第23課等式的基本性質(zhì)（教師版）七年級數(shù)學(xué)上冊講義（浙教版）

第23課等式的基本性質(zhì)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷等式的基本性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程.2.掌握等式的基本性質(zhì).3.會利用等式的基本性質(zhì)將等式變形.4.會依據(jù)等式的基本性質(zhì)將方程變形，求出方程的解.知識精講知識精講知識點01等式的基本性質(zhì)等式的基本性質(zhì)1：等式的兩邊都加上或者減去同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式；如果，那么.2：等式的兩邊都乘以或者除以同一個數(shù)（除數(shù)不為零），所得結(jié)果仍是等式.如果，，那么或能力拓展考點01等式的基本性質(zhì)能力拓展【典例1】若x＝y(tǒng)，那么下列等式一定成立的是（）A．1﹣x＝1﹣y B．x＝﹣y C．x＝y(tǒng) D．x﹣＝y(tǒng)+【思路點撥】根據(jù)等式的基本性質(zhì)分別進(jìn)行解答，即可得出答案．【解析】解：A、1﹣x＝1﹣y，在等式的兩邊同時乘﹣1，再兩邊同時加1，等式成立；B、由x＝y(tǒng)，根據(jù)等式性質(zhì)不能得到x＝﹣y，故等式不一定成立；C、由x＝y(tǒng)，根據(jù)等式性質(zhì)不能得到，故等式不一定成立；D、由x＝y(tǒng)，根據(jù)等式性質(zhì)不能得到x﹣，等式不一定成立；故選：A．【點睛】此題主要考查了等式的基本性質(zhì)．等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數(shù)或字母，等式仍成立．【即學(xué)即練1】下列說法正確的是（）A．若a＝b，則a+c＝b﹣c B．若a＝b，則ac2＝bc2 C．若＝，則a＝b D．若ac2＝bc2，則a＝b【思路點撥】根據(jù)等式的性質(zhì)逐個判斷即可．【解析】解：A．∵a＝b，∴a+c＝b+c，故本選項不符合題意；B．∵a＝b，∴ac2＝bc2，故本選項符合題意；C．∵＝，∴a2＝b2，∴a＝±b，故本選項不符合題意；D．當(dāng)c＝0時，由ac2＝bc2不能推出a＝b，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，能熟記等式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：等式的性質(zhì)1：等式的兩邊都加（或減）同一個數(shù)（或式子），等式仍成立；等式的性質(zhì)2：等式的兩邊都乘同一個數(shù)（或式子），等式仍成立，等式的兩邊都除以同一個不等于0的數(shù)，等式仍成立．考點02利用等式的基本性質(zhì)解方程【典例2】利用等式的性質(zhì)解方程：（1）5+x＝﹣2（2）3x+6＝31﹣2x．【思路點撥】（1）在等式的兩邊同時減去5；（2）在等式的兩邊同時加上（2x﹣6），然后再除以5．【解析】（1）5+x＝﹣25+x﹣5＝﹣2﹣5x＝﹣7；（2）3x+6＝31﹣2x3x+6+2x﹣6＝31﹣2x+2x﹣65x＝25x＝5．【點睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)．等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數(shù)或字母，等式仍成立．【即學(xué)即練2】用等式的性質(zhì)解下列方程：（1）4x+7＝3；（2）x﹣x＝4．【思路點撥】（1）根據(jù)等式的兩邊都加或都減同一個數(shù)，結(jié)果仍是等式，等式的兩邊都除以同除以一個不為零的數(shù)，可得答案；（2）根據(jù)等式的兩邊都乘以同一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍是等式，可得答案．【解析】解：（1）方程兩邊都減7，得4x＝﹣4．方程兩邊都除以4，得x＝﹣1．（2）方程兩邊都乘以6，得3x﹣2x＝24，x＝24．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，利用了等式的性質(zhì)解方程．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1.已知等式ax＝4a，則下列等式中不一定成立的是（）A．a(chǎn)x﹣4a＝0 B．a(chǎn)x﹣b＝4a﹣b C．a(chǎn)x＝12a D．x＝4【思路點撥】根據(jù)等式的基本性質(zhì)進(jìn)行分析判斷．【解析】解：A、如果ax＝4a，那么ax﹣4a＝0，原變形成立，故此選項不符合題意；B、如果ax＝4a，那么ax﹣b＝4a﹣b，原變形成立，故此選項不符合題意；C、如果ax＝4a，那么ax＝12a，原變形成立，故此選項不符合題意；D、如果ax＝4a，則x＝4，這里必須a≠0，原變形不一定成立，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)．等式的性質(zhì)：性質(zhì)1、等式兩邊加同2.一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2、等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．2.下列判斷正確的是（）A．如果3x＝2，那么x＝ B．如果ax＝bx，那么a＝b C．如果5x﹣y＝2y，那么5x＝3y D．如果a﹣2b＝0，那么＝2【思路點撥】根據(jù)等式的基本性質(zhì)，分別對每個選項進(jìn)行求解得到：A中解得x＝；B中可得x＝0或a﹣b＝0；D中當(dāng)當(dāng)b≠0時，＝2，由此求解．【解析】解：A.3x＝2，方程兩邊同時除以3，得x＝，不符合題意；B．a(chǎn)x＝bx，移項、合并同類項得，（a﹣b）x＝0，解得x＝0或a﹣b＝0，不符合題意；C.5x﹣y＝2y，移項、合并同類項得，3y＝5x，符合題意；D．a(chǎn)﹣2b＝0，移項得a＝2b，當(dāng)b≠0時，＝2，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查等式的基本性質(zhì)，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.設(shè)a，b，c均為實數(shù)，且滿足（a﹣1）b＝（a﹣1）c，下列說法正確的是（）A．若a≠1，則b﹣c＝0 B．若a≠1，則＝1 C．若b≠c，則a+b≠c D．若a＝1，則ab＝c【思路點撥】根據(jù)等式的性質(zhì)解答即可．【解析】解：A．∵a≠1，∴a﹣1≠0，∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，∴除以（a﹣1）得：b＝c，∴b﹣c＝0，故本選項符合題意；B．∵a≠1，∴a﹣1≠0，∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，∴除以（a﹣1）得：b＝c，如果c＝0，則不成立，題目中沒有對c的取值進(jìn)行限定，因此B選項不符合題意；C．若b≠c，∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，∴a﹣1＝0，b、c的大小關(guān)系不能確定，故本選項不符合題意；D．若a＝1，∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，∴a﹣1＝0，b、c的大小關(guān)系不能確定，故本選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，注意：等式的性質(zhì)是：①等式的兩邊都加（或減）同一個數(shù)或式子，等式仍成立；②等式的兩邊都乘以同一個數(shù)，等式仍成立；等式的兩邊都除以同一個不等于0的數(shù)，等式仍成立．4.已知a＝b，下列等式不一定成立的是（）A．a(chǎn)+c＝b+c B．c﹣a＝c﹣b C．a(chǎn)c＝bc D．【思路點撥】根據(jù)等式的基本性質(zhì)逐一判斷可得．【解析】解：A、由a＝b知a+c＝b+c，此選項一定成立；B、由a＝b知c﹣a＝c﹣b，此選項一定成立；C、由a＝b知ac＝bc，此選項一定成立；D、由a＝b知當(dāng)c＝0時無意義，此選項不一定成立；故選：D．【點睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數(shù)或字母，等式仍成立．5.下列等式變形錯誤的是（）A．若x﹣1＝3，則x＝4 B．若x﹣1＝x，則x﹣1＝2x C．若x﹣3＝y(tǒng)﹣3，則x﹣y＝0 D．若3x+4＝2x，則3x﹣2x＝﹣4【思路點撥】利用等式的性質(zhì)對每個式子進(jìn)行變形，即可找出答案．【解析】解：A、若x﹣1＝3，根據(jù)等式的性質(zhì)1，等式兩邊都加1，可得x＝4，故A選項正確；B、若x﹣1＝x，根據(jù)等式的性質(zhì)2，兩邊都乘以2，可得x﹣2＝2x，故B選項錯誤；C、兩邊分別加上3﹣y可得：x﹣y＝0，故C選項正確；D、兩邊分別加上﹣2x﹣4，可得：3x﹣2x＝﹣4，故D選項正確；故選：B．【點睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)．等式性質(zhì)1：等式的兩邊都加上或者減去同一個數(shù)或同一個等式，所得結(jié)果仍是等式；等式性質(zhì)2：等式的兩邊都乘以或者除以同一個數(shù)（除數(shù)不為零），所得結(jié)果仍是等式．另外，本題B選項的錯誤是在解題的過程中某一項漏乘而導(dǎo)致的．6.設(shè)■，●，▲分別表示三種不同的物體，如圖所示，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正確的是（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)第一個天平可得2●＝▲+■，根據(jù)第二個天平可得●+▲＝■，可得出答案．【解析】解：根據(jù)圖示可得：2●＝▲+■①，●+▲＝■②，由①②可得●＝2▲，■＝3▲，則■+●＝5▲＝2●+▲＝●+3▲．故選：A．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，根據(jù)圖示得出●、▲、■的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7.已知4m+2n﹣5＝m+5n，利用等式的性質(zhì)比較m與n的大小關(guān)系：m＞n（填“＞”，“＜”或“＝”）．【思路點撥】利用等式的性質(zhì)，把等式變形為m減n等于多少的形式，得結(jié)論．【解析】解：等式的兩邊都減去（m+5n﹣5），得3m﹣3n＝5，等式的兩邊都除以3，得m﹣n＝∴m＞n．故答案為：＞．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)．注意：兩個數(shù)的差大于0，被減數(shù)大于減數(shù)；兩個數(shù)的差等于0，被減數(shù)和減數(shù)相等；兩個數(shù)的差小于0，被減數(shù)小于減數(shù)．8.由等式3x﹣10＝2x+15的兩邊都減去（2x﹣10），得到等式x＝25，這是根據(jù)等式性質(zhì)1；由等式﹣x＝的兩邊都乘以（﹣3），得到等式x＝﹣8．【思路點撥】根據(jù)等式的性質(zhì)即可作答．等式的性質(zhì)1、等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2、等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．【解析】解：由等式3x﹣10＝2x+15的兩邊都減去（2x﹣10），得到等式x＝25，這是根據(jù)等式性質(zhì)1；由等式﹣x＝的兩邊都乘以（﹣3），得到等式x＝﹣8．故答案為：減去（2x﹣10），等式性質(zhì)1；乘以（﹣3），﹣8．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)．遇到此類題目要先確定等式變形前后用的是性質(zhì)1還是2，再用相應(yīng)的方法求解．9.下列方程的變形是否正確？為什么？（1）由3+x＝5，得x＝5+3．（2）由7x＝﹣4，得x＝．（3）由，得y＝2．（4）由3＝x﹣2，得x＝﹣2﹣3．【思路點撥】（1）根據(jù)左邊減3，右邊加3，可得變形不正確；（2）根據(jù)左邊除以7，右邊乘，可得變形不正確；（3）根據(jù)左邊乘2，右邊加2，可得變形不正確；（4）根據(jù)左邊加x減3，右邊減x減3，可得變形不正確．【解析】解：（1）由3+x＝5，得x＝5+3，變形不正確，∵方程左邊減3，方程的右邊加3，∴變形不正確；（2）由7x＝﹣4，得x＝，變形不正確，∵左邊除以7，右邊乘，∴變形不正確；（3）由，得y＝2，變形不正確，∵左邊乘2，右邊加2，∴變形不正確；（4）由3＝x﹣2，得x＝﹣2﹣3，變形不正確，∵左邊加x減3，右邊減x減3，∴變形不正確．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，等式的兩邊不是都加或都減同一個數(shù)，左右大小關(guān)系發(fā)生了變化，等式的兩邊不是都乘或都除同一個數(shù)（不為0），左右大小關(guān)系發(fā)生了變化．10.閱讀下列解題過程，指出它錯在了哪一步？為什么？2（x﹣1）﹣1＝3（x﹣1）﹣1．兩邊同時加上1，得2（x﹣1）＝3（x﹣1），第一步兩邊同時除以（x﹣1），得2＝3．第二步．【思路點撥】錯在第二步，兩邊不能同時除以x﹣1，因為x﹣1可能為0．【解析】解：解題過程第二步出錯，理由為：方程兩邊不能除以x﹣1，x﹣1可能為0．【點睛】此題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．題組B能力提升練11.下列等式變形：（1）如果ax＝ay，那么x＝y(tǒng)；（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2；（3）如果|a|＝|b|，那么a＝b；（4）如果4a＝7b，那么＝，其中正確的有（）A．（1）（4） B．（1）（2）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）【思路點撥】根據(jù)等式的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)即可判斷．【解析】解：（1）∵ax＝ay，當(dāng)a≠0時，x＝y(tǒng)，故（1）選項不符合題意；（2）∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴a2＝（﹣b）2，即a2＝b2，故（2）選項符合題意；（3）∵|a|＝|b|，∴a＝±b，故（3）選項不符合題意；（4）∵4a＝7b，兩邊同時除以28，可得＝，故（4）選項符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了等式的基本性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12.下列去分母正確的是（）A．由，得2x﹣1＝3﹣3x B．由，得2（x﹣2）﹣3x﹣2＝﹣4 C．由，得3y+3＝2y﹣3y+1 D．由，得12x﹣1＝5y+20【思路點撥】根據(jù)等式的性質(zhì)，對每個選項進(jìn)行分析判斷．【解析】解：A、等式兩邊都乘6，得2x﹣6＝3﹣3x，原變形錯誤，故這個選項不符合題意；B、等式兩邊都乘4，得2（x﹣2）﹣3x+2＝﹣4，原變形錯誤，故這個選項不符合題意；C、等式兩邊都乘6，得3y+3＝2y﹣3y+1，原變形正確，故這個選項符合題意；D、等式兩邊都乘15，得12x﹣15＝5y+20，原變形錯誤，故這個選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)．等式性質(zhì)：1、等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；2、等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．13.下列等式變形正確的是（）A．若﹣3x＝5，則x＝﹣ B．若，則2x+3（x﹣1）＝1 C．若5x﹣6＝2x+8，則5x+2x＝8+6 D．若3（x+1）﹣2x＝1，則3x+3﹣2x＝1【思路點撥】根據(jù)等式的基本性質(zhì)1：等式的兩邊都加上或者減去同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式；等式性質(zhì)2：等式的兩邊都乘以或者除以同一個數(shù)（除數(shù)不為零），所得結(jié)果仍是等式，針對每一個選項進(jìn)行判斷即可解決．【解析】解：A、若﹣3x＝5，則x＝﹣，錯誤，故本選項不符合題意；B、若，則2x+3（x﹣1）＝6，錯誤，故本選項不符合題意；C、若5x﹣6＝2x+8，則5x﹣2x＝8+6，錯誤，故本選項不符合題意；D、若3（x+1）﹣2x＝1，則3x+3﹣2x＝1，正確，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】此題主要考查了等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握等式的性質(zhì)定理．14.有下列等式：①由a＝b，得5﹣2a＝5﹣2b；②由a＝b，得ac＝bc；③由a＝b，得；④由，得3a＝2b；⑤由a2＝b2，得a＝b．其中正確的是①②④．【思路點撥】利用等式的性質(zhì)判斷即可．【解析】解：①由a＝b，得5﹣2a＝5﹣2b，正確；②由a＝b，得ac＝bc，正確；③由a＝b（c≠0），得＝，不正確；④由，得3a＝2b，正確；⑤由a2＝b2，得a＝b或a＝﹣b，不正確．故答案為：①②④【點睛】此題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．15.如果在方程5（x﹣2）＝2（x﹣2）的兩邊同時除以（x﹣2），就會得到5＝2．我們知道5不等于2，由此可以猜想（x﹣2）的值為0．【思路點撥】根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案．【解析】解：由題意，得x﹣2＝0，故答案為：0．【點睛】主要考查了等式的基本性質(zhì)．等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以