2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元雙優(yōu)測(cè)評(píng)卷-第六單元平面向量及其應(yīng)用A卷含解析

PAGEPAGE19第六單元平面對(duì)量及其應(yīng)用A卷基礎(chǔ)過(guò)關(guān)必刷卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．，是半徑為1的圓的兩條直徑，，則（）A． B． C． D．2．在中，，則此三角形（）A．無(wú)解 B．一解 C．兩解 D．解的個(gè)數(shù)不確定3．設(shè)為單位向量，滿意，設(shè)的夾角為，則的可能取值為（）A． B． C． D．4．已知在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則（）A． B．或 C． D．或6．如圖，中，角的平分線交邊于點(diǎn)，，，，則（）A． B． C． D．7．圣·索菲亞教堂（英語(yǔ)：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國(guó)黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)記性建筑．1996年經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國(guó)重點(diǎn)文物愛(ài)護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點(diǎn)其中心主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)會(huì)它的美．小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t小明估算索菲亞教堂的高度為（）A． B． C． D．8．在中，角所對(duì)的邊分別為，且點(diǎn)滿意，若，則的最大值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則角可為（）A． B． C． D．10．如圖所示，在中，點(diǎn)D在邊BC上，且，點(diǎn)E在邊AD上，且，則（）A． B．C． D．11．假如是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中不正確的是（）A．λ+μ(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的全部向量B．對(duì)于平面α內(nèi)任一向量，使=λ+μ的實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)有無(wú)窮多個(gè)C．若向量λ1+μ1與λ2+μ2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)D．若實(shí)數(shù)λ，μ使得，則λ=μ=012．已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，分別是、上的兩點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C． D．在方向上的投影為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，，，那么向量與的夾角余弦值為_(kāi)________．14．已知向量，點(diǎn)，，記為在向量上的投影向量，若，則_________．15．如圖所示，為了測(cè)量、兩島嶼的距離，小明在處觀測(cè)到、分別在處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛海里至處，觀測(cè)在處的正北方向，在處的北偏西方向，則、兩島嶼的距離為_(kāi)_海里．16．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，則的周長(zhǎng)的最大值是___________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．隨著二胎開(kāi)放，兒童數(shù)量漸增，某市確定充分利用城市空間修建口袋兒童樂(lè)園，如圖所示：在直徑為的半圓空地上，設(shè)置扇形區(qū)域作為大人體息區(qū)，規(guī)劃兩個(gè)三角形區(qū)域做成小噴泉區(qū)（區(qū)域）和沙坑滑梯區(qū)（區(qū)域），其中為直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，為半圓周上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊．（1）若等邊的邊長(zhǎng)為，，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）問(wèn)為多少時(shí)，兒童游玩區(qū)的面積最大？這個(gè)最大面積為多少？18．已知．（1）當(dāng)k為何值時(shí)，與共線？（2）若，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值．19．如圖，在△ABC中，D為BC的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)B，E，F(xiàn)分別為AC，AD的三等分點(diǎn)，且分別靠近A，D兩點(diǎn)，設(shè)（1）試用a，b表示（2）證明：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．20．如圖所示，在中，，，與交于點(diǎn)M．過(guò)M點(diǎn)的直線l與、分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）試用，表示向量；（2）設(shè)，，求證：是定值．21．已知．（1）當(dāng)為何值時(shí)，與共線？（2）若且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值．設(shè)，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，.若，求實(shí)數(shù)的取值范圍一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．，是半徑為1的圓的兩條直徑，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，，是半徑為1的圓的兩條直徑，且，即為的中點(diǎn)，則，故選：B.2．在中，，則此三角形（）A．無(wú)解 B．一解 C．兩解 D．解的個(gè)數(shù)不確定【答案】C【解析】由正弦定理可知：，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，或，因此此三角形有兩解，故選：C3．設(shè)為單位向量，滿意，設(shè)的夾角為，則的可能取值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，不妨設(shè)，且，所以，又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，，，當(dāng)時(shí)，，故選：C4．已知在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由及余弦定理，可得正弦定理邊化角，得是銳角三角形，，即．，，那么：則，故選：5．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則（）A． B．或 C． D．或【答案】C【解析】依題意，由正弦定理得，，，，即.由于，所以.故選：C6．如圖，中，角的平分線交邊于點(diǎn)，，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，依據(jù)正弦定理得，由，所以，所以，所以，則，所以，在中，由余弦定理得，所以．故選：D．7．圣·索菲亞教堂（英語(yǔ)：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國(guó)黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)記性建筑．1996年經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國(guó)重點(diǎn)文物愛(ài)護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點(diǎn)其中心主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)會(huì)它的美．小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則小明估算索菲亞教堂的高度為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知：，所以在中，，在中，由正弦定理得所以，在中，故選：D8．在中，角所對(duì)的邊分別為，且點(diǎn)滿意，若，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋裕?，所以，所以，整理得，所以，因?yàn)?，所以，所以，解?所以的最大值為故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則角可為（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由余弦定理得：，又，，整理可得：；對(duì)于A，，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，B正確；對(duì)于C，，則，C正確；對(duì)于D，，則，D錯(cuò)誤.故選：BC.10．如圖所示，在中，點(diǎn)D在邊BC上，且，點(diǎn)E在邊AD上，且，則（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】解：，點(diǎn)在邊上，，故選：．11．假如是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中不正確的是（）A．λ+μ(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的全部向量B．對(duì)于平面α內(nèi)任一向量，使=λ+μ的實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)有無(wú)窮多個(gè)C．若向量λ1+μ1與λ2+μ2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)D．若實(shí)數(shù)λ，μ使得，則λ=μ=0【答案】BC【解析】由平面對(duì)量基本定理可知，A，D是正確的.對(duì)于B，由平面對(duì)量基本定理可知，若一個(gè)平面的基底確定，那么該平面內(nèi)的隨意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的.對(duì)于C，當(dāng)兩個(gè)向量均為零向量時(shí)，即λ1=λ2=μ1=μ2=0時(shí)，這樣的λ有多數(shù)個(gè)，或當(dāng)λ1+μ1為非零向量，而λ2+μ2為零向量(λ2=μ2=0)，此時(shí)λ不存在.故選:BC.12．已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，分別是、上的兩點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C． D．在方向上的投影為【答案】BCD【解析】由題E為AB中點(diǎn)，則，以E為原點(diǎn)，EA，EC分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：所以，，設(shè)，∥，所以，解得：，即O是CE中點(diǎn)，，所以選項(xiàng)B正確；，所以選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，，在方向上的投影為，所以選項(xiàng)D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，，，那么向量與的夾角余弦值為_(kāi)________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以向量與的夾角余弦值為．故答案為：．14．已知向量，點(diǎn)，，記為在向量上的投影向量，若，則_________．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，又向量，所以在向量上的投影，所以因?yàn)?，所以，故答案為?5．如圖所示，為了測(cè)量、兩島嶼的距離，小明在處觀測(cè)到、分別在處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛海里至處，觀測(cè)在處的正北方向，在處的北偏西方向，則、兩島嶼的距離為_(kāi)_海里．【答案】【解析】由題意知，，，，，在中，由正弦定理得，，在中，，所以，為等腰直角三角形，則，在中，由余弦定理可得（海里）.故答案為：．16．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，則的周長(zhǎng)的最大值是___________.【答案】9【解析】對(duì)已知等式進(jìn)行角化邊可得：，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以，即的周長(zhǎng)的最大值為9.故答案為：9.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．隨著二胎開(kāi)放，兒童數(shù)量漸增，某市確定充分利用城市空間修建口袋兒童樂(lè)園，如圖所示：在直徑為的半圓空地上，設(shè)置扇形區(qū)域作為大人體息區(qū)，規(guī)劃兩個(gè)三角形區(qū)域做成小噴泉區(qū)（區(qū)域）和沙坑滑梯區(qū)（區(qū)域），其中為直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，為半圓周上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊．（1）若等邊的邊長(zhǎng)為，，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）問(wèn)為多少時(shí)，兒童游玩區(qū)的面積最大？這個(gè)最大面積為多少？【答案】（1），其中；（2）當(dāng)，兒童游玩區(qū)的面積最大，最大值為.【解析】（1），，在中，，，，，由余弦定理可得，所以，，其中；（2），，所以，，，則，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取最大值.18．已知．（1）當(dāng)k為何值時(shí)，與共線？（2）若，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值．【答案】（1）k＝－；（2）m＝.【解析】(1)＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因?yàn)榕c共線，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.(2)＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以∥.所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝.19．如圖，在△ABC中，D為BC的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)B，E，F(xiàn)分別為AC，AD的三等分點(diǎn)，且分別靠近A，D兩點(diǎn)，設(shè)（1）試用a，b表示（2）證明：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【答案】（1）＝b－a，＝a＋b，＝－a＋b；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】(1)由題意，得＝b－a，＝a＋(b－a)＝a＋b，＝－a＋b.(2)因?yàn)椋剑璦＋b，＝－a＋(a＋b)＝－a＋b＝a+b，所以，所以與共線．又與有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．20．如圖所示，在中，，，與交于點(diǎn)M．過(guò)M點(diǎn)的直線l與、分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）試用，表示向量；（2）設(shè)，，求證：是定值．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）由A，M，D三點(diǎn)共線可得存在實(shí)數(shù)m（）使得：，又，