2025屆福建省福州鼓樓區(qū)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2025屆福建省福州鼓樓區(qū)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)（）A. B.C. D.2．拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，P，R為C上位于F右側(cè)的兩點(diǎn)，若存在點(diǎn)Q使四邊形PFRQ為正方形，則（）A. B.C. D.3．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.C. D.4．直線(xiàn)在y軸上的截距為（）A. B.C. D.5．設(shè)滿(mǎn)足則的最大值為A. B.2C.4 D.166．已知三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上，且為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，若，則（）A.6 B.8C.10 D.127．已知直線(xiàn)的方程為，則該直線(xiàn)的傾斜角為（）A. B.C. D.8．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列選項(xiàng)中的兩個(gè)事件為互斥事件的是（）A.至多有1個(gè)白球；都是紅球 B.至少有1個(gè)白球；至少有1個(gè)紅球C.恰好有1個(gè)白球；都是紅球 D.至多有1個(gè)白球；至多有1個(gè)紅球9．?dāng)?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和．若對(duì)任意的，都有，則的值不可能是（）A. B.2C. D.310．過(guò)點(diǎn)P(2，1)作直線(xiàn)l，使l與雙曲線(xiàn)－y2＝1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線(xiàn)l共有A.1條 B.2條C.3條 D.4條11．在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A.（3，1，﹣2） B.（-3，1，2）C.（-3，1，-2） D.（3，-1，2）12．展開(kāi)式的第項(xiàng)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知方程的兩根為和5，則不等式的解集是______14．若隨機(jī)變量，則______.15．在數(shù)列中，，，，若數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列，則______16．設(shè)拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)為M，P是C上一點(diǎn)，若|PF|＝5，則|PM|＝__.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥AB，PA⊥AD，且E、F分別是AC、PB的中點(diǎn)（1）證明：EF∥平面PCD；（2）求證：平面PBD⊥平面PAC18．（12分）已知橢圓C：的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積為-.（1）求橢圓C的離心率（2）點(diǎn)M（，）在橢圓C上，橢圓的左頂點(diǎn)為D，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)L與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)Q設(shè)L的斜率為k，若，求k的值.19．（12分）已知空間三點(diǎn).（1）求以為鄰邊平行四邊形的周長(zhǎng)和面積;（2）若，且分別與垂直，求向量的坐標(biāo).20．（12分）已知拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，為拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)，且（1）求拋物線(xiàn)C的方程：（2）若以點(diǎn)為圓心，為半徑圓與C的準(zhǔn)線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于D，E兩點(diǎn)，若，證明直線(xiàn)DE過(guò)定點(diǎn)21．（12分）如圖，在幾何體ABCEFG中，四邊形ACGE為平行四邊形，為等邊三角形，四邊形BCGF為梯形，H為線(xiàn)段BF的中點(diǎn)，，，，，，.（1）求證：平面平面BCGF；（2）求平面ABC與平面ACH夾角的余弦值.22．（10分）已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)C：上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且，直線(xiàn)l：與拋物線(xiàn)C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）若，求k的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】將直線(xiàn)方程變形得，再根據(jù)方程即可得答案.【詳解】解：由得到：，∴直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)故選：A2、A【解析】不妨設(shè)，不妨設(shè)，則，利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性及正方形的性質(zhì)列出的方程求得后可得結(jié)論【詳解】如圖所示，設(shè)，不妨設(shè)，則，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性及正方形的性質(zhì)可得，解得（正數(shù)舍去），所以故選：A3、C【解析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，，，，成等比數(shù)列求解.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，設(shè)，則，則，故，所以，得到，所以.故選：C.4、D【解析】將代入直線(xiàn)方程求y值即可.【詳解】令，則，得.所以直線(xiàn)在y軸上的截距為.故選：D5、C【解析】可行域如圖,則直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(0,1)取最大值2,則的最大值為4,選C.點(diǎn)睛：線(xiàn)性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二，畫(huà)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)時(shí)，要注意與約束條件中的直線(xiàn)的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.6、D【解析】設(shè)，，，由向量關(guān)系化為坐標(biāo)關(guān)系，再結(jié)合拋物線(xiàn)的焦半徑公式即可計(jì)算【詳解】由得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，設(shè)，，由得則，化簡(jiǎn)得所以故選：D7、C【解析】設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，解方程即可.【詳解】由已知，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，又，所以.故選：C8、C【解析】根據(jù)試驗(yàn)過(guò)程進(jìn)行分析，利用互斥事件的定義對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個(gè)白球”與“都是紅球”不是互斥事件.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：“至少有1個(gè)白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個(gè)紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”不是互斥事件.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：“恰好有1個(gè)白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個(gè)白球”與“都是紅球”是互斥事件.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：“至多有1個(gè)紅球”包含都是白球和一紅一白，“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至多有1個(gè)白球”與“至多有1個(gè)紅球”不是互斥事件.故D錯(cuò)誤.故選：C9、A【解析】由已知建立不等式組，可求得，再對(duì)各選項(xiàng)逐一驗(yàn)證可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和．對(duì)任意的，都有，所以，即，解得，則當(dāng)時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，，成立；所以的值不可能是，故選：A.10、B【解析】利用幾何法，結(jié)合雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，得出符合條件的結(jié)論.【詳解】由雙曲線(xiàn)的方程可知其漸近線(xiàn)方程為y＝±x，則點(diǎn)P(2，1)在漸近線(xiàn)y＝x上，又雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為A(2，0)，如圖所示．滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l有兩條：x＝2，y－1＝－(x－2)【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的公共點(diǎn)有一個(gè)的條件，結(jié)合雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合圖形，得出結(jié)果，屬于中檔題目.11、C【解析】利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示向量坐標(biāo)，即可求解.【詳解】設(shè)，，，所以，，，解得：，，，即.故選：C12、B【解析】由展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解即可【詳解】因?yàn)?，所以展開(kāi)式的第項(xiàng)為，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次不等式的解法即可解出【詳解】由題意可知，，解得，所以即為，解得或，所以不等式的解集是故答案為：14、2【解析】根據(jù)給定條件利用二項(xiàng)分布的期望公式直接計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以.故答案：215、【解析】根據(jù)所給條件可歸納出當(dāng)時(shí)，，利用迭代法即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，即，，且是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列或（舍去），，，故可得當(dāng)時(shí)，，故答案為：16、【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)及拋物線(xiàn)方程可求坐標(biāo)，進(jìn)而得解.【詳解】由拋物線(xiàn)的方程可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)，由題意可得，設(shè)，有拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得：，解得x＝4，代入拋物線(xiàn)的方程可得，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】(1)連結(jié)，證明EF∥PD即可；(2)證明BD⊥平面PAC即可【小問(wèn)1詳解】連結(jié)，則是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，，又平面，面，平面【小問(wèn)2詳解】∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，AB、AD平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，∵BD平面ABCD，∴PA⊥BD，是菱形，，又，平面，又平面，∴平面平面﹒18、（1）（2）1【解析】（1）根據(jù)橢圓的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積為-，由求解；（2）根據(jù)點(diǎn)M（，）在橢圓C上，頂點(diǎn)，再由，求得橢圓方程，由，結(jié)合，得到，設(shè)直線(xiàn)方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由，求得Q的坐標(biāo)，代入求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)橢圓C：的上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積為-,所以，即，又所以，解得；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M（，）在橢圓C上，所以，又，解得，所以橢圓方程為，，則，因?yàn)椋?，又，所以，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，則，不合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，與題意方程聯(lián)立，消去y得：則，所以，則，因?yàn)椋?，得，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，因，則.19、（1）周長(zhǎng)為，面積為7.（2）或.【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)，求出向量，利用向量的摸公式即可求出的距離，可以求出周長(zhǎng)，再利用向量的夾角公式求出夾角的余弦值，根據(jù)平方關(guān)系得到正弦值，再利用即可求解；（2）首先設(shè)出，根據(jù)題意可得出的方程組，解出滿(mǎn)足條件所有的值即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題中條件可知，，,，.所以以為鄰邊的平行四邊形的周長(zhǎng)為.因?yàn)?，因?yàn)?，所?所以.故以以為鄰邊的平行四邊形的面積為：.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，，因?yàn)?，且分別與垂直，得，解得或所以向量的坐標(biāo)為或.20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）解方程和即得解；（2）設(shè)，，將與圓P方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理，再寫(xiě)出直線(xiàn)的方程即得解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)闉閽佄锞€(xiàn)C上一點(diǎn)，且，所以到拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2則，，則，所以，故拋物線(xiàn)C的方程為【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）知，則圓P的方程為設(shè)，，將與圓P的方程聯(lián)立，可得，則，當(dāng)時(shí)，，不妨令，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)DE的斜率為，則直線(xiàn)DE的方程為，即，即，令且，得，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)；綜上，直線(xiàn)DE過(guò)定點(diǎn)21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）在中，由正弦定理知可知，利用三角形內(nèi)角和可知即，又因?yàn)椋俑鶕?jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；（2）取BC中點(diǎn)O，由（1）得：平面BCGF，，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OH，OA所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角，即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：（1）在中，由正弦定理知：解得因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以所以又因?yàn)?，所以直線(xiàn)平面ABC又因?yàn)槠矫鍮CGF所以平面平面BCGF【小問(wèn)2詳解】解：取BC中點(diǎn)O，連結(jié)OA，OH，由（1）得：平面BCGF，則以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OH，OA所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，