江蘇省常州市高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE17-江蘇省常州高級中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8個小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】計算得到，，再計算得到答案.【詳解】，，則.故選：.【點睛】本題考查了交集運算，意在考查學(xué)生的計算實力.2.若，，則的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)運算干脆得到答案.【詳解】.故選：.【點睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運算，意在考查學(xué)生的計算實力.3.若，則角的終邊在（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】變換得到，依據(jù)得到答案.【詳解】，，故角的終邊在其次象限.故選：.【點睛】本題考查了角的終邊所在象限，屬于簡潔題.4.關(guān)于的不等式的解集為（）A.或 B.或C.{或} D.{或}【答案】B【解析】【分析】干脆解不等式得到答案.【詳解】，即，等價于，故或.故選：.【點睛】本題考查了解分式不等式，意在考查學(xué)生的計算實力.5.若函數(shù)則（）A. B.2 C. D.-2【答案】C【解析】【分析】干脆代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【詳解】，.故選：.【點睛】本題考查了分段函數(shù)值的計算，意在考查學(xué)生的計算實力.6.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】C【解析】【分析】將所給函數(shù)化為，依據(jù)三角函數(shù)相位變換原則可得結(jié)果.【詳解】只需將的圖象向左平移個單位長度即可得到的圖象故選：【點睛】本題考查三角函數(shù)的相位變換，關(guān)鍵是明確相位變換是針對的改變量的變換，遵循“左加右減”原則.7.若函數(shù)滿意對隨意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】確定函數(shù)單調(diào)遞減，得到，計算得到答案.【詳解】依據(jù)題意知函數(shù)單調(diào)遞減，滿意，解得.故選：.【點睛】本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，忽視間斷點處的大小關(guān)系是簡潔發(fā)生的錯誤.8.16世紀(jì)，隨著航海和天文學(xué)的發(fā)展，人們須要面對越來越繁難的計算，那時數(shù)學(xué)家制造了許多數(shù)表用于計算，比如德國數(shù)學(xué)斯蒂弗爾在《綜合算術(shù)》中闡述了一種對應(yīng)關(guān)系:01234567891012481632641282565121024111213141516171819202048409681921638432768655361310722621445242881048576已知光在真空中的傳播速度為300000千米/秒，一年按365天計算，利用上表，估算1光年的距離大約為千米（），則的值為（）A.40 B.41 C.42 D.43【答案】D【解析】【分析】依據(jù)，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.詳解】依據(jù)題意：.1光年為：千米.故選：.【點睛】本題考查了數(shù)值的計算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用實力和計算實力.二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共計20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.）9.如圖所示，四邊形為梯形，其中，，，分別為，的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)向量運算法則依次計算每個選項得到答案.【詳解】，正確；，正確；，錯誤；，正確.故選：.【點睛】本題考查了向量的運算，意在考查學(xué)生的計算實力.10.下列說法正確的是（）A.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則解析式為B.若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減C.冪函數(shù)（）始終經(jīng)過點和D.若函數(shù)，則對于隨意的，有【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)冪函數(shù)的解析式，單調(diào)性依次推斷每個選項得到答案.【詳解】若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則解析式為，故錯誤；函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞增，錯誤；冪函數(shù)（）始終經(jīng)過點和，正確；隨意的，，要證，即，即，即，易知成立，故正確；故選：.【點睛】本題考查了冪函數(shù)，意在考查學(xué)生對于冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.11.已知函數(shù)（）的值域為，則實數(shù)與實數(shù)的取值可能為（）A.， B.， C.， D.，【答案】ABD【解析】【分析】化簡得到，設(shè)，則，依次推斷每個選項得到答案.【詳解】，設(shè)，則.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，時，，故，正確；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，時，，故，正確；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，錯誤；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，時，，故，正確.故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)的值域，依據(jù)換元利用單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.12.誕生在美索不達米亞的天文學(xué)家阿爾·巴塔尼大約公元920左右給出了一個關(guān)于垂直高度為的日晷及其投影長度的公式：，即等價于現(xiàn)在的，我們稱為余切函數(shù)，則下列關(guān)于余切函數(shù)的說法中正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)關(guān)于對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】BC【解析】【分析】畫出函數(shù)圖像，依據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)周期，單調(diào)性，對稱，得到答案.【詳解】，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：故函數(shù)的最小正周期為，關(guān)于對稱，區(qū)間上單調(diào)遞減.且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱.故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)的周期，單調(diào)性，對稱，意在考查學(xué)生的對于函數(shù)學(xué)問的綜合應(yīng)用.三、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知，是兩個不共線的向量，，.若與是共線向量，則實數(shù)的值為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意得到，代入化簡得到答案.【詳解】，，與是共線向量，則，即.故，，故.故答案為：.【點睛】本題考查了依據(jù)向量平行求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算實力.14.若時函數(shù)，的一條對稱軸，則函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)對稱軸得到，計算得到答案.【詳解】時函數(shù)，的一條對稱軸，則，當(dāng)時，滿意條件.取，解得.當(dāng)時，滿意條件.故答案為：.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的敏捷運用.15.已知，則__________．【答案】【解析】【分析】化簡得到得到答案.【詳解】.故答案為：.【點睛】本題考查了誘導(dǎo)公式化簡，意在考查學(xué)生對于誘導(dǎo)公式的應(yīng)用.16.已知奇函數(shù)滿意，且當(dāng)時，，若，則實數(shù)的值為__________．【答案】-1【解析】【分析】取得到，，代入化簡得到，得到答案.【詳解】，取得到，，故.，即.即，，故.故答案為：.【點睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)關(guān)系求參數(shù)值，意在考查學(xué)生的計算實力，取值是解題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知四邊形的頂點坐標(biāo)為，，，且（）.（1）若點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍；（2）若點為直線外一點，且，問實數(shù)為何值時，點恰為四邊形對角線的交點.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），設(shè)點的坐標(biāo)為，依據(jù)得到，得到答案.（2）化簡得到，依據(jù)得到，得到答案.【詳解】（1）因為，，所以，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，而（），所以解得因為點在第一象限，所以.（2）由得，即，若點恰為四邊形對角線的交點且（），依據(jù)三角形相像得到，所以.【點睛】本題考查了向量運算和應(yīng)用，意在考查學(xué)生的應(yīng)用實力.18.（1）已知角的終邊所在直線經(jīng)過點，求的值；（2）已知（），求的值.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）計算，再利用齊次式計算得到答案.（2）利用方程組計算得到，再計算得到答案.【詳解】（1）因為角的終邊所在直線經(jīng)過點，所以.所以.（2）因為，所以，即，因為，所以，即，.又因為，所以.由，解得，所以.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡求值，意在考查學(xué)生的計算實力.19.已知函數(shù)的定義域為集合，函數(shù)，的值域為集合，集合（）.（1）求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）計算得到或，，計算并集得到答案.（2）計算，，依據(jù)包含關(guān)系得到答案.【詳解】（1）由可得：，所以或，因為，，所以，所以或.（2），，因為，所以，解得.【點睛】本題考查了函數(shù)的定義域和值域，集合運算，依據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用實力.20.如圖,天津之眼，全稱天津永樂橋摩天輪，是世界上唯一一個橋上瞰景摩天輪，是天津的地標(biāo)之一.永樂橋分上下兩層，上層橋面預(yù)留了一個長方形開口，供摩天輪輪盤穿過，摩天輪的直徑為110米，外掛裝48個透亮座艙，在電力的驅(qū)動下逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一圈大約須要30分鐘.現(xiàn)將某一個透亮座艙視為摩天輪上的一個點，當(dāng)點到達最高點時，距離下層橋面的高度為113米，點在最低點處起先計時.（1）試確定在時刻(單位:分鐘)時點距離下層橋面的高度(單位:米)；（2）若轉(zhuǎn)動一周內(nèi)某一個摩天輪透亮座艙在上下兩層橋面之間的運行時間大約為5分鐘，問上層橋面距離下層橋面的高度約為多少米？【答案】（1）米（2）米.【解析】【分析】（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，以為始邊，為終邊的角為，計算得到答案.（2）依據(jù)對稱性，上層橋面距離下層橋面的高度為點在分鐘時距離下層橋面的高度，計算得到答案.【詳解】（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系.由題可知在分鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為，因為點在最低點處起先計時，所以以為始邊，為終邊的角為，所以點的縱坐標(biāo)為，則（），故在分鐘時點距離下層橋面的高度為（米）.（2）依據(jù)對稱性，上層橋面距離下層橋面的高度為點在分鐘時距離下層橋面的高度.當(dāng)時，故上層橋面距離下層橋面的高度約為米.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的應(yīng)用實力.21.已知函數(shù)（）（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)計算得到，再驗證得到答案.（2）化簡得到對恒成立，確定函數(shù)單調(diào)遞減，利用單調(diào)性得到對恒成立，計算得到答案.【詳解】（1）因為為奇函數(shù)且定義域為，則，即，所以.當(dāng)時因為為奇函數(shù)，，滿意條件為奇函數(shù).（2）不等式對恒成立即對恒成立，因為為奇函數(shù)，所以對恒成立（*）在上任取，，且，則，因為，所以，，，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；所以（*）可化對恒成立，即對恒成立.令，因為的圖象是開口向上的拋物線，所以由有對恒成立可得：即解得：，所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，恒成立問題，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用實力.22.對于函數(shù)，若存在定義域中的實數(shù)，滿意且，則稱函數(shù)為“類”函數(shù).（1）試推斷，是否是“類”函數(shù)，并說明理由；（2）若函數(shù)，，為“類”函數(shù)，求的最小值.【答案】（1）不是.見解析（2）最小值為7.【解析】【分析】（1）不是，假設(shè)為類函數(shù)，得到或者，代入驗證不成立.（2），得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間