高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)滿分通關(guān)專題36 雙變量不等式恒成立與能成立問題考點(diǎn)探析(原卷版)

專題36雙變量不等式恒成立與能成立問題考點(diǎn)探析考點(diǎn)一單函數(shù)雙任意型【例題選講】[例1]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)＋ax＋b的圖象在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線與直線l：2x－4y＋3＝0平行．(1)求證：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(1，e)上存在最大值；(2)記函數(shù)g(x)＝xf(x)＋c，若g(x)≤0對一切x∈(0，＋∞)，b∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．[例2]已知函數(shù)f(x)＝(logax)2＋x－lnx(a>1)．(1)求證：函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增；(2)若關(guān)于x的方程|f(x)－t|＝1在(0，＋∞)上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的值；(3)若對任意的x1，x2∈[a－1，a]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1恒成立(e為自然對數(shù)的底數(shù))，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[例3]已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋2lnx．(1)若函數(shù)y＝f(x)在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，若x1∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))，且f(x1)≥t＋f(x2)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．[例4]已知函數(shù)f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax．+X+K](1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)；(2)令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函數(shù)h(x)圖象上任意兩點(diǎn)，且滿足eq\f(h(x1)－h(huán)(x2),x1－x2)＞1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；[例5]已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ax2－3x．(1)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝－2，求函數(shù)f(x)的極小值；(2)若a＝1，對于任意x1，x2∈[1，10]，當(dāng)x1<x2時(shí)，不等式f(x1)－f(x2)>eq\f(m(x2－x1),x1x2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x－eq\f(1,x)，其中a為實(shí)常數(shù)．(1)若x＝eq\f(1,2)是f(x)的極大值點(diǎn)，求f(x)的極小值；(2)若不等式alnx－eq\f(1,x)≤b－x對任意－eq\f(5,2)≤a≤0，eq\f(1,2)≤x≤2恒成立，求b的最小值．2．設(shè)函數(shù)f(x)＝emx＋x2－mx．(1)證明：f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增；(2)若對于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍．3．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1－a,2)x2＋ax－lnx(a∈R)．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；(2)若對任意a∈(4，5)及任意x1，x2∈[1，2]，恒有eq\f(a－1,2)m＋ln2>|f(x1)－f(x2)|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(x,e)))lnx(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))．(1)證明：f(x)≤f(e)；(2)對任意正實(shí)數(shù)x、y，不等式aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(y,e)))(lny－lnx)－2x≤0恒成立，求正實(shí)數(shù)a的最大值．5．設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(k,x)，k∈R．(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(e，f(e))處的切線與直線x－2＝0垂直，求f(x)的單調(diào)性和極小值(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))；(2)若對任意的x1>x2>0，f(x1)－f(x2)<x1－x2恒成立，求k的取值范圍．6．已知函數(shù)f(x)＝x－1－alnx(a<0)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若對于任意的x1，x2∈(0，1]，且x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|<4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．7．設(shè)f(x)＝ex－a(x＋1)．(1)若?x∈R，f(x)≥0恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)g(x)＝f(x)＋eq\f(a,ex)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是曲線y＝g(x)上任意兩點(diǎn)，若對任意的a≤－1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，求m的取值范圍．考點(diǎn)二雙函數(shù)雙任意型【例題選講】[例6]已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ax2＋1，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的單調(diào)性；(2)已知a?(0，e)，若對任意x1，x2∈[1，e]，有f(x1)>g(x2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[例7]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,ex)＋x－1，g(x)＝lnx＋eq\f(1,e)(e為自然對數(shù)的底數(shù))．(1)證明：f(x)≥g(x)；(2)若對于任意的x1，x2∈[1，a](a>1)，總有|f(x1)－g(x2)|≤eq\f(2,e2)－eq\f(1,e)＋1，求a的最大值．[例8]已知函數(shù)f(x)＝x2－2alnx(a∈R)，g(x)＝2ax.(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)若0＜a＜1，對于區(qū)間[1，2]上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|＞|g(x1)－g(x2)|成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【對點(diǎn)訓(xùn)練】8．已知兩個(gè)函數(shù)f(x)＝7x2－28x－c，g(x)＝2x3＋4x2－40x．若對任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．9．已知函數(shù)f(x)＝x－1－alnx(a∈R)，g(x)＝eq\f(1,x)．(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程；(2)若a<0，且對任意x1，x2∈(0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<4×|g(x1)－g(x2)|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．10．設(shè)f(x)＝xex，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋x．(1)令F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的最小值；(2)若任意x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．考點(diǎn)三任意存在型【例題選講】[例9]設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋x2－ax(a∈R)．(1)已知函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)設(shè)g(x)＝f(x)＋2lneq\f(ax＋2,6\r(x))，對于任意a∈(2，4)，總存在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))，使g(x)＞k(4－a2)成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．[例10]已知函數(shù)f(x)＝2lneq\f(x,2)－eq\f(3x－6,x＋1)．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若g(x)＝lnx－ax，若對任意x1∈(1，＋∞)，存在x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)≥g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[例11]已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋eq\f(1－a,x)－1(a∈R)．(1)當(dāng)0＜a＜eq\f(1,2)時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)g(x)＝x2－2bx＋4．當(dāng)a＝eq\f(1,4)時(shí)，若對任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．[例12]已知x＝eq\f(1,\r(e))為函數(shù)f(x)＝xalnx的極值點(diǎn)．(1)求a的值；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝eq\f(kx,ex)，若對?x1∈(0，＋∞)，?x2∈R，使得f(x1)－g(x2)≥0，求k的取值范圍．[例13]已知函數(shù)f(x)＝exsinx－cosx，g(x)＝xcosx－eq\r(2)ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)判斷函數(shù)y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；(2)?x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，?x2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，使得不等式f(x1)＋g(x2)≥m成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[例14]已知函數(shù)f(x)＝x2eax＋1＋1－a(a∈R)，g(x)＝ex－1－x．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)?a∈(0，1)，是否存在實(shí)數(shù)λ，?m∈[a－1，a]，?n∈[a－1，a]，使f[(n)]2－λg(m)<0成立？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．【對點(diǎn)訓(xùn)練】11．已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋1的單調(diào)遞減區(qū)間是(1，2)．(1)求f(x)的解析式；(2)若對任意的x1∈(0，2]，存在x2∈[2，＋∞)，使不等式eq\f(1,2)xeq\o\al(3,1)－x1lnx1－x1t＋3＞f(x2)成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．12．已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx(a∈R).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(x)＝x2－2x＋2，若對任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0，1]使得f(x1)<g(x2)，求a的取值范圍．13．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋eq\f(1－a,x)－1(a∈R)．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，證明：f(x)≤－2；(2)設(shè)g(x)＝x2－2bx＋4，當(dāng)a＝eq\f(1,4)時(shí)，若?x1∈(0，2)，?x2∈[1，2]，f(x1)≥g(x2)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．14．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2＋ax．(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的最小值；(2)若函數(shù)g(x)＝eq\f(x,ex)，對?x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，?x2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使f′(x1)≤g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．15．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R)．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(x)＝x2－2x，若對任意x1∈(0，2]，均存在x2∈(0，2]，使得f(x1)<g(x2)，求a的取值范圍．16．函數(shù)f(x)＝exsinx，g(x)＝(x＋1)cosx－eq\r(2)ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)對?x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，?x2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，使f(x1)＋g(x2)≥m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．考點(diǎn)四存在任意型【例題選講】[例15]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx＋a,x)，a∈R．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝(x－k)ex＋k，k∈Z，e＝2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．當(dāng)a＝1時(shí)，若?x1∈(0，＋∞)，?x2∈(0，＋∞)，不等式5f(x1)＋g(x2)＞0成立，求k的最大值．[例16]已知函數(shù)f(x)＝x－(a＋1)lnx－eq\f(a,x)(a∈R)，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋ex－xex．(1)當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，求f(x)的最小值；(2)當(dāng)a＜1時(shí)，若存在x1∈[e，e2]，使得對任意的x2∈[－2，0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范圍．[例17](2021·天津)已知a＞0，函數(shù)f(x)＝ax－xex．(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)證明函數(shù)y＝f(x)存在唯一的極值點(diǎn)；(3)若存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)≤a＋b對任意x∈R成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【對點(diǎn)訓(xùn)練】17．已知f(x)＝eq\f(1－x,ax)＋lnx，(a∈R，且a≠0)．(1)試討論函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性；(2)若?x0∈(0，＋∞)使得?x∈(0，＋∞)都有f(x)≥f(x0)恒成立，且f(x0)≥0，求滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值集合．18．已知函數(shù)f(x)＝x－mlnx－eq\f(m－1,x)(m∈R)，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋ex－xex．(1)若m<e＋1，試求f(x)在[1，e]的最小值；(2)當(dāng)m≤2時(shí)，若存在x1∈[e，e2]，使得對任意的x2∈[－2，0]，f(x1)≤g(x2)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．19．已知函數(shù)f(x)＝lnx，h(x)＝ax(a∈R)．(1)若函數(shù)f(x)與h(x)的圖象無公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使得對任意的x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，都有函數(shù)y＝f(x)＋eq\f(m,x)的圖象在g(x)＝eq\f(ex,x)的圖象的下方？若存在，請求出最大整數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，eq\r(e)≈1.6487，eq\r(3,e)≈1.3956．20．已知向量m＝(ex，lnx＋k)，n＝(1，f(x))，m∥n(k為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與y軸垂直，F(xiàn)(x)＝xexf′(x)．(1)求k的值及F(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)g(x)＝－x2＋2ax(a為正實(shí)數(shù))，若對于任意x2∈[0，1]，總存在x1∈(0，＋∞)，使得g(x2)<F(x1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．考點(diǎn)五雙存在型【例題選講】[例18]已知函數(shù)f(x)＝ax＋x2－xlna(a>0，a≠1)．(1)求函