上海市浦東新區(qū)市級名校2025屆高二上數學期末檢測模擬試題含解析

上海市浦東新區(qū)市級名校2025屆高二上數學期末檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，B=30°，BC=2，AB=，則邊AC的長等于（）A. B.1C. D.22．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.43．雅言傳承文明，經典浸潤人生．某市舉辦“中華經典誦寫講大賽”，大賽分為四類：“誦讀中國”經典誦讀大賽、“詩教中國”詩詞講解大賽、“筆墨中國”漢字書寫大賽、“印記中國”學生篆刻大賽．某人決定從這四類比賽中任選兩類參賽，則“誦讀中國”被選中的概率為（）A. B.C. D.4．設橢圓C：的右焦點為F，過原點O的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，那么的周長的取值范圍為（）A. B.C. D.5．已知數列為遞增等比數列，，則數列的前2019項和（）A. B.C. D.6．已知雙曲線的離心率為，左焦點為F，實軸右端點為A，虛軸上端點為B，則為（）A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等腰三角形 D.銳角三角形7．已知函數有兩個不同的零點，則實數的取值范圍是（）A B.C. D.8．等軸雙曲線漸近線是（）A. B.C. D.9．等差數列的通項公式，數列，其前項和為，則等于（）A. B.C. D.10．橢圓上的一點M到其左焦點的距離為2，N是的中點，則等于（）A.1 B.2C.4 D.811．在圓內，過點的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A. B.C. D.12．下列數列是遞增數列的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列中，，，則_______.14．在圓M：中，過點的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為___________.15．某單位現有三個部門競崗，甲、乙、丙三人每人只競選一個部門，設事件A為“三人競崗部門都不同”，B為“甲獨自競崗一個部門”，則______.16．已知數列滿足：，且，記，若，則___________.（用表示）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線過點，且被兩條平行直線，截得的線段長為.（1）求的最小值；（2）當直線與軸平行時，求的值.18．（12分）已知點，圓（1）若過點的直線與圓相切，求直線的方程；（2）若直線與圓相交于A，兩點，弦的長為，求的值19．（12分）已知橢圓的離心率為，以為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點和平面內一點，過點任作直線與橢圓相交于，兩點，設直線，，的斜率分別為，，，，試求，滿足的關系式.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，點在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為（1）求點的位置；（2）求點到平面的距離21．（12分）在平面直角坐標系中，圓C：，直線l：（1）若直線l與圓C相切于點N，求切點N的坐標；（2）若，直線l上有且僅有一點A滿足：過點A作圓C的兩條切線AP、AQ，切點分別為P，Q，且使得四邊形APCQ為正方形，求m的值22．（10分）等差數列{an}的前n項和記為Sn，且.（1）求數列{an}的通項公式an（2）記數列的前n項和為Tn，若，求n的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用余弦定理即得【詳解】由余弦定理，得，解得AC=1故選：B.2、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關系和離心率公式，計算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.3、B【解析】由已知條件得基本事件總數為種，符合條件的事件數為3中，由古典概型公式直接計算即可.【詳解】從四類比賽中選兩類參賽，共有種選擇，其中“誦讀中國”被選中的情況有3種，即“誦讀中國”和“詩教中國”，“誦讀中國”和“筆墨中國”，“誦讀中國”和“印記中國”，由古典概型公式可得，故選：.4、A【解析】根據橢圓的對稱性橢圓的定義可得，結合的范圍求的周長的取值范圍.【詳解】的周長，又因為A，B兩點為過原點O的動直線l與橢圓C的交點，所以A，B兩點關于原點對稱，橢圓C的左焦點為，則，所以，又因為三點不共線，所以，所以的周長的取值范圍為，故選：A.5、C【解析】根據數列為遞增的等比數列，，利用“”法求得，再代入等比數列的前n項和公式求解.【詳解】因為數列為遞增等比數列，所以，解得：，所以.故選：C【點睛】本題主要考查等比數列的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.6、A【解析】根據三邊的關系即可求出【詳解】因，所以，而，，，所以，即，所以為直角三角形故選：A7、A【解析】分離參數，求函數的導數，根據函數有兩個零點可知函數的單調性，即可求解.【詳解】由題意得有兩個零點令,則且所以，在上為增函數，可得，當，在上單調遞減，可得，即要有兩個零點有兩個零點，實數的取值范圍是.故選：A【點睛】方法點睛：已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍；(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解8、A【解析】對等軸雙曲線的焦點的位置進行分類討論，可得出等軸雙曲線的漸近線方程.【詳解】因為，若雙曲線的焦點在軸上，則等軸雙曲線的漸近線方程為；若雙曲線的焦點在軸上，則等軸雙曲線的漸近線方程為.綜上所述，等軸雙曲線的漸近線方程為.故選：A.9、D【解析】根據裂項求和法求得，再計算即可.【詳解】解：由題意得====所以.故選：D10、C【解析】先利用橢圓定義得到，再利用中位線定理得即可.【詳解】由橢圓方程，得，由橢圓定義得，又，，又為的中點，為的中點，線段為中位線，∴.故選：C.11、D【解析】由題，求得圓的圓心和半徑，易知最長弦，最短弦為過點與垂直的弦，再求得BD的長，可得面積.【詳解】圓化簡為可得圓心為易知過點的最長弦為直徑，即而最短弦為過與垂直的弦，圓心到的距離：所以弦所以四邊形ABCD的面積：故選：D12、C【解析】分別判斷的符號，從而可得出答案.【詳解】解：對于A，，則，所以數列為遞減數列，故A不符合題意；對于B，，則，所以數列為遞減數列，故B不符合題意；對于C，，則，所以數列為遞增數列，故C符合題意；對于D，，則，所以數列遞減數列，故D不符合題意.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據遞推公式一一計算即可；【詳解】解：因為，所以，，，故答案為：14、【解析】首先將圓的方程配成標準式，即可得到圓心坐標與半徑，從而可得點在圓內，即可得到過點的最長弦、最短弦弦長，即可求出四邊形的面積；【詳解】解：圓M：，即，圓心，半徑，點，則，所以點在圓內，所以過點的最長弦，又，所以最短弦，所以故答案為：15、##0.5【解析】根據給定條件求出事件B和AB的概率，再利用條件概率公式計算作答.【詳解】依題意，，，所以.故答案：16、【解析】由可得，結合已知條件，利用裂項相消求和法即可得答案.【詳解】解：因為，所以，即，所以，因為，所以，又，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3；（2）5【解析】（1）由題可得和的距離即為的最小值；（2）可得此時直線的方程為，求出交點坐標即可求出距離.【詳解】（1）由題可得當且時，取得最小值，即和的距離，由兩平行線間的距離公式，得，所以的最小值為3.（2）當直線與軸平行時，方程為，設直線與直線，分別交于點，，則，，所以，即，所以.18、（1）或；（2）【解析】（1）分直線斜率存在和不存在兩種情況分析，當當過點的直線存在斜率時，設方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑求得k，即可得出答案；（2）求出圓心到直線的距離，再根據圓的弦長公式即可得出答案.【詳解】解：（1）由題意知圓心的坐標為，半徑，當過點的直線斜率不存在時，方程為，由圓心到直線的距離知，直線與圓相切，當過點的直線存在斜率時，設方程為，即由題意知，解得，直線的方程為故過點的圓的切線方程為或（2）圓心到直線的距離為，，解得19、（1）；（2）.【解析】（1）根據直線與圓相切可得，再結合離心率及間的關系可得的值，進而得到橢圓的方程；（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況考慮，分別求出點的坐標后再求出的值，進而得到，最后根據斜率公式可得所求的關系式【詳解】（1）因為圓與直線相切，所以圓心到直線的距離，即所以，又由題意得所以，所以橢圓的標準方程為（2）①當直線的斜率不存在時，可得直線方程為，由，解得或，不妨設，，所以，又，所以，所以，整理得所以滿足的關系式為.②當直線的斜率存在時，設直線，由消去并整理得，設點，則有，所以.所以，所以，整理得綜上可得滿足的關系式為【點睛】（1）判斷直線與橢圓的位置關系時，一般把二者方程聯立得到方程組，判斷方程組解的個數，方程組有幾個解，直線與橢圓就有幾個公共點，方程組的解對應公共點的坐標（2）對于直線與橢圓位置關系的題目，注意設而不求和整體代入方法的運用．解題步驟為：①設直線與橢圓的交點為；②聯立直線與橢圓的方程，消元得到關于x或y的一元二次方程；③利用根與系數的關系設而不求；④利用題干中的條件轉化為，或，，進而求解.20、（1）為棱中點（2）【解析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，其中，利用空間向量法可得出關于的方程，結合求出的值，即可得出點的位置；（2）利用空間向量法可求得點到平面的距離【小問1詳解】解：因為平面，底面為正方形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，設，其中，則，設平面的法向量為，，，由，取，可得，由題意可得，整理可得，因為，解得，因此，點為棱的中點.【小問2詳解】解：由（1）知為棱中點，即，則，又，設平面的法向量為，由，取，可得，因為，所以，點到平面的距離為.21、（1）或（2）3.【解析】（1）設切點坐標，由切點和圓心連線與切線垂直以及切點在圓上建立關系式，求解切點坐標即可；（2）由圓的方程可得圓心坐標及半徑，由APCQ為正方形，可得|AC|＝可得圓心到直線的距離為，可得m的值【小問1詳解】解：設切點為，則有，解得：或x0=-2+1y0=-2，所以切點的坐標為或【小問2詳解】解：圓C：的圓心（1，0），半徑r＝2，