2025屆安徽省定遠縣四中高二上數學期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆安徽省定遠縣四中高二上數學期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某商場為了解銷售活動中某商品銷售量與活動時間之間的關系，隨機統(tǒng)計了某次銷售活動中的商品銷售量與活動時間，并制作了下表：活動時間銷售量由表中數據可知，銷售量與活動時間之間具有線性相關關系，算得線性回歸方程為，據此模型預測當時，的值為（）A B.C. D.2．已知E、F分別為橢圓的左、右焦點，傾斜角為的直線l過點E，且與橢圓交于A，B兩點，則的周長為A.10 B.12C.16 D.203．若拋物線焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為A. B.C. D.4．數列，，，，…，是其第（）項A.17 B.18C.19 D.205．定義在上的函數的導函數為，若對任意實數，有，且為奇函數，則不等式解集是A. B.C. D.6．若函數在上為單調增函數，則m的取值范圍（）A. B.C. D.7．經過點且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.8．如圖，兩個半徑為R的相交大圓，分別內含一個半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切.已知時，在兩相交大圓的區(qū)域內隨機取一點，則該點取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.9．設是定義在R上的可導函數，若（為常數），則（）A. B.C. D.10．已知平面，的法向量分別為，，則（）A. B.C.，相交但不垂直 D.，的位置關系不確定11．若直線與平行，則實數m等于（）A.1 B.C.4 D.012．若函數的圖象如圖所示，則函數的導函數的圖象可能是（）A. B.C D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列滿足，，則______.14．如圖所示，二面角為，是棱上的兩點，分別在半平面內，且，，，，，則的長______15．已知數列滿足，則的前20項和___________.16．如圖，SD是球O的直徑，A、B、C是球O表面上的三個不同的點，，當三棱錐的底面是邊長為3的正三角形時，則球O的半徑為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）當時，求函數的極值；（2）當時，若恒成立，求實數a的取值范圍18．（12分）已知：，橢圓，雙曲線.（1）若的離心率為，求的離心率；（2）當時，過點的直線與的另一個交點為，與的另一個交點為，若恰好是的中點，求直線的方程.19．（12分）北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標配套活動的相關代言，決定對旗下的某商品進行一次評估.該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.（1）據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？（2）為了抓住申奧契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元.公司擬投入萬作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品改革后的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價.20．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC中點，且.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.21．（12分）已知以點為圓心的圓與直線相切，過點的動直線l與圓A相交于M，N兩點（1）求圓A的方程（2）當時，求直線l方程22．（10分）設橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，O為坐標原點，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】求出樣本中心點的坐標，代入回歸直線方程，求出的值，再將代入回歸方程即可得解.【詳解】由表格中的數據可得，，將樣本中心點的坐標代入回歸直線方程可得，解得，所以，回歸直線方程為，故當時，.故選：C.2、D【解析】利用橢圓的定義即可得到結果【詳解】橢圓，可得，三角形的周長，，所以：周長，由橢圓的第一定義，，所以，周長故選D【點睛】本題考查橢圓簡單性質的應用，橢圓的定義的應用，三角形的周長的求法，屬于基本知識的考查3、D【解析】解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D4、D【解析】根據題意，分析歸納可得該數列可以寫成，，，……，，可得該數列的通項公式，分析可得答案.【詳解】解：根據題意，數列，，，，…，，可寫成，，，……，，對于，即，為該數列的第20項；故選：D.【點睛】此題考查了由數列的項歸納出數列的通項公式，考查歸納能力，屬于基礎題.5、B【解析】設．由，得，故函數在上單調遞減．由為奇函數，所以．不等式等價于，即，結合函數的單調性可得，從而不等式的解集為，故答案為B.考點：利用導數研究函數的單調性.【方法點晴】本題考查了導數的綜合應用及函數的性質的應用，構造函數的思想，閱讀分析問題的能力，屬于中檔題．常見的構造思想是使含有導數的不等式一邊變?yōu)?，即得，當是形如時構造；當是時構造，在本題中令，（），從而求導，從而可判斷單調遞減，從而可得到不等式的解集6、B【解析】用函數單調性確定參數，使用參數分離法即可.【詳解】，在上是增函數，即恒成立，；設，；∴時，是增函數；時，是減函數；故時，，∴；故選：B.7、A【解析】根據點斜式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為，經過點且與直線垂直的直線方程為，即.故選：A8、C【解析】設D為線段AB的中點，求得,在中，可得.進而求得兩大圓公共部分的面積為：,利用幾何概型計算即可得出結果.【詳解】如圖，設D為線段AB的中點，,在中，.兩大圓公共部分的面積為：,則該點取自兩大圓公共部分的概率為.故選：C.9、C【解析】根據導數的定義即可求解.【詳解】.故選：C.10、C【解析】利用向量法判斷平面與平面的位置關系.【詳解】因為平面，的法向量分別為，，所以，即不垂直，則，不垂直，因為，即即不平行，則，不平行，所以，相交但不垂直，故選：C11、B【解析】兩直線平行的充要條件【詳解】由于，則，.故選：B12、C【解析】由函數的圖象可知其單調性情況，再由導函數與原函數的關系即可得解.【詳解】由函數的圖象可知，當時，從左向右函數先增后減，故時，從左向右導函數先正后負，故排除AB；當時，從左向右函數先減后增，故時，從左向右導函數先負后正，故排除D.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1023【解析】由數列遞推公式求特定項，依次求下去即可解決.【詳解】數列中，則，，，，，，故答案為：102314、【解析】推導出，從而，結合，，，能求出的長【詳解】二面角為，是棱上的兩點，分別在半平面、內，且所以,所以，，，的長故答案為【點睛】本題主要考查空間向量的運算法則以及數量積的運算法則，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力，是中檔題15、135【解析】直接利用數列的遞推關系式寫出相鄰四項之和，進而求出數列的和.【詳解】數列滿足，所以，故，當時，，當時，，，當時，，所以.故答案為：135.16、【解析】由三棱錐是正三棱錐，利用正弦定理得出三角形外接圓的半徑，進而求出，再由余弦定理得出球O的半徑.【詳解】因為，所以平面，三棱錐是正三棱錐，設為三角形外接圓的圓心，則在上，連接，，由得出，所以，在中，，即，解得，則球O的半徑為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極大值；極小值（2）【解析】（1）利用導數來求得的極大值和極小值.（2）由不等式分離常數，通過構造函數法，結合導數來求得的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，令，可得或2所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.故當時．函數有極大值，故當時，函數有極小值；【小問2詳解】由，有，可化為，令，有，令，有，令，可得，可得函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有，可知，有函數為減函數，有，故當時，若恒成立，則實數a的取值范圍為【點睛】求解不等式恒成立問題，可利用分離常數法，結合導數求最值來求解.在利用導數研究函數的過程中，如果一階導數無法解決，可考慮利用二階導數來進行求解.18、（1）（2）或【解析】（1）有橢圓的離心率可以得到，的關系，在雙曲線中方程是非標準的方程，注意套公式時容易出錯.（2）聯立方程分別解得P,Q兩點的橫坐標，利用中點坐標公式即可解得斜率值.【小問1詳解】橢圓的離心率為，，在雙曲線中因為，.【小問2詳解】當時,橢圓，雙曲線.當過點的直線斜率不存在時，點P,Q恰好重合，坐標為，所以不符合條件；當斜率存在時，設直線方程為，，聯立方程得，利用韋達定理，所以；同理聯立方程，韋達定理得，所以由于是的中點，所以,所以，即，化簡得，所以直線方程為或.19、（1）40；（2）a至少達到10.2萬件時,才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時該商品的每件定價為30元.【解析】（1）設每件定價為x元,可得提高價格后的銷售量，根據銷售的總收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定價；（2）依題意，x>25時，不等式有解，等價于x>25時,有解,利用基本不等式,可以求得a.【詳解】（1）設每件定價為t元,依題意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使銷售的總收入不低于原收入,每件定價最多為40元.（2）依題意知：當x>25時,不等式有解，等價于x>25時,有解.由于,當且僅當,即x=30時等號成立,所以a≥10.2.當該商品改革后的銷售量a至少達到10.2萬件時,才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時該商品的每件定價為30元.20、（1）；（2）.【解析】(1)根據給定條件推導證得，再借助直角三角形中銳角的正切列式求解作答.(2)由給定條件建立空間直角坐標系，借助空間向量求解面面角作答【小問1詳解】連結BD，如圖，因底面ABCD，且平面ABCD，則，又，，平面PBD，于是得平面PBD，又平面PBD，則，有，又，則有，有，則，解得，所以.【小問2詳解】依題意，DA，DC，DP兩兩垂直，以點D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，由(1)知，，，，，，，，設平面AMP的法向量為，則，令，得，設平面BMP的法向量為，則，令，得，設二面角A-PM-B的平面角為，則，因此，，所以二面角A-PM-B的正弦值為.21、（1）；（2）或.【解析】（1）利用圓心到直線的距離公式求圓的半徑，從而求解圓的方程；（2）根據相交弦長公式，求出圓心到直線的距離，設出直線方程，再根據點到直線的距離公式確定直線方程【詳解】（1）由題意知到直線的距離為圓A半徑r，所以，所以圓A的方程為（2）設的中點為Q，則由垂徑定理可知，且，在中由勾股定理易知，設動直線l方程為：或，顯然符合題意由到直線l距離為1知得所以或為所求直線方程【點睛】本題考查圓的標準方程及直線與圓的相交弦長問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題22、（1）；（2）存在，，.【解析】（1）根據橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，直接代入方程解方程組即可.（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，當切線斜率存在時，設該圓的切線方程為，聯立，根據，結合韋達定理運算，同時滿足，則存在，否則不存在，當切線斜率不存在時，驗證即可；在該圓的方程存在時，利用弦長公式結合韋達定理得到求解.【詳解】（1）因為橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，所以，解得，所以，所以橢圓E的方程為.（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，設該圓的切線方程為，聯立得，則△=，即，，，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或，因為直線為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為，，所以，則所求的圓為，此時圓的切線都滿足或，而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足，綜上，存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且.因