2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入測評含解析北師大版選修2-2

PAGEPAGE6第五章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.下列命題中,正確的是()A.復(fù)數(shù)的模總是正實數(shù)B.復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)全部向量組成的集合一一對應(yīng)C.若與復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第一象限,則與該復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的終點也肯定會在第一象限D(zhuǎn).相等的向量對應(yīng)著相等的復(fù)數(shù)解析復(fù)數(shù)的模大于或等于0,因此A不正確;復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)全部從原點動身的向量組成的集合一一對應(yīng),因此B不對;同理C也不正確,D正確,因此選D.答案D2.已知z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),若z1-z2是純虛數(shù),則有()A.a-c=0且b-d≠0B.a-c=0且b+d≠0C.a+c=0且b-d≠0D.a+c=0且b+d≠0解析依題意z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,因為z1-z2是純虛數(shù),所以實部a-c=0且虛部b-d≠0.故選A.答案A3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿意z·(1+i)=2i+1(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限解析∵復(fù)數(shù)z滿意z·(1+i)=2i+1(i為虛數(shù)單位),∴z=1+2i1+i=該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點32,1答案A4.若復(fù)數(shù)(4+ai)(1+i)(i為虛數(shù)單位,a∈R)為純虛數(shù),則a的值為()A.-4 B.3 C.4 D.5解析∵(4+ai)(1+i)=4+ai+4i+ai2=4-a+(a+4)i,∴4-a=0,故選C.答案C5.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i(1+2i)的共軛復(fù)數(shù)為()A.2-i B.-2-i C.2+i D.-2+i解析∵復(fù)數(shù)z=i(1+2i)=-2+i,∴復(fù)數(shù)z=i(1+2i)的共軛復(fù)數(shù)為-2-i.答案B6.復(fù)數(shù)z滿意(1+i)·z=1-i2021,則z的虛部為()A.1 B.-1 C.i D.-i解析因為(1+i)·z=1-i2024=1-i,所以z=1-i所以z=i,故z的虛部為1.故選A.答案A7.已知復(fù)數(shù)z滿意z(1-i)=2,則z5=()A.16 B.-4+4i C.-16 D.-16i解析∵z(1-i)=2,∴z=21-則z=1-i.∴z5=(1-i)5=(1-i)4(1-i)=-4(1-i)=-4+4i.答案B8.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=2-1+ip1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共軛復(fù)數(shù)為1+i;p4:z的虛部為-1.其中的真命題為()A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4解析本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)的模,共軛復(fù)數(shù)等學(xué)問.z=2-1+i=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共軛復(fù)數(shù)為-1+答案C9.設(shè)z=21+i+(1+i)2,則|z|=(A.3 B.1 C.2 D.2解析z=21+i+(1+i)2=2(1-i)(1+i)(1-i)+2i=1-答案D10.若復(fù)數(shù)z=a+3i1-2i(a∈R,i是虛數(shù)單位)是純虛數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)zA.(0,2) B.(0,3i) C.(0,3) D.(0,2i)解析∵z=a+3i1-2i=(a+3i)(1+2i)(∴在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)點的坐標為(0,3).答案C11.已知復(fù)數(shù)a+i1-2i·i2016(i是虛數(shù)單位)為純虛數(shù),則實數(shù)aA.2 B.-2 C.1 D.-1解析∵i4=1,∴i2016=1.∴復(fù)數(shù)a+i1-2i·=a-2+(∴a-25=0,1+2a5≠答案A12.若A,B是銳角△ABC的兩內(nèi)角,則復(fù)數(shù)z=(cosB-sinA)+(sinB-cosA)i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限解析∵A,B是銳角△ABC的兩內(nèi)角,∴A+B>π2.由①得A>π2-B∵A,B為銳角△ABC的內(nèi)角,∴A∈0,又在0,π2內(nèi)∴sinA>sinπ2-B,即sinA>∴cosB-sinA<0.又由①可得B>π2-A同理可得sinB>sinπ2即sinB>cosA,∴sinB-cosA>0.故z對應(yīng)的點在其次象限.答案B二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知i是虛數(shù)單位,計算1-i(1+i解析1-i(1+i答案-1214.已知復(fù)數(shù)z滿意2z+z=1-i,則|z|=.

解析設(shè)z=a+bi(a,b∈R),因為2z+z=1-i,所以2a+2bi+a-bi=1-i,故3a+bi=1-i,所以a=13,b=-1,則|z|=1+答案1015.在復(fù)平面上,假如AB,AC對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是5+4i,-2+3i,那么BC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為解析∵AB,AC對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是5+4i,-2+3i,∴BC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+3i-(5+4i)=-7-i.答案-7-i16.若復(fù)數(shù)z1與z2在復(fù)平面上所對應(yīng)的點關(guān)于y軸對稱,且z1(3-i)=z2(1+3i),|z1|=2,則z1=.

解析設(shè)z1=a+bi,則z2=-a+bi,∵z1(3-i)=z2(1+3i),且|z1|=2,∴(解得a=1,b=-1或a=-1,b=1.答案1-i或-1+i三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)若復(fù)數(shù)(m2-3m-4)+(m2-m-6)i表示的點在第四象限內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.解由題意,知m∴-2<m<-1.故m的取值范圍是{m|m∈R,且-2<m<-1}.18.(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z=1+i,求實數(shù)a,b,使得az+2bz=(a+2z)2.解因為z=1+i,所以az+2bz=(a+2b)+(a-2b)i,(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.因為a,b都是實數(shù),所以由az+2bz=(a+2z)2,得a兩式相加并整理得a2+6a+8=0,解得a1=-2,a2=-4,相應(yīng)得b1=-1,b2=2.所以所求實數(shù)為a=-2,b=-1或a=-4,b=2.19.(本小題滿分12分)實數(shù)k為何值時,復(fù)數(shù)(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分別是(1)實數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù);(4)零?解令z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)當k2-5k-6=0時,z∈R,此時k=6或k=-1.(2)當k2-5k-6≠0時,z是虛數(shù),即k≠6且k≠-1.(3)當k2-3k-4=0,k2(4)當k2-3k-4=0,k綜上,當k=6或k=-1時,z是實數(shù);當k≠6且k≠-1時,z是虛數(shù);當k=4時,z是純虛數(shù);當k=-1時,z是零.20.(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿意|z+2-2i|=2,且復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為M.(1)確定點M的集合構(gòu)成圖形的形態(tài);(2)求|z-1+2i|的最大值和最小值.解(1)設(shè)復(fù)數(shù)-2+2i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為P(-2,2),則|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=|MP|=2,故點M的集合是以P為圓心,2為半徑的圓,如圖所示.(2)設(shè)復(fù)數(shù)1-2i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為Q(1,-2),則|z-1+2i|=|MQ|.如圖所示,由(1)知|PQ|=(1+2)2+(-2-2)2=5,則|MQ|的最大值即|z-1+2i|的最大值,是|PQ|+2=7;|MQ|的最小值即|z-1+21.(本小題滿分12分)已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=3,求|z1-z2|.解(方法一)設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).由已知,得a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=3.∵(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=2+2ac+2bd=3,∴2ac+2bd=1.又|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=2-1=1,∴|z1-z2|=1.(方法二)在復(fù)平面內(nèi)設(shè)z1,z2分別對應(yīng)向量OZ1,OZ2,則對角線OZ對應(yīng)z1+z2,Z2Z1對應(yīng)z1-z2,由已知可得|OZ1∴∠OZ1Z=120°.∴∠Z2OZ1=60°.故在△OZ1Z2中,|Z2Z1|=1,即|z1-z222.(本小題滿分12分)已知關(guān)于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有實數(shù)根b.(1)求實數(shù)a,b的值;(2)若復(fù)數(shù)z滿意|z-a-bi|-2|z|=0,求z為何值時,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.解(1)因為b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的實數(shù)根,所以b2-(6+i)b+9+ai=0,即(b2-6b+9)+(a-b)i=0,故b2-6b(2)設(shè)z=