北京市順義區(qū)第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

順義一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三年級10月考試數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將答題卡交回。一、單選題：本題共10小題，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.2.設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.3.設(shè)且，則“”是“”成立的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知平面向量，滿足，，且，則（）A.12 B.4 C. D.25.若，則（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值是（）A. B.1 C. D.7.在中，若，，，則的面積是（）A.1 B. C. D.8.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.C. D.9.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減，若，且滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.10.八卦是中國傳統(tǒng)文化中的一部分，八個(gè)方位分別象征天、地、風(fēng)、雷、水、火、山、澤八種自然現(xiàn)象、八卦模型如圖1所示，其平面圖形為正八邊形，如圖2所示，點(diǎn)為該正八邊形的中心，設(shè)，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）圖1 圖2①；②；③在上的投影向量為（其中為與同向的單位向量）；④若點(diǎn)為正八邊形邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為4.A.4 B.3 C.2 D.1二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是______.12.設(shè)等差數(shù)列的前的和為，若，則______.13.在中，點(diǎn)，滿足，，若，則______，______.14.已知函數(shù)，若將其圖象向右平移個(gè)單位長度后所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值為______.15.已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，存在唯一的零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，存在最小值；③當(dāng)時(shí)，對任意，，；④的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則函數(shù)的值域?yàn)?；其中所有正確結(jié)論的序號是______.三、解答題（本大題共6小題，共85.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.（本小題13分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值及取得最值時(shí)自變量的值17.（本小題14分）設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大??；（2）再從以下三組條件中選擇一組條件作為已知條件，使三角形存在且唯一確定，并求的面積.第①組條件：，；第②組條件：邊上的高，；第③組條件：，.18.（本小題14分）設(shè)函數(shù).（1）若，求的值.（2）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求，的值.條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)19.（本小題14分）甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計(jì)如下：場次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）從上述10場比賽中隨機(jī)選擇一場，求甲獲勝的概率；（2）在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機(jī)選擇兩場，設(shè)表示乙得分大于丙得分的場數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨(dú)立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計(jì)其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來又將進(jìn)行6場投籃比賽，設(shè)為甲獲勝的場數(shù)，為乙獲勝的場數(shù)，為丙獲勝的場數(shù)，寫出方差，，的大小關(guān)系.20.（本小題15分）已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）判斷極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.21.（本小題15分）已知數(shù)集，若對任意的，，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于，則稱數(shù)集具有性質(zhì).（1）分別判斷數(shù)集與數(shù)集是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）若數(shù)集具有性質(zhì).①當(dāng)時(shí)，證明，且，，成等比數(shù)列；②證明：.順義一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三年級10月考試（參考答案）一.選擇題12345678910BCACBADCDC二.填空題11.12.2413.，14.，15.①④16.（1）所以，函數(shù)的最小正周期為.解不等式，得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為.當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最小值，且最小值為.17.（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，又因?yàn)?，所以，所以，顯然，則，又因?yàn)?，所?（2）若選①，由余弦定理得，即，即，解得或3，不符合題意；若選②，因?yàn)檫吷系母?，所以，則，由余弦定理得，即，即，解得，（舍去），故唯一，符合題意，此時(shí)的面積；若選③，因?yàn)橹澜?，，邊，所以唯一，符合題意，因?yàn)?，，所以，由正弦定理得，則，此時(shí)的面積.18.解：（1）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋?，，所以，，，所以的最大值?，最小值為.若選條件①：因?yàn)榈淖畲笾禐?，最小值為，所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在；若選條件②：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，，所以，，因?yàn)?，所?所以，；若選條件③：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得最小值，即.以下與條件②相同.19.（1）設(shè)表示“從10場比賽中隨機(jī)選擇一場，甲獲勝”，則.（2）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場，所以的所有可能取值為，，.，，所以的分布列為01218215155所以.（3）由題意，每場比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，還需要進(jìn)行6場比賽，而甲、乙、丙獲勝的場數(shù)符合二項(xiàng)分布，所以，，故.20.（1）由題意知，定義域?yàn)椋?，所以直線的斜率，，所以切線方程為，即.（2）由（1）知，所以，令，即；解得或，當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（3）2個(gè)極值點(diǎn)，理由如下：由（2）知當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以存在唯一，使；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以存在唯一，使；當(dāng)時(shí)，，，所以所以在區(qū)間無零點(diǎn)；綜上，當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以當(dāng)時(shí)，取到極小值；當(dāng)時(shí)，取到極大值；故有2個(gè)極值點(diǎn).21.（1）數(shù)集具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)，理由如下：因?yàn)?，，，，，都屬于?shù)集