2025屆山東省泰安一中、寧陽(yáng)一中數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

2025屆山東省泰安一中、寧陽(yáng)一中數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．在公比為的等比數(shù)列中，前項(xiàng)和，則（）A.1 B.2C.3 D.43．若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，則的最大值是（）A. B.C.1 D.24．若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值A(chǔ).至多等于3 B.至多等于4C.等于5 D.大于55．下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（）①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底；③為空間一組基底，若，則；④對(duì)于任意非零空間向量，，若，則A.1 B.2C.3 D.46．不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或7．橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|=4，則∠F1PF2的余弦值為A. B.C. D.8．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則（）A.14 B.9C.4 D.29．為了調(diào)查修水縣2019年高考數(shù)學(xué)成績(jī)，在高考后對(duì)我縣6000名考生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)作為一個(gè)樣本，這項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法是（）A.系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法C.抽簽法 D.簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣法10．若直線經(jīng)過(guò)，,兩點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.11．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F且與x軸垂直的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若是正三角形，則C的離心率為（）A. B.C. D.12．直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線：，過(guò)焦點(diǎn)作傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，，在的準(zhǔn)線上的投影分別為，兩點(diǎn)，則__________.14．如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開(kāi)圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.15．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.已知平面直角坐標(biāo)系中各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則其“歐拉線”的方程為_(kāi)__________.16．已知數(shù)列滿足，若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，，（1）求證：面面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)M，使得二面角為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由18．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的不等式恒成立，試求a的取值范圍19．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：（，）的離心率為，點(diǎn)P在雙曲線C上，點(diǎn)，分別為雙曲線C的左右焦點(diǎn)，.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，.證明：為定值.20．（12分）已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上.過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn).（1）求該橢圓的方程；（2）若點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，記直線PA，PM，PB的斜率分別為，，.求證：，，成等差數(shù)列.21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)F，C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5（1）求C方程；（2）過(guò)F作直線l，交C于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，求直線l的方程22．（10分）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先求出方程表示雙曲線時(shí)滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”的原則進(jìn)行判斷即可.【詳解】因方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.2、C【解析】先利用和的關(guān)系求出和，再求其公比.【詳解】由，得，，所以，，則.故選：C.3、A【解析】根據(jù)弦長(zhǎng)求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以直線過(guò)圓心，即，由于為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A4、B【解析】先考慮平面上的情況：只有三個(gè)點(diǎn)的情況成立；再考慮空間里，只有四個(gè)點(diǎn)的情況成立，注意運(yùn)用外接球和三角形三邊的關(guān)系，即可判斷解：考慮平面上，3個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，構(gòu)成等邊三角形，成立；4個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，由三角形的兩邊之和大于第三邊，則不成立；n大于4，也不成立；空間中，4個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，構(gòu)成一個(gè)正四面體，成立；若n＞4，由于任三點(diǎn)不共線，當(dāng)n=5時(shí)，考慮四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的正四面體，第五個(gè)點(diǎn)，與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，由三角形的兩邊之和大于三邊，故不成立；同理n＞5，不成立故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查空間幾何體的特征，主要考查空間兩點(diǎn)的距離相等的情況，注意結(jié)合外接球和三角形的兩邊與第三邊的關(guān)系，屬于中檔題和易錯(cuò)題5、C【解析】根據(jù)題意、空間向量基底的概念和共線的運(yùn)算即可判斷命題①②③，根據(jù)空間向量的平行關(guān)系即可判斷命題④.【詳解】①：向量與空間任意向量都不能構(gòu)成一個(gè)基底，則與共線或與其中有一個(gè)為零向量，所以，故①正確；②：由向量是空間一組基底，則空間中任意一個(gè)向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組使得，所以也是空間一組基底，故②正確；③：由為空間一組基底，若，則，所以，故③正確；④：對(duì)于任意非零空間向量，，若，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得，有，又中可以有為0的，分式?jīng)]有意義，故④錯(cuò)誤.故選：C6、A【解析】確定對(duì)應(yīng)二次方程的解，根據(jù)三個(gè)二次的關(guān)系寫(xiě)出不等式的解集【詳解】，即為，故選：A7、B【解析】根據(jù)題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中則，則有|F1F2|=2，若a=3，則|PF1|+|PF2|=2a=6，又由|PF1|=4，則|PF2|=6-|PF1|=2，則cos∠F1PF2==.故選B8、C【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓、雙曲線方程的特點(diǎn)直接列式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)橢圓半焦距為c，則，而橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則在雙曲線中，，即有，解得，所以.故選：C9、B【解析】考生分為幾個(gè)不同的類型或?qū)哟?，由此可以確定抽樣方法；【詳解】6000名考生進(jìn)行抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)作為一個(gè)樣本又文科考生、理科考生、藝術(shù)和體育類考生會(huì)存在差異，采用分層抽樣法較好故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分層抽樣，掌握分層抽樣的有關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線斜率得，結(jié)合及，即可求的范圍.【詳解】根據(jù)題意，直線經(jīng)過(guò)，,，∴直線的斜率，又，∴，即，又，∴；故選：D11、A【解析】設(shè)雙曲線半焦距為c，求出，由給定的正三角形建立等量關(guān)系，結(jié)合計(jì)算作答.【詳解】設(shè)雙曲線半焦距為c，則，而軸，由得，從而有，而是正三角形，即有，則，整理得，因此有，而，解得，所以C的離心率為.故選：A12、A【解析】把求面積轉(zhuǎn)化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點(diǎn)到直線的距離.【詳解】與x，y軸的交點(diǎn)，分別為，，點(diǎn)在圓，即上，所以，圓心到直線距離為，所以面積的最小值為，最大值為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)，則，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理即得.【詳解】由拋物線：可知?jiǎng)t焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴過(guò)焦點(diǎn)且斜率為的直線方程為,化簡(jiǎn)可得，設(shè)，則，由可得，所以則故答案為：14、【解析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計(jì)算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.【詳解】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15、【解析】由題意知是直角三角形，即可寫(xiě)出垂心、外心的坐標(biāo)，進(jìn)而可得“歐拉線”的方程.【詳解】由題設(shè)知：是直角三角形，則垂心為直角頂點(diǎn)，外心為斜邊的中點(diǎn)，∴“歐拉線”的方程為.故答案為：.16、【解析】根據(jù)給定條件求出，構(gòu)造新數(shù)列并借助單調(diào)性求解作答.【詳解】在數(shù)列中，，當(dāng)，時(shí)，，則有，而滿足上式，因此，，，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，且，，又對(duì)任意恒成立，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給定數(shù)列的前項(xiàng)和或者前項(xiàng)積，求通項(xiàng)時(shí)，先要按和分段求，然后看時(shí)是否滿足時(shí)的表達(dá)式，若不滿足，就必須分段表達(dá).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO、，在三角形中分別證明和，再利用勾股定理證明，結(jié)合線面垂直的判定定理可證明平面，再由面面垂直的判定定理即可證明結(jié)果.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)點(diǎn)M存在，設(shè)，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平面的法向量，利用空間向量的方法根據(jù)二面角的平面角為可求出的值.【詳解】（1）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO,,，為等腰直角三角形，所以，；側(cè)面為菱形，，所以三角形為為等邊三角形，所以，又，所以，又，滿足，所以；因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫嬷?，所以平面平?（2）由（1）問(wèn)知：兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間之間坐標(biāo)系.則，，，，若存在點(diǎn)M，則點(diǎn)M在上，不妨設(shè)，則有，則，有，，設(shè)平面的法向量為，則解得：平面的法向量為則解得：或（舍）故存在點(diǎn)M，.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何探索是否存在的問(wèn)題，屬于中檔題.方法點(diǎn)睛：（1）判斷是否存在的問(wèn)題，一般先假設(shè)存在；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，作為已知條件，代入計(jì)算；（3）根據(jù)結(jié)果，判斷是否存在.18、（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）利用分離參數(shù)法，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】，恒成立.構(gòu)造函數(shù)，，，構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞增，，所以在上成立，所以，所以，即的取值范圍是.19、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)根據(jù)題意和雙曲線的定義求出，結(jié)合離心率求出b，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出、，化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題知：由雙曲線的定義知：，又因?yàn)?，所以，所以所以，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為小問(wèn)2詳解】設(shè)，則因?yàn)?，，所以，所?0、（1）;（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓上的點(diǎn)，利用橢圓的定義求出a，再由關(guān)系求b，即可得解；（2）分直線斜率存在與不存在兩種情況討論，利用斜率公式計(jì)算出，根據(jù)等差中項(xiàng)計(jì)算，即可證明成等差數(shù)列.【小問(wèn)1詳解】∵橢圓的焦距，橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，又點(diǎn)在橢圓上，，即.該橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè).當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，其方程為，代入，可得.不妨取，則，成等差數(shù)列.當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)其方程為，由，消去x得.即，成等差數(shù)列，綜上可得，，成等差數(shù)列.21、（1）；（2）.【解析】（1）由拋物線的定義，結(jié)合已知有求p，寫(xiě)出拋物線方程.（2）由題意設(shè)直線l為，聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理可得，由中點(diǎn)公式有，進(jìn)而求k值，寫(xiě)出直線方程.【詳解】（1）由題意知：拋物線的準(zhǔn)線為，則，可得，∴C的方程為.（2）由（1）知：，由題意知：直線l的斜率存在，令其方程為，∴聯(lián)立拋物線