福建省福州市金山中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

福建省福州市金山中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在四棱錐中，平面，，，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B.C. D.22．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（）A. B.C. D.3．在正四面體中，點(diǎn)為所在平面上動點(diǎn)，若與所成角為定值，則動點(diǎn)的軌跡是（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線4．甲、乙同時參加某次數(shù)學(xué)檢測，成績?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為、，兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測成績都為優(yōu)秀的概率為（）A. B.C. D.5．已知長方體的底面ABCD是邊長為4的正方形，長方體的高為，則與對角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.6．橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，經(jīng)過點(diǎn)，且長軸長是短軸長的倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C.或 D.或7．如圖，已知正方體，點(diǎn)P是棱中點(diǎn)，設(shè)直線為a，直線為b．對于下列兩個命題：①過點(diǎn)P有且只有一條直線l與a、b都相交；②過點(diǎn)P有且只有兩條直線l與a、b都成角．以下判斷正確的是（）A.①為真命題，②為真命題 B.①為真命題，②為假命題C.①為假命題，②為真命題 D.①為假命題，②為假命題8．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，過作軸的平行線交橢圓于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的虛軸長為，且以、為頂點(diǎn)，以直線、為漸近線，則橢圓的短軸長為（）A. B.C. D.9．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)E在上，滿足，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，記分別為，則（）A. B.C. D.10．拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A B.C. D.11．函數(shù)的極大值點(diǎn)為（）A. B.C. D.不存在12．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)，若且，則拋物線的方程為（）A.B.C.D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與兩坐標(biāo)軸相交于，兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程為___________.14．如圖所示的是一個正方體的平面展開圖，，則在原來的正方體中，直線與平面所成角的正弦值為___________.15．已知圓柱軸截面是邊長為4的正方形，則圓柱的側(cè)面積為______________

.16．雙曲線上的一點(diǎn)到一個焦點(diǎn)的距離等于1，那么點(diǎn)到另一個焦點(diǎn)的距離為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，四點(diǎn)中，恰有三點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率之和為，證明：直線過一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo)18．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，且，（1）求證：；（2）求直線與所成角的余弦值19．（12分）已知，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的定義域?yàn)榧螦（1）求m的值；（2）當(dāng)時，的值域?yàn)榧螧，若是成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，其中，，且（1）求角B的值；（2）若，判斷△ABC的形狀22．（10分）已知點(diǎn)F為拋物線：（）的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且在x軸上方，.（1）求拋物線的方程；（2）已知直線與曲線交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B與點(diǎn)P不重合），直線PA與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，直線PB與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形CDMN的面積最小時，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，，因?yàn)樗匀鐖D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，即.在上的投影向量的長度為，故點(diǎn)到直線的距離為.故選：A2、C【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合垂直關(guān)系計算作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，于是得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的斜率，而直線的斜率為，依題意，，即，解得，所以.故選：C3、B【解析】把條件轉(zhuǎn)化為與圓錐的軸重合，面與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)的軌跡后即可求解.【詳解】以平面截圓錐面，平面位置不同，生成的相交軌跡可以為拋物線、雙曲線、橢圓、圓.令與圓錐的軸線重合，如圖所示，則圓錐母線與所成角為定值，所以面與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)的軌跡.根據(jù)題意，不可能垂直于平面即軌跡不可能為圓.面不可能與圓錐軸線平行，即軌跡不可能是雙曲線.可進(jìn)一步計算與平面所成角為，即時，軌跡為拋物線，時，軌跡為橢圓，，所以軌跡為橢圓.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面截圓錐面所得軌跡問題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于難題.4、D【解析】利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式直接求解.【詳解】甲、乙同時參加某次數(shù)學(xué)檢測，成績?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為、，兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測成績都為優(yōu)秀的概率為.故選：D5、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∵底面是邊長為4的正方形，，∴，，，因?yàn)?，且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對角面所成角的正弦值為故選：C.6、C【解析】分情況討論焦點(diǎn)所在位置及橢圓方程.【詳解】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，由題意過點(diǎn)，故，，橢圓方程為，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時，，，橢圓方程為，故選：C.7、A【解析】①由正方形的性質(zhì)，可以延伸正方形，再利用兩條平行線確定一個平面即可；②一組鄰邊與對角面夾角相等，在平面內(nèi)繞P轉(zhuǎn)動，可以得到二條直線與a、b的夾角都等于.【詳解】如下圖所示，在側(cè)面正方形和再延伸一個正方形和，則平面和在同一個平面內(nèi)，所以過點(diǎn)P，有且只有一條直線l，即與a、b相交，故①為真命題；取中點(diǎn)N，連PN，由于a、b為異面直線，a、b的夾角等于與b的夾角.由于平面，平面，，所以平面，所以與與b的夾角都為.又因?yàn)槠矫妫耘c與b的夾角都為，而，所以過點(diǎn)P，在平面內(nèi)存在一條直線，使得與與b的夾角都為，同理可得，過點(diǎn)P，在平面內(nèi)存在一條直線，使得與與的夾角都為；故②為真命題.故選：A8、C【解析】不妨取點(diǎn)在第一象限，根據(jù)橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，以及它們之間的聯(lián)系，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再將其代入橢圓的方程中，解之即可【詳解】解：由題意知，在橢圓中，有，在雙曲線中，有，，即，雙曲線的漸近線方程為，不妨取點(diǎn)在第一象限，則的坐標(biāo)為，即，將其代入橢圓的方程中，有，，解得，橢圓的短軸長為故選：9、B【解析】利用空間向量加減、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合三棱錐用表示出即可.【詳解】由題設(shè)，，，，.故選：B10、D【解析】根據(jù)拋物線方程求出，進(jìn)而可得焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程.【詳解】由可得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：，故選：D.11、B【解析】求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，然后判斷導(dǎo)數(shù)符號可得，或者根據(jù)對勾函數(shù)圖象可解.【詳解】令，得，因?yàn)闀r，，時，，所以時有極大值；當(dāng)時，，時，，所以時有極小值.故選：B12、D【解析】如圖根據(jù)拋物線定義可知，進(jìn)而推斷出的值，在直角三角形中求得，進(jìn)而根據(jù)，利用比例線段的性質(zhì)可求得，則拋物線方程可得.【詳解】如圖分別過點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)，則由已知得：，由定義得：，故在直角三角形中，，，，從而得，，求得，所以拋物線的方程為故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由直線的方程求出直線的斜率以及，兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得線段的垂直平分線的斜率以及線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】由直線可得，所以直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為，令可得；令可得；即，，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段的垂直平分線的方程為，整理得.故答案為：.14、【解析】將展開圖還原成正方體，通過建系利用空間向量的知識求解.【詳解】將展開圖還原成正方體，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，.則.設(shè)平面的法向量為，由令，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：15、【解析】由圓柱軸截面的性質(zhì)知：圓柱體的高為，底面半徑為，根據(jù)圓柱體的側(cè)面積公式，即可求其側(cè)面積.【詳解】由圓柱的軸截面是邊長為4的正方形，∴圓柱體的高為，底面半徑為，∴圓柱的側(cè)面積為.故答案為：.16、【解析】首先將已知的雙曲線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)雙曲線的定義知雙曲線上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為，即可求出點(diǎn)到另一個焦點(diǎn)的距離為17.考點(diǎn)：雙曲線的定義.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析，定點(diǎn)【解析】（1）先判斷出在橢圓上，再代入求橢圓方程；（2）假設(shè)斜率存在，設(shè)出直線，利用斜率之和為，求出之間的關(guān)系，即可求出定點(diǎn)，再說明斜率不存在時，直線仍過該點(diǎn)即可.【小問1詳解】由對稱性同時在橢圓上或同時不在橢圓上，從而在橢圓上，因此不在橢圓上，故在橢圓上，將，代入橢圓的方程，解得，所以橢圓的方程為【小問2詳解】當(dāng)直線斜率存在時，令方程為，由得所以得方程為，過定點(diǎn)當(dāng)直線斜率不存在時，令方程為，由，即解得此時直線方程為，也過點(diǎn)綜上，直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于先假設(shè)斜率存在，設(shè)出直線，利用題目所給條件得到之間的關(guān)系，即可求出定點(diǎn)，再說明斜率不存在時，直線仍過該點(diǎn)即可，屬于定點(diǎn)問題的常見解法，注意積累掌握.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，由，，證出平面，即可證出.（2）以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，即可得到答案.【小問1詳解】過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，所以，即?因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以【小?詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，可得，因?yàn)?，所以直線與所成角的余弦值為19、.【解析】求得集合，根據(jù)，分和，兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，集合當(dāng)時，即，解得，此時滿足，當(dāng)時，要使得，則或，當(dāng)時，可得，即，此時，滿足；當(dāng)時，可得，即，此時，不滿足，綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性求解；（2）利用根式函數(shù)的定義域和值域求得集合A，B，再由是A的真子集求解.【小問1詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得.【小問2詳解】由，得，解得，所以，當(dāng)時的值域?yàn)?，所以，因?yàn)槭浅闪⒌某浞植槐匾獥l件，所以是A的真子集，，解得.21、（1）（2）等邊三角形【解析】（1）把化為，然后由正弦定理化邊為角，利用兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式可求得；（2）由余弦定理及三角形面積公式可得，從而得出三角形為等邊三角形【小問1詳解】∵，∴由正弦定理得，∵，∴，∴，又，所以，可得；【小問2詳解】由（１）知余弦定理，①，②由①②可得：，又，所以，所以該三角形為等邊三角形22、（1）；（2）或.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)