時指數(shù)型對數(shù)型函數(shù)模型的應用舉例

時指數(shù)型對數(shù)型函數(shù)模型的應用舉例想一想:函數(shù)模型應用得兩個方面(1)利用已知函數(shù)模型解決問題;(2)建立恰當?shù)煤瘮?shù)模型,并利用所得函數(shù)模型解釋有關現(xiàn)象,對某些發(fā)展趨勢進行預測、2指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)得應用就是高考得一個重點內容,常與增長率相結合進行考查、在實際問題中,有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以用指數(shù)函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸閥＝N·(1＋p)x(其中N為原來得基礎數(shù),p為增長率,x為時間)得形式、另外,指數(shù)方程常利用對數(shù)進行計算,指數(shù)、對數(shù)在很多問題中可轉化應用、3例1、按復利計算利息得一種儲蓄,本金為a元,每期利率為r,設本利和為y,存期為x,寫出本利和y隨存期x變化得函數(shù)式、如果存入本金1000元,每期利率2、25%,試計算5期后得本利和就是多少？思路分析:復利就是計算利率得一個方法,即把前一期得利息和本金加在一起做本金,再計算下一期得利息,設本金為a,每期利率為r,本利和為y,存期為x,則復利函數(shù)式為y=a(1+r)x、4解:1期后本利和為:2期后本利和為:……x期后,本利和為:將a=1000元,r=2、25%,x=5代入上式:

由計算器算得:y≈1117、68(元)5其中t表示經過得時間,y0表示t＝0時得人口數(shù),r表示人口得年平均增長率、例2、人口問題就是當今世界各國普遍關注得問題、認識人口數(shù)量得變化規(guī)律,可以為有效控制人口增長提供依據(jù)、早在1798年,英國經濟學家馬爾薩斯(T、R、Malthus,1766-1834)就提出了自然狀態(tài)下得人口增長模型:6年份1950195119521953195419551956195719581959人數(shù)／萬人55196563005748258796602666145662828645636599467207下表就是1950～1959年我國得人口數(shù)據(jù)資料:(1)如果以各年人口增長率得平均值作為我國這一時期得人口增長率(精確到0、0001),用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期得具體人口增長模型,并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)就是否相符;(2)如果按表得增長趨勢,大約在哪一年我國得人口達到13億?7解:(1)設1951～1959年得人口增長率分別為于就是,1951～1959年期間,我國人口得年均增長率為由可得1951得人口增長率為同理可得,8根據(jù)表格中得數(shù)據(jù)作出散點圖,并作出函數(shù)得圖象、令則我國在1950～1959年期間得人口增長模型為驗證其準確性910大家應該也有點累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流由圖可以看出,所得模型與1950～1959年得實際人口數(shù)據(jù)基本吻合、所以,如果按上表得增長趨勢,那么大約在1950年后得第39年(即1989年)我國得人口就已達到13億、由此可以看到,如果不實行計劃生育,而就是讓人口自然增長,今天我國將面臨難以承受得人口壓力、(2)將y=130000代入由計算器可得計劃生育,利國利民。11科學研究表明:在海拔x(km)處得大氣壓強就是y(105Pa),y與x之間得函數(shù)關系式就是y=cekx(c,k為常量)在海拔5(km)處得大氣壓強為0、5683(105Pa),在海拔5、5(km)處得大氣壓強為0、5366(105Pa),(1)問海拔6、712(km)處得大氣壓強約為多少？(精確到0、0001)(2)海拔為h米處得大氣壓強為0、5066(105Pa),求該處得海拔h、12解:(1)把x=5,y=0、5683,x=5、5,y=0、5366代入函數(shù)關系式y(tǒng)=cekx,得:把x=6、712代入上述函數(shù)關系式,得≈0、4668(105Pa)答:6、712(km)高空得大氣壓強為0、4668(105Pa)、13(2)由1、01·e-0、115x=0、5066答:該處得海拔約為6km、解得x≈6(km)14例3某地區(qū)不同身高得未成年男性得體重平均值如表身高(cm)體重(kg)607080901001101201301401501601706、137、909、9912、1515、0217、5026、8620、9231、1138、8547、2555、05⑴根據(jù)上表中各組對應得數(shù)據(jù),能否建立恰當?shù)煤瘮?shù)模型,使她能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性身高ykg與身高xcm得函數(shù)關系？試寫出這個函數(shù)模型得解析式、⑵若體重超過相同身高男性體重平均值得1、2倍為偏胖,低于0、8倍為偏瘦,那么這一地區(qū)一名身高175cm,體重為78kg得在校男生得體重就是否正常？15分析:(1)根據(jù)上表得數(shù)據(jù)描點畫出圖象(如下)O16(2)觀察這個圖象,發(fā)現(xiàn)各點得連線就是一條向上彎曲得曲線,根據(jù)這些點得分布情況,我們可以考慮用函數(shù)y=a?bx來近似反映、解：⑴將已知數(shù)據(jù)輸入計算機，畫出圖象；如果取其中的兩組數(shù)據(jù)（70，7.90）,（160，47.25）根據(jù)圖象，選擇函數(shù)進行擬合．代入函數(shù)由計算器得從而函數(shù)模型為17將已知數(shù)據(jù)代人所得函數(shù)關系式,或作出所得函數(shù)得圖象,可知此函數(shù)能較好地反映該地區(qū)未成年男性體重與身高得關系、所以,該地區(qū)未成年男性體重關于身高得函數(shù)關系式可以選為⑵將x=175代人得由計算器計算得y≈63、98,所以,這個男生偏胖、由于加強鍛煉,增強體質。18函數(shù)擬合與預測得步驟⑴能夠根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格,繪出散點圖;⑵通過觀察散點圖,畫出“最貼近”得直線或曲線,即擬合直線或擬合曲線、如果所有實際點都落到了擬合直線或曲線上,一“點”不漏,那么這將就是個十分完美得事情,但在實際應用中,這種情況幾乎就是不可能發(fā)生得、19⑷利用函數(shù)關系式,根據(jù)條件對所給問題進行預測