2024年全國甲卷數(shù)學（文）高考真題（含解析）

第第頁2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試全國甲卷文科數(shù)學使用范圍：陜西、寧夏、青海、內(nèi)蒙古、四川注意事項：1．答題前，務必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號．3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)，則（）A. B. C. D.22.若集合，，則（）A. B. C. D.3.若滿足約束條件，則的最小值為（）A. B. C. D.4.甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B. C.1 D.6.已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A.4 B.3 C.2 D.7.設(shè)函數(shù)，則曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.8.函數(shù)在區(qū)間圖象大致為（）A. B.C. D.9.已知，則（）A. B. C. D.10.已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.611.設(shè)為兩個平面，為兩條直線，且.下述四個命題：①若，則或②若，則或③若且，則④若與,所成的角相等，則其中所有真命題編號是（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④12.在中,內(nèi)角所對邊分別為，若，，則（）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)在上的最大值是______．14.已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為______．15.已知且，則______．16.曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為______．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題第21題為必考題，每個考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知等比數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.18.某工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150（1）填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品優(yōu)級品率，設(shè)為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果，則認為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.如圖，，，，,為的中點.（1）證明：平面；（2）求點到的距離.20已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明：當時，恒成立．21.已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸．（1）求的方程；（2）過點的直線交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計分．22.在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出的直角坐標方程；（2）設(shè)直線l：（為參數(shù)），若與l相交于兩點，若，求.23.已知實數(shù)滿足．（1）證明：；（2）證明：．

參考答案一、選擇題1.【答案】A【解析】依題意得，對于集合中元素，滿足，則可能的取值為，即，于是.故選：A2.【答案】D【解析】依題意得，，故.故選：D3.【答案】D【解析】實數(shù)滿足，作出可行域如圖：由可得，即的幾何意義為的截距的，則該直線截距取最大值時，有最小值，此時直線過點，聯(lián)立，解得，即，則.故選：D.4.【答案】D【解析】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選：D方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選：D5.【答案】B【解析】當甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；基本事件總數(shù)顯然是，根據(jù)古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.故選：B6.【答案】C【解析】設(shè)、、，則，，，則，則.故選：C.7.【答案】A【解析】，所以，故切線方程為，故切線的橫截距為，縱截距為，故切線與坐標軸圍成的面積為故選：A.8.【答案】B【解析】，又函數(shù)定義域為，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D.故選：B.9.【答案】B【解析】因為，所以，，所以，故選：B.10.【答案】C11.【答案】A【解析】對①，當，因為，，則，當，因為，，則，當既不在也不在內(nèi)，因為，，則且，故①正確；對②，若，則與不一定垂直，故②錯誤；對③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因為，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，同理可得，則，因為平面，平面，則平面，因為平面，，則，又因為，則，故③正確；對④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯誤；綜上只有①③正確，故選：A.12.【答案】C【解析】因為，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因為為三角形內(nèi)角，則，則.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.【答案】2【解析】，當時，，當時，即時，.故答案為：214.【答案】15.【答案】64【解析】由題，整理得，或，又，所以，故故答案為：64.16.【答案】【解析】令，即，令則，令得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，，因為曲線與在上有兩個不同的交點，所以等價于與有兩個交點，所以.故答案為：三、解答題（一）必考題17【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為,故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.（2）由等比數(shù)列求和公式得.18.【答案】略.19.【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】（1）因為為的中點，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；（2）如圖所示，作交于，連接，因為四邊形為等腰梯形，，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點，所以，又因為四邊形為等腰梯形，為中點，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點重合，，，因為，所以，所以互相垂直，由等體積法可得，，，，設(shè)點到的距離為，則，解得，即點到距離為.20.【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）定義域為，當時，，故在上單調(diào)遞減；當時，時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2），且時，，令，下證即可.，再令，則，顯然在上遞增，則，即在上遞增，故，即在上單調(diào)遞增，故，問題得證.21.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)，由題設(shè)有且，故，故，故，故橢圓方程為.（2）直線的斜率必定存在，設(shè)，，，由可得，故，故，又，而，故直線，故，所以，故，即軸.（二）選考題22.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，將代入，故可