2025屆遼寧沈陽市二十中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2025屆遼寧沈陽市二十中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓與直線，則圓上到直線的距離為1的點的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.42．大數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數(shù)學發(fā)現(xiàn)的象征圖——球及其外切圓柱(如圖).以此紀念阿基米德發(fā)現(xiàn)球的體積和表面積，則球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的（）A. B.C. D.3．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A. B.C. D.4．下列三個命題：①“若，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b全不為0，則”；②若事件A與事件B互斥，則；③設(shè)命題p：若m是質(zhì)數(shù)，則m一定是奇數(shù)，那么是真命題；其中真命題的個數(shù)為（）A.3 B.2C.1 D.05．已知命題：；：若，則，則下列判斷正確的是（）A.為真，為真，為假 B.為真，為假，為真C.為假，為假，為假 D.為真，為假，為假6．圓上到直線的距離為的點共有A.個 B.個C.個 D.個7．若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則角所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.9．圓關(guān)于直線對稱圓的標準方程是（）A. B.C. D.10．已知拋物線的焦點為，拋物線的焦點為，點在上，且，則直線的斜率為A. B.C. D.11．如果，那么下列不等式成立的是（）A. B.C. D.12．設(shè)，則有（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，直線與的左、右支分別交于點、（、均在軸上方）.若直線、的斜率均為，且四邊形的面積為，則__________.14．定義點到曲線的距離為該點與曲線上所有點之間距離的最小值，則點到曲線距離為___________.15．已知數(shù)列滿足，記，則______；數(shù)列的通項公式為______.16．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，，，，，.（1）證明：平面平面PAC；（2）求平面PCD與平面PAB夾角的余弦值.18．（12分）如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥AB，PA⊥AD，且E、F分別是AC、PB的中點（1）證明：EF∥平面PCD；（2）求證：平面PBD⊥平面PAC19．（12分）在平面直角坐標系中，點在拋物線上（1）求的值；（2）若直線l與拋物線C交于，兩點，，且，求的最小值20．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸長為（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點A作斜率為的直線交橢圓于另一點E，連接EP并延長交橢圓于另一點F，記直線BF的斜率為．若，求直線EF的方程21．（12分）已知函數(shù)（1）若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍（2）若是方程的兩個不相等的實數(shù)根，證明：22．（10分）已知圓M過C(1，﹣1)，D(﹣1，1)兩點，且圓心M在x+y﹣2=0上.（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】由得，則圓的圓心為，半徑，由，則圓心到直線的距離，∵，∴在圓上到直線距離為1的點有兩個.故選：B.2、C【解析】設(shè)球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為，分別求出球的體積與表面積，圓柱的體積與表面積，從而得出答案.【詳解】設(shè)球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為所以球的體積為,表面積為.圓柱的體積為：,所以其體積之比為：圓柱的側(cè)面積為：,圓柱的表面積為：所以其表面積之比為：故選：C3、B【解析】根據(jù)和可求得，結(jié)合等差數(shù)列通項公式可求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由得：；又，，.故選：B.4、B【解析】寫出逆否命題可判斷①；根據(jù)互斥事件的概率定義可判斷②；根據(jù)寫出再判斷真假可判斷③.【詳解】對于①，“，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b不全為0，則”，故①錯誤；對于②，滿足互斥事件的概率求和的方法，所以②為真命題；③命題p：若m是質(zhì)數(shù)，則m一定是奇數(shù).2是質(zhì)數(shù)，但2是偶數(shù)，命題p是假命題，那么真命題故選：B.5、D【解析】先判斷出命題，的真假，即可判斷.【詳解】因為成立，所以命題為真，由可得或，所以命題為假命題，所以為真，為假，為假.故選：D.6、C【解析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離和圓的半徑的關(guān)系即可得解.【詳解】圓可變?yōu)?，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，圓上到直線的距離為的點共有個.故選：C.【點睛】本題考查了圓與直線的位置關(guān)系，考查了學生合理轉(zhuǎn)化的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】根據(jù)題意得出的符號，進而得到的象限.【詳解】由題意，，所以在第四象限.故選：D.8、A【解析】利用空間向量加法法則直接求解【詳解】連接BD，如圖，則故選：A9、D【解析】先根據(jù)圓的標準方程得到圓的圓心和半徑，求出圓心關(guān)于直線的對稱點，進而寫出圓的標準方程.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，且關(guān)于直線對稱的點為，所以所求圓的圓心為、半徑為，即所求圓的標準方程為.故選：D.10、B【解析】根據(jù)拋物線的定義，求得p的值，即可得拋物線，的標準方程，求得拋物線的焦點坐標后，再根據(jù)斜率公式求解.【詳解】因為，所以，解得，所以直線的斜率為．故選B.【點睛】本題考查了拋物線的定義的應(yīng)用，考查了拋物線的簡單性質(zhì)，涉及了直線的斜率公式；拋物線上的點到焦點的距離等于其到準線的距離；解題過程中注意焦點的位置.11、D【解析】利用不等式的性質(zhì)分析判斷每個選項.【詳解】由不等式的性質(zhì)可知，因為，所以，，故A錯誤，D正確；由，可得，，故B，C錯誤.故選：D12、A【解析】利用作差法計算與比較大小即可求解.【詳解】因為，，所以，所以，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為點，連接，分析可知四邊形為平行四邊形，可得出，設(shè)，可得出直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出的取值范圍，利用三角形的面積公式可求得的值，即可求得的值.【詳解】解：設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為點，連接，如下圖所示：在雙曲線中，，，則，即點、，因為原點為、的中點，則四邊形為平行四邊形，所以，且，因為，故、、三點共線，所以，，故，由題意可知，，設(shè)，則直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，所以，，可得，由韋達定理可得，，可得，，整理可得，即，解得或（舍），所以，，解得.故答案為：.14、2【解析】設(shè)出曲線上任意一點，利用兩點間距離公式表達出，利用基本不等式求出最小值.【詳解】當時，顯然不成立，故，此時，設(shè)曲線任意一點，則，其中，當且僅當，即時等號成立，此時即為最小值.故答案為：215、①.②..【解析】結(jié)合遞推公式計算出，即可求出的值；證得數(shù)列是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，，，因此，由于，又，即，所以，因此數(shù)列是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，即，故答案為：；.16、【解析】求導，根據(jù)可得答案.【詳解】由題意，可得，令，即，解得，即函數(shù)的遞減區(qū)間為.故答案為：.【點睛】本題考查運用導函數(shù)的符號，研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）過點C作于點H，由平面幾何知識證明，然后由線面垂直的性質(zhì)得線線垂直，從而得線面垂直，然后可得面面垂直；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求二面角【小問1詳解】在梯形ABCD中，過點C作于點H.由，，，，可知，，，.所以，即，①因為平面ABCD，平面ABCD，所以，②由①②及，平面PAC，得平面PAC.又由平面PCD，所以平面平面PAC.【小問2詳解】因為AB，AD，AP兩兩垂直，所以以A為原點，以AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，3），，.設(shè)平面PCD的法向量為，則，取，則，，則.平面PAB的一個法向量為，所以，所以平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的余弦值為.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】(1)連結(jié)，證明EF∥PD即可；(2)證明BD⊥平面PAC即可【小問1詳解】連結(jié)，則是的中點，又是的中點，，又平面，面，平面【小問2詳解】∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，AB、AD平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，∵BD平面ABCD，∴PA⊥BD，是菱形，，又，平面，又平面，∴平面平面﹒19、（1）1（2）【解析】（1）將點代入即可求解；（2）利用向量數(shù)量積為3求出，再對式子變形后使用基本不等式進行求解最小值.【小問1詳解】將代入拋物線，解得：.【小問2詳解】，在拋物線C上，故，，解得：或2，因為，所以，即，故，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.20、（1）（2）【解析】（1）由離心率得關(guān)系，短軸求出，結(jié)合關(guān)系式解出，可得橢圓的標準方程；（2）設(shè)，，過EF的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達定理，結(jié)合斜率定義和化簡得，由在橢圓上代換得，聯(lián)立韋達定理可求，進而得解；【小問1詳解】由題意可得，，，又，解得所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】由（1）得，，顯然直線EF的斜率存在且不為0，設(shè)，，則，都不為和0設(shè)直線EF的方程為，由消去y得，顯然，則，因為，所以，等式兩邊平方得①又因為，在橢圓上，所以，②將②代入①可得，即，所以，即，解得或（舍去，此時）所以直線EF的方程為21、（1）；（2）詳見解析【解析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求得實數(shù)的取值范圍；（2）將方程的實數(shù)根代入方程，再變形得到，利用分析法，轉(zhuǎn)化為證明，通過換元，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)證明，恒成立.【小問1詳解】，，在上單調(diào)遞減，在上恒成立，即，即在，設(shè)，，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值是，所以；【小問2詳解】若是方程兩個不相等的實數(shù)根，即又2個不同實數(shù)根，且，，得，即，所以，不妨設(shè)，則，要證明，只需證明，即證明，即證明，令，，令函數(shù)，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，所以，，所以，即，即得【點睛】本題考查利用導數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，以及證明不等式，屬于難題，導數(shù)中的雙變量問題