2025屆四川省成都實驗外國語學(xué)校數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆四川省成都實驗外國語學(xué)校數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．小張家訂了一份報紙，送報人可能在早上之間把報送到小張家，小張離開家去工作的時間在早上之間.用表示事件：“小張在離開家前能得到報紙”，設(shè)送報人到達的時間為，小張離開家的時間為，看成平面中的點，則用幾何概型的公式得到事件的概率等于（）A． B． C． D．2．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過點的直線與橢圓交于、兩點.若的內(nèi)切圓與線段在其中點處相切，與相切于點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A． B．1 C．2 D．34．已知函數(shù)f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均為常數(shù)）的圖象關(guān)于點（2，1）對稱，則f（5）+f（﹣1）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．45．已知等差數(shù)列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．246．拋物線的焦點為，點是上一點，，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若，則等于（）A．-3 B．-1 C．3 D．08．下列函數(shù)中，在定義域上單調(diào)遞增，且值域為的是（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列an滿足：an=2,n≤5a1A．16 B．17 C．18 D．1910．某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該單位去年的水費開支占總開支的百分比為（）A． B． C． D．11．設(shè)不等式組，表示的平面區(qū)域為，在區(qū)域內(nèi)任取一點，則點的坐標滿足不等式的概率為A． B．C． D．12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則①處應(yīng)填寫（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線C：（）的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點，過線段的中點N且垂直于l的直線與C的準線交于點M，若，則l的斜率為______.14．函數(shù)的定義域為____.15．數(shù)學(xué)家狄里克雷對數(shù)論，數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.函數(shù)，稱為狄里克雷函數(shù).則關(guān)于有以下結(jié)論:①的值域為;②;③;④其中正確的結(jié)論是_______(寫出所有正確的結(jié)論的序號)16．已知雙曲線的左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點，則雙曲線C的離心率為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且垂直于底面，，分別是的中點.（1）證明：平面平面；（2）已知點在棱上且，求直線與平面所成角的余弦值.18．（12分）已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，，線段的中點為．（Ⅰ）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（Ⅱ）若過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由．19．（12分）已知拋物線C:x24py（p為大于2的質(zhì)數(shù)）的焦點為F，過點F且斜率為k(k0)的直線交C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交y軸于點E，拋物線C在點A，B處的切線相交于點G.記四邊形AEBG的面積為S.（1）求點G的軌跡方程；（2）當點G的橫坐標為整數(shù)時，S是否為整數(shù)？若是，請求出所有滿足條件的S的值；若不是，請說明理由.20．（12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，需引進一條新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，現(xiàn)有兩條生產(chǎn)線可供選擇，生產(chǎn)線①：有A，B兩道獨立運行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.02，0.03.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本為15萬元；若A工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加2萬元；若B工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加3萬元；若A，B兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元.生產(chǎn)線②：有a，b兩道獨立運行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.04，0.01.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本為14萬元；若a工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加8萬元；若b工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元；若a，b兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加13萬元.（1）若選擇生產(chǎn)線①，求生產(chǎn)成本恰好為18萬元的概率；（2）為最大限度節(jié)約生產(chǎn)成本，你會給工廠建議選擇哪條生產(chǎn)線？請說明理由.21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為4sin.（1）求曲線C的普通方程；（2）求曲線l和曲線C的公共點的極坐標.22．（10分）已知函數(shù)，直線為曲線的切線（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求實數(shù)的值；（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，若函數(shù)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

這是幾何概型，畫出圖形，利用面積比即可求解.【詳解】解：事件發(fā)生，需滿足，即事件應(yīng)位于五邊形內(nèi)，作圖如下：故選：D【點睛】考查幾何概型，是基礎(chǔ)題.2、D【解析】

可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，設(shè)，，可得，由切線的性質(zhì)：切線長相等推得，解得、，并設(shè)，求得的值，推得為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結(jié)合離心率公式可得所求值．【詳解】可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，為切點，且為中點，，設(shè)，，則，且有，解得，，設(shè)，，設(shè)圓切于點，則，，由，解得，，，所以為等邊三角形，所以，，解得.因此，該橢圓的離心率為.故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，注意運用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，考查化簡運算能力，屬于中檔題．3、B【解析】

根據(jù)整體的奇偶性和部分的奇偶性，判斷出的值.【詳解】依題意是奇函數(shù).而為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，故，也即，化簡得，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)對稱性即可求出答案．【詳解】解：∵點（5，f（5））與點（﹣1，f（﹣1））滿足（5﹣1）÷2＝2，故它們關(guān)于點（2，1）對稱，所以f（5）+f（﹣1）＝2，故選：C．【點睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．5、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，再計算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中，故答案選C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的?？碱}型.6、B【解析】

根據(jù)拋物線定義得，即可解得結(jié)果.【詳解】因為，所以.故選B【點睛】本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7、D【解析】分析：因為題設(shè)中給出了的值，要求的值，故應(yīng)考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解：由題設(shè)有，故有，所以，從而，故選D.點睛：本題考查函數(shù)的表示方法，解題時注意根據(jù)問題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.8、B【解析】

分別作出各個選項中的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.【詳解】對于，圖象如下圖所示：則函數(shù)在定義域上不單調(diào)，錯誤；對于，的圖象如下圖所示：則在定義域上單調(diào)遞增，且值域為，正確；對于，的圖象如下圖所示：則函數(shù)單調(diào)遞增，但值域為，錯誤；對于，的圖象如下圖所示：則函數(shù)在定義域上不單調(diào)，錯誤.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2，累加法求得a62+【詳解】解：an即a1=an?6時，a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…，ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時，要使得a1則ak+1則k=17，故選：B．【點睛】本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法，注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系，從而可簡化與數(shù)列相關(guān)的方程，本題屬于難題.10、A【解析】

由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計算出水費開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費開支占總開支的百分比.【詳解】水費開支占總開支的百分比為.故選：A【點睛】本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

畫出不等式組表示的區(qū)域，求出其面積，再得到在區(qū)域內(nèi)的面積，根據(jù)幾何概型的公式，得到答案.【詳解】畫出所表示的區(qū)域，易知，所以的面積為，滿足不等式的點，在區(qū)域內(nèi)是一個以原點為圓心，為半徑的圓面，其面積為，由幾何概型的公式可得其概率為，故選A項.【點睛】本題考查由約束條件畫可行域，求幾何概型，屬于簡單題.12、B【解析】

模擬程序框圖運行分析即得解.【詳解】；；.所以①處應(yīng)填寫“”故選：B【點睛】本題主要考查程序框圖，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分別過A，B，N作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，，，根據(jù)拋物線定義和求得，從而求得直線l的傾斜角.【詳解】分別過A，B，N作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，，，由拋物線的定義知，，，因為，所以，所以，即直線的傾斜角為，又直線與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為，.故答案為：【點睛】此題考查拋物線的定義，根據(jù)已知條件做出輔助線利用拋物線定義和幾何關(guān)系即可求解，屬于較易題目.14、【解析】由題意得，解得定義域為．15、②【解析】

根據(jù)新定義，結(jié)合實數(shù)的性質(zhì)即可判斷①②③，由定義求得比小的有理數(shù)個數(shù)，即可確定④.【詳解】對于①，由定義可知，當為有理數(shù)時；當為無理數(shù)時，則值域為，所以①錯誤；對于②，因為有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，所以滿足，所以②正確；對于③，因為，當為無理數(shù)時，可以是有理數(shù)，也可以是無理數(shù)，所以③錯誤；對于④，由定義可知，所以④錯誤；綜上可知，正確的為②.故答案為：②.【點睛】本題考查了新定義函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確理解題意是解決此類問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16、【解析】

由等腰三角形及雙曲線的對稱性可知或,進而利用兩點間距離公式求解即可.【詳解】由題設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為,,因為左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點,當時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得（舍）；當時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得,故答案為:【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查分類討論思想.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由平面幾何知識可得出四邊形是平行四邊形，可得面，再由面面平行的判定可證得面面平行；（2）由（1）可知，兩兩垂直，故建立空間直角坐標系，可求得面PAB的法向量，再運用線面角的向量求法，可求得直線與平面所成角的余弦值.【詳解】（1），,又，，,而、分別是、的中點，，故面,又且，故四邊形是平行四邊形,面,又，是面內(nèi)的兩條相交直線,故面面.（2）由（1）可知，兩兩垂直，故建系如圖所示,則，，，,設(shè)是平面PAB的法向量,，令，則,,直線NE與平面所成角的余弦值為.【點睛】本題考查空間的面面平行的判定，以及線面角的空間向量的求解方法，屬于中檔題.18、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）能，或．【解析】試題分析：（1）設(shè)直線，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理求根與系數(shù)的關(guān)系，并表示直線的斜率，再表示；（2）第一步由(Ⅰ)得的方程為．設(shè)點的橫坐標為，直線與橢圓方程聯(lián)立求點的坐標，第二步再整理點的坐標，如果能構(gòu)成平行四邊形，只需，如果有值，并且滿足，的條件就說明存在，否則不存在.試題解析：解：(1)設(shè)直線，，，．∴由得，∴，．∴直線的斜率，即．即直線的斜率與的斜率的乘積為定值．（2）四邊形能為平行四邊形．∵直線過點，∴不過原點且與有兩個交點的充要條件是，由(Ⅰ)得的方程為．設(shè)點的橫坐標為．∴由得，即將點的坐標代入直線的方程得，因此．四邊形為平行四邊形當且僅當線段與線段互相平分，即∴．解得，．∵，，，∴當?shù)男甭蕿榛驎r，四邊形為平行四邊形．考點：直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用【一題多解】第一問涉及中點弦，當直線與圓錐曲線相交時，點是弦的中點，（1）知道中點坐標，求直線的斜率，或知道直線斜率求中點坐標的關(guān)系，或知道求直線斜率與直線斜率的關(guān)系時，也可以選擇點差法，設(shè),，代入橢圓方程，兩式相減，化簡為，兩邊同時除以得，而,,即得到結(jié)果，（2）對于用坐標法來解決幾何性質(zhì)問題，那么就要求首先看出幾何關(guān)系滿足什么條件，其次用坐標表示這些幾何關(guān)系，本題的關(guān)鍵就是如果是平行四邊形那么對角線互相平分，即，分別用方程聯(lián)立求兩個坐標，最后求斜率.19、（1）（2）當G點橫坐標為整數(shù)時，S不是整數(shù)．【解析】

（1）先求解導(dǎo)數(shù)，得出切線方程，聯(lián)立方程得出交點G的軌跡方程；（2）先求解弦長，再分別求解點到直線的距離，表示出四邊形的面積，結(jié)合點G的橫坐標為整數(shù)進行判斷.【詳解】（1）設(shè)，則，拋物線C的方程可化為，則，所以曲線C在點A處的切線方程為，在點B處的切線方程為，因為兩切線均過點G，所以，所以A，B兩點均在直線上，所以直線AB的方程為，又因為直線AB過點F(0，p)，所以，即G點軌跡方程為；（2）設(shè)點G(，)，由（1）可知，直線AB的方程為，即，將直線AB的方程與拋物線聯(lián)立，，整理得，所以，，解得，因為直線AB的斜率，所以，且，線段AB的中點為M，所以直線EM的方程為：，所以E點坐標為(0，)，直線AB的方程整理得，則G到AB的距離，則E到AB的距離，所以，設(shè)，因為p是質(zhì)數(shù)，且為整數(shù)，所以或，當時，，是無理數(shù)，不符題意，當時，，因為當時，，即是無理數(shù)，所以不符題意，當時，是無理數(shù)，不符題意，綜上，當G點橫坐標為整數(shù)時，S不是整數(shù)．【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線中的切線問題通常借助導(dǎo)數(shù)來求解，四邊形的面積問題一般轉(zhuǎn)化為三角形的面積和問題，表示出面積的表達式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).20、（1）0.0294.（2）應(yīng)選生產(chǎn)線②.見解析【解析】

（1）由題意轉(zhuǎn)化條件得A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障，利用相互獨立事件的概率公式即可得解；（2）分別算出兩個生產(chǎn)線增加的生產(chǎn)成本的期望，進而求出兩個生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本期望值，比較期望值即可得解.【詳解】（1）若選擇生產(chǎn)線①，生產(chǎn)成本恰好為18萬元，即A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障，故所求的概率為.（2）若選擇生產(chǎn)線①，設(shè)增加的生產(chǎn)成本為(萬元)，則的可能取值為0，2，3，5.，，,,所以萬元；故選生產(chǎn)線①的生產(chǎn)成本期望值為(萬元).若選生產(chǎn)線②，設(shè)增加的生產(chǎn)成本為（萬元），則的可能取值為0，8，5，13.，，，，所以，故選生產(chǎn)線②的生產(chǎn)成本期望值為(萬元)，故應(yīng)選生產(chǎn)線②.【點睛】本題考查了相互獨立事件的概率，考查了離散型隨機變量期望的應(yīng)用，屬于中檔題.21、（1）（2）(2，)．【解析】

（1）利用極坐標和直角坐標的轉(zhuǎn)化公式求解.（2）先把兩個方程均化為普通方程，求解公