2025屆江蘇省鹽城市、南京市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆江蘇省鹽城市、南京市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)橢圓（）的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線(xiàn)與C的一個(gè)交點(diǎn)為Q（點(diǎn)Q在x軸上方），且，則C的離心率為（）A. B.C. D.2．若圓C與直線(xiàn)：和：都相切，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.3．設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若（為常數(shù)），則（）A. B.C. D.4．已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則的最大值為（）A. B.C. D.5．從0，2中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.24 B.18C.12 D.66．某單位有840名職工,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法,抽取42人做問(wèn)卷調(diào)查,將840人按1,2,…,840隨機(jī)編號(hào),則抽取的42人中,編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為A.11 B.12C.13 D.147．?dāng)?shù)學(xué)家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線(xiàn)上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn)．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，則的歐拉線(xiàn)方程是（）A. B.C. D.8．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（）A.28 B.39C.56 D.1179．甲乙兩個(gè)雷達(dá)獨(dú)立工作，它們發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別是0.9和0.8，飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為（）A.0.72 B.0.26C.0.7 D.0.9810．如圖，某圓錐軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.11．已知函數(shù).設(shè)命題的定義域?yàn)椋}的值域?yàn)?若為真，為假，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知命題p：，總有，則為（）A.，使得 B.，使得C.，總有 D.，總有二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，公差，則當(dāng)?shù)那皀項(xiàng)和最大時(shí)，___________14．已知曲線(xiàn)，①若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上；②若，則是圓，其半徑為；③若，則是雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為；④若，，則是兩條直線(xiàn).以上四個(gè)命題，其中正確的序號(hào)為_(kāi)________.15．若，滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為_(kāi)____________16．已知，，且，則的值是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，且.（1）求拋物線(xiàn)方程；（2）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，且.求△OPQ面積的最小值.19．（12分）如圖，四邊形ABCD是正方形，四邊形BEDF是菱形，平面平面.（1）證明：；（2）若，且平面平面BEDF，求平面ADE與平面CDF所成的二面角的正弦值.20．（12分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)且（為原點(diǎn)），求直線(xiàn)的斜率21．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且（1）求；（2）若，求的面積的最大值22．（10分）公差不為零的等差數(shù)列中，已知其前n項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前n和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】連接Q和右焦點(diǎn)，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，寫(xiě)出兩直線(xiàn)方程，聯(lián)立可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，Q點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得a、b、c關(guān)系﹒【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接Q，∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，F(xiàn)Q過(guò)F(－c，0)，Q過(guò)(c，0)，則，由，∵Q在橢圓上，∴，又，解得，∴離心率故選：D2、B【解析】首先求出兩平行直線(xiàn)間的距離，即可求出圓的半徑，設(shè)圓心坐標(biāo)為，，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑得到方程，求出的值，即可得解；【詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)：和：的距離，由圓C與直線(xiàn)：和：都相切，所以圓的半徑為，又圓心在軸上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，，所以圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即，所以或（舍去），所以圓心坐標(biāo)為，故圓的方程為；故選：B3、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】.故選：C.4、A【解析】作出可行域，利用代數(shù)式的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合可求得的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立可得，即點(diǎn)，代數(shù)式的幾何意義是連接可行域內(nèi)一點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)在可行域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角為銳角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角最大，此時(shí)取最大值，即.故選：A.5、C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合計(jì)數(shù)原理中的分步計(jì)算，以及排列組合公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，要使組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)，則從0，2中選一個(gè)數(shù)字為個(gè)位數(shù)，有種可能，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字為十位數(shù)和百位數(shù)，有種可能，故這個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：C.6、B【解析】使用系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，即從20人抽取1人∴從編號(hào)1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接著從編號(hào)481～720共240人中抽取240/20=12人考點(diǎn)：系統(tǒng)抽樣7、B【解析】根據(jù)的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，先求解出重心的坐標(biāo)，然后再根據(jù)三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求解任意兩條垂直平分線(xiàn)的方程，聯(lián)立方程，即可算出外心的坐標(biāo)，最后根據(jù)重心和外心的坐標(biāo)使用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程.【詳解】由題意可得的重心為．因?yàn)?，，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為．因?yàn)椋?，所以直線(xiàn)的斜率，線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為．聯(lián)立，解得，則的外心坐標(biāo)為，故的歐拉線(xiàn)方程是，即故選：B.8、B【解析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，則.故選：B.9、D【解析】利用對(duì)立事件的概率求法求飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率.【詳解】由題設(shè)，飛行目標(biāo)不被甲、乙發(fā)現(xiàn)的概率分別為、，所以飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為.故選：D10、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線(xiàn)為軸，直線(xiàn)，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為，則.故選：C.11、C【解析】根據(jù)一元二次不等式恒成立和二次函數(shù)值域可求得為真命題時(shí)的取值范圍，根據(jù)和的真假性可知一真一假，分類(lèi)討論可得結(jié)果.【詳解】若命題為真，則在上恒成立，，；若命題為真，則的值域包含，則或，；為真，為假，一真一假，若真假，則；若假真，則；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.12、B【解析】由含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}p：，總有是全稱(chēng)量詞命題，所以其否定為存在量詞命題，即，使得，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】根據(jù)公式求出前n項(xiàng)和，再利用二次函數(shù)的性質(zhì).【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，，所以，當(dāng)時(shí)，取到最大值.故答案為：3.14、①③④【解析】通過(guò)m，n的取值判斷焦點(diǎn)坐標(biāo)所在軸，判斷①，求出圓的半徑判斷②；通過(guò)求解雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，判斷③；利用，，判斷曲線(xiàn)是否是兩條直線(xiàn)判斷④【詳解】解：①若，則，因?yàn)榉匠袒癁椋?，焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸，所以①正確；②若，則C是圓，其半徑為：，不一定是，所以②不正確；③若，則C是雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)可得，所以③正確；④若，，方程化為，則C是兩條直線(xiàn),所以④正確；故答案為：①③④15、6【解析】首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫(huà)出相應(yīng)的可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，之后在圖中畫(huà)出直線(xiàn)，在上下移動(dòng)的過(guò)程中，結(jié)合的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)過(guò)B點(diǎn)時(shí)取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)解析式，求得最大值.【詳解】根據(jù)題中所給的約束條件，畫(huà)出其對(duì)應(yīng)的可行域，如圖所示：由，可得，畫(huà)出直線(xiàn)，將其上下移動(dòng)，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線(xiàn)在y軸截距最大時(shí)，z取得最大值，由，解得，此時(shí)，故答案為6.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)線(xiàn)性規(guī)劃的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，首先需要正確畫(huà)出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫(huà)出一條直線(xiàn)，上下平移，判斷哪個(gè)點(diǎn)是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.16、【解析】根據(jù)空間向量可得，結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】由題意知，，所以，解得.故答案：3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列條件列方程，即可求通項(xiàng)公式；（2）先由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出，解得，分組求和即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，∴，由，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】∵數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，即，∴，∴.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義列方程，由此求得，進(jìn)而求得拋物線(xiàn)方程.（2）聯(lián)立直線(xiàn)的方程和拋物線(xiàn)方程，寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合求得的值，求得三角形面積的表達(dá)式，進(jìn)而求得面積的最小值.【詳解】（1）依題意.（2）與聯(lián)立得，，得，又，又m>0，m=4.且，，當(dāng)k=0時(shí)，S最小，最小值為.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，要證明，只需證明平面即可；（2）以D為原點(diǎn)建系，分別求出平面與平面的法向量，再利用向量的夾角公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)，連接四邊形為正方形，，且為的中點(diǎn)又四邊形為菱形，平面平面又平面OAE.（2）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，則由（1）得又平面平面，平面平面，平面ABCD，故，同理，設(shè)為平面的法向量，為平面的法向量，則故可取，同理故可取，所以設(shè)平面與平面所成的二面角為，則，所以平面與平面所成的二面角的正弦值為20、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓方程.（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)求得直線(xiàn)的斜率.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，．所以，橢圓的方程為小問(wèn)2詳解】由題意，設(shè)．設(shè)直線(xiàn)的斜率為，又，則直線(xiàn)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立整理得，可得，代入得，進(jìn)而直線(xiàn)的斜率．在中，令，得，所以直線(xiàn)的斜率為由，得，化簡(jiǎn)得，從而所以，直線(xiàn)的斜率為或21、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理將邊化為角，結(jié)合三角函數(shù)的兩角和的正弦公式，可求得答案;（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式可求得，再利用三角形面積公式求得答案.【小