2025屆安徽省安慶市達(dá)標(biāo)名校數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2025屆安徽省安慶市達(dá)標(biāo)名校數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．給出命題：若函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)的圖象不過(guò)第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）A.3 B.2C.1 D.02．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是（）A. B.C. D.3．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離是（）A.4 B.3C.2 D.14．已知雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到的距離為15，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（）A.7 B.23C.5或25 D.7或235．已知雙曲線(xiàn)的離心率為5，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.6．已知雙曲線(xiàn)右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A.2 B.C. D.7．關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為A. B.C. D.8．設(shè)是雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)，，是的兩個(gè)頂點(diǎn)，上存在一點(diǎn)，使得與以為直徑的圓相切于，且是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則的漸近線(xiàn)方程為A. B.C. D.9．設(shè)圓：和圓：交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，則線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.10．雙曲線(xiàn)：的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則它的離心率為（）A. B.C. D.11．若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足不等式組，則的最小值為（）A. B.0C. D.212．若直線(xiàn)與平行，則實(shí)數(shù)m等于（）A.0 B.1C.4 D.0或4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______.14．已知等比數(shù)列滿(mǎn)足：，，，則公比______.15．已知圓被軸截得的弦長(zhǎng)為4，被軸分成兩部分的弧長(zhǎng)之比為1∶2，則圓心的軌跡方程為_(kāi)_____，若點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____16．已知函數(shù)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，（1）求，；（2）已知，，試比較，的大小18．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.19．（12分）某校在全體同學(xué)中隨機(jī)抽取了100名同學(xué)，進(jìn)行體育鍛煉時(shí)間的專(zhuān)項(xiàng)調(diào)查．將調(diào)查數(shù)據(jù)按平均每天鍛煉時(shí)間的多少（單位：分鐘）分成五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．將平均每天體育鍛煉時(shí)間不少于60分鐘的同學(xué)定義為鍛煉達(dá)標(biāo)，平均每天體育鍛煉時(shí)間少于60分鐘的同學(xué)定義為鍛煉不達(dá)標(biāo)（1）求a的值，并估計(jì)該校同學(xué)平均每天體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)；（2）在樣本中，對(duì)平均每天體育鍛煉時(shí)間不達(dá)標(biāo)的同學(xué)，按分層抽樣的方法抽取6名同學(xué)了解不達(dá)標(biāo)的原因，再?gòu)倪@6名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行調(diào)研，求這2名同學(xué)中至少有一名每天體育鍛煉時(shí)間（單位：分鐘）在內(nèi)的概率20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面滿(mǎn)足，，底面，且，.（1）證明平面；（2）求平面與平面的夾角.21．（12分）已知橢圓的焦點(diǎn)為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的倍（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為1的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，求面積的最大值22．（10分）甲乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束，設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響（1）求甲乙各投球一次，比賽結(jié)束的概率；（2）求甲獲勝的概率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】若函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)的圖象不過(guò)第四象限，原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題；其逆命題為：若函數(shù)的圖象不過(guò)第四象限，則函數(shù)是冪函數(shù)是假命題，所以原命題的否命題也是假命題.故它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題有一個(gè)．選C2、B【解析】求導(dǎo)，得到曲線(xiàn)在點(diǎn)處的斜率，寫(xiě)出切線(xiàn)方程.【詳解】因?yàn)?，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處斜率為4，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是，即，故選：B3、C【解析】由拋物線(xiàn)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為求解即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為,故拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離是2.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題型.4、D【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義知，，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線(xiàn)，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義知，，而，所以或故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的定義及其應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線(xiàn)的定義，列出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】雙曲線(xiàn)離心率公式和a、b、c的關(guān)系即可求得m，從而得到雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵雙曲線(xiàn)，∴，又，∴，∵離心率為，∴，解得，∴雙曲線(xiàn)方程.故選：D.6、B【解析】，得出到漸近線(xiàn)的距離為，由此可得的關(guān)系，從而求得離心率【詳解】因?yàn)?，而，所以是等邊三角形，到直線(xiàn)的距離為，又，漸近線(xiàn)方程取，即，所以，化簡(jiǎn)得故選：B7、B【解析】設(shè)，解集為所以二次函數(shù)圖像開(kāi)口向下，且與交點(diǎn)為，由韋達(dá)定理得所以的解集為，故選B.8、C【解析】根據(jù)圖形的幾何特性轉(zhuǎn)化成雙曲線(xiàn)的之間的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)另一焦點(diǎn)為，連接，由于是圓的切線(xiàn)，則，且，又是的中點(diǎn)，則是的中位線(xiàn)，則，且，由雙曲線(xiàn)定義可知，由勾股定理知，，，即，漸近線(xiàn)方程為，所以漸近線(xiàn)方程為故選C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.9、A【解析】將兩圓的方程相減，即可求兩圓相交弦所在直線(xiàn)的方程.【詳解】設(shè)，因?yàn)閳A：①和圓：②交于A(yíng)，B兩點(diǎn)所以由①-②得：,即，故坐標(biāo)滿(mǎn)足方程，又過(guò)AB的直線(xiàn)唯一確定，即直線(xiàn)的方程為.故選：A10、A【解析】先利用直線(xiàn)的斜率判定一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求出，再利用雙曲線(xiàn)的離心率公式和進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以，即，則雙曲線(xiàn)的離心率.故選：A.卷II（非選擇題11、A【解析】畫(huà)出可行域，令，則，結(jié)合圖形求出最小值，即可得解；【詳解】解：畫(huà)出不等式組，表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，由，解得，即，令，則．結(jié)合圖形可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，且，即故選：A12、A【解析】由兩條直線(xiàn)平行的充要條件即可求解.【詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)與平行，所以，解得，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線(xiàn)長(zhǎng)，最終利用側(cè)面積公式求出答案.【詳解】∵∴∴∴.故答案為：.14、【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，結(jié)合即可求出公比.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公式為q，則，即，解得，又，所以，所以.故答案為：.15、①.②.【解析】設(shè)，圓半徑為，進(jìn)而根據(jù)題意得，，進(jìn)而得其軌跡方程為雙曲線(xiàn)，再根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，將周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求的最小值，進(jìn)而求解.【詳解】解：如圖1，因?yàn)閳A被軸截得的弦長(zhǎng)為4，被軸分成兩部分的弧長(zhǎng)之比為1∶2，所以，，所以中點(diǎn)，則，，所以，故設(shè)，圓半徑為，則，，，所以，即所以圓心的軌跡方程為，表示雙曲線(xiàn)，焦點(diǎn)為，，如圖2，連接，由雙曲線(xiàn)的定義得，即，所以周長(zhǎng)為，因?yàn)?，所以周長(zhǎng)的最小值為故答案為：；.16、【解析】由題知方程，，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)值得變化情況，作出函數(shù)的大致圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程，，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，令，則，，令，則所以為上的單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)楫?dāng)趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，且，時(shí)，，故的圖像大致如圖所示，所以方程，，有且只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，由已知列式計(jì)算得解.(2)由(1)的結(jié)論，用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，用裂項(xiàng)相消法求出，再比較大小作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，，整理得：，解得，所以，.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，，，則，用數(shù)學(xué)歸納法證明，，①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊>右邊，即原不等式成立，②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則，即時(shí)，原不等式成立，綜合①②知，，成立，因此，，即，所以.18、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為和；（2）；.【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令，求出單調(diào)遞增區(qū)間；令，求出單調(diào)遞減區(qū)間.（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】1函數(shù)的定義域是R，，令，解得令，解得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為和；2由在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，而，，故最大值是.19、（1），中位數(shù)為64；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數(shù)a，根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合頻率直方圖求中位數(shù).（2）首先由分層抽樣求6名同學(xué)的分布情況，再應(yīng)用列舉法求概率.【詳解】（1）由題設(shè)，，可得，∴中位數(shù)應(yīng)在之間，令中位數(shù)為，則，解得.∴該校同學(xué)平均每天體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)為64.（2）由題設(shè)，抽取6名同學(xué)中1名在，2名在，3名在，若1名在為，2名在為，3名在為，∴隨機(jī)抽取2名的可能情況有共15種，其中至少有一名在內(nèi)的共12種，∴這2名同學(xué)中至少有一名每天體育鍛煉時(shí)間（單位：分鐘）在內(nèi)的概率為.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由已知結(jié)合線(xiàn)面平行判定定理可得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法可解.【小問(wèn)1詳解】∵，，∴，又平面，平面，∴平面；【小問(wèn)2詳解】∵平面且、平面，∴，，又∵，故分別以所在直線(xiàn)為軸，軸、軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：由，，可得：，，，，，由已知平面，平面，，，，，平面，所以平面，為平面的一個(gè)法向量，且；設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，，，，，，，令，則，，，設(shè)平面與平面的夾角大小為，，由得：平面與平面的夾角大小為21、（1）；（2）1.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓半焦距c，長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)a，b即可得解.(2)設(shè)出直線(xiàn)的方程，再與橢圓C的方程聯(lián)立，求出弦AB長(zhǎng)及點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離，然后求出面積的表達(dá)式并求其最大值即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意，半焦距，，即，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】依題意，設(shè)直線(xiàn)，，由消去y并整理得：，由，解得，則有，，于是得，而點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，因此，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以面積最大值為1.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：直線(xiàn)l：y=kx+b上兩點(diǎn)間的距離；直線(xiàn)l：x=my+t上兩點(diǎn)間的距離.22、（1）（2）【解析】（1）設(shè)事件“甲在第次投籃投中”，設(shè)事件“乙在第次