吉林省通化市通化縣綜合高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理含解析

PAGE吉林省通化市通化縣綜合高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理（含解析）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A.3 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆依據(jù)復(fù)數(shù)的概念得到答案.【詳解】復(fù)數(shù)的虛部是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的虛部，屬于簡(jiǎn)潔題.2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】計(jì)算共軛復(fù)數(shù)得到，再推斷對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到答案.【詳解】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，意在考查學(xué)生對(duì)于復(fù)數(shù)概念的駕馭狀況.3.（）A.4 B.2 C.0 D.-4【答案】A【解析】【分析】干脆利用微積分基本定理計(jì)算得到答案.【詳解】.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.4.用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于的自然數(shù)都成立時(shí)，證明中的起始值最小應(yīng)取（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】取時(shí)，，解除AB，驗(yàn)證和滿意，解除D，得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解除AB，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故和滿意，解除D.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生的理解實(shí)力和推斷實(shí)力.5.曲線在處的切線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,當(dāng)x=0時(shí)，y’=2,即切線的斜率為2，通過(guò)選項(xiàng)可看出C符合題意故選C6.三角形外角和為，四邊形外角和為，五邊形外角和為．由此推斷平面多邊形外角和均為．此推理屬于（）A.演繹推理 B.歸納推理 C.類比推理 D.以上都不對(duì)【答案】B【解析】【分析】干脆利用歸納推理的定義得到答案.【詳解】歸納推理是由特別到一般的推理過(guò)程，依據(jù)題意知屬于歸納推理.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理，屬于簡(jiǎn)潔題.7.的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)計(jì)算解得答案【詳解】，則，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.8.的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值得到答案【詳解】，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.9.設(shè)為隨意正數(shù)．則這三個(gè)數(shù)（）A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一個(gè)不小于2 D.至少有一個(gè)不大于2【答案】C【解析】【分析】假設(shè)三個(gè)數(shù)均小于2，利用均值不等式得到，得出沖突，得到答案.【詳解】假設(shè)三個(gè)數(shù)均小于2，即，故，而，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，這與沖突，故假設(shè)不成立，故至少有一個(gè)不小于2，C正確；取，計(jì)算解除BD；取，計(jì)算解除A.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了反證法，意在考查學(xué)生的推斷實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，均值不等式的敏捷運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.10.（）A.4 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，變換得到的幾何意義為圖中陰影面積，計(jì)算面積得到答案.【詳解】設(shè)，則，其中，.的幾何意義為圖中陰影面積，設(shè)，易知，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的幾何意義，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化實(shí)力.第Ⅱ卷（非選擇題共60分）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．11.若復(fù)數(shù)滿意．則=______．【答案】【解析】【分析】干脆利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算得到答案.【詳解】，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)潔題.12.的微小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到函數(shù)的微小值為，計(jì)算得到答案.【詳解】，則，當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)微小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求極值，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.13.數(shù)列滿意，，通過(guò)計(jì)算猜想______．【答案】【解析】【分析】依次求出即可猜想出.【詳解】因?yàn)?，，所以，，故猜想故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查的是由數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，較簡(jiǎn)潔.14.在空間中直線AB和CD是異面直線，則直線AC和BD的位置關(guān)系為_(kāi)_____．【答案】異面【解析】【分析】由已知可得A、B、C、D四點(diǎn)不在任何同一平面內(nèi)，進(jìn)而依據(jù)異面直線的定義可得答案.【詳解】若AB和CD是異面直線，則A、B、C、D四點(diǎn)不在任何同一平面內(nèi)，故直線AC和BD肯定是異面直線.故答案為：異面.【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問(wèn)點(diǎn)是異面直線的判定，其中依據(jù)已知分析出A、B、C、D四點(diǎn)不在任何同一平面內(nèi)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15.在等差數(shù)列中，若正整數(shù)滿意，則．類比這一結(jié)論寫(xiě)出在等比數(shù)列的一個(gè)相應(yīng)結(jié)論：若，則_______________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)“等差數(shù)列中兩項(xiàng)之和”類比“等比數(shù)中為兩項(xiàng)之積”，即可求解.【詳解】由題意，在等差數(shù)列中，，，若，可得，“等差數(shù)列中兩項(xiàng)之和”類比“等比數(shù)中為兩項(xiàng)之積”，所以在等比數(shù)列中，則正整數(shù)滿意，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了類比推理的應(yīng)用，對(duì)于類比推理的一般步驟：①找出等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的相像性或一樣性；②用等差數(shù)列的性質(zhì)取推想等比數(shù)列的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的結(jié)論（或猜想）三、解答題：本大題共5小題，每小題12分，共60分．16.用分析法證明：．【答案】詳見(jiàn)解析【解析】【分析】依據(jù)分析法證明步驟，將不等式兩邊同時(shí)平方，再綻開(kāi)依次證明即可.【詳解】欲證，只須證，即，只須證，只須證，而明顯成立，所以.不等式得證【點(diǎn)睛】本題考查了分析法證明不等式中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.17.用數(shù)學(xué)歸納法證明.【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟進(jìn)行證明即可.【詳解】證明：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即.那么，即當(dāng)時(shí)等式也成立.由①②知，等式對(duì)任何都成立.【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)數(shù)列的命題，屬于基礎(chǔ)題.18.已知函數(shù)在處的切線垂直于直線.（1）求．（2）求的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）；（2）在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．【解析】【分析】（1）由題意求導(dǎo)可得，代入可得（1），從而求，進(jìn)而求切線方程；（2）的定義域?yàn)?，，從而求單調(diào)性．【詳解】解：（1）因在處切線垂直于，所以（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)作斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（1）寫(xiě)出直線方程．（2）求出弦和曲線圍成的陰影部分面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）首先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)斜式求直線方程即可；（2）首先求出拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)微積分基本定理計(jì)算可得；【詳解】解：（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以直線方程為即（2）聯(lián)立直線與拋物線方程得，解得或則，陰影部分面積【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，點(diǎn)斜式求直線方程，定積分求曲邊形的面積，屬于基礎(chǔ)題.20.設(shè)函數(shù).（1）若時(shí)，取得極值，求的值；（2）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依據(jù)若時(shí)，取得極值得，解之即可；（2）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)可轉(zhuǎn)化成只需在內(nèi)有恒成立，依據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)建立不等式關(guān)系，解之即可.試題解析：(1)因?yàn)闀r(shí)，取得極值，所以，即故．(2)的定義域?yàn)?方程的判別式,（Ⅰ）當(dāng),即時(shí)，,在內(nèi)恒成立,此時(shí)為增函數(shù).（Ⅱ）當(dāng),即或時(shí)，要使在定義域內(nèi)為增函數(shù),只需在內(nèi)有即可,設(shè)，由得,所以.由(1)(2)可知,若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，的取值范圍是.【方法點(diǎn)晴】本