時(shí)指數(shù)型對(duì)數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用舉例

時(shí)指數(shù)型對(duì)數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用舉例想一想:函數(shù)模型應(yīng)用得兩個(gè)方面(1)利用已知函數(shù)模型解決問(wèn)題;(2)建立恰當(dāng)?shù)煤瘮?shù)模型,并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象,對(duì)某些發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)、2指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)得應(yīng)用就是高考得一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容,常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查、在實(shí)際問(wèn)題中,有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題可以用指數(shù)函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸閥＝N·(1＋p)x(其中N為原來(lái)得基礎(chǔ)數(shù),p為增長(zhǎng)率,x為時(shí)間)得形式、另外,指數(shù)方程常利用對(duì)數(shù)進(jìn)行計(jì)算,指數(shù)、對(duì)數(shù)在很多問(wèn)題中可轉(zhuǎn)化應(yīng)用、3例1、按復(fù)利計(jì)算利息得一種儲(chǔ)蓄,本金為a元,每期利率為r,設(shè)本利和為y,存期為x,寫(xiě)出本利和y隨存期x變化得函數(shù)式、如果存入本金1000元,每期利率2、25%,試計(jì)算5期后得本利和就是多少？思路分析:復(fù)利就是計(jì)算利率得一個(gè)方法,即把前一期得利息和本金加在一起做本金,再計(jì)算下一期得利息,設(shè)本金為a,每期利率為r,本利和為y,存期為x,則復(fù)利函數(shù)式為y=a(1+r)x、4解:1期后本利和為:2期后本利和為:……x期后,本利和為:將a=1000元,r=2、25%,x=5代入上式:

由計(jì)算器算得:y≈1117、68(元)5其中t表示經(jīng)過(guò)得時(shí)間,y0表示t＝0時(shí)得人口數(shù),r表示人口得年平均增長(zhǎng)率、例2、人口問(wèn)題就是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注得問(wèn)題、認(rèn)識(shí)人口數(shù)量得變化規(guī)律,可以為有效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù)、早在1798年,英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯(T、R、Malthus,1766-1834)就提出了自然狀態(tài)下得人口增長(zhǎng)模型:6年份1950195119521953195419551956195719581959人數(shù)／萬(wàn)人55196563005748258796602666145662828645636599467207下表就是1950～1959年我國(guó)得人口數(shù)據(jù)資料:(1)如果以各年人口增長(zhǎng)率得平均值作為我國(guó)這一時(shí)期得人口增長(zhǎng)率(精確到0、0001),用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在這一時(shí)期得具體人口增長(zhǎng)模型,并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)就是否相符;(2)如果按表得增長(zhǎng)趨勢(shì),大約在哪一年我國(guó)得人口達(dá)到13億?7解:(1)設(shè)1951～1959年得人口增長(zhǎng)率分別為于就是,1951～1959年期間,我國(guó)人口得年均增長(zhǎng)率為由可得1951得人口增長(zhǎng)率為同理可得,8根據(jù)表格中得數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,并作出函數(shù)得圖象、令則我國(guó)在1950～1959年期間得人口增長(zhǎng)模型為驗(yàn)證其準(zhǔn)確性910大家應(yīng)該也有點(diǎn)累了，稍作休息大家有疑問(wèn)的，可以詢(xún)問(wèn)和交流由圖可以看出,所得模型與1950～1959年得實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合、所以,如果按上表得增長(zhǎng)趨勢(shì),那么大約在1950年后得第39年(即1989年)我國(guó)得人口就已達(dá)到13億、由此可以看到,如果不實(shí)行計(jì)劃生育,而就是讓人口自然增長(zhǎng),今天我國(guó)將面臨難以承受得人口壓力、(2)將y=130000代入由計(jì)算器可得計(jì)劃生育,利國(guó)利民。11科學(xué)研究表明:在海拔x(km)處得大氣壓強(qiáng)就是y(105Pa),y與x之間得函數(shù)關(guān)系式就是y=cekx(c,k為常量)在海拔5(km)處得大氣壓強(qiáng)為0、5683(105Pa),在海拔5、5(km)處得大氣壓強(qiáng)為0、5366(105Pa),(1)問(wèn)海拔6、712(km)處得大氣壓強(qiáng)約為多少？(精確到0、0001)(2)海拔為h米處得大氣壓強(qiáng)為0、5066(105Pa),求該處得海拔h、12解:(1)把x=5,y=0、5683,x=5、5,y=0、5366代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=cekx,得:把x=6、712代入上述函數(shù)關(guān)系式,得≈0、4668(105Pa)答:6、712(km)高空得大氣壓強(qiáng)為0、4668(105Pa)、13(2)由1、01·e-0、115x=0、5066答:該處得海拔約為6km、解得x≈6(km)14例3某地區(qū)不同身高得未成年男性得體重平均值如表身高(cm)體重(kg)607080901001101201301401501601706、137、909、9912、1515、0217、5026、8620、9231、1138、8547、2555、05⑴根據(jù)上表中各組對(duì)應(yīng)得數(shù)據(jù),能否建立恰當(dāng)?shù)煤瘮?shù)模型,使她能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性身高ykg與身高xcm得函數(shù)關(guān)系？試寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)模型得解析式、⑵若體重超過(guò)相同身高男性體重平均值得1、2倍為偏胖,低于0、8倍為偏瘦,那么這一地區(qū)一名身高175cm,體重為78kg得在校男生得體重就是否正常？15分析:(1)根據(jù)上表得數(shù)據(jù)描點(diǎn)畫(huà)出圖象(如下)O16(2)觀(guān)察這個(gè)圖象,發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)得連線(xiàn)就是一條向上彎曲得曲線(xiàn),根據(jù)這些點(diǎn)得分布情況,我們可以考慮用函數(shù)y=a?bx來(lái)近似反映、解：⑴將已知數(shù)據(jù)輸入計(jì)算機(jī)，畫(huà)出圖象；如果取其中的兩組數(shù)據(jù)（70，7.90）,（160，47.25）根據(jù)圖象，選擇函數(shù)進(jìn)行擬合．代入函數(shù)由計(jì)算器得從而函數(shù)模型為17將已知數(shù)據(jù)代人所得函數(shù)關(guān)系式,或作出所得函數(shù)得圖象,可知此函數(shù)能較好地反映該地區(qū)未成年男性體重與身高得關(guān)系、所以,該地區(qū)未成年男性體重關(guān)于身高得函數(shù)關(guān)系式可以選為⑵將x=175代人得由計(jì)算器計(jì)算得y≈63、98,所以,這個(gè)男生偏胖、由于加強(qiáng)鍛煉,增強(qiáng)體質(zhì)。18函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)得步驟⑴能夠根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格,繪出散點(diǎn)圖;⑵通過(guò)觀(guān)察散點(diǎn)圖,畫(huà)出“最貼近”得直線(xiàn)或曲線(xiàn),即擬合直線(xiàn)或擬合曲線(xiàn)、如果所有實(shí)際點(diǎn)都落到了擬合直線(xiàn)或曲線(xiàn)上,一“點(diǎn)”不漏,那么這將就是個(gè)十分完美得事情,但在實(shí)際應(yīng)用中,這種情況幾乎就是不可能發(fā)生得、19⑷利用函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)條件對(duì)所給問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)