遼寧省沈陽市重點(diǎn)中學(xué)2024年高三高考模擬考試（二）數(shù)學(xué)試題

遼寧省沈陽市重點(diǎn)中學(xué)2024年高三高考模擬考試（二）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝120°(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則k的值為()A． B． C．或－ D．和－2．如圖，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．3．已知函數(shù)f(x)＝,若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A． B．C． D．4．等腰直角三角形的斜邊AB為正四面體側(cè)棱，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，有下列說法：（1）四面體EBCD的體積有最大值和最小值；（2）存在某個(gè)位置，使得；（3）設(shè)二面角的平面角為，則；（4）AE的中點(diǎn)M與AB的中點(diǎn)N連線交平面BCD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓.其中，正確說法的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．45．雙曲線﹣y2=1的漸近線方程是（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=06．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則()A．3 B．5 C． D．7．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則()A． B． C． D．8．圓錐底面半徑為，高為，是一條母線，點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，則點(diǎn)到所在直線的距離的最大值是（）A． B． C． D．9．設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)若雙曲線上存在點(diǎn)，使，且，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．10．設(shè)函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）,定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若存在，且為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)z滿足,則在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．在的展開式中，的系數(shù)為()A．-120 B．120 C．-15 D．15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，直線平面，垂足為，三棱錐的底面邊長和側(cè)棱長都為4，在平面內(nèi)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_______，點(diǎn)到直線的距離的最大值為_______.14．若將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位后所得的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為________________.15．如果復(fù)數(shù)滿足，那么______（為虛數(shù)單位）.16．如圖是一個(gè)算法偽代碼，則輸出的的值為_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角，，的對邊分別為，其中，.（1）求角的值；（2）若，，為邊上的任意一點(diǎn)，求的最小值.18．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（2）記函數(shù)的圖象為曲線，設(shè)點(diǎn)是曲線上不同兩點(diǎn)，如果在曲線上存在點(diǎn)，使得①；②曲線在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)存在“中值和諧切線”，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是否存在“中值和諧切線”請說明理由19．（12分）設(shè)數(shù)陣，其中、、、．設(shè)，其中，且．定義變換為“對于數(shù)陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個(gè)數(shù)都乘以；若其中沒有且沒有，則這一行中所有數(shù)均保持不變”（、、、）．表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到、，以此類推，最后將經(jīng)過變換得到”，記數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和為．（1）若，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）若，，求的值；（3）對任意確定的一個(gè)數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不超過．20．（12分）設(shè)（1）證明:當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）21．（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）過點(diǎn)（0,），且滿足a+b＝3．（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為的直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)A，B，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2,1），設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k1，k2，試問k1+k2是否為定值？并說明理由．22．（10分）設(shè)函數(shù)，，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，().（i）求的取值范圍；（ii）求證:隨著的增大而增大.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

直線過定點(diǎn)，直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ=120°（其中O為原點(diǎn)），可以發(fā)現(xiàn)∠QOx的大小，求得結(jié)果．【詳解】如圖，直線過定點(diǎn)（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴由對稱性可知k=±．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查過定點(diǎn)的直線系問題，以及直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．2、A【解析】

易得，過B作x軸的垂線，垂足為T，在中，利用即可得到的方程.【詳解】由已知，得，過B作x軸的垂線，垂足為T，故，又所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率問題，在作雙曲線離心率問題時(shí)，最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式，本題屬于容易題.3、D【解析】

由已知可將問題轉(zhuǎn)化為：y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個(gè)交點(diǎn)，作出圖象，由圖可得：點(diǎn)(1,0)必須在直線y＝kx－的下方，即可求得：k＞；再求得直線y＝kx－和y＝lnx相切時(shí)，k＝；結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個(gè)交點(diǎn)．作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖，故點(diǎn)(1,0)在直線y＝kx－的下方．∴k×1－＞0，解得k＞.當(dāng)直線y＝kx－和y＝lnx相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則k＝＝，∴m＝.此時(shí)，k＝＝，f(x)的圖象和直線y＝kx－有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，故所求k的取值范圍是，故選D..【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力，還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計(jì)算能力、觀察能力，屬于難題．4、C【解析】

解：對于（1），當(dāng)CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方時(shí)，E到平面BCD的距離最大，當(dāng)CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方時(shí)，E到平面BCD的距離最小，∴四面體E﹣BCD的體積有最大值和最小值，故（1）正確；對于（2），連接DE，若存在某個(gè)位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，則AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，進(jìn)一步可得AE＝DE，此時(shí)E﹣ABD為正三棱錐，故（2）正確；對于（3），取AB中點(diǎn)O，連接DO，EO，則∠DOE為二面角D﹣AB﹣E的平面角，為θ，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，θ∈[0，π），∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正確；對于（4）AE的中點(diǎn)M與AB的中點(diǎn)N連線交平面BCD于點(diǎn)P，P到BC的距離為：dP﹣BC，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓．（4）正確．故選：C．點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)多面體和旋轉(zhuǎn)體對應(yīng)的特征，以幾何體為載體，考查相關(guān)的空間關(guān)系，在解題的過程中，需要認(rèn)真分析，得到結(jié)果，注意對知識點(diǎn)的靈活運(yùn)用.5、A【解析】試題分析：漸近線方程是﹣y2=1，整理后就得到雙曲線的漸近線．解：雙曲線其漸近線方程是﹣y2=1整理得x±2y=1．故選A．點(diǎn)評：本題考查了雙曲線的漸進(jìn)方程，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進(jìn)方程．屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】

先由已知，求出，進(jìn)一步可得，再利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可【詳解】由z是純虛數(shù)，得且，所以，.因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.7、C【解析】

求得點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得【詳解】拋物線焦點(diǎn)為，令，，解得，不妨設(shè)，則直線的方程為，由，解得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的弦長的求法，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉(zhuǎn)化求解的位置，推出結(jié)果即可.詳解：圓錐底面半徑為，高為2，是一條母線，點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，在底面的射影為；，，過的軸截面如圖：，過作于，則，在底面圓周，選擇，使得，則到的距離的最大值為3，故選：C點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)線面距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題．9、A【解析】

由及雙曲線定義得和（用表示），然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率．【詳解】由題意∵，∴由雙曲線定義得，從而得，，在中，由余弦定理得，化簡得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線定義用表示出到兩焦點(diǎn)的距離，再由余弦定理得出的齊次式．10、D【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，由題意判斷出函數(shù)的奇偶性，再對函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減.因?yàn)榇嬖?，所以，所以，化簡得，所以，即令，因?yàn)闉楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，由選項(xiàng)知，，又因?yàn)?，所以要使在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題，難度較大.11、A【解析】

設(shè)，由得：，由復(fù)數(shù)相等可得的值，進(jìn)而求出，即可得解.【詳解】設(shè)，由得：，即，由復(fù)數(shù)相等可得：，解之得：，則，所以，在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第一象限.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求法，考查對復(fù)數(shù)相等的理解，考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于常考題.12、C【解析】

寫出展開式的通項(xiàng)公式，令，即，則可求系數(shù)．【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，即時(shí)，系數(shù)為．故選C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

三棱錐的底面邊長和側(cè)棱長都為4，所以在平面的投影為的重心，利用解直角三角形，即可求出點(diǎn)到平面的距離；，可得點(diǎn)是以為直徑的球面上的點(diǎn)，所以到直線的距離為以為直徑的球面上的點(diǎn)到的距離，最大距離為分別過和的兩個(gè)平行平面間距離加半徑，即可求出結(jié)論.【詳解】邊長為，則中線長為，點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)是以為直徑的球面上的點(diǎn)，所以到直線的距離為以為直徑的球面上的點(diǎn)到的距離，最大距離為分別過和的兩個(gè)平行平面間距離加半徑.又三棱錐的底面邊長和側(cè)棱長都為4，以下求過和的兩個(gè)平行平面間距離，分別取中點(diǎn)，連，則，同理，分別過做，直線確定平面，直線確定平面，則，同理，為所求，，，所以到直線最大距離為.故答案為:；.【點(diǎn)睛】本題考查空間中的距離、正四面體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力，屬于較難題.14、【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖像的對稱性，求得的最小值.【詳解】解：將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長度，可得的圖象.根據(jù)圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，可得，，，即時(shí)，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)圖像的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】∵，∴，∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模的求法，屬于基礎(chǔ)題.16、5【解析】

執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，即得結(jié)果.【詳解】執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖得,結(jié)束循環(huán)，輸出.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，考查基本分析與運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化簡即可得出結(jié)果；（2）在中，由余弦定理得，在中結(jié)合正弦定理求出，從而得出，即可得出的解析式，最后結(jié)合斜率的幾何意義，即可求出的最小值.【詳解】（1），，由題知，，則，則，，；（2）在中，由余弦定理得，，設(shè)，其中.在中，，，，，所以，，所以的幾何意義為兩點(diǎn)連線斜率的相反數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得，故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，還涉及二倍角正弦公式和誘導(dǎo)公式，考查計(jì)算能力.18、（1）見解析（2）不存在，見解析【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，再令，轉(zhuǎn)化為方程有解問題，即可說明.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增②，顯然無增區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，綜上當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)函數(shù)無單調(diào)遞增區(qū)間當(dāng)時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增(2)假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”設(shè)是曲線上不同的兩個(gè)點(diǎn)，且則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，.令，則，單調(diào)遞增，，故無解，假設(shè)不成立綜上，假設(shè)不成立，所以不存在“中值相依切線”【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19、（1）；（2）；（3）見解析.【解析】

（1）由，能求出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）由，，求出數(shù)陣經(jīng)過變化后的矩陣，進(jìn)而可求得的值；（3）分和兩種情況討論，推導(dǎo)出變換后數(shù)陣的第一行和第二行的數(shù)字之和，由此能證明的所有可能取值的和不超過．【詳解】（1），經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）經(jīng)變換后得，故；（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、；含有且不含的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、；同時(shí)含有和的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行仍為、；不含也不含的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行仍為、．所以經(jīng)過變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為.若，則的所有非空子集中，含有的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、；不含有的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行仍為、．所以經(jīng)過變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為．同理，經(jīng)過變換后所有的第二行的所有數(shù)的和為．所以的所有可能取值的和為，又因?yàn)?、、、，所以的所有可能取值的和不超過．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)陣變換的求法，考查數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和不超過的證明，考查類比推理、數(shù)陣變換等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，綜合性強(qiáng)，難度大．20、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）將代入函數(shù)解析式可得，構(gòu)造函數(shù)，求得并令，由導(dǎo)函數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值，由即可證明恒成立，即不等式得證.（2）對函數(shù)求導(dǎo)，變形后討論當(dāng)時(shí)的函數(shù)單調(diào)情況：當(dāng)時(shí)，可知滿足題意；將不等式化簡后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求得極值點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值為，分別依次代入檢驗(yàn)的符號，即可確定整數(shù)的最大值；當(dāng)時(shí)不滿足題意，因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值，所以時(shí)無需再討論.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)代入可得，令，，則，令解得，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，所以，則，即成立.（2）函數(shù)則，若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時(shí)成立；所以此時(shí)需滿足的整數(shù)解即可，將不等式化簡可得，令則令解得，當(dāng)時(shí)，即在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即在內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，則，，，所以此時(shí)滿足的整數(shù)的最大值為；當(dāng)時(shí)，在時(shí)，此時(shí)，與題意矛盾，所以不成立.因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值，所以時(shí)無需再討論，綜上所述，當(dāng)時(shí)，整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函