2021年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明 學(xué)案新人教A版選修1-2

2.1合情推理與演繹推理

2.1.1合情推理

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.了解合情推理的含義.（易混點）

1.通過學(xué)習(xí)歸納推理和類比推理，培養(yǎng)數(shù)

2.理解歸納推理和類比推理的含義，并能利

學(xué)邏輯推理的素養(yǎng).

用歸納和類比推理進(jìn)行簡單的推理.（重點、

2.借助合情推理，培養(yǎng)抽象概括的素養(yǎng).

難點）

迷西包生生？自主預(yù)習(xí)。探新知頊旦素養(yǎng)圖史

匚新理眼二

1.歸納推理與類比推理

歸納推理類比推理

由某類事物的部分對象具有某些特征，推出由兩類對象具有某些類似特征和

該類事物的全部對象都具有這些特征的推其中一類對象的某些已知特征，

定義

理,或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，推出另一類對象也具有這些特征

稱為歸納推理（簡稱歸納）的推理稱為類比推理（簡稱類比）

歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的

特征類比推理是由特殊到特殊的推理

推理

思考：歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？

［提示I歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然

性的，而是或然性的，結(jié)論不一定正確.類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測

正在被斫究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測性，不一定可靠.

2.合情推理

從具

問

歸納推理體經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想

----------------提出

出

題再進(jìn)行歸納、奧七|猜想|

類比推理發(fā)

m試身

i.魯班發(fā)明鋸子的思維過程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開木

材，它們在功能上是類似的.因此，它們在形狀上也應(yīng)該類似，“鋸子”應(yīng)該是齒形的.該

過程體現(xiàn)了（）

A.歸納推理B.類比推理

C.沒有推理D.以上說法都不對

B［推理是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程，上述過程是

推理，由性質(zhì)類比可知是類比推理.]

2.已知扇形的弧長為/,半徑為r,類比三角形的面積公式5=”廣，可推知扇形的

面積SB=()

,2/27?-

A.yB.]C.yD.不可類比

C[結(jié)合類比推理可知S產(chǎn)與」

3.如圖所示，由若干個點組成形如三角形的圖形,每條邊(包括兩個端點)有

個點，每個圖形總的點數(shù)記為斯，則％=，an=(能>1,N").

O

ooo

oooo0

OoooOOO

oooooOOOOOOOOO

71=2n=3n=4n=5

153”-3[依據(jù)圖形特點，可知第5個圖形中三南形各邊上各有6個點，因此恁=

3X6—3=15.由w=2,3,4,5,6的圖形特點歸納得斯=3〃-3(〃>1,nSN*).]

暴辯網(wǎng)題解惑合作探究。釋疑難至杜木旅受圓…

RBI數(shù)、式中的歸納推理

【例1】(1)觀察下列等式:

產(chǎn)=1,

12-22=-3,

12-22+32=6,

12-22+32-42=-10,

照此規(guī)律，第"個等式可為.

Y

(2)已知：>U)=H，設(shè)力(x)=/(x),4x)=/；_(/；Li(x))(〃>l,且”WN*),則力(x)的表達(dá)

式為，猜想力(x)(〃GN*)的表達(dá)式為.

(3)已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”0=3,滿足S”=6-2a“+i(〃GN*).

①求。2，43,。4的值；

②猜想知的表達(dá)式.

(1)12—22+32—42+,?,+(—1),,+'n2=(—1)"i"。[?)

VV

=2=

(2.(x)=]_41.fM\—2"iv[(1)11，

l2-22=-(l+2),

l2-22+32=l+2+3,

12-22+32-42=-(1+2+3+4),

12-22+32-42+???+(-l),,+ln2

=(一1嚴(yán)(1+2+…+〃)

=(一1嚴(yán)七?

X

⑵???段)=廠:

?77ia)=e^?

又??/。)=/；1仿-1。))，

x

1-XX

???拉(x)=力(/iW)=-=-j7Z

x

1—2%

方a）=^sa））=

__x_1一4￡

1-2X

\~2x

x

1-4xx

力。）=力仍（九））=

xl—8x'

1-4X

1—4x

x

1—8xx

/5U)=/W))=

.rl-16x,

1-8X

l-8x

x

根據(jù)前幾項可以猜想f?(x)=^~

rvl

(3)解:①因為0=3,且S.=6-2a”+i(〃WN*),

所以5i=6—2a2=ai=3,解得。2=彳，

3

-

又§2=6—2〃3=。1+〃2=3+,，解得3=4

又§3=6—2。4=。1+。2+。3=3+1+不

3

解得?4=0.

o

4工?-33333

②由①知0=3=即，。2=]=初，。3=^=了,

333

〃4=W=手，",猜想a"=^r(〃GN").

廠.......規(guī)WcT5法..........................

進(jìn)行數(shù)、式中的歸納推理的一般規(guī)律

(1)已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法,①要特別注意所給幾個等式(或不等式)中

項數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；

②要特別注意所給幾個等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征；

③提煉出等式(或不等式)的綜合特點；

④運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論.

(2)數(shù)列中的歸納推理，在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測數(shù)列的通項公式或前n

項和公式.

①通過已知條件求出數(shù)列的前幾項或前〃項和；

②根據(jù)數(shù)列中的前幾項或前〃項和與對應(yīng)序號之間的關(guān)系求解；

③運(yùn)用歸納推理寫出數(shù)列的通項公式或前〃項和公式.

I)

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(1)數(shù)歹U5,9,17,33,x,…中的x等于.

(2)已知下列各式：

1>1.

1+2+3+4+5+6+7>2'

1+：+；-!---F太>2,

請你歸納出一般性結(jié)論：.

(1)65(2)l+|+|d----［⑴因為4+1=5,8+1=9,16+1=17,32+1=33,

猜測x=64+l=65.

(2)觀察不等式左邊，各項分母從1開始依次增加1,且終止項為2"-1,不等式右邊依

次為3，…，從而歸納得出一般結(jié)論：1+；+"卜,J］〉?」

RM2幾何圖形中的歸納推理

［例2］(1)黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第n

個圖案中有黑色地面磚的塊數(shù)是.

第一個圖案第二個圖案

(2)根據(jù)圖中線段的排列規(guī)則，試猜想第8個圖形中線段的條數(shù)為

(l)5n+l(2)509[(1)觀察圖案知，從第一個圖案起，每個圖案中黑色地面磚的個數(shù)

組成首項為6,公差為5的等差數(shù)列，從而第"個圖案中黑色地面磚的個數(shù)為6+(〃-1)X5

=5/?+1.

(2)圖形①到④中線段的條數(shù)分別為1,5,13,29,因為1=22-3,5=23—3,13=2’-3,29=

25-3,因此可猜想第8個圖形中線段的條數(shù)應(yīng)為29—3=509.]

利用歸納推理解決幾何問題的兩個策略

(1)通項公式法：數(shù)清所給圖形中研究對象的個數(shù)，列成數(shù)列，觀察所得數(shù)列的前幾項,

探討其變化規(guī)律，歸納猜想通項公式.

(2)遞推公式法：探究后一個圖形與前一個圖形中研究對象的個數(shù)之間的關(guān)系，把各圖

形中研究對象的個數(shù)看成數(shù)列，列出遞推公式，再求通項公式.

[跟進(jìn)訓(xùn)練J

2.如圖所示，由火柴棒拼成的一列圖形中，第八個圖形中由八個正方形組成:

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第5個圖形中，火柴棒有根；第〃個圖形中，火柴棒有

________根.

163〃+1[數(shù)一數(shù)可知各圖形中火柴的根數(shù)依次為：4,7,10/3,…，可見后一個圖形

比前一個圖形多3根火柴，它們構(gòu)成等差數(shù)列，故第5個圖形中有火柴棒16根，第"個圖

形中有火柴棒(3〃+1)根.]

類比推理及其應(yīng)用

三角形與四面體有下列相似性質(zhì):

(1)三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡單的封閉圖形；四面體是空間中由三角形圍成

的最簡單的封閉圖形.

(2)三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點與這條線段的兩個端點的連線所圍成

的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點與這個三角形三個頂點的連線所圍成的

圖形.

通過類比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，完成下列探究點：

［探究問題］

1.在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，那么，在四面體中，各個面的面積之間有

什么關(guān)系？

提示：四面體中的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積.

2.三角形的面積等于底邊與高乘積的;，那么在四面體中，如何表示四面體的體積？

提示：四面體的體積等于底面積與高的乘積的;.

【例3】(1)在等差數(shù)列｛斯｝中，對任意的正整數(shù)〃，有"'+'"+；；?；+—=如?類

比這一性質(zhì)，在正項等比數(shù)列｛兒｝中，有.

(2)在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊ABA.AC,。是4點在8c上的射影，

則A82=BZ>BC.拓展到空間，在四面體A—BCD中，D4_L平面ABC,點。是A在平面BCD

內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，寫出△ABC、△BOC、△8OC三者面積之間的關(guān)系，

并給予必要證明.

思路探究：(1)類比等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì)求解.

(2)將直角三角形的一條直角邊長類比到有一側(cè)棱AO與一側(cè)面ABC垂直的四棱錐的側(cè)

面ABC的面積，將此直角邊A8在斜邊上的射影及斜邊的長，類比到AABC在底面的射影

△08C及底面△BCD的面積可得%ABC=S&OBCSdDBC.

［解］⑴由〃］+42H------卜—類比成也?歷也???aT,除以2〃一1,即商類比成開2〃一

2>7—1____________________

=

1次方，即在正項等比數(shù)列｛/?〃｝中，有^bvbybyb2n-\bn.

(2)AABC.△BOC、ABDC三者面積之間關(guān)系為SiABc=

S^OBC-SADBC.

證明如下：如圖，設(shè)直線0Q與3c相交于點E,

???AO_L平面ABE,

：.AD±AEfADLBC,

又?.?AO_L平面BCD,

：.AO.LDE,AO.LBC.

u

\ADQAO=Af

，8。_1平面4。，

J.BC1AE,BCA.DE.

SAABC=]BC,AE,

SA80C=］BCOE,SABCD=：BCDE.

在Rt/^ADE中，由射影定理知AE2=OE-DE,：.8ABC=S&BOCSABCD.

［母題探究］

1.(變條件)把本例(2)中的射影定理的表示換為"a=/>?cosC+c-cosB,其中a,b,c

分別為角A,B,C的對邊”.類比上述定理，寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想.

［解］如圖所示，在四面體P-ABC中，S,S2,S3,S分別表示p

△PBC,△PCA,AMC的面積，a,￡,y依次表示平面PAB,平面PBC,

平面PCA與底面A8C所成二面角的大小.

B

我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為s=

Si-cos?+S2-cos/i+Sycosy.

2.(變條件)把本例(2)條件換為“在RtZVIBC中，ABLAC,ADL8C于點。，有方=

志+志成立”.那么在四面體A—BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說

明猜想是否正確及理由.

［解］猜想：類比ABA.AC,ADLBC,可以猜想四面體A-BCD

IlliA

中，AB,AC,A。兩兩垂直，AEJ_平面8CD則定=病+苑+彷.

下面證明上述猜想成立B\?

如圖所示，連接8E,并延長交CD于點E連接AE

C

VAB1AC,AB1AD,ACnAD=Af

???A8_L平面ACD

而AFU平面ACD,:.AB±AF.

在RtZXAB/中，AE1BF,

?_L_L._L

^AE2~=AB2^~AF2-

在RtZ\AC。中，AFLCD,

"'AF2~AC2^AD2-

‘探=志+力+力，故猜想正確，

廠........規(guī)律c方法..........................

類比推理的一般步驟

.)

課受知識港?實課堂小結(jié)。提素養(yǎng)雙底盲虔擔(dān)峻

匚逢備素養(yǎng)三］

1.合情推理主要包括歸納推理和類比推理.

2.合情推理的過程概括為：

從具體問題出發(fā)一觀察、分析、比較、聯(lián)想一

歸納、類比一提出猜想

匚學(xué)以致用」

1.判斷正誤

(1)利用合情推理得出的結(jié)論都是正確的.()

(2)類比推理得到的結(jié)論可以作為定理應(yīng)用.()

(3)由個別到一般的推理為歸納推理.()

|答案I(1)X⑵X(3)7

2.把3,6,10,15,21,…這些數(shù)叫作三角形數(shù)，如圖所示,則第六個三角形數(shù)是()

△

361015

A.27B.28

C.29D.30

B「第一個三角形數(shù)是1+2=3,

第二個三角形數(shù)是1+2+3=6,

第三個三角形數(shù)是1+2+3+4=10.

因此，歸納推理得第〃個三角形點數(shù)是1+2+3+4+…+〃+1=。*中+2）（個）.由

此可以得出第六個三角形點數(shù)是28.］

3.等差數(shù)列｛斯｝中有2斯=斯T+斯+】（〃》2,且“GN"）,類比以上結(jié)論，在等比數(shù)列｛與｝

中類似的結(jié)論是.

忌="?兒+i（"22,旦"GN*）［類比等差數(shù)列，可以類比出結(jié)論成=仇-仍“+1（〃》2,

且"6N*）］

4.在RtZXABC中，若NC=90。，則COS24+COS2B=1,在空間中，給出四面體性質(zhì)的

猜想.

［解］如圖，在RlZXABC中，

于是把結(jié)論類比到四面體「一A'B'C'中，我們猜想，三棱錐「一A'8'C'中，若三個側(cè)面

PA'B',PB'C,PC4兩兩互相垂直，且分別與底面所成的角為a,尸，人則cos2?+cos2/?+cos2y

=1.

2.1.2演繹推理

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.理解演繹推理的含義.（重點）1.通過學(xué)習(xí)演繹推理，提升邏輯推理的

2.掌握演繹推理的模式，會利用三段論進(jìn)行素養(yǎng).

簡單的推理.（重點、易混點）2.借助三段論，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

課前自主學(xué)習(xí)自主預(yù)習(xí)。探新知預(yù)習(xí)素養(yǎng)感知

「7新知初探m

1.演繹推理

（1）含義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱為演

繹推理.

（2）特點：演繹推理是由一般到特殊的推理.

2.三段論

一般模式常用格式

大前提已知的一般原理M是P

小前提所研究的特殊情況S是M

結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷S是P

思考：如何「分清大前提、小前提和結(jié)論？

[提示]在演繹推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情

況，結(jié)論是根據(jù)一般原理對特殊情況作出的判斷，這與平時我們解答問題中的思考是一樣的，

即先指出一般情況，從中取出一個特例，特例也具有一般意義.例如，平行四邊形對角線互

相平分，這是一般情況；矩形是平行四邊形，這是特例；矩形對角線互相平分，這是特例具

有一般意義.

E初試身親「

1.“四邊形ABC。是矩形，所以四邊形A8C。的對角線相等”，補(bǔ)充該推理的大前提

是()

A.正方形的對角線相等

B.矩形的對角線相等

C.等腰梯形的對角線相等

D.矩形的對邊平行且相等

B[得出“四邊形ABC。的對角線相等”的大前提是“矩形的對角線相等”.]

2.三段論：

“①小宏在2018年的高考中考入了重點本科院校；②小宏在2018年的高考中只要正

常發(fā)揮就能考入重點本科院校；③小宏在2018年的高考中正常發(fā)揮”中，“小前提”是

(填序號).

③[在這個推理中，②是大前提，③是小前提，①是結(jié)論.]

3.下列幾種推理過程是演繹推理的是.

①兩條平行直線與第三條直線相交，內(nèi)錯角相等，如果NA和是兩條平行直線的內(nèi)

錯角，則NA=/8；②金導(dǎo)電，銀導(dǎo)電，銅導(dǎo)電，鐵導(dǎo)電，所以一切金屬都導(dǎo)電；③由圓

的性質(zhì)推測球的性質(zhì)；④科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇.

①[①是演繹推理；②是歸納推理；③④是類比推理.]

疑難問題解惑合作探究。釋疑難學(xué)科索養(yǎng)形成

印《1把演繹推理寫成三段論的形式

【例1】將下列演繹推理寫成三段論的形式.

(1)平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分;

(2)等腰三角形的兩底角相等，NA,NB是等腰三角形的底角，則/A=NB；

⑶通項公式為&=2〃+3的數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列.

I解I(1)大前提：平行四邊形的對角線互相平分，小前提：菱形是平行四邊形，

結(jié)論：菱形的對角線互相平分.

(2)大前提：等腰三角形的兩底角相等，

小前提：ZA,N8是等腰三角形的底角，

結(jié)論：ZA=ZB.

(3)大前提:數(shù)列｛m｝中，如果當(dāng)〃22時，斯一斯-I為常數(shù)，則｛斯｝為等差數(shù)列，

小前提：通項公式為?！?2〃+3時，若〃》2,

則如一%-|=2〃+3—[2("-1)+3]=2(常數(shù))，

結(jié)論：通項公式為a,,=2n+3的數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列.

1........規(guī)法..........................

把演繹推理寫成“三段論”的一般方法

(1)用“三段論”寫推理過程時，關(guān)鍵是明確大、小前提，三段論中大前提提供了一個

一般性原理，小前提提供了一種特殊情況，兩個命題結(jié)合起來，揭示一般性原理與特殊情況

的內(nèi)在聯(lián)系.

(2)在尋找大前提時，要保證推理的正確性，可以尋找一個使結(jié)論成立的充分條件作為

大前提.

I)

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.下面四個推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是()

A.大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：無是無理數(shù)；結(jié)論：兀是無限不循環(huán)

小數(shù)

B.大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：兀是無限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：兀是無

理數(shù)

C.大前提：兀是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結(jié)論：兀是無

理數(shù)

D.大前提：無是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：兀是無理數(shù)；結(jié)論：無限不循環(huán)小數(shù)是無

理數(shù)

B[對于A,小前提與大前提之間邏輯錯誤，不符合演繹推理三段論形式；對于B,

符合演繹推理三段論形式且推理正確；對于C,大小前提顛倒，不符合演繹推理三段論形式；

對于D,大小前提及結(jié)論顛倒，不符合演繹推理三段論形式.]

用三段論證明幾何問題

【例2】如圖所示，D,E,F分別是BC,CA,AB邊上的點，NBFD=NA,DE//BA,

求證：寫出“三段論”形式的演繹推理.

A

E

|解|（1）同位角相等，兩直線平行，（大前提）

和/A是同位角，且/BF￡>=NA,（小前提）

所以。F〃AE.（結(jié)論）

（2）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，（大前提）

DE//BAJLDF//EA,（小前提）

所以四邊形AFZJE為平行四邊形.（結(jié)論）

（3）平行四邊形的對邊相等，（大前提）

OE和AF為平行四邊形的對邊，（小前提）

所以O(shè)E=4F.（結(jié)論）

1.......規(guī)法...........

1.用“三段論”證明命題的格式

XX義XXX（大前提）

XXXXXX（小前提）

XXXXXX（結(jié)論）

2.用“三段論”證明命題的步驟

①理清楚證明命題的一般思路；

②找出每一個結(jié)論得出的原因；

③把每個結(jié)論的推出過程用“三段論”表示出來.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.如圖所示，在空間四邊形A8C。中，E,F分別是A8,的中點.求證：EF〃平

面BCD.

［證明］三角形的中位線平行于第三邊，（大前提）

點、E、尸分別是48、的中點，（小前提）

所以EF〃BD.（結(jié)論）

若平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線,

則這條直線與此平面平行，（大前提）

平面BCD,BDU平面BCD,EF//BD,（小前提）

EF〃平面BCD（結(jié)論）

用三段論證明代數(shù)問題

I探究問題］

1.數(shù)的大小比較常見方法有哪些？

提示：作差法、作比法、函數(shù)性質(zhì)法（單調(diào)性、奇偶性等）、圖象法、中間量法（常取0

或1作為媒介）等.

2.證明函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）的依據(jù)是什么？試以函數(shù)單調(diào)性給予說明.

提示：證明函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）的依據(jù)是函數(shù)性質(zhì)的相關(guān)定義及有關(guān)的

知識原理.如函數(shù)單調(diào)性的證明，常依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系給予證明.

【例3】⑴設(shè)x,y,z為正數(shù),且2』=3>'=5=，則（）

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3)<5z<2xD.3y<2x<5z

（2）已知函數(shù)兀t）=^+；言（“>1）,

證明：函數(shù)yu）在（-i,+8）上為增函數(shù).

思路探究：（1）借助于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)互化及不等式大小的比較方法求解；（2）利用

函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)法求解.

(1)D[法一：取對數(shù)：xln2=yln3=zln5,十牛等卷,-'?2x>3y;

Ain2=zln5,貝畤=^~|<楙，；.2x<5z,

：.3y<2x<5z,故選D.

法二：令2x=3>'=5z=h

則x=log2^,y=log3%,z=log5k

.2x21gklg3恒9而…

,,3<lg2-31gJl-lg8>b12x3y,

2X_21?J_l￡5__k25^.而,不找*□]

5z~lg2,5Igfc-lg32胴2r<5z,故選D.]

(2)解：法一：(定義法)任取xi,%2^(-1,+8),

且X]<X2,

X2,X2~2XIXI-2&xiX2~~2x\-2

=a+^+\~a一而="一十(而一雨

-

Xi,X2-X1_((X|+1)(X22)—(X|-2)(X2+1)

=a(aT)+S+1)(M+1)

即，X2~X\_,3(X2-Xi)

一伍一】)+(及+1)3+1)-

因為及一汨>0,且a>l,

所以尸">i,

而-

所以為+1>0,x2+l>0,

所以於2)一/1)>0,

所以y(x)在(一i,+8)上為增函數(shù).

x-|-1-33

法二：(導(dǎo)數(shù)法次t)=a'+x+］=升+1一市?

3

所以f(x)=a'lna+(r+］/

因為x>-l,所以(x+l)2>0,

3

所以兩產(chǎn)。

又因為〃>1,所以lna>0,0V>0,

所以"Ina>0.所以/(x)>0.

于是得7(x)=a，+*^在(-1,+8)上是增函數(shù).

［母題探究］

1.(變條件)把本例(1)的條件變換如下：

"已知2"=3,2'=6,2。=12”,則a,h,c的關(guān)系是()

A.成等差數(shù)列但不成等比數(shù)列

B.成等差數(shù)列且成等比數(shù)列

C.成等比數(shù)列但不成等差數(shù)列

D.不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列

A［由條件可知a=Iog23,

Z>=log26,C=log212.

因為tz+c=log23+log212

=log236=21og26=26,

所以a,b,c成等差數(shù)列.

又因為?c=log231og212W(log26)2=〃，

所以a,b,c不成等比數(shù)列.故選A」

21—12'—1

2.（變條件）把本例（2）的函數(shù)換成“〉=殲7”，求證：函數(shù)），=汴■是奇函數(shù)，且在

定義域上是增函數(shù).

（2'+1）—22

1X

［證明Iy-2.<+|-2+1,

所以大x）的定義域為R

y（—x）+y（x）=

品+等）=2-品+蜀

2(2A+1)

=2-2=0.

2r+l

即人一幻=~/（九），

所以?x）是奇函數(shù).

任取乃，JQWR,且

則人項）一於2）=（1_謂［）_（1一言）

=/_!------!__V9新-2X2

Z_Z,

■-<2X2+12XI+M,（2X2+1）（2XI+1）

由于Xl<%2,從而2XI〈2X2,2XI—2%2<0,

所以於|）勺也），故式X）為增函數(shù).

......規(guī)律（方法......

五類代數(shù)問題中的三段論

（1）函數(shù)類問題：比如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性等.

（2）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和最值，證明與函數(shù)有

關(guān)的不等式等.

（3）三角函數(shù)問題：利用三角函數(shù)公式進(jìn)行三角恒等變換，證明三角恒等式.

（4）數(shù)列問題：數(shù)列的通項公式，前〃項和公式的應(yīng)用，證明等差數(shù)列和等比數(shù)列.

（5）不等式類問題：如不等式恒成立問題，線性規(guī)劃以及基本不等式的應(yīng)用問題.

I）

課堂知識夯實課堂小結(jié)。提素養(yǎng)雙基盲點掃除

匚F必備素養(yǎng)二

1.三段論的形式:

大前提：M是P；

小前提：S是M；

結(jié)論：S是P.

2.應(yīng)用三段論證明問題時，要充分挖掘題目外在和內(nèi)在條件（小前提），根據(jù)需要引入

相關(guān)的適用的定理和性質(zhì)（大前提），并保證每一步的推理都是正確的，嚴(yán)密的，才能得出正

確的結(jié)論.

F以致用K1

1.判斷正誤

（1）“三段論”就是演繹推理.（）

（2）演繹推理的結(jié)論是一定正確的.（）

（3）演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理.（）

（4）演繹推理得到結(jié)論的正確與否與大前提、小前提和推理形式有關(guān).

（）

［答案］（1）X（2）X（3）X（4）J

2.若大前提是：任何實數(shù)的平方都大于0,小前提是：a&R,結(jié)論是：/>0,那么

這個演繹推理出錯在（）

A.大前提B.小前提

C.推理過程D.沒有出錯

A［要分析一個演繹推理是否正確，主要觀察所給的大前提、小前提和結(jié)論及推理形

式是否都正確，若這幾個方面都正確，才能得到這個演繹推理正確.因為任何實數(shù)的平方都

大于0,又因為a是實數(shù)，所以/>0,其中大前提是：任何實數(shù)的平方都大于0,它是不

正確的.］

3.函數(shù)y=2x+5的圖象是一條直線，用三段論表示為：

大前提：.

小前提：.

結(jié)論：.

一次函數(shù)的圖象是一條直線y=2x+5是一次函數(shù)函數(shù)y=2x+5的圖象是一條直

線［本題忽略了大前提和小前提.大前提為：一次函數(shù)的圖象是一條直線.小前提為：函

數(shù)y=2x+5為一次函數(shù).結(jié)論為：函數(shù)y=2x+5的圖象是一條直線.］

4.用三段論證明：直角三角形兩銳角之和為90。.

|證明I因為任意三角形內(nèi)角之和為180。，（大前提）

而直角三角形是三角形，（小前提）

所以直角三角形內(nèi)角之和為180。.（結(jié)論）

設(shè)直角三角形兩個銳角分別為2月、NB,則有/4+48+90。=180。，因為等量減等量

差相等，（大前提）

（Z>1+ZB+90°）-90°=180°-90°,（小前提）

所以ZA+NB=90°.（結(jié)論）

2.2直接證明與間接證明

2.2.1綜合法和分析法

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.理解綜合法、分析法的意義，掌握綜合法、

通過學(xué)習(xí)綜合法和分析法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏

分析法的思維特點.（重點、易混點）

輯推理的素養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的素

2.會用綜合法、分析法解決問題.（重點、

養(yǎng).

難點）

迷的省里登另自主預(yù)習(xí)。探新知理習(xí)一素先感史

二新知初探二

1.綜合法

定義推證過程特點

利川。知條件和某味數(shù)學(xué)定

_I@=QI-a=Q

義、公理、定理等,經(jīng)過一順推證法

系列的推理論證,最后推導(dǎo)一一|?！?。|或由因?qū)?/p>

出所要證明的結(jié)論成立，這（P表示已知條件、已有的定義、公理、果法

種證明方法叫做綜合法定理等,。表示所要證明的結(jié)論）

2.分析法

定義框圖表示特點

一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充

逆推證法

分條件,直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明

或執(zhí)果索

顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.這

因法

種證明方法叫做分析法

思考：綜合法與分析法有什么區(qū)別？

［提示］綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步尋找的是必要條件，即由因?qū)Ч悍治龇ㄊ菑?/p>

待求結(jié)論出發(fā)，逐步尋找的是充分條件，即執(zhí)果索因.

m試身罷f

I.命題”對于任意角0,cos40—sin40=cos20"的證明：acos40—sin40=（cos20—

sin^Xcos^+sin^^cos2^—sin20=cos20'',其過程應(yīng)用了（）

A.分析法

B.綜合法

C.綜合法、分析法綜合使用

D.間接證法

B[從證明過程來看，是從已知條件入手，經(jīng)過推導(dǎo)得出結(jié)論，符合綜合法的證明思

路.]

2.要證明A>2,若用作差比較法，只要證明.

A-B>0]要證只要證4一B>0.]

2_i_122I>2

3.將下面用分析法證明七一》H的步驟補(bǔ)充完整：要證匕一》外，只需證+

b2^2ab,也就是證,即證,由于顯然成立，因此原不等式成立.

〃2+/?2

a2+b2-2ab^0（a-b）2^0（。一/疔》。[用分析法證明一7—》"的步滕為：

2

要證—^ah成立，只需證cr+b^2abf

也就是證層十從一2。620,

即證（〃一6）22。.由于3一份22。顯然成立，所以原不等式成立.]

疑難問卷解喜合作探究。釋疑難學(xué)科素養(yǎng)形成

"型1綜合法的應(yīng)用

【例1】在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinAsin8+sinBsin

C+cos28=1.求證：a,b,c成等差數(shù)列.

［證明］因為sinAsin3+sinBsinC+cos2B=1,

所以sin8(sinA+sinC)+(cos2B-1)=0,

即sinB(sinA+sinC)—2sin2B=0,

所以sin8(sinA+sinC_2sin8)=0,

由于在△ABC中，sinBWO,

因此sinA+sinC_2sin8=0,

由正弦定理可得

ac2b

)+示F=o,

于是a+c=2bf

故a,b,c成等差數(shù)列.

規(guī)律c方法

綜合法的解題步驟

I)

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.設(shè)數(shù)列｛斯｝的前n項和為S〃,且(3-/n)$+2〃2a〃=m+3(〃eN*),其中m為常數(shù)，

且加W—3.

(1)求證：｛斯｝是等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列｛斯｝的公比為4=/(膽)，數(shù)列｛與｝滿足"=m，6=，b,i)("eN*,”，2),求

證：局為等差數(shù)列.

［證明］(1)由(3—ni)Sn+2〃2斯=〃2+3,

得(3—ni)Stl+1+2inan+i=/n+3,

兩式相減，得(3+m)an+1=2manf

又加為常數(shù)，???{〃〃}為等比數(shù)列.

⑵:（3—m）Sn+2man=m+3f

/.（3—tn）a\+2tna\=m+39又mW—3,

??a\=\,**?b\=ci\=1,

由（1）,可得4=4團(tuán)）=言不相￡-3）,

oo0A

且“22時，兒=和"-1）=*:

bnbn-\+3bn=3bn-\,又易知b“W0,

._L__!_=1

"bnbn-\~y

數(shù)列尚是首項為1,公差為:的等差數(shù)列.

鏟型2分析法的應(yīng)用

【例2】設(shè)“，6為實數(shù)，求證：后話》乎他+辦

|證明I當(dāng)a+bWO時，"."-\la2+b2^0,

yJa2+b2'等(a+b)成立.

當(dāng)a+b>0時,

用分析法證明如下：要證3a2+從，坐(a+份,

2(a+b)

即證岸+序》/(/+/+2ah),即證a2+h2^2ah.

'Jcr+lr^lab對一切實數(shù)恒成立,

.,.yja2+b2^22(a+b)成立.

綜上所述，不等式得證.

用分析法證明不等式的三個關(guān)注點

(1)分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、基本不等式、已知的重要不等式等.

(2)分析法是綜合法的逆過程，即從“未知”看“需知”，執(zhí)果索因，逐步靠攏“已知”，

其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件或充要條件.

(3)分析法為逆推證明，因此在使用時要注意邏輯性與規(guī)范性.其格式一般為“要

證……，只要證……，只需證……，……顯然成立，所以……成立”.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.已知a,〃是正實數(shù)，求證：令+名之也+也.

[證明]要證金+金》也+或，

只要證a\[a+b\[b^y[ab-(y[a+y[b).

即證(a+Z?-y[ab)(y[a+y[b)2y[ab(y[a+y[b),

因為。，。是正實數(shù)，

即證a+b-^y[ab^y[abf

也就是要證a+b^2\[ahf

即(g—也A20.

墳*3綜合法和分析法的綜合應(yīng)用

［探究問題］

1.在實際解題時，綜合法與分析法是否可以結(jié)合起來使用？

提示：在實際解題時，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，即先利用分析法尋找解

題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程.

2.你會用框圖表示綜合法與分析法交叉使用時的解題思路嗎？

提示：用框圖表示如下：

Pn=P'

匕=匕uQ尸Qi

Q'=Q

。尸。

其中p表示已知條件、定義、定理、公理等，。表示要證明的結(jié)論.

【例3】已知。、6、c是不全相等的正數(shù)，且04<1.