湖南省古丈縣一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

湖南省古丈縣一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.2．已知過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2C. D.33．過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（）A. B.C.或 D.或4．直線的傾斜角為（）A.-30° B.60°C.150° D.120°5．在圓內(nèi)，過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A. B.C. D.6．與圓和圓都外切的圓的圓心在（）A.一個(gè)圓上 B.一個(gè)橢圓上C.雙曲線的一支上 D.一條拋物線上7．有關(guān)橢圓敘述錯(cuò)誤的是（）A.長軸長等于4 B.短軸長等于4C.離心率為 D.的取值范圍是8．已知直線，兩個(gè)不同的平面，，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則9．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且滿足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.510．若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.11．執(zhí)行下圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A.5 B.6C.7 D.812．若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-3 B.C. D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，則l的斜率取值范圍為_________________；其傾斜角的取值范圍為_________________.14．已知函數(shù)，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則__________15．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)______.16．若直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若f(x)≥0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．（12分）已知拋物線過點(diǎn).（1）求拋物線方程；（2）若直線與拋物線交于兩點(diǎn)兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，且，求證：過定點(diǎn).19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線上點(diǎn)都在軸及其右側(cè)，且曲線上的任一點(diǎn)到軸的距離比它到圓的圓心的距離小1（1）求曲線的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線交曲線于點(diǎn)，若,求面積20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離.（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；（2）記動點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.21．（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，直線過點(diǎn)M，且與直線l垂直.記直線與y軸的交點(diǎn)為N，求的取值范圍.22．（10分）在等差數(shù)列中，，前10項(xiàng)和（1）求列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求的前8項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【詳解】因?yàn)樗笾本€垂直于直線，又直線的斜率為，所以所求直線的斜率，所以直線方程為，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.2、D【解析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達(dá)定理，求得，利用拋物線定義，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，消元后，利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然要滿足題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為聯(lián)立可得，其，設(shè)坐標(biāo)為，顯然，則，，根據(jù)拋物線定義，MF=故=4+4令，故4+4當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考察拋物線中的最值問題，涉及到韋達(dá)定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的關(guān)系，以及拋物線的定義轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，是解決問題的關(guān)鍵.3、C【解析】設(shè)切線的方程為，然后利用圓心到直線的距離等于半徑建立方程求解即可.【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為1，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，即直線的方程為，不與圓相切，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，即所以，解得或所以切線的方程為或故選：C4、C【解析】根據(jù)直線斜率即可得傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為由已知得，所以直線的斜率，由于，故選：C.5、D【解析】由題，求得圓的圓心和半徑，易知最長弦，最短弦為過點(diǎn)與垂直的弦，再求得BD的長，可得面積.【詳解】圓化簡為可得圓心為易知過點(diǎn)的最長弦為直徑，即而最短弦為過與垂直的弦，圓心到的距離：所以弦所以四邊形ABCD的面積：故選：D6、C【解析】設(shè)動圓的半徑為，然后根據(jù)動圓與兩圓都外切得，再兩式相減消去參數(shù)，則滿足雙曲線的定義，即可求解.【詳解】設(shè)動圓的圓心為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為2依題意得，則，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支故選：C7、A【解析】根據(jù)題意求出，進(jìn)而根據(jù)橢圓的性質(zhì)求得答案.【詳解】橢圓方程化為：，則，則長軸長為8，短軸長為4，離心率，x的取值范圍是.即A錯(cuò)誤，B,C,D正確.故選：A.8、C【解析】對于A,可能在內(nèi)，故可判斷A；對于B,可能相交，故可判斷B;對于C,根據(jù)線面垂直的判定定理，可判定C;對于D,和可能平行，或斜交或在內(nèi)，故可判斷D.【詳解】對于A,除了外，還有可能在內(nèi)，故可判斷A錯(cuò)誤；對于B,，那么可能相交，故可判斷B錯(cuò)誤；對于C,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，在內(nèi)一定存在和平行的直線，那么該直線也垂直于，所以，故判定C正確;對于D，，，則和可能平行，或斜交或在內(nèi)，故可判D.錯(cuò)誤，故選：C.9、B【解析】由已知條件可得數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，然后根據(jù)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，化簡得，，解得或（舍去），故選：B10、D【解析】對選項(xiàng)A，令即可檢驗(yàn)；對選項(xiàng)B，令即可檢驗(yàn)；對選項(xiàng)C，令即可檢驗(yàn)；對選項(xiàng)D，設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公比，然后作差即可.【詳解】若，則可得：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若，則可得：，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若，則可得：，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；不妨設(shè)的首項(xiàng)為，公差為，則有：則有：，故選項(xiàng)D正確故選：D11、C【解析】直接按照程序框圖運(yùn)行即可得正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，不成立，時(shí)，不成立，時(shí)，不成立，時(shí)，不成立，時(shí)，不成立，時(shí)，不成立，時(shí)，不成立，時(shí)，成立，輸出的值為，故選：C.12、C【解析】根據(jù)給定條件利用兩條直線互相垂直的關(guān)系列式計(jì)算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據(jù)直線l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，利用斜率公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解；設(shè)其傾斜角為，，利用正切函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)橹本€l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，所以l的斜率為，所以l的斜率取值范圍為，設(shè)其傾斜角為，，則，所以其傾斜角的取值范圍為，故答案為：，14、##9.5【解析】根據(jù)給定條件計(jì)算當(dāng)時(shí)，的值，再結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則，，同理，令，又，則有，，所以.故答案為：15、【解析】利用向量平行的條件直接解出.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，解?故答案為：.16、【解析】求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值，由此可求得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，則，所以當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)，然后對進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用（1）中函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)在處取得最小值，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：求導(dǎo)可得①時(shí)，令可得，由于知；令，得∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②時(shí)，令可得；令，得或，由于知或；∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；④時(shí)，令可得；令，得或，由于知或∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】由（1）時(shí)，，（不符合，舍去）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得最小值，所以函數(shù)對定義域內(nèi)的任意x恒成立時(shí)，只需要即可∴.綜上，.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）運(yùn)用代入法直接求解即可；（2）設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由已知可得：；【小問2詳解】的斜率不為設(shè)，，∴OA→?因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，所以，即過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.19、（1）（2）【解析】（1）由題意直接列或根據(jù)拋物線的定義求軌跡方程（2）待定系數(shù)法設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)拋物線的定義，利用韋達(dá)定理解出直線方程，再求面積【小問1詳解】解法1：配方法可得圓的方程為，即圓的圓心為，設(shè)的坐標(biāo)為，由已知可得，化簡得，曲線的方程為解法2：配方可得圓的方程為，即圓的圓心為，由題意可得上任意一點(diǎn)到直線的距離等于該點(diǎn)到圓心的距離，由拋物線的定義可得知，點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，所以曲線的方程為【小問2詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由，可得的斜率存在，設(shè)為，，過的直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，可得，設(shè)，的橫坐標(biāo)分別為，，可得，，由拋物線的定義可得，解得，即直線的方程為，可得到直線的距離為，，所以的面積為20、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用拋物線的定義即求；（2）由題可設(shè)直線的方程為，利用韋達(dá)定理法結(jié)合條件可得，即得.【小問1詳解】因?yàn)閯狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，所以動點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)拋物線方程為，由，得，所以動點(diǎn)的軌跡方程為.【小問2詳解】由題意可知，直線的斜率不為0，故設(shè)直線的方程為，.聯(lián)立，得，恒成立，由韋達(dá)定理，得，，假設(shè)存在一點(diǎn)，滿足題意，則直線的斜率與直線的斜率滿足，即，所以，所以解得，所以存在一點(diǎn)，滿足，點(diǎn)的坐標(biāo)為.21、（1）（2）【解析】（1）求出后可得橢圓的方程.（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，