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文檔簡介
第01講導數(shù)的概念及其意義、導數(shù)的運算
目錄
模擬基礎練.....................................................................2
題型一:導數(shù)的定義及變化率問題................................................................2
題型二:導數(shù)的運算.............................................................................2
題型三:在點尸處的切線........................................................................6
題型四:過點P的切線..........................................................................7
題型五:公切線問題.............................................................................9
題型六:已知切線或切點求參數(shù)問題.............................................................12
題型七:切線的條數(shù)問題.......................................................................14
題型八:利用導數(shù)的幾何意義求最值問題.........................................................16
題型九:牛頓迭代法............................................................................19
題型十:切線平行、垂直、重合問題.............................................................21
題型十一:奇偶函數(shù)圖像的切線斜率問題........................................................26
題型十二:切線斜率的取值范圍問題.............................................................27
重難創(chuàng)新練....................................................................29
真題實戰(zhàn)練....................................................................39
梢陽建礎饗
//
題型一:導數(shù)的定義及變化率問題
1.設/(x)是定義在R上的可導函數(shù),若lim“Xo+/?)一〃尤。j)=2a為常數(shù))
則:(%)二(
/z->0h
A.一2aB..aC.aD.2a
【答案】c
"七+〃)一〃x。一〃)=J_x2,=q.
【解析】/'(%)=lim
hrO2h2
故選:C.
2.對于函數(shù)/(x),若尸(無。)存在,求:
(l)lim
hrO-h
(2)lim
力一>0h
【解析】(1)/z-0時,—20
/.lim=lim=f'(xo)
20一九10
(2)f(x0+h)-f(x0-/?)=[f(J:0+h)-f(x0)]+[/(^)-f(x0-It)]
又盛—f'(xo)
h
〃%)-〃%一/7)“毛―/?)-〃%)
/.lim=lim=f1(xo)
20h-D
/(飛+/7)-/(%一/7)
lim=2尸(飛)
h
題型二:導數(shù)的運算
3.求下列函數(shù)的導數(shù):
(l)y=(x2+3x+3)e%+1
cos(2x+l)
(2)y=-------------
X
X
⑶y=ln
l+2x
(4)y=(X+1)(犬+2)(X+3)
(5)y=xlnx+x2-x+2
a1
(6)y=In2+x3+ex---
ex
【解析】(1)因為y=(/+3x+3)ei
所以了=,+3x+3)'.ex+1+(x2+3x+3).(e^j
=(2尤+3)e'M+(x?+3尤+3)e*+i
=e、'*i(尤2+5x+6).
,八EALCOS(2X+1)
(2)因為y=------------
X
,[cos(2x+l)]rx-cos(2x+1)-V
所以y=-------------------;------------------
X
_-2xsin(2x+1)-cos(2x+1)
=.
(3)因為y=ln——,
l+2x
所以
Xu+2xj
l+2xl+2x-2x1
x(1+2x)2x(l+2x),
(4)因為y=(x+l)(x+2)(%+3)=%3++11%+6,
所以y=3%2+i2x+ll.
(5)因為y=xlnx+/一%+2,
所以y=lnx+x,+2x-l=lnx+2x.
x
Q1
(6)因為y=ln2+x+e"-----,
e%
所以"3/+/+與.
e
4.求下列函數(shù)的導數(shù):
(1)f(x)=a2+lax-x2;
”、xsinx
⑵f(x)=-.
Inx
(3)y=(3x2-4x)(2x+l);
/、.Mic2X
(4)y=sin—I-2cos—
Inx
(5)y77T
(6)y=(2/_l)(3x+l);
(7)y=x-sin2J;COS2X;
(8)y=excosx;
⑼尸螞2
X
(10)y=lnx+—
(12)y=(x2+2x-l)e2-\
【解析】(I)f(x)=a2+2ax-x2,所以/'(x)=2q-2x;
,?、e、,,,、xsinx
(2)因為f(x)=-;——
Inx
(xsinx)rInx-xsinx?(Inx),sinxlnx+xcosxlnx-sinx
所以尸(x)=
(Inx)2In2x
(3)因為y—(3f—4x)(2x+1)=6x3+3x2—8x2—4-x=6x3—5x2—4x,
所以V=18x2-lOx-4;
JQIx)I
(4)因為y=sin][—cos]J=-]Sinx,
所以y'=一;cosx;
Inx
(5)因為y=
x2+1
所以v,(Inx)'(Y+1)_(Y+InX」(丁+1)一2尤In[Y+]_2汗Inx
…=——=X(Y+1)2
(6)因為y=(2x2-l)(3x+l)=6丁+2/—3%—1,
所以y'=18x2+4x-3;
(7)因為y=x—sin2%cos2x=x-」sin4尤,
所以y,=l-4xgcos4x=l-2cos4x;
(8)因為y=e"cos%,
所以,'=e*cosx—exsinx=ex(cosx-sinx);
(9)因為y=ln(2x+D
X
所以y—ln(2x+l)_[ln(2x+l)]x-x'ln(2x+l)
'.xx2
0Y
---------ln(2x+l)2x-(2x+1)ln(2x+1)
=2犬+1----------=^71)?;
(10)因為y=lnx+,,
x
所以y,=(inx)'=-----\■
"IXJXx~
(11)因為y=的,
X
「L,,,(sinx)'x-sinx-x'xcos尤一sinx
所以y=------------□----------=-----------------;
XX
(12)因為y=(尤2+2x-l)e2r,
所以y'=(2x+2)e2T-(尤,+2x-l)e2T=(-x2+3)e2T.
5.已知函數(shù)/(尤)=6,+2-(0)尤+1,則/'(2)的值為.
【答案】e2-2
【解析】由題意知:r(x)=e,+2r(O),所以析(0)=1+2/'(0),
所以尸(O)=T,所以/'(x)=e'-2,
所以_f(2)=e2—2.
故答案為:e?-2.
6.(2024?河南?一模)已知函數(shù)的導函數(shù)為了'(%),且/(元)="八3)lnx-/⑴Y-4x,則/⑺的極
值點為()
A.一或JB.:C.----或—D.—
222222
【答案】D
331
【解析1對/W=--/z(3)lnx-/⑴f—4兀進行求導,可得f(x)=--r(3)—2/(l)x-4,
77x
將x=3代入整理,41(3)+21/(1)+14=0①
3
將x=l代入/(?=-]f(3)lnx-/⑴尤2-4彳可得/(1)=一/(I)一4,即/⑴=一2,
將其代入①,解得:((3)=7,故得"x)=_31nx+2/-4x.
3I3
于是/'(元)=-2+4x-4,由/'(x)=0可得尤=_=或x==,因x>0,
x22
33
故當。<尤<不時,f\x)<0,當時,f\x)>0,
即|■是函數(shù)/(X)的極小值點,函數(shù)沒有極大值.
故選:D.
題型三:在點尸處的切線
7.曲線y=e、在點(0,1)處的切線方程為()
A.x-2y+l=0B,x—y—l=0C.x-y+l=0D.2x-y+l=0
【答案】C
【解析】y=/(x)=e\.-./'(^)=e\
???曲線y=e,在點(0,1)處的切線方程為:
y=x+l,即%_y+l=0,
故選:C.
8.(2024.黑龍江?二模)函數(shù)〃力=阿+1在x=-1處的切線方程為()
A.y=4x+6B.y=—2x+6
C.y=-3x-3D.y=-3x-1
【答案】D
【解析】因為〃x)=|T+i,貝+]=
當x<0時〃力=一丁+1,貝4,(龍)=—3d,所以尸(-1)=_3義(一1)2=—3,
所以切點為(-1,2),切線的斜率為-3,
所以切線方程為y-2=-3(x+l),即y=-3x-l.
故選:D
9.(2024.全國.模擬預測)函數(shù)外力=/任一2苫+2)的圖象在點(-1,〃-1))處的切線方程為()
A.x+ey-4=0B.x-ey+6=0C.ex-y+6=0D.ex-)/+e+—=0
【答案】B
【解析】由〃x)=e“(x2-2x+2),可得〃x)=de"
則(㈠)=,又/(T)=e-[(—I)?-2x(-l)+2]=|,
貝U所求切線方程為+即x—ey+6=0.
ee
故選:B.
10.下列函數(shù)的圖象與直線>=工相切于點(0,0)的是()
A.y=xiB.J=sinxC.y=e*D.y=ln(x+2)
【答案】B
【解析】A.y=Y,y=3尤2,在(0,0)的切線斜率為0,不符合;
B.y=sinx,y'=cos無,在(0,0)的切線斜率為1,所以切線為y-0=l(x-0),成立;
C.D.兩個函數(shù)均不經(jīng)過(0,0),不符合.
故選:B.
題型四:過點P的切線
11.過原點的直線/與y=e、相切,則切點的坐標是.
【答案】(Le)
【解析】由題意設切點坐標為(七,V),
由丫=61得了=/,故直線/的斜率為e'。,
則直線/的方程為=e%(x-%),
將(0,0)代入,得-e"==1,
則切點的坐標為(l,e),
故答案為:(Le)
14
12.已知直線/為曲線/(%)=9過點R2,4)的切線.則直線/的方程為一
[答案】1_y+2=0或4x-y_4=0
14
【解析】?:f(x)=-x3+~,:.f'(x)=x2.
設直線I與曲線/a)相切于點M(XO,%),則直線I的斜率為k=/'(x。)=x;,
二過點M(%,%)的切線方程為V-/(元0)=f(%)0-X。),
14
即y-(村+1=考(無一%),又點PQ,4)在切線上,
i4
???4一(§片+?=%(2-尤。),整理得只一3焉+4=0,
(x0+1)。?!?)2=0,
解得毛=-1或毛=2;
所求的切線方程為x-y+2=0或4x-y-4=0.
故答案為:x-y+2=0或4尤-y-4=0.
13.已知函數(shù)〃x)=lnx,過點尸(0,0)作曲線/(元)的切線,則其切線方程為.
【答案】y=L
e
【解析】設切點為(%,In/),由/(x)=lnx,則廣(力=:,
則f(xo)=一,
xo
所以切線方程為yTn尤0=—(X-%),
玉)
又切線過點尸(。,。),所以-lnx°=-l,解得%=e,
所以切線方程為y-l=?1(x-e),即y=41x.
故答案為:y=-x
e
14.在平面直角坐標系x0y中,點A在曲線>=lnx上,且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點(e為自然
對數(shù)的底數(shù)),則點A的坐標是—,切線方程為
【答案】(e.Dy=±
e
【解析】設點則%=山%.又y=),
,1
當x=x(,時,y=一,
1X
曲線y=lnx在點A處的切線方程為丁一為二—(兀-%0),即yTn/=---1,
%%
代入點(一。,一1),得TTnx0-1,即/lnxo=e,
xo
記”(x)=xlnx,當xe(0,l)時,(x)<0,當尤時,H(x)>0,
且W(x)=lnx+1,當x>l時,〃(x)>O,"(x)單調(diào)遞增,
注意到a(e)=e,故無oln%=e存在唯一的實數(shù)根%=e,此時%=1,
故點A的坐標為(e,l),切線方程為y=±,
e
故答案為:(e,l),y=±
e
題型五:公切線問題
15.經(jīng)過曲線y=7/-x與y=-d-5x+3的公共點,且與曲線y=e'+1和y=e用的公切線/垂直的直線方
程為()
A.8x+8y+7=0B.8x+8y-7=0C.8元一8y+l=0D.8尤一8y-l=0
【答案】B
fy=7x3—x
【解析】由'3「,消去y整理得8V+4x—3=0,
=-5x+3
令尸(x)=8d+4x—3,則尸(x)=24d+4>0,所以尸(x)=8d+4x—3在R上單調(diào)遞增,
又尸出=8x[g[+4x|-3=0,
1
x=—
y=7x3-x2
所以方程組3「「的解為
y=-x-5x+33'
y=一
8
即曲線y=lx3-x^y=-X3-5X+3的公共點的坐標為
+1
設/與=e*+1和g(x)=e,M分別相切于■,e&+1),(x2,e-^),
而((x)=e,,g\x)=e+',
二./'(占)=爐,g'(%)=eBM,
.?./,(0)=e0=l,即公切線/的斜率為1,
故與/垂直的直線的斜率為-1,
所以所求直線方程為尸|=-1-£|,整理得8x+8y-7=0.
故選:B.
16.已知直線y=tix+b(Q£R/>0)是曲線/(x)=e、與曲線g(x)=lnx+2的公切線,則〃+〃=()
1
A.2B.5C.eD.
e
【答案】A
【解析】由題意知直線廣辦+/。€!<,>0)是曲線/(力=3與曲線8(月=111%+2的公切線,
設?,e,)是/⑴圖象上的切點,/'(%)=*
所以“X)在點9,e')處的切線方程為y-e'=e'(xT),即y=e'x+(l-。e’①
令g'(x)=J=e',解得尤=葭送(r)=111r+2=2-,
即直線V=依+仇。?艮6>0)與曲線8(力=11?+2的切點為(口2-。,
所以2;:=孔即lT=(l7)e',解得/=0或仁1,
當t=l時,①為y=ex,6=0,不符合題意,舍去,
所以,=0,止匕時①可化為>=X+1,所以1+力=1+1=2,
故選:A
17.過原點的直線/與曲線^=^?=111(彳+4)都相切,則實數(shù)。=()
A.JB.—C.—D.—
24ee
【答案】D
【解析】由>=6、得y=e",由y=lna+a)得y=」一,
x+a
設過原點的直線/分別與曲線丁=巴、=1!1(彳+。)相切于點4&,乂),8(%,%),
則由導數(shù)的幾何意義得&=d,且%=e%,故占=1,所以直線/的斜率為e,
x\
%17\1
所以J=-----=e,所以111(x2+。)=%,所以e%=T,即%=――,
馬%2+〃e
12
代入\-二e得
x2+ae
故選:D
18.若曲線y=lnx與曲線y=V+2x+a(x<0)有公切線,則實數(shù)。的取值范圍是()
A.(-In2-1,-H?)B.[-In2-l,+co)
C.(-In2+1,+00)D.[-In2+l,+co)
【答案】A
【解析】設公切線與函數(shù)/(x)=Inx切于點A(xpln玉)(玉〉0),
由/(x)=lnx,得廣(?=工,所以公切線的斜率為工,
X%]
所以公切線方程為y-ln占=-(x-x1),化簡得y='-x+(lnX]-l),
再次1
設公切線與函數(shù)g(x)=f+2%+<0)切于點B(x?,xf+2X2+a)(x2<0),
由g(x)=%2+2x+a(xv0),得g,(%)=2x+2,則公切線的斜率為2%+2,
所以公切線方程為V-(考+2%+。)=(2%+2)(%-x2),化簡得y=2(X2+l)x-芯+〃,
—=2M+2
所以,玉,消去X],得〃=%—InQz+2)—1,
In玉一1=。一九;
由西〉0,得—1<%2<。,
令尸(x)=x2_in(2x+2)-l(-l<x<0),則歹'(x)=2x—一—<0,
X+1
所以尸(x)在(-1,0)上遞減,
所以歹(x)>產(chǎn)(0)=—ln2—1,
所以由題意得a>-ln2-l,
即實數(shù)。的取值范圍是(Tn2_l,+co),
故選:A
19.已知曲線丫=^在點(孫兀)處的切線與曲線y=lnx在點(七,%)處的切線相同,則(%+1)(々-1)=()
A.-1B.-2C.1D.2
【答案】B
【解析】根據(jù)常用函數(shù)的導數(shù)可知:y=e,ny'=e1y=lnxny'=L,
X
則兩函數(shù)在點(3,乙)和(4,幾)處的切線分別為:>-%=6為"-否),>-%=:(天-%),化簡得
XiXi
y=ex+(1-x^e,y=—x+\nx2-1
、1
e1=—
由題意可得:<x2,化簡得玉%+%—玉+1=0=(%+1)(%-1)=-2.
(1-xje"i=Inx2-1
故選:B
20.設曲線/(x)=ae、+b和曲線g(x)=cos羨+c在它們的公共點尸(0,2)處有相同的切線,則"+c的值為
()
A.0B.兀C.2D.3
【答案】C
"(0)=a+Z>=2
【解析】由已知得,0,解得c=l,6=2-a,
[g(0)=l+c=2
又/'(x)=ae*,g'(x)=--^sin-^x,
所以尸(0)=g'(0)得。=0,
所以a=0,6=2,c=l,
所以6"+c=2°+l=2.
故選:C.
題型六:已知切線或切點求參數(shù)問題
21.(2024?山東臨沂?二模)若直線>=依+1與曲線y=,+ln無相切,則仍的取值范圍為.
【答案】一:,+s]
【解析】函數(shù)y=6+lnx的導數(shù)為y=[,
X
/\11
設切點為(玄,"+1),所以一=a,則辦0=1,即一=尤0
玉)a
又因為(通,6o+l)在y=6+lnx上,所以依o+l="lnxo,
所以b+ln%o=2,即b—ln〃=2,所以b=2+lna,
所以必=〃(2+lna)=2a+alna(a>0),
令g(a)=2〃+〃In。,g'(Q)=2+ln〃+Q'=ln〃+3,
a
令g'(a)>0,可得。>[,令g,(a)<0,可得0<〃<3,
ee3
所以g(。)在1。,:]上單調(diào)遞減,在[J,上單調(diào)遞增,
b,,,、(1121,1231
所以g(a)m,"g[/J=/+/ln/=/_/=_/.
當。趨近正無窮時,gS)趨近正無窮.
所以必的取值范圍為:
故答案為:一乒+001
22.(2024.高三.云南楚雄?期末)若直線y=x+w與曲線>=爐一2了(%<0)相切,則切點的橫坐標為
【答案】-1
【解析】由丁=丁一2?》<。)求導得}/=3%2一2(》<。),直線y=x+m斜率為1,
代入導函數(shù)有:3f—2=l(x<0),解得x=-l.
故答案為:-1
23.(2024?湖北?二模)>=區(qū)+》是丫=學在。,0)處的切線方程,貝腦=.
【答案】-1
【解析】令y=-^=八>),y'=———=f\x),
XX
則左=八1)=1,則方程為>=尤+6,將(1,0)代入方程,得0=1+6,解得6=-1,
故答案為:-1
24.(2024.高三.安徽亳州.期末)已知直線/的斜率為2,且與曲線y=2e'相切,貝心的方程為.
【答案】,=2尤+2
【解析】設/(x)=2e,,令_f(x)=2e,=2,得x=0,則切點為(0,2),
故所求/的方程為>=2x+2.
故答案為:y=2x+2.
25.(2024?全國?模擬預測)若直線>=辰+8與函數(shù)/(x)=e*的圖象相切,則上-6的最小值為()
A.eB.—eC.—D.—
ee
【答案】C
【解析】由/(x)=e*可得尸(x)=e。設切點為(天,■),則切線方程為廣物=^^-玉),即
Ji)
y=e,°x+(l-x0)e,
xxx
依題意,k=e°,b=(l-x0)e°,^k-b=x0Q0.
設g(x)=xe*,則g,(x)=(e+l)e",當x<-l時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,當x>—l時,g'(x)>0,g(x)
單調(diào)遞增,
故g(x)的極小值為g(-l)=T,也是最小值,即左-沙的最小值為-巳
故選:C.
26.(2024?四川綿陽?一模)設函數(shù)/(%)=%—。一”,直線>=依+8是曲線>=/(%)的切線,則2a+2的最小
值為()
A.2—B.-r—1
ee
C.2——D.2H——
ee
【答案】C
【解析】令/(X)的切點為(%,%-e』),因為析(x)=l+e\
所以過切點的切線方程為y-(%-ef)=(l+ef)(xT。),
/、/、。=1+e*
即y=l+e』卜-e』x0+l,所以
7
'b=-e^°(x0+l)
所以2a+Z;=—e一與九0+e一%+2,
g(x)=-e~xx+e~x+2,則=-e~x+xe~x-e~x=e~x(x-2),
所以當xe(f2)時g'(x)<0恒成立,此時g(x)單調(diào)遞減,
當x?2,+oo)時g,(x)>0恒成立,此時g(x)單調(diào)遞增,
所以g(xL=g⑵=2-e]所以(2“+嘰11=2-『=2-,,
故選:C
題型七:切線的條數(shù)問題
27.若過點(2,。可以作曲線y=lnx的兩條切線,貝|()
A.t<e2B.0<t<e
C.t<ln2D.t>ln2
【答案】D
11,1
【解析】設切點為(不/n%),(%〉0),由題得:y=—,故切線斜率為一,切線方程為:y-ln%=一(z工-/),
x玉)區(qū)0
因切線經(jīng)過點(2J),貝曠-In毛=’(2-無。),故0+l)xo-%olnx0-2=0有兩個不同得實數(shù)根.
不妨設g(%)=(,+l)%_%ln%_2,(%>0),貝ijgr(x)=t—lnx,
當0<x<e'時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當x>e'時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.
故g(無)max=g(e')=e'-2,則入2>0,即/>ln2.
故選:D.
28.(2024.全國?模擬預測)過坐標原點作曲線/(x)=e,(尤2-2%+2)的切線,則切線共有()
A.1條B.2條C.3條D.4條
【答案】A
【解析】設切點為卜e'。(君-2%+2)),
由/(元)=e*(V-2x+2)可得f(x)=x2ex,
則過坐標原點的切線的斜率k=廿(%。-2/+2)=需j,
%
故年_尤;+2(天-1)=0,即(%o-1)(*+2)=。,
解得%=1,故過坐標原點的切線共有1條.
故選:A.
29.已知函數(shù)〃x)==Y+1,若過P(-U)可做兩條直線與函數(shù)/(x)的圖象相切,貝心的取值范圍為(
A.H,+jB.gc/。,:D.[o,^3。}
【答案】B
【解析】設過點尸(-1,。的直線與函數(shù)/(尤)=*■的圖象相切時的切點為(。,6),貝”=等,
因為〃力=二,〃尤)='一(::1戶=一當,
eee
所以切線方程為y-等=-/(%-。),又P(-U)在切線上,
所以?-":1=,整理得一(“:1),
r_l_1
則過點P(-M)的直線與函數(shù)=詈的圖象相切的切線條數(shù)即為直線y=/與
曲線gS)=絲*的圖象的公共點的個數(shù),
因為8'(4=2("+3:(。+1)%〃=一(。+1)(。-1),令g,⑷=o,得。=±1,
ee"
所以,當a<T時,g'(a)<O,g⑷單調(diào)遞減;
當—1<。<1時,g'(a)>0,g(a)單調(diào)遞增;當°>1時,g[a)<0,g(a)單調(diào)遞減,
因為g(-l)=0,g6=:,當a-時g(a)f0,所以,函數(shù)g(a)的圖象大致如圖:
故選:B.
30.(2024?寧夏銀川?二模)已知點P(l,⑴不在函數(shù)〃幻=尤3_3如的圖象上,且過點尸僅有一條直線與Ax)
的圖象相切,則實數(shù)機的取值范圍為()
A.10'£G!B.(一夕0)(;,+oo)
C.(6;)";#00]D.(-oo,;)u(g,+(?)
【答案】B
【解析】點P。,⑺不在函數(shù)〃x)=d-3e的圖象上,
則〃1)=1-3機7根,即m
設過點P的直線與/(x)=x3-3mx的圖象相切于。卜,r-3mr),
則切線的斜率左=/(/)=3?-3加=--;7m,整理可得2/一3/+4加=0,
則問題可轉(zhuǎn)化為g(。=2t3-3t2+4m只有一個零點,且g'(t)=6t2-6t,
令g'(t)=0,可得t=0或t=l,
當fe(F,0)時,g'⑺>0,則g⑺單調(diào)遞增,
當te(O,l)時,g'?)<0,則g⑺單調(diào)遞減,
當,《I,”)時,g'⑺>0,則g⑺單調(diào)遞增,
即當f=O時,g(。有極大值,當t=l時,g⑺有極小值,
要使g⑺=2/-3t2+4m僅有一個零點,
g(0),g(l)>0=>7"<?;蚋?
4
故選:B
題型八:利用導數(shù)的幾何意義求最值問題
31.(2024?陜西西安?二模)若21n玉-%一%+3=0,x2-y2+5=O,則(為—x?)?+(%-%丫的最小值為()
A.2&B.6C.8D.12
【答案】C
【解析】由題意,設函數(shù)〃x)=21nxT+3,x>0,直線>=尤+5,
設直線、=彳+6與函數(shù),=/(力的切點為尸(%,%)
92
可得r(無)=*-1,可得/(/)=--i=i,解得%=i,可得%=2,
即切點坐標為尸(1,2),則切點到直線x-y+5=0的距離為d=卜/5|=2四,
V2
又因為-9y+(%-%y表示點2到直線X-y+5=o的距離為平方,
所以仿-%)2+(%-%)2的最小值為[2=8.
故選:C.
32.(2024.廣東.一模)設點尸在曲線y=e,上,點。在直線尤上,則|PQ|的最小值為()
[2
A,4?+1B.行+]
【答案】B
【解析】令、'=^=工,得x=-1,代入曲線股廠」,
ee
所以|P9的最小值即為點[1,j到直線y=三的距離d='
故選:B.
33.已知點尸是曲線/(x)=xlnx上任意一點,點。是直線y=x-3上任一點,則怕勺最小值為()
A.72B.GC.1D.e
【答案】A
【解析】函數(shù)/(x)=xlnx的定義域為全體正實數(shù),
/(x)-xlnx^>/,(x)-lnx+l,
當時,尸(x)>O,〃x)單調(diào)遞增,
e
當0<x<2時,/'(x)<O,〃x)單調(diào)遞減,函數(shù)圖象如下圖:
e
過點一(知兒)的曲線〃x)=xlnx的切線與直線y=x-3平行時,|尸0最小,
r
即有/(x)=lnx0+l=l=>x0=l=>y0=0=>P(l,0),
!1-31
所以|PQL=近
Q(T)2
故選:A
x+y+3
34.(2024?高三?四川成都?期末)已知P(x,y)為函數(shù)y=/一"+2%2一4%圖象上一動點,則
Jd)2+(y+4)2
的最大值為()
e+5e+5
A—R——C.1D.0(e+5)
'7e2+8e+17'V2e2+16e+34
【答案】A
【解題思路】先觀察出函數(shù)關于x=l對稱,在根據(jù)所求的式子可以判斷x>l時比x<l的值要大,所以只需
研究x>l的情況即可,把所求的式子經(jīng)過換元,適當?shù)淖冃无D(zhuǎn)化為復合函數(shù)問題,其中一個內(nèi)層函數(shù)又是
兩點斜率問題,借助數(shù)形結合思想和導數(shù)的幾何意義即可求出最值.
x+y+3
【解析】由函數(shù)解析式可知函數(shù)y關于x=i對稱,設z=Ji-.,不妨設x=〃(〃<i)
_〃+y+3_f+y+5n+y+3
則J("戶(y+4『,當x_2n(n<\),^(l-n)2+(_y+4)2^(n-1)2+(y+4)2;
即當x>1時z的值要大于x<1時z的值,所以只需研究x>1的情況即可,
b
當%>1時,y=ex-1+2x2-4x,設x-l=a,y+4=6,t=—
a
2/+2ab+/22
貝Ua+b^ba1,
---1IH—
abt
根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知:re(O,l)時,z2遞增,當丘z2遞減.
U3=用,所以'的幾何意義是函數(shù),=ei+2/-4x上一點與點(1,-4)的斜率,
設過點(LT)的切線與函數(shù)y=I-+2/—4x的交點坐標(即切點)為口/―+2加-4對(機>1),
yr=e"T+4x-4,
所以切線的斜率上=e-1+4m-4,切線方程為V-(b+W-4m)=(六+4m-4)(x-m),把點(1,T)代入
切線方程整理得:
(e^+^n)(?77-2)=0,所以根=2或e'a+2m=0,設/(加)=峻一+2加,/(m)=e"-1+2>0,
所以/(?0在(1,+⑹單調(diào)遞增,所以〃聞>/⑴=3,
即e"i+2〃?=0不合題意,所以帆=2,止匕時切線的斜率左=e"i+4m-4=e+4,
如圖:
根據(jù)數(shù)形結合思想可知,的范圍為[e+4,+“),所以當ue+4時,z?最大,
"2e+5
7—1—I----------------------------------------------------------
12
此時4eI4I7e+8e+17-
Ve+4
故選:A
35.設點尸在曲線y=e、上,點0在直線y=lnx上,則的最小值為()
A.1B.2C.72D.73
【答案】C
【解析】y=e,和y=ln尤互為反函數(shù),問題可以轉(zhuǎn)化為直線了=彳到丫=^距離的兩倍.
y'=e,,令e,=l,得無=0,故切點為(0,1),
由八寸=孝,所以1尸03=夜?
故選:C.
題型九:牛頓迭代法
36.英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點.已知二次函數(shù)/(幻有兩個不相等的實根b,c,其
中C>b.在函數(shù)圖像上橫坐標為4的點處作曲線y=/(x)的切線,切線與x軸交點的橫坐標為巧;用
巧代替毛,重復以上的過程得到£;一直下去,得到數(shù)列{%},記?!?ln,且%=1,X“>C,下列
說法正確的是()
1
B.
32
C.數(shù)列{《,}是等差數(shù)列D.數(shù)歹U的前”項和S、=2"—2~+1
【答案】D
【解析】由q=ln正衛(wèi)=1,得?=e,則工=££三,故A錯誤;
Xj-cxx-ce-1
因為二次函數(shù)/(x)有兩個不等實數(shù)根b,c,
所以不妨設/(x)=4(x-b)(x-c),
因為r(x)=a(2x-6-c),所以/<天)=a(2x“-6-c),
所以在橫坐標為x”的點處的切線方程為:y-f(%?)=a(2x?-^-c)(x-%?),
A,a'X(2xn-b-c\-f(x\ax^-abcx^-bc
令,肛…百/c)
?為X"+T=x:-bc-b(2x“-b-c)=x:_2bx,+b。=(尤,,-6『
xc2
'n+i-^~bc-c(2xn-b-c)x^-2cxn+c(x.—cj,
所以ln%±*=21n%心,即4+1=2a“,
xc
n+i-x”-c
所以數(shù)列{g}是公比為2,首項為1的等比數(shù)列,
所以4=2",且%=32,故BC錯誤;
1<1>""|1-2"一至2,
由?!?」=2"7+仁,所以++Z-右=2"-2~+1,故D正確.
an⑺
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