2025屆湖南省嘉禾一中、臨武一中高二上數(shù)學期末綜合測試試題含解析

2025屆湖南省嘉禾一中、臨武一中高二上數(shù)學期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點在平面α上，其法向量，則下列點不在平面α上的是（）A. B.C. D.2．以下四個命題中，正確的是（）A.若，則三點共線B.C.為直角三角形的充要條件是D.若為空間的一個基底，則構成空間的另一個基底3．如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)，其導函數(shù)的圖象如圖所示，則()A.在上為減函數(shù) B.在處取極小值C.在上為減函數(shù) D.在處取極大值5．設數(shù)列的前項和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，則（）A.255 B.257C.127 D.1296．設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為（）A.3 B.1C.0 D.﹣17．若復數(shù)，則（）A B.C. D.8．已知點是點在坐標平面內的射影，則點的坐標為（）A. B.C. D.9．設，為雙曲線的上，下兩個焦點，過的直線l交該雙曲線的下支于A，B兩點，且滿足，，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．設斜率為2的直線l過拋物線（）的焦點F，且和y軸交于點A，若（O為坐標原點）的面積為4，則拋物線方程為（）A. B.C. D.11．已知拋物線=的焦點為F，M、N是拋物線上兩個不同的點，若，則線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為（）A.8 B.4C. D.912．下列雙曲線中，以為一個焦點，以為一個頂點的雙曲線方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在[1，3]單調遞增，則a的取值范圍___14．若直線與直線相互平行，則實數(shù)___________.15．圓關于直線對稱的圓的方程為______16．如圖所示，在正方體中，點是底面內（含邊界）的一點，且平面，則異面直線與所成角的取值范圍為____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓經過坐標原點和點，且圓心在軸上.（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓相交于A、B兩點，求所得弦長的值.18．（12分）已知函數(shù)（a是常數(shù)）.（1）當時，求的單調區(qū)間與極值；（2）若，求a的取值范圍.19．（12分）如圖，直三棱柱中，，，是棱的中點，（1）求異面直線所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值20．（12分）已知數(shù)列中，.（1）證明是等比數(shù)列，并求通項公式；（2）設，記數(shù)列的前n項和為，求使恒成立的最小的整數(shù)k.21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）當時，求函數(shù)f(x)的值域.22．（10分）在二項式的展開式中；（1）若，求常數(shù)項；（2）若第4項的系數(shù)與第7項的系數(shù)比為，求：①二項展開式中的各項的二項式系數(shù)之和；②二項展開式中各項的系數(shù)之和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)法向量的定義，利用向量垂直對四個選項一一驗證即可.【詳解】對于A：記,則.因為，所以點在平面α上對于B：記,則.因為，所以點在平面α上對于C：記,則.因為，所以點在平面α上對于D：記,則.因為，所以點不在平面α上.故選：D2、D【解析】利用向量共線的推論可判斷A，利用數(shù)量積的定義可判斷B，利用充要條件的概念可判斷C，利用基底的概念可判斷D.【詳解】對于A，若，，所以三點不共線，故A錯誤；對于B，因為，故B錯誤；對于C，由可推出為直角三角形，由為直角三角形，推不出，所以為直角三角形的充分不必要條件是，故C錯誤；對于D，若為空間的一個基底，則不共面，若不能構成空間的一個基底，設，整理可得，即共面，與不共面矛盾，所以能構成空間的另一個基底，故D正確.故選：D.3、A【解析】根據(jù)空間向量的線性運算法則——三角形法，準確運算，即可求解.【詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.4、C【解析】首先利用導函數(shù)的圖像求和的解，進而得到函數(shù)的單調區(qū)間和極值點.【詳解】由導函數(shù)的圖象可知:當時，或；當時，或，所以的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為和，故在處取得極大值，在處取得極小值，在處取得極大值.故選：C.5、C【解析】由題設可得，再由即可求值.【詳解】由數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，∴，即，∴.故選：C.6、C【解析】線性規(guī)劃問題，作出可行域后，根據(jù)幾何意義求解【詳解】作出可行域如圖所示，，數(shù)形結合知過時取最小值故選：C7、A【解析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算即可求解.【詳解】由，故選：A8、D【解析】根據(jù)空間中射影的定義即可得到答案.【詳解】因為點是點在坐標平面內的射影，所以的豎坐標為0，橫、縱坐標與A點的橫、縱坐標相同，所以點的坐標為.故選：D9、A【解析】設，表示出，由勾股定理列式計算得，然后在，再由勾股定理列式，計算離心率.【詳解】由題意得，，且，如圖所示，設，由雙曲線的定義可得，，因為，所以，得，所以，在中，，即.故選：A【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)10、B【解析】根據(jù)拋物線的方程寫出焦點坐標，求出直線的方程、點的坐標，最后根據(jù)三角形面積公式進行求解即可.【詳解】拋物線的焦點的坐標為，所以直線的方程為：，令，解得，因此點的坐標為：，因為面積為4，所以有，即，，因此拋物線的方程為.故選：B.11、B【解析】過分別作垂直于準線，垂足為，則由拋物線的定義可得，再過MN的中點作垂直于準線，垂足為，然后利用梯形的中位線定理可求得結果【詳解】拋物線=的焦點，準線方程為直線如圖，過分別作垂直于準線，垂足為，過MN的中點作垂直于準線，垂足為，則由拋物線的定義可得，因為，所以，因為是梯形的中位線，所以，所以線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為4，故選：B12、C【解析】設出雙曲線方程，根據(jù)題意，求得，即可選擇.【詳解】因為雙曲線的一個焦點是，故可設雙曲線方程為，且；又為一個頂點，故可得，解得，則雙曲線方程為：.故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由在區(qū)間上恒成立來求得的取值范圍.【詳解】依題意在區(qū)間上恒成立，在上恒成立，所以.故答案為：14、##【解析】由題意可得，從而可求出的值【詳解】因為直線與直線相互平行，所以，解得，故答案為：15、【解析】求出圓心關于直線對稱點，從而求出對稱圓的方程.【詳解】圓心為，半徑為1，設關于對稱點為，則，解得：，故對稱點為，故圓關于直線對稱的圓的方程為.故答案為：16、【解析】過作平面平面，得到在與平面的交線上，連接，證得平面平面，得到點在上，設正方體的棱長為，且，得到，，設與所成角為，利用向量的夾角公式，求得，結合二次函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】過作平面平面，因為點是底面內（含邊界）的一點，且平面，則平面，即在與平面的交線上，連接，因為且，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，同理可證平面，所以平面平面，則平面即為，點在線段上，設正方體的棱長為，且，則，，可得，設與所成角為，則，當時，取得最小值，最小值為，當或時，取得最大值，最大值為故答案為三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)條件可以確定圓心坐標和半徑，寫出圓的方程；（2）先求圓心到直線的距離，結合勾股定理可求弦長.【詳解】(1)由題意可得，圓心為(2，0)，半徑為2.則圓的方程為；(2)圓心（2，0）到l的距離為d，=1，.【點睛】圓的方程求解方法：（1）直接法：確定圓心，求出半徑，寫出方程；（2）待定系數(shù)法：設出圓的方程，可以是標準方程也可以是一般式方程，根據(jù)條件列出方程，求解系數(shù)即可.18、（1）函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，極小值是，無極大值.（2）【解析】（1）由當，得到，求導，再由，求解；（2）將，轉化為成立，令，求其最大值即可.【小問1詳解】解：當時，，定義域為，所以，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以時，取得極小值是，無極大值.【小問2詳解】因為，即成立.設，則，當時，，當時,，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，即.19、（1）（2）【解析】(1)建立空間直角坐標系,求出相關各點坐標,求出,利用向量的夾角公式求得答案;(2)求出平面平面和平面的一個法向量,利用向量夾角公式求得答案.【小問1詳解】以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,所以，所以直線所成角的余弦值為；【小問2詳解】設為平面的一個法向量，,則m?，同理,則,可取平面的一個法向量為，則,由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20、（1）證明見解析，（2）4【解析】（1）由，得到，利用等比數(shù)列的定義求解；（2）由（1）得到，然后利用錯位相減法求解.【小問1詳解】證明：由，得，∴，∴數(shù)列是以3為公比，以為首項的等比數(shù)列，∴，即.【小問2詳解】由題意得.，兩式相減得：，因為，所以，所以使恒成立的最小的整數(shù)k為4.21、（1）；（2）.【解