廣東省惠州市合生實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期第一次月考（10月）數(shù)學(xué)試卷

合生實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年第一學(xué)期九年級第一次月考（10月）數(shù)學(xué)試卷考試用時：120分鐘，滿分：120分一、單選題：(本大題共10小題，每小題3分，共30分)1．下列方程一定是一元二次方程的是（

）A．B．C．D．2．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．將拋物線向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，所得拋物線的解析式為（

）A．B．C．D．4．學(xué)?！白匀恢馈毖芯啃〗M在野外考察時了發(fā)現(xiàn)一種植物的生長規(guī)律，即植物的1個主干上長出x個枝干，每個枝干又長出x個小分支，現(xiàn)在一個主干上有主干、枝干、小分支數(shù)量之和為73，根據(jù)題意，下列方程正確的是()A．B．C．D．5．用配方法解一元二次方程時，將它化為的形式，則的值為（

）A． B． C．2 D．6．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B．且 C．且 D．7．關(guān)于二次函數(shù)，以下說法錯誤的是（

）A．開口向上B．對稱軸為直線C．有最小值 D．與y軸交點(diǎn)為8．拋物線的圖像經(jīng)過點(diǎn)，，，則，，大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．9．直角三角形兩直角邊是方程的兩根，則它的斜邊為（

）A．8 B．7 C．6 D．10．如圖所示，當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)的圖象大致是（）A．B．C． D．二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)11．已知是方程的根，則.12．請寫出一個開口向下二次函數(shù)表達(dá)式，使其圖象的對稱軸為y軸：13．用公式法解關(guān)于x的一元二次方程，得，則該一元二次方程是14．二次函數(shù)的最小值是．15．如圖有一個三角形點(diǎn)陣，從上向下有無數(shù)多行，其中第一行有個點(diǎn)，第二行有個點(diǎn)，，第行有個點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)，是三角點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)之和當(dāng)三角點(diǎn)陣中點(diǎn)數(shù)之和是時，則三角點(diǎn)陣點(diǎn)的行數(shù)為．三、解答題（一）：(本大題共3小題，其中16小題10分，17、18每小題7分，共24分)16．解方程：(1)(2)17．已知二次函數(shù)（1）用配方法把化為的形式（2）完成下表，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出這個函數(shù)圖像．x……y……18．如圖，一農(nóng)場主準(zhǔn)備用木柵欄建一個面積為180平方米的養(yǎng)雞場，一邊靠墻，其它部分用的是木柵欄，并且留有兩道寬1米的門．其中，門用其它材料制作，木柵欄總長46米，墻長20米．(1)設(shè)養(yǎng)雞場寬米，用含的代數(shù)式表示養(yǎng)雞場的長．(2)求出的值．解答題（二）：(本大題共3小題，每小題9分，共27分）19．關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若兩根為、且，求m的值．20．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求二次函數(shù)的解析式．(2)若點(diǎn)在函數(shù)圖象上，求的面積．商場銷售某種拖把，已知這種拖把的進(jìn)價為80元/套，售價為120元/套，商場每天可銷售20套，國慶假期臨近，該商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查：這種拖把的售價每降價1元，平均每天可多售出2套，設(shè)這種拖把每套降價x元．(1)降價后每套拖把盈利______元，平均每天可銷售______套（用含x的代數(shù)式表示）；(2)為擴(kuò)大銷售量，盡快減少庫存，當(dāng)每套拖把降價多少元時，該商場銷售這種拖把平均每天能盈利1242元？(3)該商場銷售這種拖把平均每天的盈利能否達(dá)到1400元？若能，求出x的值；若不能，請說明理由．解答題（三）：(本大題共12小題，每小題12分，共24分）如圖，四邊形是證明勾股定理時用到的一個圖形，，，是和邊長，易知，這時我們把關(guān)于的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：(1)當(dāng)，時，寫出該“勾系一元二次方程”；(2)求證：關(guān)于的“勾系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根；(3)如圖，若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是，求的面積．已知二次函數(shù).當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）時，求二次函數(shù)的解析式；如圖，當(dāng)m=2時，該拋物線與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PC+PD最短？若P點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請說明理由．參考答案：題號12345678910答案BABCBBBDCC1．B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．一元二次方程定義，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．【詳解】A.，含有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.，是一元二次方程，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C.，當(dāng)時，是一元二次方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.，化簡后為，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)為求解即可【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是故選A【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，掌握頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】直接根據(jù)平移規(guī)律作答即可．【詳解】解：將拋物線向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度后所得拋物線解析式為，即；故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．4．C【分析】根據(jù)在1個主干上的主干、枝干和小分支的數(shù)量之和是73個，可得關(guān)于x的一元二次方程．【詳解】解：依題意得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于明確題意，寫出相應(yīng)的方程．5．B【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答案．【詳解】解：∵，∴，，則，即，∴，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．6．B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，解得：a＞-1且a≠0，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），當(dāng)b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac＜0時，方程沒有實(shí)數(shù)根．7．B【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，∴拋物線的開口向上，對稱軸為直線，當(dāng)時，函數(shù)值最小為，當(dāng)時，，∴拋物線與y軸交點(diǎn)為；故只有選項(xiàng)B錯誤；故選B．8．D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，再利用二次函數(shù)的增減性可判斷值的大?。驹斀狻拷猓汉瘮?shù)的解析式是，對稱軸是直線，點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，對稱軸左邊隨的增大而減小，對稱軸右邊隨的增大而增大，又，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的增減性及對稱性．9．C【分析】設(shè)直角三角形的斜邊為，兩直角邊分別為與．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可得，．再根據(jù)勾股定理即可求．【詳解】解：設(shè)直角三角形的斜邊為，兩直角邊分別為與，直角三角形兩直角邊是方程的兩根，，，根據(jù)勾股定理可得：，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】此題考查了二次函數(shù)，關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象及一次函數(shù)的圖象．根據(jù)得到同號，再判斷即可．【詳解】解：由題意可知，同號，當(dāng)時，二次函數(shù)經(jīng)過一、二象限，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，當(dāng)時，二次函數(shù)經(jīng)過三、四象限，一次函數(shù)經(jīng)過二、三、四象限，故選C．11．【分析】本題考查了一元二次方程的解，把代入方程得出方程，求出方程的解即可．【詳解】解：把代入得，解得，故答案為：．12．（答案不唯一）．【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，牢記形如的二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)形如或二次函數(shù)的性質(zhì)直接寫出即可．【詳解】解：∵圖象的對稱軸是y軸，∴函數(shù)表達(dá)式（答案不唯一），故答案為：（答案不唯一）．13．【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解題關(guān)鍵．根據(jù)公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)的值，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意及求根公式得：，∴，，，該一元二次方程為，故答案為：．14．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，把解析式化為頂點(diǎn)式即可得到答案．【詳解】解：∵，且，∴當(dāng)時，y有最小值，最小值為，故答案為：．15．24【分析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及規(guī)律型：圖形的變化，本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．由于第一行有個點(diǎn)，第二行有個點(diǎn)第行有個點(diǎn)，則前行共有個點(diǎn)，然后求它們的和，前行共有個點(diǎn)，則，然后解方程得到的值；【詳解】解：解：由于第一行有1個點(diǎn)，第二行有2個點(diǎn)第行有個點(diǎn)，則前五行共有個點(diǎn)，前10行共有個點(diǎn)，，前行共有個點(diǎn)，然后求它們的和，前行共有個點(diǎn)，根據(jù)題意，有，整理這個方程，得：，解方程得：，（舍去），故答案為：．16．(1)，(2)，【分析】（1）根據(jù)十字相乘法將原式因式分解，然后根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可；（2）將原式變形，然后根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，因式分解得：，∴或，∴，；（2），原式整理為：，因式分解為：，∴或，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的幾種解法是解本題的關(guān)鍵．17．（1）；（2）填表，作圖見解析；（3）＜＜【分析】（1）利用配方法把函數(shù)變形為：，從而可得答案；（2）先分別計(jì)算時的函數(shù)值，填好表格，再在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)，連線即可得到圖像；（3）根據(jù)圖像觀察當(dāng)－1<x<2時，圖像的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，從而可得答案．【詳解】解：（1）（2）列表：描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象如圖：【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的一般式與頂點(diǎn)式，畫二次函數(shù)的圖像，二次函數(shù)的增減性，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．18．(1)(2)【分析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，用含的代數(shù)式表示養(yǎng)雞場的長即可；（2）根據(jù)矩形的面積長寬，用未知數(shù)表示出雞場的面積，根據(jù)面積為180平方米，可得方程，解方程即可．【詳解】（1）設(shè)與墻平行的一邊長為米，養(yǎng)雞場的長為（米）；（2）根據(jù)題意得：，整理得出：，解得：，，墻長20米，，即，．19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，結(jié)合可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其小于等于的值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，，解得：．（2），是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，，，，即，整理得：，解得：，．又，．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)時，方程有實(shí)數(shù)根”；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，找出關(guān)于的一元二次方程．20．(1)(2)3【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．（1）先把點(diǎn)、的坐標(biāo)分別代入中得到關(guān)于、的方程組，然后解方程組求出、，從而得到二次函數(shù)解析式；（2）先把代入（1）中的解析式求出，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）把，分別代入得，解得，二次函數(shù)的解析式為；（2）把代入得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，的面積．21．(1)，(2)每套拖把降價17元時，能讓利于顧客并且商家平均每天能贏利1242元；(3)不能，理由見解析【分析】此題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確分析題目中的等量關(guān)系．（1）設(shè)每套拖把降價x元，根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；（2）設(shè)每套拖把降價x元，則每套的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為套，根據(jù)題意列出一元二次方程求解即可；（3）設(shè)每套拖把降價y元，則每套的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為套，根據(jù)題意列出一元二次方程，然后依據(jù)判別式求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)每套拖把降價x元，則每天銷售量增加套，即每天銷售套，每套拖把盈利元．故答案為：，；（2）解：設(shè)每套拖把降價x元，則每套的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為套，依題意得：，整理得：，解得：．又∵需要盡快減少庫存，∴．答：每套拖把降價17元時，能讓利于顧客并且商家平均每天能贏利1242元；（3）解：商家不能達(dá)到平均每天盈利1400元，理由如下：設(shè)每套拖把降價y元，則每套的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為套，依題意得：，整理得：．∵，∴此方程無實(shí)數(shù)解，即不可能每天盈利1400元．