2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（十二大題型）（練習(xí)）（解析版）

第01講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

目錄

模擬基礎(chǔ)練.....................................................................2

題型一：導(dǎo)數(shù)的定義及變化率問題................................................................2

題型二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.............................................................................2

題型三：在點(diǎn)尸處的切線........................................................................6

題型四：過點(diǎn)P的切線..........................................................................7

題型五：公切線問題.............................................................................9

題型六：已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題.............................................................12

題型七：切線的條數(shù)問題.......................................................................14

題型八：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題.........................................................16

題型九：牛頓迭代法............................................................................19

題型十：切線平行、垂直、重合問題.............................................................21

題型十一：奇偶函數(shù)圖像的切線斜率問題........................................................26

題型十二：切線斜率的取值范圍問題.............................................................27

重難創(chuàng)新練....................................................................29

真題實(shí)戰(zhàn)練....................................................................39

梢陽建礎(chǔ)饗

//

題型一：導(dǎo)數(shù)的定義及變化率問題

1.設(shè)/（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若lim“Xo+/?）一〃尤。j）=2a為常數(shù)）

則:（%）二（

/z->0h

A.一2aB..aC.aD.2a

【答案】c

"七+〃)一〃x。一〃)=J_x2,=q.

【解析】/'(%)=lim

hrO2h2

故選：C.

2.對于函數(shù)/（x）,若尸（無。）存在，求:

(l)lim

hrO-h

(2)lim

力一>0h

【解析】（1）/z-0時(shí)，—20

/.lim=lim=f'(xo)

20一九10

(2)f(x0+h)-f(x0-/?)=[f(J:0+h)-f(x0)]+[/(^)-f(x0-It)]

又盛—f'(xo)

h

〃%)-〃%一/7)“毛―/?)-〃%)

/.lim=lim=f1(xo)

20h-D

/(飛+/7)-/(%一/7)

lim=2尸（飛）

h

題型二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

(l)y=(x2+3x+3)e%+1

cos(2x+l)

(2)y=-------------

X

X

⑶y=ln

l+2x

(4)y=(X+1)(犬+2)(X+3)

(5)y=xlnx+x2-x+2

a1

(6)y=In2+x3+ex---

ex

【解析】(1)因?yàn)閥=(/+3x+3)ei

所以了=,+3x+3)'.ex+1+(x2+3x+3).(e^j

=(2尤+3)e'M+(x?+3尤+3)e*+i

=e、'*i(尤2+5x+6).

,八EALCOS(2X+1)

(2)因?yàn)閥=------------

X

，[cos(2x+l)]rx-cos(2x+1)-V

所以y=-------------------；------------------

X

_-2xsin(2x+1)-cos(2x+1)

=.

(3)因?yàn)閥=ln——,

l+2x

所以

Xu+2xj

l+2xl+2x-2x1

x(1+2x)2x(l+2x),

(4)因?yàn)閥=(x+l)(x+2)(%+3)=%3++11%+6,

所以y=3%2+i2x+ll.

(5)因?yàn)閥=xlnx+/一％+2,

所以y=lnx+x,+2x-l=lnx+2x.

x

Q1

(6)因?yàn)閥=ln2+x+e"-----,

e%

所以"3/+/+與.

e

4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)f(x)=a2+lax-x2；

”、xsinx

⑵f(x)=-.

Inx

(3)y=(3x2-4x)(2x+l)；

/、.Mic2X

(4)y=sin—I-2cos—

Inx

(5)y77T

(6)y=(2/_l)(3x+l)；

(7)y=x-sin2J;COS2X；

(8)y=excosx；

⑼尸螞2

X

(10)y=lnx+—

(12)y=(x2+2x-l)e2-\

【解析】(I)f(x)=a2+2ax-x2,所以/'(x)=2q-2x；

，?、e、，，,、xsinx

(2)因?yàn)閒(x)=-；——

Inx

(xsinx)rInx-xsinx?(Inx),sinxlnx+xcosxlnx-sinx

所以尸(x)=

(Inx)2In2x

(3)因?yàn)閥—(3f—4x)(2x+1)=6x3+3x2—8x2—4-x=6x3—5x2—4x,

所以V=18x2-lOx-4；

JQIx)I

(4)因?yàn)閥=sin][—cos]J=-]Sinx,

所以y'=一；cosx；

Inx

(5)因?yàn)閥=

x2+1

所以v，(Inx)'(Y+1)_(Y+InX」(丁+1)一2尤In[Y+]_2汗Inx

…=——=X(Y+1)2

(6)因?yàn)閥=(2x2-l)(3x+l)=6丁+2/—3%—1,

所以y'=18x2+4x-3；

(7)因?yàn)閥=x—sin2%cos2x=x-」sin4尤，

所以y，=l-4xgcos4x=l-2cos4x；

(8)因?yàn)閥=e"cos%,

所以，'=e*cosx—exsinx=ex(cosx-sinx)；

(9)因?yàn)閥=ln(2x+D

X

所以y—ln(2x+l)_[ln(2x+l)]x-x'ln(2x+l)

'.xx2

0Y

---------ln(2x+l)2x-(2x+1)ln(2x+1)

=2犬+1----------=^71)?；

(10)因?yàn)閥=lnx+,，

x

所以y，=(inx)'=-----\■

"IXJXx~

(11)因?yàn)閥=的，

X

「L,,,(sinx)'x-sinx-x'xcos尤一sinx

所以y=------------□----------=-----------------；

XX

(12)因?yàn)閥=(尤2+2x-l)e2r,

所以y'=(2x+2)e2T-(尤,+2x-l)e2T=(-x2+3)e2T.

5.已知函數(shù)/(尤)=6，+2-(0)尤+1,則/'(2)的值為.

【答案】e2-2

【解析】由題意知：r(x)=e，+2r(O),所以析(0)=1+2/'(0),

所以尸(O)=T，所以/'(x)=e'-2,

所以_f(2)=e2—2.

故答案為:e?-2.

6.(2024?河南?一模)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為了'(%),且/(元)="八3)lnx-/⑴Y-4x,則/⑺的極

值點(diǎn)為()

A.一或JB.:C.----或—D.—

222222

【答案】D

331

【解析1對/W=--/z(3)lnx-/⑴f—4兀進(jìn)行求導(dǎo)，可得f(x)=--r(3)—2/(l)x-4,

77x

將x=3代入整理，41(3)+21/(1)+14=0①

3

將x=l代入/(?=-]f(3)lnx-/⑴尤2-4彳可得/(1)=一/(I)一4,即/⑴=一2,

將其代入①，解得：((3)=7,故得"x)=_31nx+2/-4x.

3I3

于是/'(元)=-2+4x-4,由/'(x)=0可得尤=_=或x==,因x>0,

x22

33

故當(dāng)。<尤<不時(shí)，f\x)<0,當(dāng)時(shí)，f\x)>0,

即|■是函數(shù)/(X)的極小值點(diǎn)，函數(shù)沒有極大值.

故選：D.

題型三：在點(diǎn)尸處的切線

7.曲線y=e、在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為()

A.x-2y+l=0B,x—y—l=0C.x-y+l=0D.2x-y+l=0

【答案】C

【解析】y=/(x)=e\.-./'(^)=e\

???曲線y=e，在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為：

y=x+l,即％_y+l=0,

故選：C.

8.(2024.黑龍江?二模)函數(shù)〃力=阿+1在x=-1處的切線方程為()

A.y=4x+6B.y=—2x+6

C.y=-3x-3D.y=-3x-1

【答案】D

【解析】因?yàn)椤▁)=|T+i,貝+]=

當(dāng)x<0時(shí)〃力=一丁+1,貝4,(龍)=—3d,所以尸(-1)=_3義(一1)2=—3,

所以切點(diǎn)為(-1,2),切線的斜率為-3,

所以切線方程為y-2=-3(x+l),即y=-3x-l.

故選：D

9.(2024.全國.模擬預(yù)測)函數(shù)外力=/任一2苫+2)的圖象在點(diǎn)(-1,〃-1))處的切線方程為()

A.x+ey-4=0B.x-ey+6=0C.ex-y+6=0D.ex-)/+e+—=0

【答案】B

【解析】由〃x)=e“(x2-2x+2),可得〃x)=de"

則(㈠)=,又/(T)=e-[(—I)?-2x(-l)+2]=|,

貝U所求切線方程為+即x—ey+6=0.

ee

故選：B.

10.下列函數(shù)的圖象與直線＞=工相切于點(diǎn)(0,0)的是()

A.y=xiB.J=sinxC.y=e*D.y=ln(x+2)

【答案】B

【解析】A.y=Y,y=3尤2,在(0,0)的切線斜率為0,不符合；

B.y=sinx,y'=cos無，在(0,0)的切線斜率為1,所以切線為y-0=l(x-0),成立；

C.D.兩個函數(shù)均不經(jīng)過(0,0),不符合.

故選:B.

題型四：過點(diǎn)P的切線

11.過原點(diǎn)的直線/與y=e、相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)是.

【答案】(Le)

【解析】由題意設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(七,V),

由丫=61得了=/,故直線/的斜率為e'。，

則直線/的方程為=e%(x-%),

將(0,0)代入，得-e"==1,

則切點(diǎn)的坐標(biāo)為(l,e),

故答案為：(Le)

14

12.已知直線/為曲線/(%)=9過點(diǎn)R2,4)的切線.則直線/的方程為一

[答案】1_y+2=0或4x-y_4=0

14

【解析】?：f(x)=-x3+~,：.f'(x)=x2.

設(shè)直線I與曲線/a)相切于點(diǎn)M(XO,%),則直線I的斜率為k=/'(x。)=x；,

二過點(diǎn)M(%,%)的切線方程為V-/(元0)=f(%)0-X。)，

14

即y-(村+1=考(無一%),又點(diǎn)PQ,4)在切線上，

i4

???4一(§片+?=%(2-尤。),整理得只一3焉+4=0,

(x0+1)。?！?)2=0,

解得毛=-1或毛=2；

所求的切線方程為x-y+2=0或4x-y-4=0.

故答案為：x-y+2=0或4尤-y-4=0.

13.已知函數(shù)〃x)=lnx,過點(diǎn)尸(0,0)作曲線/(元)的切線，則其切線方程為.

【答案】y=L

e

【解析】設(shè)切點(diǎn)為(%,In/),由/(x)=lnx,則廣(力=:，

則f(xo)=一，

xo

所以切線方程為yTn尤0=—(X-%),

玉)

又切線過點(diǎn)尸(。,。)，所以-lnx°=-l,解得%=e,

所以切線方程為y-l=?1(x-e),即y=41x.

故答案為：y=-x

e

14.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，點(diǎn)A在曲線>=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(e為自然

對數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是—，切線方程為

【答案】(e.Dy=±

e

【解析】設(shè)點(diǎn)則%=山%.又y=),

,1

當(dāng)x=x(,時(shí)，y=一，

1X

曲線y=lnx在點(diǎn)A處的切線方程為丁一為二—(兀-％0),即yTn/=---1,

%%

代入點(diǎn)(一。,一1),得TTnx0-1,即/lnxo=e,

xo

記”(x)=xlnx,當(dāng)xe(0,l)時(shí)，(x)<0,當(dāng)尤時(shí)，H(x)>0,

且W(x)=lnx+1,當(dāng)x>l時(shí)，〃(x)>O,"(x)單調(diào)遞增，

注意到a(e)=e,故無oln%=e存在唯一的實(shí)數(shù)根%=e,此時(shí)%=1,

故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(e,l),切線方程為y=±,

e

故答案為：(e,l),y=±

e

題型五：公切線問題

15.經(jīng)過曲線y=7/-x與y=-d-5x+3的公共點(diǎn)，且與曲線y=e'+1和y=e用的公切線/垂直的直線方

程為()

A.8x+8y+7=0B.8x+8y-7=0C.8元一8y+l=0D.8尤一8y-l=0

【答案】B

fy=7x3—x

【解析】由'3「,消去y整理得8V+4x—3=0,

=-5x+3

令尸(x)=8d+4x—3,則尸(x)=24d+4>0,所以尸(x)=8d+4x—3在R上單調(diào)遞增，

又尸出=8x[g[+4x|-3=0,

1

x=—

y=7x3-x2

所以方程組3「「的解為

y=-x-5x+33'

y=一

8

即曲線y=lx3-x^y=-X3-5X+3的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為

+1

設(shè)/與=e*+1和g(x)=e，M分別相切于■,e&+1),(x2,e-^),

而((x)=e，，g\x)=e+',

二./'(占)=爐，g'(%)=eBM,

.?./，(0)=e0=l,即公切線/的斜率為1,

故與/垂直的直線的斜率為-1,

所以所求直線方程為尸|=-1-￡|,整理得8x+8y-7=0.

故選：B.

16.已知直線y=tix+b(Q￡R/>0)是曲線/(x)=e、與曲線g(x)=lnx+2的公切線，則〃+〃=()

1

A.2B.5C.eD.

e

【答案】A

【解析】由題意知直線廣辦+/。€!＜，＞0）是曲線/（力=3與曲線8（月=111%+2的公切線,

設(shè)?,e,）是/⑴圖象上的切點(diǎn)，/'（%）=*

所以“X）在點(diǎn)9,e'）處的切線方程為y-e'=e'（xT）,即y=e'x+（l-。e’①

令g'（x）=J=e',解得尤=葭送（r）=111r+2=2-,

即直線V=依+仇。?艮6＞0）與曲線8（力=11?+2的切點(diǎn)為（口2-。，

所以2；：=孔即lT=（l7）e',解得/=0或仁1,

當(dāng)t=l時(shí)，①為y=ex,6=0,不符合題意，舍去，

所以，=0,止匕時(shí)①可化為＞=X+1,所以1+力=1+1=2,

故選：A

17.過原點(diǎn)的直線/與曲線^=^?=111（彳+4）都相切，則實(shí)數(shù)。=（）

A.JB.—C.—D.—

24ee

【答案】D

【解析】由＞=6、得y=e",由y=lna+a）得y=」一，

x+a

設(shè)過原點(diǎn)的直線/分別與曲線丁=巴、=1!1（彳+。）相切于點(diǎn)4&,乂）,8（%,%），

則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得&=d，且％=e%，故占=1,所以直線/的斜率為e,

x\

%17\1

所以J=-----=e,所以111（x2+。）=%,所以e%=T,即％=――，

馬%2+〃e

12

代入\-二e得

x2+ae

故選：D

18.若曲線y=lnx與曲線y=V+2x+a（x＜0）有公切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-In2-1,-H?）B.[-In2-l,+co）

C.（-In2+1,+00）D.[-In2+l,+co）

【答案】A

【解析】設(shè)公切線與函數(shù)/（x）=Inx切于點(diǎn)A（xpln玉）（玉〉0）,

由/（x）=lnx,得廣（?=工，所以公切線的斜率為工，

X%]

所以公切線方程為y-ln占=-(x-x1),化簡得y='-x+(lnX]-l),

再次1

設(shè)公切線與函數(shù)g(x)=f+2%+<0)切于點(diǎn)B(x?,xf+2X2+a)(x2<0),

由g(x)=%2+2x+a(xv0),得g，(%)=2x+2,則公切線的斜率為2%+2,

所以公切線方程為V-(考+2%+。)=(2%+2)(%-x2),化簡得y=2(X2+l)x-芯+〃，

—=2M+2

所以,玉，消去X],得〃=%—InQz+2)—1,

In玉一1=。一九；

由西〉0,得—1<%2<。，

令尸(x)=x2_in(2x+2)-l(-l<x<0),則歹'(x)=2x—一—<0,

X+1

所以尸(x)在(-1,0)上遞減，

所以歹(x)>產(chǎn)(0)=—ln2—1,

所以由題意得a>-ln2-l,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是(Tn2_l,+co),

故選：A

19.已知曲線丫=^在點(diǎn)(孫兀)處的切線與曲線y=lnx在點(diǎn)(七,％)處的切線相同，則(％+1)(々-1)=()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】B

【解析】根據(jù)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知：y=e，ny'=e1y=lnxny'=L,

X

則兩函數(shù)在點(diǎn)(3,乙)和(4，幾)處的切線分別為：>-％=6為"-否),>-%=:(天-％),化簡得

XiXi

y=ex+(1-x^e,y=—x+\nx2-1

、1

e1=—

由題意可得：<x2,化簡得玉%+%—玉+1=0=(%+1)(%-1)=-2.

(1-xje"i=Inx2-1

故選：B

20.設(shè)曲線/(x)=ae、+b和曲線g(x)=cos羨+c在它們的公共點(diǎn)尸(0,2)處有相同的切線，則"+c的值為

()

A.0B.兀C.2D.3

【答案】C

"(0)=a+Z>=2

【解析】由已知得,0，解得c=l，6=2-a,

[g(0)=l+c=2

又/'(x)=ae*,g'(x)=--^sin-^x,

所以尸(0)=g'(0)得。=0,

所以a=0,6=2,c=l,

所以6"+c=2°+l=2.

故選：C.

題型六：已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題

21.（2024?山東臨沂?二模）若直線>=依+1與曲線y=，+ln無相切，則仍的取值范圍為.

【答案】一:,+s]

【解析】函數(shù)y=6+lnx的導(dǎo)數(shù)為y=[,

X

/\11

設(shè)切點(diǎn)為（玄,"+1）,所以一=a,則辦0=1,即一=尤0

玉）a

又因?yàn)椋ㄍ?6o+l）在y=6+lnx上，所以依o+l="lnxo，

所以b+ln%o=2,即b—ln〃=2,所以b=2+lna,

所以必=〃（2+lna）=2a+alna（a>0）,

令g（a）=2〃+〃In。，g'（Q）=2+ln〃+Q'=ln〃+3,

a

令g'（a）>0,可得。>[，令g，（a）<0,可得0<〃<3，

ee3

所以g（。）在1。，：]上單調(diào)遞減，在[J,上單調(diào)遞增，

b,,,、（1121,1231

所以g（a）m,"g[/J=/+/ln/=/_/=_/.

當(dāng)。趨近正無窮時(shí)，gS）趨近正無窮.

所以必的取值范圍為：

故答案為：一乒+001

22.（2024.高三.云南楚雄?期末）若直線y=x+w與曲線>=爐一2了（％<0）相切，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

【答案】-1

【解析】由丁=丁一2?》<。)求導(dǎo)得｝/=3%2一2(》<。)，直線y=x+m斜率為1，

代入導(dǎo)函數(shù)有：3f—2=l(x<0),解得x=-l.

故答案為：-1

23.(2024?湖北?二模)>=區(qū)+》是丫=學(xué)在。,0)處的切線方程，貝腦=.

【答案】-1

【解析】令y=-^=八>),y'=———=f\x),

XX

則左=八1)=1,則方程為>=尤+6,將(1,0)代入方程，得0=1+6,解得6=-1,

故答案為：-1

24.(2024.高三.安徽亳州.期末)已知直線/的斜率為2,且與曲線y=2e'相切，貝心的方程為.

【答案】，=2尤+2

【解析】設(shè)/(x)=2e，，令_f(x)=2e，=2,得x=0,則切點(diǎn)為(0,2),

故所求/的方程為>=2x+2.

故答案為：y=2x+2.

25.(2024?全國?模擬預(yù)測)若直線>=辰+8與函數(shù)/(x)=e*的圖象相切，則上-6的最小值為()

A.eB.—eC.—D.—

ee

【答案】C

【解析】由/(x)=e*可得尸(x)=e。設(shè)切點(diǎn)為(天,■),則切線方程為廣物=^^-玉)，即

Ji)

y=e,°x+(l-x0)e,

xxx

依題意，k=e°,b=(l-x0)e°,^k-b=x0Q0.

設(shè)g(x)=xe*,則g，(x)=(e+l)e",當(dāng)x<-l時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>—l時(shí)，g'(x)>0,g(x)

單調(diào)遞增，

故g(x)的極小值為g(-l)=T，也是最小值，即左-沙的最小值為-巳

故選：C.

26.(2024?四川綿陽?一模)設(shè)函數(shù)/(%)=%—。一”,直線>=依+8是曲線>=/(%)的切線，則2a+2的最小

值為()

A.2—B.-r—1

ee

C.2——D.2H——

ee

【答案】C

【解析】令/(X)的切點(diǎn)為(%，%-e』),因?yàn)槲?x)=l+e\

所以過切點(diǎn)的切線方程為y-(%-ef)=(l+ef)(xT。)，

/、/、。=1+e*

即y=l+e』卜-e』x0+l,所以

7

'b=-e^°(x0+l)

所以2a+Z;=—e一與九0+e一%+2,

g(x)=-e~xx+e~x+2,則=-e~x+xe~x-e~x=e~x(x-2),

所以當(dāng)xe(f2)時(shí)g'(x)<0恒成立,此時(shí)g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x?2,+oo)時(shí)g，(x)>0恒成立，此時(shí)g(x)單調(diào)遞增，

所以g(xL=g⑵=2-e］所以(2“+嘰11=2-『=2-，，

故選：C

題型七：切線的條數(shù)問題

27.若過點(diǎn)(2,?？梢宰髑€y=lnx的兩條切線，貝|()

A.t<e2B.0<t<e

C.t<ln2D.t>ln2

【答案】D

11,1

【解析】設(shè)切點(diǎn)為(不/n%),(%〉0),由題得：y=—,故切線斜率為一，切線方程為：y-ln%=一(z工-/),

x玉)區(qū)0

因切線經(jīng)過點(diǎn)(2J),貝曠-In毛=’(2-無。)，故0+l)xo-%olnx0-2=0有兩個不同得實(shí)數(shù)根.

不妨設(shè)g(%)=(，+l)%_%ln%_2,(%>0),貝ijgr(x)=t—lnx,

當(dāng)0<x<e'時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>e'時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

故g(無)max=g(e')=e'-2,則入2>0,即/>ln2.

故選：D.

28.(2024.全國?模擬預(yù)測)過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線/(x)=e，(尤2-2%+2)的切線，則切線共有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】A

【解析】設(shè)切點(diǎn)為卜e'。(君-2%+2)),

由/(元)=e*(V-2x+2)可得f(x)=x2ex,

則過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線的斜率k=廿(%。-2/+2)=需j,

%

故年_尤；+2(天-1)=0,即(%o-1)(*+2)=。,

解得％=1，故過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線共有1條.

故選:A.

29.已知函數(shù)〃x)==Y+1，若過P(-U)可做兩條直線與函數(shù)/(x)的圖象相切，貝心的取值范圍為(

A.H，+jB.gc/。,：D.[o,^3。｝

【答案】B

【解析】設(shè)過點(diǎn)尸(-1,。的直線與函數(shù)/(尤)=*■的圖象相切時(shí)的切點(diǎn)為(。,6),貝”=等，

因?yàn)椤?二,〃尤)='一(::1戶=一當(dāng),

eee

所以切線方程為y-等=-/(%-。)，又P(-U)在切線上，

所以?-"：1=,整理得一(“：1),

r_l_1

則過點(diǎn)P(-M)的直線與函數(shù)=詈的圖象相切的切線條數(shù)即為直線y=/與

曲線gS)=絲*的圖象的公共點(diǎn)的個數(shù)，

因?yàn)?'(4=2("+3：(。+1)%〃=一(。+1)(。-1),令g，⑷=o,得。=±1,

ee"

所以，當(dāng)a<T時(shí)，g'(a)<O,g⑷單調(diào)遞減;

當(dāng)—1<。<1時(shí)，g'(a)>0,g(a)單調(diào)遞增；當(dāng)°>1時(shí)，g[a)<0,g(a)單調(diào)遞減，

因?yàn)間(-l)=0,g6=：,當(dāng)a-時(shí)g(a)f0,所以，函數(shù)g(a)的圖象大致如圖：

故選:B.

30.（2024?寧夏銀川?二模）已知點(diǎn)P（l,⑴不在函數(shù)〃幻=尤3_3如的圖象上，且過點(diǎn)尸僅有一條直線與Ax）

的圖象相切，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.10'￡G!B.（一夕0）（；,+oo）

C.（6；）"；#00]D.（-oo,；）u（g,+（?）

【答案】B

【解析】點(diǎn)P。,⑺不在函數(shù)〃x）=d-3e的圖象上，

則〃1）=1-3機(jī)7根，即m

設(shè)過點(diǎn)P的直線與/（x）=x3-3mx的圖象相切于。卜,r-3mr）,

則切線的斜率左=/（/）=3?-3加=--；7m,整理可得2/一3/+4加=0,

則問題可轉(zhuǎn)化為g（。=2t3-3t2+4m只有一個零點(diǎn)，且g'（t）=6t2-6t,

令g'（t）=0,可得t=0或t=l,

當(dāng)fe（F,0）時(shí)，g'⑺>0,則g⑺單調(diào)遞增，

當(dāng)te（O,l）時(shí)，g'?）<0,則g⑺單調(diào)遞減,

當(dāng)，《I,”）時(shí)，g'⑺>0,則g⑺單調(diào)遞增，

即當(dāng)f=O時(shí)，g（。有極大值，當(dāng)t=l時(shí)，g⑺有極小值，

要使g⑺=2/-3t2+4m僅有一個零點(diǎn)，

g（0）,g（l）>0=>7"<?；蚋?

4

故選：B

題型八：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題

31.（2024?陜西西安?二模）若21n玉-%一%+3=0,x2-y2+5=O,則（為—x?）?+（%-%丫的最小值為（）

A.2&B.6C.8D.12

【答案】C

【解析】由題意,設(shè)函數(shù)〃x）=21nxT+3,x>0,直線>=尤+5,

設(shè)直線、=彳+6與函數(shù)，=/（力的切點(diǎn)為尸（%,%）

92

可得r（無）=*-1,可得/（/）=--i=i,解得%=i,可得%=2,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為尸（1,2）,則切點(diǎn)到直線x-y+5=0的距離為d=卜/5|=2四，

V2

又因?yàn)?9y+（%-%y表示點(diǎn)2到直線X-y+5=o的距離為平方，

所以仿-%）2+（%-%）2的最小值為[2=8.

故選：C.

32.（2024.廣東.一模）設(shè)點(diǎn)尸在曲線y=e，上，點(diǎn)。在直線尤上，則|PQ|的最小值為（）

[2

A，4?+1B.行+]

【答案】B

【解析】令、'=^=工，得x=-1,代入曲線股廠」，

ee

所以|P9的最小值即為點(diǎn)[1,j到直線y=三的距離d='

故選：B.

33.已知點(diǎn)尸是曲線/（x）=xlnx上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。是直線y=x-3上任一點(diǎn)，則怕勺最小值為（）

A.72B.GC.1D.e

【答案】A

【解析】函數(shù)/（x）=xlnx的定義域?yàn)槿w正實(shí)數(shù)，

/(x)-xlnx^>/,(x)-lnx+l,

當(dāng)時(shí),尸（x）>O,〃x）單調(diào)遞增,

e

當(dāng)0<x<2時(shí)，/'（x）<O,〃x）單調(diào)遞減，函數(shù)圖象如下圖：

e

過點(diǎn)一（知兒）的曲線〃x）=xlnx的切線與直線y=x-3平行時(shí)，|尸0最小,

r

即有/(x)=lnx0+l=l=>x0=l=>y0=0=>P(l,0),

!1-31

所以|PQL=近

Q(T)2

故選：A

x+y+3

34.(2024?高三?四川成都?期末)已知P(x,y)為函數(shù)y=/一"+2%2一4%圖象上一動點(diǎn)，則

Jd)2+(y+4)2

的最大值為()

e+5e+5

A—R——C.1D.0(e+5)

'7e2+8e+17'V2e2+16e+34

【答案】A

【解題思路】先觀察出函數(shù)關(guān)于x=l對稱，在根據(jù)所求的式子可以判斷x>l時(shí)比x<l的值要大，所以只需

研究x>l的情況即可，把所求的式子經(jīng)過換元，適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)問題，其中一個內(nèi)層函數(shù)又是

兩點(diǎn)斜率問題，借助數(shù)形結(jié)合思想和導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出最值.

x+y+3

【解析】由函數(shù)解析式可知函數(shù)y關(guān)于x=i對稱，設(shè)z=Ji-.,不妨設(shè)x=〃(〃<i)

_〃+y+3_f+y+5n+y+3

則J("戶(y+4『，當(dāng)x_2n(n<\),^(l-n)2+(_y+4)2^(n-1)2+(y+4)2；

即當(dāng)x>1時(shí)z的值要大于x<1時(shí)z的值，所以只需研究x>1的情況即可，

b

當(dāng)%>1時(shí)，y=ex-1+2x2-4x,設(shè)x-l=a,y+4=6,t=—

a

2/+2ab+/22

貝Ua+b^ba1,

---1IH—

abt

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：re(O,l)時(shí)，z2遞增，當(dāng)丘z2遞減.

U3=用，所以'的幾何意義是函數(shù),=ei+2/-4x上一點(diǎn)與點(diǎn)(1,-4)的斜率，

設(shè)過點(diǎn)(LT)的切線與函數(shù)y=I-+2/—4x的交點(diǎn)坐標(biāo)(即切點(diǎn))為口/―+2加-4對(機(jī)>1),

yr=e"T+4x-4,

所以切線的斜率上=e-1+4m-4,切線方程為V-(b+W-4m)=(六+4m-4)(x-m),把點(diǎn)(1,T)代入

切線方程整理得：

(e^+^n)(?77-2)=0,所以根=2或e'a+2m=0,設(shè)/(加)=峻一+2加，/(m)=e"-1+2>0,

所以/(?0在(1,+⑹單調(diào)遞增，所以〃聞>/⑴=3,

即e"i+2〃?=0不合題意，所以帆=2,止匕時(shí)切線的斜率左=e"i+4m-4=e+4,

如圖:

根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想可知,的范圍為［e+4,+“），所以當(dāng)ue+4時(shí)，z?最大，

"2e+5

7—1—I----------------------------------------------------------

12

此時(shí)4eI4I7e+8e+17-

Ve+4

故選：A

35.設(shè)點(diǎn)尸在曲線y=e、上，點(diǎn)0在直線y=lnx上，則的最小值為（）

A.1B.2C.72D.73

【答案】C

【解析】y=e，和y=ln尤互為反函數(shù)，問題可以轉(zhuǎn)化為直線了=彳到丫=^距離的兩倍.

y'=e，,令e，=l,得無=0,故切點(diǎn)為（0,1），

由八寸=孝，所以1尸03=夜?

故選：C.

題型九：牛頓迭代法

36.英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn).已知二次函數(shù)/（幻有兩個不相等的實(shí)根b,c,其

中C>b.在函數(shù)圖像上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)處作曲線y=/（x）的切線，切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為巧；用

巧代替毛，重復(fù)以上的過程得到￡；一直下去,得到數(shù)列｛%｝,記。“=ln，且％=1,X“>C,下列

說法正確的是（）

1

B.

32

C.數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列D.數(shù)歹U的前”項(xiàng)和S、=2"—2~+1

【答案】D

【解析】由q=ln正衛(wèi)=1,得?=e,則工=￡￡三，故A錯誤；

Xj-cxx-ce-1

因?yàn)槎魏瘮?shù)/（x）有兩個不等實(shí)數(shù)根b,c,

所以不妨設(shè)/（x）=4（x-b）（x-c）,

因?yàn)閞（x）=a（2x-6-c）,所以/<天）=a（2x“-6-c）,

所以在橫坐標(biāo)為x”的點(diǎn)處的切線方程為：y-f（%?）=a（2x?-^-c）（x-%?）,

A,a'X（2xn-b-c\-f（x\ax^-abcx^-bc

令，肛…百/c）

?為X"+T=x：-bc-b（2x“-b-c）=x：_2bx,+b。=（尤,,-6『

xc2

'n+i-^~bc-c（2xn-b-c）x^-2cxn+c（x.—cj，

所以ln%±*=21n%心，即4+1=2a“，

xc

n+i-x”-c

所以數(shù)列｛g｝是公比為2,首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，

所以4=2"，且％=32,故BC錯誤；

1<1>""|1-2"一至2,

由。“+」=2"7+仁，所以++Z-右=2"-2~+1,故D正確.

an⑺