展開式中的常數項是15D.展開式的各二項式系數之和為32

10.甲和乙兩個箱子中各裝有10個球，其中甲箱中有5個白球、5個紅球，乙箱中有

8個紅球、2個白球.擲一枚質地均勻的骰子，若點數為5或6,則從甲箱中隨機摸

出1個球不放回；若點數為1,234,則從乙箱中隨機摸出1個球不放回.下列結論正確

的是()

A.擲骰子一次，摸出的是紅球的概率為

B.擲骰子一次，若摸出的是紅球，則該球來自甲箱的概率為1r

C.擲骰子兩次，摸出的2個球都來自甲箱的概率為1

D.擲骰子兩次，摸出2個紅球的概率為提

405

11.已知函數〃x)=(x-ae*)(lnx-ax)恰好有三個零點，分別為x2,當,且再<%<￡，

則下列說法正確的是()

T,

A.x2=e-B.X］,x2,與成等差數列

xln%

C.X］,x2,退成等比數列D..%J

In尤3e

三、填空題

試卷第2頁，共4頁

12.已知函數/(x)的定義域和值域均為[-3,3],則函數g(x)=2/(2x+l)的定義域和

值域分別為.

32

13.已知芯和x2分別是函數/(x)=ox+JC+ax+\的極大值點和極小值點.若

再＞退，則a的取值范圍是.

14.如圖，一只螞蟻從正四面體OABC的頂點O出發(fā)，每一步(均為等可能性的)經過

一條邊到達另一頂點，設該螞蟻經過"步回到點O的概率勺，則鳥=，

四、解答題

15.某校為了解學生閱讀文學名著的情況，隨機抽取了校內200名學生，調查他們一年時間

內的文學名著閱讀的達標情況，所得數據如下表：

閱讀達標閱讀不達標合計

女生7030100

男生4060100

合計11090200

(1)根據上述數據，依據小概率值a=0.001的獨立性檢驗，能否認為閱讀達標情況與性別有

關聯(lián)？

(2)從閱讀不達標的學生中按男、女生人數比例用分層隨機抽樣的方法抽取6人進行座談，

再從這6人中任選2人，記這2人中女生的人數為X,求X的分布列和數學期望.

2n(ad-bc)~

附:”(a+b)(c+d)(a+c/6+t/)其中n=a+b+c+d.

a0.0500.0100.001

試卷第3頁，共4頁

3.8416.63510.828

2

16.已知函數/(X)=FZ+。是奇函數.

⑴求。；

(2)求不等式2［〃切2"㈠)的解集.

17.已知函數/(x)=eJ+mx.

⑴若/(x)在［0,3］上單調遞增，求m的取值范圍；

⑵若機=1且經過點(1,。)只可作/(x)的兩條切線，求a的取值范圍.

18.某校為激發(fā)學生對天文、航天、數字科技三類知識的興趣，舉行了一次知識競賽(三類

題目知識題量占比分別為;，;).甲回答這三類問題中每道題的正確率分別為■!，

2

3,

⑴若甲在該題庫中任選一題作答，求他回答正確的概率.

(2)知識競賽規(guī)則：隨機從題庫中抽取2〃道題目，答對題目數不少于〃道，即可以獲得獎勵.

若以獲得獎勵的概率為依據，甲在〃=5和〃=6之中選其一，則應選擇哪個？

19.若存在實數對任意xe。，使得函數/(X)>K,則稱/(無)在。上被a控制.

⑴已知函數/(x)=3e'+2”在［2,欣)上被a控制，求a的取值范圍.

⑵⑴證明：函數g(x)=2xln(x+l)+Sj在［1,+8)上被1控制.

n—11

(ii)設〃EN*，證明：ln2+ln3+ln4+---+ln(H+l)>-----+---------.

22〃+2

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DCDABAABBDBCD

題號11

答案ACD

1.D

【分析】利用不等式求解兩個集合，再根據兩集合交集的定義解出答案;

【詳角軍】?.，l-X<0,.\X>l,y4={x|X>1},

vx2<2,/.-V2<x<V2,B=^X\-41<X<,

則=M1<工<亞}.

故選：D.

2.C

【分析】先排百位，再排十位、個位，有分步乘法計數原理可得答案.

【詳解】百位數字除0有3個數字可選，十位數字有4個數字可選，

個位數字有4個數字可選，

所以滿足條件的三位數的個數有3x4x4=48個.

故選：C.

3.D

【分析】根據導數的定義和性質即可求解.

【詳解】1向〃1)一"+23=_21皿小一川+2遍=

°Ax-°-2Ax

故選：D

4.A

【分析】根據所給數據求出,然后由d=歹-宸求得&可得回歸方程，再令x=25求出答案.

88

【詳解】???1>，=80,￡.匕=200,

Z=11=1

88

之項Ez-

:.x=-^—=10,y=—=25.

88

a=y—bx=25-2xlO=5.

2關于x的經驗回歸方程為j)=2x+5.

答案第1頁，共12頁

故當x=25時，少=2x25+5=55.

故選:A.

5.B

【分析】充分性舉反例，必要性用均值不等式證明.

【詳解】若a+bV2,取“=：,b=~,則/+/=：>2,即a+bV2不能推出/,

222

故充分性錯誤；

若/+/W2,由均值不等式可知—4歸^^1,所以O+6W2,2個等號取等條件都

a=b=1,

所以W2可以推出。+642,所以必要性正確，所以642是/+從4?必要不充分

條件.

故選：B

6.A

【分析】先將4名學生分為2組，第一種情況2組人數分別為2、2,第二種情況2組人數分

別為1、3,采用特殊元素分析法求解.

【詳解】先把4名學生分成2組，

第一種情況2組人數分別為2、2,

由于甲不去/鄉(xiāng)村，所以從另外3人中選一人和甲一起去8村，有C；種，

第二種情況2組人數分別為1、3,

則可能甲單獨去3村，或者甲與另外2人去2村，有1+C；種，

故共有C；+l+C”7種.

故選：A.

7.A

【分析】根據題意可得函數了=卜-5|與y=/(>)圖象的交點關于直線》=5對稱，由中點公

式可解.

【詳解】因為/'(x+5)為偶函數，所以/■(x+5)=/(-x+5),

即函數y=/(約的圖象關于直線x=5對稱，

答案第2頁，共12頁

又函數歹=|x-5|的圖象關于直線x=5對稱，

所以函數>=k-5|與y=/(%)圖象的交點關于直線x=5對稱，

9

由交點有9個，故兩函數必都過點(5,0),即￡改=5x9=45.

i=l

故選：A

8.B

【分析】根據題意進行分析，再分別進行判斷；

【詳解】由題可知，所給函數的圖象都經過坐標原點，則y=/(x)的圖象與直線y只

能有一個交點；

①N=-x圖象繞坐標原點逆時針旋轉三后所得曲線為仍然是y=tanl5°x的函數的圖象，

故是旋轉函數符合題意；

②y=e*-l在x=0處的切線方程為了=》，貝仃=砂-1的圖象于y=gx有2個交點，不

符合題意；

③y=ln(x+l)在x=0處的切線方程為歹=》，同樣不符合題意；

④>=而1一1卜20)在x=0處的切線方程為〉二3》，符合題意

所以“旋轉函數”的個數有2個；

故選：B.

9.BD

【分析】利用二項式展開式的性質即可求解A,利用賦值法即可求解B,由二項式系數和的

性質即可求解D,根據通項特征即可求解C.

【詳解】對于A,〃=5,故展開式共有6項，A錯誤，

對于B,令x=l,貝=-32,B正確，

lz.\5-5r人5-5r八

對于C,展開式中的通項是C；(-3yJ=q(一3)x2/=0,1,2,3,4,5,令二一=0,

則7=1,故常數項為C；(-3)=-15,C錯誤，

對于D,展開式的二項式系數和為2,=32,D正確，

故選：BD

答案第3頁，共12頁

10.BCD

【分析】根據全概率公式，貝葉斯公式計算概率，判斷各個選項；

21

【詳解】對于A,擲骰子一次，從甲箱摸球的概率為二二7,從甲箱子中摸出紅球的概率為

63

.5=1從乙箱摸球的概率為4從2乙箱子中摸出紅球的概率為'8=4

11247

擲骰子一次，摸出的是紅球的概率為+==故A錯誤；

323510

11

-x—.

對于B,擲骰子一次，若摸出的是紅球，則該球來自甲箱的概率為\2=方，B正確；

10

對于C,擲骰子兩次，摸出的2個球都來自甲箱的概率為=故C正確；

對于D,擲骰子兩次，摸出2個紅球包含三種情況，

11542

擲骰子兩次，摸出的2個球都來自甲箱的概率為彳

33109o1

擲骰子兩次，摸出的2個球都來自乙箱的2概4率2為7=范11|2

1OOCQ

擲骰子兩次，摸出的2個球來自甲、乙兩個箱的概率為C；X§X§XRX詁=石，

擲骰子兩次，摸出2個紅球的概率為專1+崇11?+28=素194，D正確；

故選：BCD.

II.ACD

【分析】將函數“X)的零點問題轉化為方程的解的問題，即問題轉化為直線>與曲線

YInX

y=/和y=下交于三個點，且三個點的橫坐標依次為3，%,當,且無]<%<工3，利用

導數研究兩個函數的單調性和最值，從而逐項判斷.

【詳解】根據題意,/(x)=(x-^)(lnx-ar)=0,

x]nx

即x—ae"=0或lnx—ax=0,所以。=不或。=——，

ex

即問題轉化為直線>與曲線y=2和>=皿交于三個點，

ex

且三個點的橫坐標依次為X],X2,X3,且X]<%<七,

a十Inx/曰,1-lnx/八、

對于y=—,得夕=—二,(尤>0),

XX

InV

當0<x<e時，/>0,即函數y=——單調遞增，

x

答案第4頁，共12頁

當x>e時，y<o,即函數歹=——單調遞減,

當x=e時，函數y=皿取得最大值」，

xe

對于V=三，得了=二^,

ee

Y

當x<i時，y>o,即函數"三單調遞增，

e

V

當x〉i時，y<o,即函數單調遞減，

e

V1

當X=1時，函數y=E取得最大值,，

ee

如圖，作出函數》=2與夕=叱的圖象，

ex

由。=，，可得了2=砥而，由。=——,可得工2=皿”，

%2

ex2a

又-T=W="=?強=量"，且了=之在（0,1）上單調遞增,

VV%2CQ

又0<石<e,0<ln%2<1,所以Xi=ln%2，即/=9，A正確;

Ine'2個=。=電玉，且>=電色在（e,+a）上單調遞減,

eX3x

又1</<e,e”2>e,/>e,所以退二小，即工2=1口%，

故國入3=lnx2，e"2=%,巡=考，則C正確，B錯誤；

a

因為號=。，所以Inx[-西=lna,

e1

xIn—

…3x,Inx,-Inx,Inx.-x,Ina1.

則i~-=-----二=—!-L=—<-,則D正確.

lnx3111X3aae

x3

故選：ACD

【點睛】方法點睛：已知函數有零點（方程有根）求參數值（取值范圍）常用的方法:

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；

（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；

答案第5頁，共12頁

（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫

出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.

12.[-2,1],[—6,6]

【分析】根據抽象函數的定義域的求法及函數值域的概念求解即可.

【詳解】由函數/（x）的定義域和值域均為[-3,3],

所以g（x）=2/（2x+l）要有意義,則需-342X+143*解得-

所以函數g（x）的定義域為卜2,1],

因為一342尤+143,所以一34〃2x+l）43,

所以g（x）=2/（2x+1）e[-6,6],即值域為[-6,6].

故答案為：[-2』，[-6,6]

13.--<a<0

3

【分析】求導，根據導函數與原函數的極值間的關系，即可結合二次函數的性質求解.

【詳解】已知〃x）=a尤3+x2+"+i,函數定義域為R,

可得（尤）=3<zr2+2x+a,

因為占和馬分別是函數/（X）的極大值點和極小值點，

所以用,超是方程/（尤）=3研2+2x+a=0的兩個不等實根，

所以A=4-12/>0,解得一旦”走,

33

又再>工2，所以/''（x）=3辦？+2尤+。為開口向下的二次函數，故a<0,

而當a=0時，原函數只有一個極值點，矛盾，

當a>0時，/（久）在（-叫聲）單調遞增，在（乙,占）單調遞減，在（國,+8）單調遞增，這與題干

矛盾；

故所求范圍是-@<“<o.

3

故答案為：-Y^<a<0.

3

答案第6頁，共12頁

14.

【分析】根據獨立事件的概率乘法公式即可求解空i,根據遞推關系可知優(yōu),-3是公比為

-g的等比數列，由等比數列通項即可求解.

【詳解】由題可知，在1步后螞蟻位于。、B、C、A點的概率分別為0,|

故經過2步回到點O的概率5++

：匕+i=；(1-月)，二匕+i_；=_g(匕一；)，

,數列｛P?~:｝是公比為的等比數列，

又匕一巨/~一一―，即

故答案為：—

15.(1)閱讀達標情況與性別有關聯(lián)

2

(2)分布列見解析，§

【分析】(1)計算/，根據根據小概率值a=0.001作出結論；

(2)由分層抽樣得出男女生人數，再由超幾何分布求出概率，列出分布列，求期望即可.

【詳解】(1)零假設為名：閱讀達標情況與性別無關，

2_200x(70x60-30x40)2

=—V8.182>10.828=r

--100x100x110x90[[U0.0U0Ul1

根據小概率值a=0.001的獨立性檢驗，推斷〃。不成立，

即認為閱讀達標情況與性別有關聯(lián).

(2)由題可知抽取的女生人數為4^X6=2,抽取的男生人數為Y^X6=4,

60+3060+30

則X的可能取值為0,1,2,

尸(X=0)=3=2,尸P(X=2)=4=->

\c；5'C；15I'C115

答案第7頁，共12頁

所以X的分布列如下:

2

3

16.⑴Q=—1

(2)[0,1]

【分析】(1)利用/(。)=0再檢驗即可；

(2)利用奇偶性轉化為求/(x)[2/(x)+l]v0的解集，代入解析式求解即可.

【詳解】(1)因為3工+130,所以/(x)的定義域為xeR,

2?

函數/(x)=Fj+a是奇函數，所以/(0)=支H+“=0,

解得〃=—1,可得/(1)=-—1,

當R肝"、22x3x-3x-l3X-13、+l—2

*時，f(-x\=----------11=-----------------=-------=-----------

八J3-，13X+13X+13"+1

=1-匕=-小)，

所以/■⑺是奇函數，故a=T;

(2)因為/(x)是奇函數,所以〃-無)=-/(無),

由2口(切2得2[/(切2V-7(x),

可得/(x)[2〃x)+l]40,解得一/(x)w0,

-L工一1

12213工+1

即——<-----1<0,可得<

23X+1

——-1<0

解得OWE,

所以不等式2[/卜)了“卜)的解集為[05.

17.(I)m>-1

答案第8頁，共12頁

(2)1<tz<e+1

【分析】(1)/6)20在［0,3］上恒成立，分離參數轉化為函數最值問題.

(2)設切點坐標，寫出切線方程，問題轉化為方程。-1=(2-〃)e"有兩個解的問題，利用

導數研究函數的性質畫出〃(“)=(2-〃)e"圖象即可求解.

【詳解】⑴因為/(x)在［0,3］上單調遞增，所以八久)20在［。，3］上恒成立，

即e*+〃?20n加2-e”在［0,3］恒成立，

設g(x)=-e*,顯然g(x)在［0,3］上單調遞減，

所以g(無)1mx=g(°)=T，所以加出T.

(2)若〃7=1,則/(x)=e*+x,/'(x)=eA+1,

設切點坐標為k,e"+〃)，則切線方程y-(e"+〃)=(e"+l)(x-〃)，

把(L。)代入切線方程得:°_(e"+力=(e"+l)(li)na-l=(2i)e",

設〃(〃)=(2-〃)e",貝V(〃)=(l-〃)e",令〃(“)=0得〃=1,

當”<1時，h'［n)>0,當〃>1時，h'［n)<0,

所以M”)在上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，所以〃(“)2=〃(1)=6,

當-CO時，4⑺=2721f0,當+00時，人(〃)f_8,

e-n

依題意過(1,。)存在兩條切線，即方程"l=(2-〃)e"有兩解，根據M”)的圖象可得：

18.⑴萬

答案第9頁，共12頁

(2)選〃=5

【分析】(1)根據題意，由全概率公式即可得到結果；

(2)當〃=5時，X為甲答對題目的數量，則不~8(10,0),求出概率，當〃=6時，分情況

分析，求出概率，再比較大小.

【詳解】(1)設所選的題目為天文、航天、數字科技相關知識的題目分別為事件4,4,4,

所選的題目回答正確為事件B,

則尸(8)=網4)尸但4)+尸(4)尸修|4)+尸(4)尸(到4)

1211121

二—X—H——X—-1——X—二—,

4323432

所以該同學在該題庫中任選一題作答，他回答正確的概率為:；

(2)當"=5時，X為甲答對題目的數量，則》~2(10,0,

故當〃=5時，甲獲獎勵的概率q=P(X=5)+尸(X?6),

當〃=6時，甲獲獎勵的情況可以分為如下情況：

①前10題答對題目的數量大于等于6,

②前10題答對題目的數量等于5,且最后2題至少答對1題，

③前10題答對題目的數量等于4,且最后2題全部答對，

故當〃=6時，甲獲獎勵的概率

P2=P(X>6)+P(X=5)X1一(r=4>L

31

=P(X26)+/(X=5)+/值=4),

=-9(x=5)=:q：&J一叱&]<0,即6<片,

所以甲應選〃=5.

19.(l)(-oo,3e3)

(2)⑴證明見解析；(ii)證明見解析.

【分析】(1)根據概念即求尸(x)=f(x)-辦>0在[2