江蘇省南通市啟東市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE22-江蘇省南通市啟東市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）一、單項(xiàng)選擇題：1.的值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式可求出的值.【詳解】依據(jù)誘導(dǎo)公式可得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式求值，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，分母不為零，得出關(guān)于的不等式組，即可求出函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得，解得且，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查詳細(xì)函數(shù)定義域的求解，解題時(shí)要結(jié)合一些常見(jiàn)的求函數(shù)定義域的基本原則列不等式（組）求解，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.滿意的集合的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列舉出符合條件的集合，即可得出答案.【詳解】滿意的集合有：、、.因此，滿意的集合的個(gè)數(shù)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查符合條件的集合個(gè)數(shù)的計(jì)算，只需列舉出符合條件的集合即可，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.在梯形中，，，是邊上的點(diǎn)，且.若記，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作出圖形，由向量加法的三角形法則得出可得出答案.【詳解】如下圖所示：由題意可得，由向量加法的三角形法則可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用基底來(lái)表示向量，涉及平面對(duì)量加法的三角形法則的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，是第三象限角，則的值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出的值，然后利用兩角差的余弦公式求出的值.【詳解】為第三象限角，所以，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角差的余弦公式求值，在利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值時(shí)，要結(jié)合角的取值范圍確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知向量，，，若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出向量的坐標(biāo)，然后利用共線向量的坐標(biāo)表示得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解出即可.【詳解】向量，，，又且，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查共線向量的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性得出與的大小關(guān)系，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出與的大小關(guān)系，由此可得出、、三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】?jī)绾瘮?shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，，即；指數(shù)函數(shù)在上為增函數(shù)，，即.因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較指數(shù)冪的大小關(guān)系，解題時(shí)要結(jié)合指數(shù)冪的結(jié)構(gòu)選擇冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)推斷，考查推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.8.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)角的終邊上隨意一點(diǎn)的坐標(biāo)是，它與原點(diǎn)的距離是，規(guī)定：比值叫做的正余混弦，記作.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可得出，依據(jù)題意得出，結(jié)合可得出關(guān)于和的方程組，解出這兩個(gè)量，然后利用商數(shù)關(guān)系可求出的值.【詳解】，則，由正余混弦的定義可得.則有，解得，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的新定義，涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，依據(jù)題意建立方程組求解和的值是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.二、多項(xiàng)選擇題：9.已知全集，集合、滿意，則下列選項(xiàng)正確的有（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】作出韋恩圖，結(jié)合圖形可推斷出各選項(xiàng)的正誤.【詳解】如下圖所示：全集，集合、滿意，則，，，.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算正誤的推斷，依據(jù)題意作出韋恩圖是關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.已知、、是三個(gè)非零向量，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則 B.若，，則C若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)平面對(duì)量數(shù)量積的定義可推斷出A、C選項(xiàng)的正誤；利用共線向量的定義可推斷出B選項(xiàng)的正誤；在等式兩邊平方，可推斷出D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)與的夾角為，則，則，，則與同向，所以，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由于、、是三個(gè)非零向量，且，，則存在非零實(shí)數(shù)、，使得，，，，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，即，所以，與在方向上的投影相等，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，在等式兩邊平方得，整理得，則，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)向量命題真假的推斷，涉及平面對(duì)量數(shù)量積的定義、共線向量的定義的理解，考查推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.11.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】逐一推斷各選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性以及各函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，該函數(shù)為偶函數(shù)，且該函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，該函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，該函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則該函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，該函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則該函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，該函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)為奇函數(shù)，且在區(qū)間上不單調(diào).故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的推斷，考查推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.12.如圖所示，點(diǎn)、是函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在、之間的圖象上運(yùn)動(dòng)，若，且當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，，則（）A.B.C.的單調(diào)增區(qū)間為D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)圖象以及題中信息求出函數(shù)的解析式，可推斷出B選項(xiàng)的正誤；求出的值，可推斷出A選項(xiàng)的正誤；結(jié)合余弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可推斷出C、D選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題意可知，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，點(diǎn)為函數(shù)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由余弦型函數(shù)的對(duì)稱性可知，又，則為等腰直角三角形，且，則直線的斜率為，得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，函數(shù)最小正周期為，，，得，，，，得，則，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，A選項(xiàng)正確；解不等式，解得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，D選項(xiàng)正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型三角函數(shù)基本性質(zhì)的推斷，依據(jù)圖象求出三角函數(shù)的解析式是關(guān)鍵，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.三、填空題：.13.計(jì)算：______.【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可計(jì)算出所求代數(shù)式的值.【詳解】原式.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)與對(duì)數(shù)計(jì)算，考查指數(shù)冪與對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知函數(shù)，若，則______.【答案】【解析】【分析】分、、三種狀況解方程，即可得出結(jié)果.【詳解】，當(dāng)時(shí)，令，解得（舍去）；當(dāng)時(shí)，令，解得或（舍去）；當(dāng)時(shí)，令，解得（舍去）.綜上所述，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)分段函數(shù)值求自變量的值，解題時(shí)要對(duì)自變量的取值進(jìn)行分類(lèi)探討，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)、分別在軸非負(fù)半軸和軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)，頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)，，，設(shè).若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；若，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】(1).(2).【解析】【分析】分別過(guò)點(diǎn)作、軸的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)分別作、軸的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，設(shè)點(diǎn)、，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后利用平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和二倍角的正弦公式可求出的取值范圍.【詳解】分別過(guò)點(diǎn)作、軸的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)分別作、軸的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，如下圖所示：則，設(shè)點(diǎn)、，則，，，.當(dāng)時(shí)，，，則點(diǎn)；由上可知，，，則，因此，的取值范圍是.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面對(duì)量數(shù)量積的取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是將點(diǎn)的坐標(biāo)利用三角函數(shù)表示，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中等題.16.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題意可知，函數(shù)在區(qū)間和上均有兩個(gè)零點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想和代數(shù)法可求出實(shí)數(shù)的取值范圍，綜合可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，得，即，該方程至多兩個(gè)根；當(dāng)時(shí)，令，得，該方程至多兩個(gè)根.由于函數(shù)恰有個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間和上均有兩個(gè)零點(diǎn).由題意知，直線與函數(shù)在區(qū)間上圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：由圖象可知，，解得；函數(shù)在區(qū)間上也有兩個(gè)零點(diǎn)，令，解得，，由題意可得，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合思想以及代數(shù)法的應(yīng)用，屬于中等題.四、解答題：17.設(shè)全集，集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）①；②；③.【解析】【分析】（1）將代入集合，求出集合和，然后利用交集的定義可求出集合；（2）選擇①，依據(jù)得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解出即可；選擇②，由，可得出，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解出即可；選擇③，求出集合，依據(jù)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解出即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，因此，；（2），.選擇①，，則或，解得或，此時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是；選擇②，，，則，解得，此時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是；選擇③，，或，解得或，此時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.綜上所述，選擇①，實(shí)數(shù)取值范圍是；選擇②，實(shí)數(shù)的取值范圍是；選擇③，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算，同時(shí)也考查了利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中等題.18.已知函數(shù).（1）求的周期和單調(diào)區(qū)間；（2）若，，求的值.【答案】（1）周期為，增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換思想可得出，利用周期公式可求出函數(shù)的周期，分別解不等式和，可得出該函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）由可得出，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出的值，然后利用兩角差的余弦公式可求出的值.【詳解】（1），所以，函數(shù)的周期為，令，解得；令，解得.因此，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2），，，，，.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)周期和單調(diào)區(qū)間的求解，同時(shí)也考查了利用兩角差的余弦公式求值，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中等題.19.已知函數(shù).（1）推斷并證明的奇偶性；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）最小值為，最大值為.【解析】【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義證明即可；（2）設(shè)，可知函數(shù)為增函數(shù)，由，可得出，且有，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在上的最值問(wèn)題，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，因此，函數(shù)為奇函數(shù)；（2）設(shè)，由于函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)為減函數(shù)，所以，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，且，則，令，.所以，，.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的證明，同時(shí)也考查了指數(shù)型函數(shù)在區(qū)間上最值的求解，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.20.如圖，、分別是的邊、上的點(diǎn)，且，，交于.（1）若，求的值；（2）若，，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面對(duì)量加法的三角形法則可求出、的值，進(jìn)而可計(jì)算出的值；（2）設(shè)，設(shè)，依據(jù)平面對(duì)量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)，可得出關(guān)于、的表達(dá)式，然后用、表示，最終利用平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義即可計(jì)算出的值.【詳解】（1），，，因此，；（2）設(shè)，再設(shè)，則，即，所以，，解得，所以，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面對(duì)量的基本定理求參數(shù)，同時(shí)也考查了平面對(duì)量數(shù)量積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是選擇合適的基底來(lái)表示向量，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.21.“百姓開(kāi)門(mén)七件事，事事都會(huì)生垃圾，垃圾分類(lèi)好處多，環(huán)境愛(ài)護(hù)靠你我”，為了推行垃圾分類(lèi)，某公司將原處理垃圾可獲利萬(wàn)元的一條處理垃圾流水線，通過(guò)技術(shù)改造后，開(kāi)發(fā)引進(jìn)生態(tài)項(xiàng)目.經(jīng)過(guò)測(cè)算，發(fā)覺(jué)該流水線改造后獲利萬(wàn)元與技術(shù)投入萬(wàn)元之間滿意的關(guān)系式：.該公司希望流水線改造后獲利不少于萬(wàn)元，其中為常數(shù)，且.（1）試求該流水線技術(shù)投入的取值范圍；（2）求流水線改造后獲利的最大值，并求出此時(shí)的技術(shù)投入的值.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).【解析】分析】（1）由題意得出，解此不等式即可得出的取值范圍；（2）比較與的大小關(guān)系，分析二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由此可得出函數(shù)的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】（1），，由題意可得，即，解得，因此，該流水線技術(shù)投入的取值范圍是；（2）二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，且對(duì)稱軸為直線.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，.綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)模型的應(yīng)用，同時(shí)也考查了二次函數(shù)最值的求解，考查分類(lèi)探討思想的應(yīng)用，屬于中等題.22.已知函數(shù)，，.（1）若，解關(guān)于的方程；（2）設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不大于1，求的