2025屆合肥市第六中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2025屆合肥市第六中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)的最大值為（）A. B.C.2 D.32．設(shè)，且，則（）A. B.10C.20 D.1003．集合，集合或，則集合（）A. B.C. D.4．平行線與之間的距離等于（）A. B.C. D.5．設(shè)集合，，則集合與集合的關(guān)系是（）A. B.C. D.6．函數(shù)f(x)＝若f(x)＝2，則x的值是()A. B.±C.0或1 D.7．函數(shù)，則f（log23）=（）A.3 B.6C.12 D.248．向量“，不共線”是“|+|<||+||”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知向量，若，則（）A.1或4 B.1或C.或4 D.或10．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是A.B.C.D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.12．如圖，在中，，以為圓心、為半徑作圓弧交于點(diǎn)．若圓弧等分的面積，且弧度，則=________.13．設(shè)函數(shù)fx=ex-1,x≥a-xx2-5x+6,x<a，則當(dāng)時(shí)，14．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上的截距相等的直線的方程為__________15．已知函數(shù)的零點(diǎn)為，不等式的最小整數(shù)解為，則__________16．一個(gè)棱長為2cm的正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則球的體積為_______cm3.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知且是上的奇函數(shù)，且（1）求的解析式；（2）若不等式對(duì)恒成立，求取值范圍；（3）把區(qū)間等分成份，記等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，設(shè)，記，是否存在正整數(shù)，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，說明理由.18．在區(qū)間上，如果函數(shù)為增函數(shù)，而函數(shù)為減函數(shù)，則稱函數(shù)為“弱增”函數(shù).試證明：函數(shù)在區(qū)間上為“弱增”函數(shù).19．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)（Ⅰ）求值；（Ⅱ）判斷并證明該函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（Ⅲ）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅳ）設(shè)關(guān)于的函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．冰雪裝備器材產(chǎn)業(yè)是冰雪產(chǎn)業(yè)重要組成部分，加快發(fā)展冰雪裝備器材產(chǎn)業(yè)，對(duì)籌辦好北京2022年冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)，帶動(dòng)我國3億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)具有重要的支撐作用.某冰雪裝備器材生產(chǎn)企業(yè)，生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本（萬元）.當(dāng)年產(chǎn)量低于60千件時(shí)，；當(dāng)年產(chǎn)量不低于60千件時(shí)，.每千件產(chǎn)品售價(jià)為60萬元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，企業(yè)所獲得利潤最大？最大利潤是多少？21．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)（1）求證：CD⊥平面A1ABB1；（2）求證：AC1∥平面CDB1

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】先利用，得；再用換元法結(jié)合二次函數(shù)求函數(shù)最值.【詳解】，，當(dāng)時(shí)取最大值，.故選:B【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：注意的限制條件.2、A【解析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)的互化和對(duì)數(shù)的換底公式，求得，，進(jìn)而結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】由，可得，，由換底公式得，，所以，又因?yàn)椋傻霉蔬x：A.3、C【解析】先求得，結(jié)合集合并集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合或，可得，又由，所以.故選：C.4、C【解析】，故選5、D【解析】化簡集合、，進(jìn)而可判斷這兩個(gè)集合的包含關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，，因此?故選：D.6、A【解析】根據(jù)函數(shù)值為2，分類討論即可.【詳解】若f(x)＝2，①x≤－1時(shí)，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；②－1＜x＜2時(shí)，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；③x≥2時(shí)，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).綜上，x＝.故選：A.7、B【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，再代入分段函數(shù)解析式運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意，，所以.故選：B.8、A【解析】利用向量的線性運(yùn)算的幾何表示及充分條件，必要條件的概念即得.【詳解】當(dāng)向量“，不共線”時(shí)，由向量三角形的性質(zhì)可得“|+|<||+||”成立，即充分性成立，當(dāng)“，方向相反”時(shí)，滿足“|+|<||+||”，但此時(shí)兩個(gè)向量共線，即必要性不成立，故向量“，不共線”是“|+|<||+||”的充分不必要條件.故選：A.9、B【解析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，以及向量垂直的條件列出方程，即可求解.【詳解】由題意，向量，可得，因?yàn)椋瑒t，解得或.故選：B.10、A【解析】根據(jù)已知的三視圖想象出空間幾何體，然后由幾何體的組成和有關(guān)幾何體體積公式進(jìn)行計(jì)算由幾何體的三視圖可知幾何體為一個(gè)組合體，即一個(gè)正方體中間去掉一個(gè)圓錐體，所以它的體積是.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、##【解析】由題意，可令，將原函數(shù)變?yōu)槎魏瘮?shù)，通過配方，得到對(duì)稱軸，再根據(jù)函數(shù)的定義域和值域確定實(shí)數(shù)需要滿足的關(guān)系，列式即可求解.【詳解】設(shè)，則，∵，∴必須取到，∴，又時(shí)，，，∴，∴.故答案為：12、【解析】設(shè)扇形的半徑為，則扇形的面積為，直角三角形中，，，面積為，由題意得，∴，∴，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查扇形的面積公式及三角形的面積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題；設(shè)出扇形的半徑，求出扇形的面積，再在直角三角形中求出高，計(jì)算直角三角形的面積，由條件建立等式，解此等式求出與的關(guān)系，即可得出結(jié)論.13、①.②.【解析】當(dāng)時(shí)得到，令，再利用定義法證明在上單調(diào)遞減，從而得到，令，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的最小值，即可得到的最小值；分別求出與的零點(diǎn)，根據(jù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，即可求出的取值范圍；【詳解】解：當(dāng)時(shí)，令，，設(shè)且，則因?yàn)榍?，所以，，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，令，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為；對(duì)于，令，即，解得，對(duì)于，令，即，解得或或，因?yàn)閒x=ex-1,x≥a-xx2-5x+6,x<a恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則和一定為的零點(diǎn)，不為的零點(diǎn)，所以，即；故答案為：；；14、或【解析】根據(jù)題意將問題分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況求解，然后結(jié)合待定系數(shù)法可得到所求的直線方程【詳解】（1）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線方程為，∵點(diǎn)在直線上，∴，∴直線方程為，即（2）當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程，∵點(diǎn)在直線上，∴，∴，∴直線方程為，即綜上可得所求直線方程為或故答案為或【點(diǎn)睛】在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)形式的直線方程，并注意各種形式的方程所適用的條件，由于截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線，故在解題時(shí)若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零，分為直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況求解．本題考查直線方程的求法和分類討論思想方法的運(yùn)用15、8【解析】利用單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理可知，由此確定的范圍，進(jìn)而得到.【詳解】函數(shù)為上的增函數(shù)，，，函數(shù)的零點(diǎn)滿足，，的最小整數(shù)解故答案為：.16、【解析】因?yàn)橐粋€(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長為2，所以正方體的外接球的直徑就是正方體的對(duì)角線的長度：2所以球的半徑為：所求球的體積為=故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）存在，正整數(shù)或2.【解析】（1）根據(jù)，，即可求出的值，從而可求函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性由題意可得到恒成立，然后通過分類討論，根據(jù)二次不等式恒成立問題的解決方法即可求出答案；（3）設(shè)等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.首先根據(jù)，可得到函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，從而可得到，；進(jìn)而可求出；再根據(jù)，從而只需求即可.【小問1詳解】∵是上的奇函數(shù)，∴，由，可得，，∵，∴，，所以.又，所以為奇函數(shù).所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，又為上的奇函數(shù)，所以由，得，所以，即恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式為不能恒成立，故不滿足題意；當(dāng)時(shí)，要滿足題意，需，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】把區(qū)間等分成份，則等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，又，為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，，所以，因?yàn)?，所以，?故存在正整數(shù)或2，使不等式有解.18、見解析【解析】根據(jù)定義，只要證明函數(shù)在是單調(diào)減函數(shù)即可，這可以通過單調(diào)減函數(shù)的定義去證明.證明：設(shè)任意，且，由于，所以在區(qū)間上，為增函數(shù).令，則有：.由于，則且，故.故在區(qū)間上，函數(shù)為減函數(shù).由“弱增”函數(shù)的定義可知，函數(shù)在區(qū)間上為“弱增”函數(shù).19、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ)（Ⅳ）.【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)得，解得值；（2）根據(jù)單調(diào)性定義，作差通分，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性確定因子符號(hào)，最后根據(jù)差的符號(hào)確定單調(diào)性（3）根據(jù)奇偶性以及單調(diào)性將不等式化為一元二次不等式恒成立問題，利用判別式求實(shí)數(shù)的取值范圍；（4）根據(jù)奇偶性以及單調(diào)性將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問題，根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)求值域，即得實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)，需，∴，∴，經(jīng)驗(yàn)證，為奇函數(shù)，∴.（Ⅱ）減函數(shù)證明：任取，，且，則，∵∴∴，；∴，即∴該函數(shù)在定義域上減函數(shù).（Ⅲ）由得，∵是奇函數(shù)，∴，由（Ⅱ）知，是減函數(shù)∴原問題轉(zhuǎn)化為，即對(duì)任意恒成立，∴，得即為所求.（Ⅳ）原函數(shù)零點(diǎn)的問題等價(jià)于方程由（Ⅱ）知，，即方程有解∵，∴當(dāng)時(shí)函數(shù)存在零點(diǎn).點(diǎn)睛:利用函數(shù)性質(zhì)解不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).20、（1）（2）當(dāng)該企業(yè)年產(chǎn)量為50千件時(shí)，所獲得利潤最大，最大利潤是950萬元【解析】(1)根據(jù)題意，分段寫出年利潤的表達(dá)式即可；（2）根據(jù)年利潤的解析式，分段求出兩種情況下的最大利潤值，比較大小，可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為950.當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)?，所以?dāng)該企業(yè)年產(chǎn)量為50千件時(shí)，所獲得利潤最大，最大利潤是950萬元.21、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）欲證CD⊥平面A1ABB1，可先證平面ABC⊥平面A1ABB1，CD⊥AB，面ABC∩面A1ABB1=AB，滿足根據(jù)面面垂直的性質(zhì)；（2）欲證AC1∥平面CDB1，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AC1與平面CDB1內(nèi)一直線平行，連接BC1，設(shè)BC1與B1C的交點(diǎn)為E，連接DE．根據(jù)中位線可知DE∥AC1，DE?平面CDB1，AC1?平面CD