2024年新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)十對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)含解析

PAGEPAGE5課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)(十)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)A級(jí)——基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．已知a＝log23，b＝log25，則log415＝()A．2a＋2b B．a(chǎn)＋C．a(chǎn)b D．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b解析：Dlog415＝eq\f(1,2)log215＝eq\f(1,2)(log23＋log25)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故選D．2．(2024·T8聯(lián)考)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝2x的圖象關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)，g(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)＝f(x)－x，則g(－8)＝()A．－5 B．－6C．5 D．6解析：C由已知，函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝2x互為反函數(shù)，則f(x)＝log2x．由題設(shè)，當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)＝log2x－x，則g(8)＝log28－8＝3－8＝－5．因?yàn)間(x)為奇函數(shù)，所以g(－8)＝－g(8)＝5，故選C．3．已知函數(shù)f(x)＝lneq\f(x－1,x＋1)＋asinx＋2，且f(m)＝5，則f(－m)＝()A．－5 B．－3C．－1 D．3解析：C依據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝lneq\f(x－1,x＋1)＋asinx＋2，則f(－x)＝lneq\f(－x－1,－x＋1)＋asin(－x)＋2＝－lneq\f(x－1,x＋1)－asinx＋2，則有f(x)＋f(－x)＝4，故f(m)＋f(－m)＝4，若f(m)＝5，則f(－m)＝－1，故選C．4．2020年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球土壤樣品，在預(yù)定區(qū)域平安著陸．嫦娥五號(hào)是運(yùn)用長(zhǎng)征五號(hào)火箭放射勝利的，在不考慮空氣阻力的狀況下，火箭的最大速度v(單位：m/s)和燃料的質(zhì)量M(單位：kg)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(單位：kg)的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))．假如火箭的最大速度達(dá)到12km/s，則燃料的質(zhì)量與火箭的質(zhì)量的關(guān)系是()A．M＝e6m B．Mm＝e6C．lnM＋lnm＝6 D．eq\f(M,m)＝e6－1解析：D依題意可知v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝12000，可得lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝6，即1＋eq\f(M,m)＝e6，可得eq\f(M,m)＝e6－1．假如火箭的最大速度達(dá)到12km/s，則燃料的質(zhì)量與火箭的質(zhì)量的關(guān)系是eq\f(M,m)＝e6－1．故選D．5．若函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象大致是()解析：D由f(x)的圖象可知0<a<1,0<b<1，∴g(x)的圖象應(yīng)為D．6．(多選)已知函數(shù)f(x)＝log2x的定義域是[4,8]，則下列函數(shù)中與f(x)值域相同的函數(shù)是()A．y＝f(x)＋1 B．y＝f(x＋1)C．y＝－f(x) D．y＝|f(x)|解析：BD函數(shù)f(x)＝log2x在[4,8]單調(diào)遞增，f(4)＝log24＝2，f(8)＝log28＝3，所以f(x)值域?yàn)閇2,3]．對(duì)于選項(xiàng)A：y＝f(x)＋1值域?yàn)閇3,4]，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閒(x)＝log2x的定義域是[4,8]，所以4≤x＋1≤8，可得3≤x≤7，f(x＋1)＝log2(x＋1)∈[2,3]，所以y＝f(x＋1)值域?yàn)閇2,3]，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：y＝－f(x)值域?yàn)閇－3，－2]，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：y＝|f(x)|的值域?yàn)閇2,3]，故選項(xiàng)D正確．故選B、D．7．(多選)關(guān)于函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(3－x)，下列結(jié)論正確的是()A．f(x)在(－1,3)上單調(diào)遞增B．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)C．y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)D．f(x)的值域?yàn)镽解析：ACD函數(shù)f(x)的定義域是(－1,3)，f(x)＝lneq\f(x＋1,3－x)．令t(x)＝eq\f(x＋1,3－x)＝eq\f(－4,x－3)－1(x≠3)，易知t(x)在(－1,3)上單調(diào)遞增，所以t(x)>t(－1)＝0，所以f(x)＝lnt(x)在(－1,3)上單調(diào)遞增，且值域?yàn)镽．故A、D正確．當(dāng)x∈(－2,2)時(shí)，1＋x∈(－1,3)，1－x∈(－1,3)，f(1＋x)＝lneq\f(2＋x,2－x)，f(1－x)＝lneq\f(2－x,2＋x)，所以f(1＋x)＝－f(1－x)，f(1＋x)≠f(1－x)．所以y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)．故B錯(cuò)誤，C正確．故選A、C、D．8．(2024·石家莊模擬)已知a>0，且a≠1，函數(shù)y＝loga(2x－3)＋eq\r(2)的圖象恒過(guò)點(diǎn)P．若點(diǎn)P也在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)＝________．解析：設(shè)冪函數(shù)為f(x)＝xα，因?yàn)楹瘮?shù)y＝loga(2x－3)＋eq\r(2)的圖象恒過(guò)點(diǎn)P(2，eq\r(2))，則2α＝eq\r(2)，所以α＝eq\f(1,2)，故冪函數(shù)為f(x)＝x．答案：x9．函數(shù)f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2>0，,4－x>0，))得－2<x<4，因此函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－2,4)．f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)＝ln(－x2＋2x＋8)＝ln[－(x－1)2＋9]，設(shè)u＝－(x－1)2＋9，又y＝lnu是增函數(shù)，u＝－(x－1)2＋9在(1,4)上是減函數(shù)，因此f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,4)．答案：(1,4)10．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若－1<f(1)<1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，由題意知f(－x)＝loga(－x＋1)，又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)．∴當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝loga(－x＋1)，∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax＋1，x≥0，,loga－x＋1，x<0))(a>0，且a≠1)．(2)∵－1<f(1)<1，∴－1<loga2<1，∴l(xiāng)ogaeq\f(1,a)<loga2<logaa．①當(dāng)a>1時(shí)，原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<2，,a>2，))解得a>2；②當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>2，,a<2，))解得0<a<eq\f(1,2)．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)．B級(jí)——綜合應(yīng)用11．已知函數(shù)f(x)＝|log2x|，當(dāng)0<m<n時(shí)，f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值為2，則eq\f(n,m)＝()A．2 B．eq\f(5,2)C．3 D．4解析：D如圖所示，依據(jù)函數(shù)f(x)＝|log2x|的圖象，得0<m<1<n，所以0<m2<m<1．結(jié)合函數(shù)圖象，易知當(dāng)x＝m2時(shí)f(x)在[m2，n]上取得最大值，所以f(m2)＝|log2m2|＝2，又0<m<1，所以m＝eq\f(1,2)，再結(jié)合f(m)＝f(n)，可得n＝2，所以eq\f(n,m)＝4．故選D．12．(多選)函數(shù)f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是減函數(shù)，那么()A．f(x)在(1，＋∞)上遞增且無(wú)最大值B．f(x)在(1，＋∞)上遞減且無(wú)最小值C．f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)D．?a＝2020，滿(mǎn)意f(x)在(0,1)上是減函數(shù)解析：ACD由題意，函數(shù)f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是減函數(shù)，即f(x)＝loga(1－x)在(0,1)上是減函數(shù)，因?yàn)閥＝1－x是減函數(shù)，依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得a>1，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＝loga|x－1|＝loga(x－1)，因?yàn)閥＝x－1是增函數(shù)，依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，且無(wú)最大值，所以A正確，B錯(cuò)誤；又由f(2－x)＝loga|2－x－1|＝loga|x－1|＝f(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，所以C正確；由a>1可知，當(dāng)a＝2020時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，所以D正確．故選A、C、D．13．(2024·泰安一模)已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)意：①定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域?yàn)镽；③f(－x)＝f(x)．寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)意上述條件的函數(shù)f(x)＝________．解析：f(x)＝ln|x|的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，值域?yàn)镽，且f(－x)＝ln|－x|＝ln|x|＝f(x)，因此f(x)＝ln|x|符合題意．答案：ln|x|(答案不唯一)14．(2024·本溪高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．(1)當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，并且最大值為1？假如存在，試求出a的值；假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)∵a>0且a≠1，設(shè)t(x)＝3－ax，則t(x)＝3－ax為減函數(shù)，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，t(x)的最小值為3－2a∵當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)恒有意義，即x∈[0,2]時(shí)，3－ax>0恒成立．∴3－2a>0，∴a<eq\f(3,2)．又a>0且a≠1，∴0<a<1或1<a<eq\f(3,2)，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))．(2)由(1)知函數(shù)t(x)＝3－ax為減函數(shù)．∵f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，∴y＝logat在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，∴a>1，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，t(x)的最小值為3－2a，f(x)的最大值為f(1)＝loga(3－a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,loga3－a＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(3,2)，,a＝\f(3,2).))故不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，并且最大值為1．C級(jí)——遷移創(chuàng)新15．設(shè)實(shí)數(shù)a，b是關(guān)于x的方程|lgx|＝c的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，且a<b<10，則abc的取值范圍是________．解析：由題意知，在(0,10)上，函數(shù)y＝|lgx|的圖象和直線(xiàn)y＝c有兩個(gè)不同交點(diǎn)(如圖)，∴－lga＝lgb．即ab＝1,0<c<lg10＝1，∴abc的取值范圍是(0,1)．答案：(0,1)16．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若滿(mǎn)意①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a，b]?D使f(x)在[a，b]上的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)))，那么就稱(chēng)y＝f(x)為“半保值函數(shù)”，若函數(shù)f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函數(shù)”，求t的取值范圍．解：∵函數(shù)f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函數(shù)”，且定義域?yàn)镽，當(dāng)a＞1時(shí)，z＝ax＋t2在R上單調(diào)遞增，y＝log