第2章特殊三角形全章復習與測試

第2章特殊三角形全章復習與測試【知識梳理】一．軸對稱圖形常見的軸對稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．最短路線問題在直線L上的同側有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合本節(jié)所學軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．二.等腰三角形的性質（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論．三.尺規(guī)作圖：已知底邊和底邊上的高已知線段a，h（如圖）用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使底邊BC＝a,BC邊上的高線為h.作法：1.作線段BC=a.2.作線段BC的垂直平分線l,交BC與點D.3.在直線l上截取DA=h,連接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.四.等腰三角形的判定判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；④判定定理在同一個三角形中才能適用．五.等邊三角形的性質（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．六.等邊三角形的判定（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說明：在證明一個三角形是等邊三角形時，若已知或能求得三邊相等則用定義來判定；若已知或能求得三個角相等則用判定定理1來證明；若已知等腰三角形且有一個角為60°，則用判定定理2來證明．七、命題與逆命題，定理與逆定理在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題．每個命題都有它的逆命題，但每個真命題的逆命題不一定是真命題．如果一個定理的逆命題能被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理，這兩個定理叫做互逆定理.要點：每一個定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正確的.八、直角三角形的概念有一個角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下圖，可以記作“Rt△ABC”.要點：三角形有六個元素，分別是：三個角，三個邊，在直角三角形中，有一個元素永遠是已知的，就是有一個角是90°.直角三角形可分為等腰直角三角形和含有30°的直角三角形兩種特殊的直角三角形，每種三角形都有其特殊的性質.九、直角三角形的性質直角三角形的兩個銳角互余.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.要點：直角三角形的特征是兩銳角互余，反過來就是直角三角形的一個判定：兩個角互余的三角形是直角三角形.含有30°的直角三角形中，同樣有斜邊上的中線等于斜邊的一半，并且30°的角所對的直角邊同樣等于斜邊的一半.十、勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系.（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.十一、勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.，所以.十二、勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；用于解決帶有平方關系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長為的線段.十三、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.要點詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.十四、如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗證與是否具有相等關系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.要點詮釋：當時，此三角形為鈍角三角形；當時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.十五、勾股數滿足不定方程的三個正整數，稱為勾股數（又稱為高數或畢達哥拉斯數），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數，對解題會很有幫助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果()是勾股數，當為正整數時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.要點詮釋：（1）（是自然數）是直角三角形的三條邊長；（2）（是自然數）是直角三角形的三條邊長；（3）（是自然數）是直角三角形的三條邊長；十六、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應相等，或兩直角邊對應相等，這兩個直角三角形就全等了。這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.十七、判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.要點詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.【考點剖析】一．命題與定理（共3小題）1．（2022秋?寧波期末）能說明命題“一個鈍角與一個銳角的差一定是銳角”是假命題的反例是（）A．∠1＝91°，∠2＝50° B．∠1＝89°，∠2＝1° C．∠1＝120°，∠2＝40° D．∠1＝102°，∠2＝2°【分析】分別計算出各選項角的度數，進而可得出結論．【解答】解：A、91°﹣50°＝41°是銳角，不符合題意；B、89°與1°是兩個銳角，不符合題意；C、120°﹣40°＝80°是銳角，不符合題意；D、102°﹣2°＝100°是鈍角，符合題意．故選：D．【點評】本題考查的是命題與定理，熟知銳角及鈍角的定義是解題的關鍵．2．（2023春?武漢期中）下列命題為真命題的有（）①內錯角相等；②無理數都是無限小數：③在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】根據無限小數的定義、平行線的性質和判定判斷即可．【解答】解：①兩直線平行，內錯角相等，原命題是假命題；②無理數都是無限小數，是真命題：③在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，是真命題；④過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，原命題是假命題；故選：C．【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解無限小數的定義、平行線的性質和判定等知識，難度不大．3．（2022秋?青田縣期末）下列語句中，不是命題的是（）A．兩點確定一條直線 B．垂線段最短 C．作角A的平分線 D．內錯角相等【分析】找到不是判斷一件事情的語句的選項即可．【解答】解：A、兩點確定一條直線，是命題，不符合題意；B、垂線段最短，是命題，不符合題意；C、沒有做出任何判斷，不是命題，符合題意；D、內錯角相等，是命題，不符合題意；故選：C．【點評】考查了命題與定理的知識，主要考查命題的定義是判斷一件事情的語句．二．軸對稱圖形（共2小題）4．（2022秋?婺城區(qū)期末）下列四個數字圖形，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形解答．【解答】解：A、是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；D、是軸對稱圖形，故本選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數條．5．（2022秋?襄州區(qū)期末）下列常見的微信表情包中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：A選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，B、C、D選項中的圖形都不是軸對稱圖形．故選：A．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．三．軸對稱的性質（共3小題）6．（2022秋?恩施市期中）如圖的2×4的正方形網格中，△ABC的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱為格點三角形，在網格中與△ABC成軸對稱的格點三角形一共有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據題意畫出圖形，找出對稱軸及相應的三角形即可．【解答】解：如圖：共3個，故選：B．【點評】本題考查的是軸對稱圖形，根據題意作出圖形是解答此題的關鍵．7．（2022秋?桐鄉(xiāng)市期中）在△ABC中，∠B＝40°，D為邊BC上一點，將三角形沿AD折疊，使AC落在邊AB上，點C與點E重合，若△BDE為直角三角形，則∠C的度數為90°或130°．【分析】分兩種情形：∠BED＝90°或∠BDE＝90°，分別求解即可．【解答】解：當∠BED＝90°時，∠C＝∠AED＝90°．當∠BDE＝90°時，∠C＝∠AED＝∠B+∠BDE＝130°．綜上所述，∠C的度數為90°或130°．故答案為：90°或130°．【點評】本題考查軸對稱的性質，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．8．（2022秋?永嘉縣校級月考）如圖，△ABC與△DEF關于直線l對稱，若∠A＝65°，∠B＝80°，則∠F＝35°．【分析】直接利用軸對稱的性質得出∠C＝∠F，再利用三角形內角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝80°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣80°＝35°，∵△ABC與△DEF關于直線l對稱，∴∠C＝∠F＝35°，故答案為：35°．【點評】此題主要考查了軸對稱的性質，正確得出對應角相等是解題關鍵．四．作圖軸對稱變換（共2小題）9．（2022秋?慈溪市期末）如圖，在平面直角坐標系中，A（﹣4，0）、B（﹣1，0）、C（﹣6，3）．（1）在圖中作出△ABC關于y軸對稱的圖形△A'B'C'；（2）寫出A'，C'的坐標；（3）求出△AA'C的面積．【分析】（1）先確定點A、B、C三點關于y軸的對稱點A'，B'，C'的坐標，再將順次連接，即可；（2）由（1）寫出A'，C'的坐標，即可；（3）根據三角形的面積公式計算，即可作答．【解答】解：（1）如圖，△A'B'C'即為所求．（2）A'（4，0），C'（6，3）（3）．【點評】本題考查了直角坐標系中求解坐標關于y軸對稱的對稱點坐標以求三角形面積的知識，掌握關于y軸對稱的兩個點的坐標，其縱坐標相等，橫坐標互為相反數是解答本題的關鍵．10．（2023春?建安區(qū)期末）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點．網格中有一個格點△ABC（即三角形的頂點都在格點上）．（1）畫出△ABC關于直線MN的對稱圖形（不寫畫法）；（2）若網格上的每個小正方形的邊長為1，求△ABC的面積．【分析】（1）利用軸對稱變換的性質分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可；（2）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個三角形面積即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）△ABC的面積＝4×5﹣×1×4﹣×1×4﹣×3×5＝8.5．【點評】本題考查作圖＝軸對稱變換，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質，屬于中考?？碱}型．五．軸對稱最短路線問題（共4小題）11．（2021秋?蓮都區(qū)期末）如圖，牧童在A處牧馬，牧童的家在B處，A，B處到河岸的距離分別是AC＝300m，BD＝500m，且C，D兩地之間的距離為600m．牧童從A處將馬牽到河邊去飲水，再牽回家，他至少要走的路程是（）A．1400m B．（500+300）m C．1000m D．（300+100）m【分析】將此題轉化為軸對稱問題，作出A點關于河岸的對稱點A′，根據兩點之間線段最短得出BA′的長即為牧童要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．【解答】解：作A點關于直線CD的對稱點A′，連接BA′交河岸與P，則PB+PA＝PB+PA′＝BA′最短，故牧童應將馬趕到河邊的P地點．作DB′＝CA′，且DB′⊥CD，∵DB′＝CA′，DB′⊥CD，BB′∥A′A，∴四邊形A′B′DC是矩形，∴B'A'＝CD＝500m，DB′＝A′C＝AC＝300m，在Rt△BB′A′中，連接A′B′，則BB′＝BD+DB′＝500+300＝800m，BA′＝＝＝1000（m）．故選：C．【點評】此題考查了軸對稱﹣﹣最短路徑問題在生活中的應用，要將軸對稱的性質和勾股定理靈活應用，體現了數學在解決簡單生活問題時的作用．12．（2022秋?北侖區(qū)期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點P為AC邊上的動點，過點P作PD⊥AB于點D，則PB+PD的最小值為．【分析】作點B關于AC的對稱點B′，過點B′作B′D⊥AB于點D，交AC于點P，點P即為所求作的點，此時PB+PD有最小值，連接AB′，根據對稱性的性質，BP＝B′P，證明△ABC≌△AB′C，根據S△ABB′＝S△ABC+S△AB′C＝2S△ABC，即可求出PB+PD的最小值．【解答】解：如圖，作點B關于AC的對稱點B′，過點B′作B′D⊥AB于點D，交AC于點P，點P即為所求作的點，此時PB+PD有最小值，連接AB′，根據對稱性的性質，BP＝B′P，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′，BC＝B′C，∴△ABC≌△AB′C（SAS），∴S△ABB′＝S△ABC+S△AB′C＝2S△ABC，即AB?B′D＝2×BC?AC，∴5B′D＝24，∴B′D＝．故答案為：．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，解決本題的關鍵是掌握軸對稱的性質．13．（2022秋?樂清市期中）如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分別為B，C，P為線段BC上一點，連結PA，PD．已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，則AP+DP的最小值為15．【分析】作A點關于BC的對稱點A'，連接A'D交BC于點P，過A點作AM⊥CD交于點M，此時AP+PD的值最小，在Rt△A'DM中，A'D＝＝15，則A'D即為所求．【解答】解：作A點關于BC的對稱點A'，連接A'D交BC于點P，過A點作AM⊥CD交于點M，∵AP＝A'P，∴AP+PD＝A'P+PD＝AD，此時AP+PD的值最小，∵AB＝5，DC＝4，BC＝12，∴AM＝12，DM＝5+4＝9，在Rt△A'DM中，A'D＝＝＝15，∴AP+PD的最小值是15，故答案為：15．【點評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，靈活應用勾股定理是解題的關鍵．14．（2022秋?柯橋區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分線，若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值為2.4．【分析】如圖，作點Q關于AD的對稱點Q′，連接PQ′，過點C作CH⊥AB于點H．利用垂線段最短解決問題即可．【解答】解：如圖，作點Q關于AD的對稱點Q′，連接PQ′，CQ′，過點C作CH⊥AB于點H．∵AD是△ABC的角平分線，Q與Q'關于AD對稱，∴點Q′在AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，?AC?BC＝?AB?CH，∴CH＝2.4，∴CP+PQ≥2.4，∴PC+PQ的最小值為2.4．故答案為：2.4．【點評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握角平分線的性質，找到C點關于AD的對稱點，再由垂線段最短是求解的關鍵．六．等腰三角形的性質（共4小題）15．（2022秋?新昌縣期末）等腰三角形周長為15cm，其中一邊長為3cm，則該三角形的底邊長為（）A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或9cm【分析】由于長為3cm的邊可能為腰，也可能為底邊，故應分兩種情況討論．【解答】解：由題意知，應分兩種情況：（1）當腰長為3cm時，則另一腰也為3cm，底邊為15﹣2×3＝9cm，邊長分別為3cm，3cm，9cm，不能構成三角形；（2）當底邊長為3cm時，腰的長＝（15﹣3）÷2＝6cm，∴邊長為6cm，6cm，3cm，能構成三角形．故選：A．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．16．（2022秋?長興縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是邊BC的中點，若∠C＝65°，則∠BAD的度數為（）A．15° B．25° C．35° D．45°【分析】先由等腰三角形的性質得到∠C＝∠B＝65°，再結合題意和三角形的內角和定理得到∠BAD＝25°．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝65°，∴∠C＝∠B＝65°，∵D是邊BC的中點，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣65°＝25°．故選：B．【點評】本題考查等腰三角形的性質和三角形內角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質和三角形內角和是解答本題的關鍵．17．（2022秋?武義縣期末）已知等腰三角形的一邊長等于8cm，一邊長等于9cm，求它的周長．【分析】根據題意分情況討論：①當8cm是腰長時；②當8cm時底邊時．【解答】解：①當8cm是腰長時，∵另一邊長為：9cm，∴三角形的三條邊分別為：8cm，8cm，9cm，∵8+8＞9，∴能組成三角形，∴周長＝8+8+9＝25cm，②當8cm為底邊時，三角形的三邊分別為8cm，9cm，9cm，∵8+9＞9，∴能組成三角形，∴周長＝8+9+9＝26cm，綜上所述，周長為25cm或者26cm．【點評】本題考查了等腰三角形的三邊關系，根據題意分情況討論是解題的關鍵．18．（2022秋?嵊州市期末）如圖，在等腰三角形ABC中，頂角∠A＝36°，點D是腰AB上一點，作DE⊥AB交BC的延長線于點E，則∠BED的度數為（）A．16° B．18° C．20° D．24°【分析】先利用等腰三角形的性質，以及三角形內角和定理可得∠B＝∠ACB＝72°，然后再利用垂直定義可得∠BDE＝90°，從而利用直角三角形的兩個銳角互余，進行計算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°，∴∠BED＝90°﹣∠B＝18°，故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．七．等腰三角形的判定（共2小題）19．（2005秋?建德市期末）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周長等于AB與AC的和；④BF＝CF．其中正確的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①【分析】由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據平行線的性質及等腰三角形的判定和性質．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵BF是∠ABC的平分線，CF是∠ACB的平分線，∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，∴△ADE的周長AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC．故選：A．【點評】本題考查了等腰三角形的性質及角平分線的性質及平行線的性質；題目利用了兩直線平行，內錯角相等，及等角對等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關鍵．20．（2022秋?拱墅區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分線交AB于點D，（1）求∠ADC的度數；（2）過點A作AE∥BC，交CD的延長交于點E．①求證：△ADE是等腰三角形；②判斷：△ACE是否是等腰三角形，請先寫出結論，再說明理由．【分析】（1）關鍵等腰三角形性質和三角形內角和定理求出∠B＝∠ACB＝72°，求出∠DCB，根據三角形外角性質求出即可；（2）①根據平行線求出∠EAD，根據三角形內角和定理求出∠ADE，即可得出答案；②先判斷出∠BCE＝∠ACE，再判斷出∠BCE＝∠E，即可得出結論．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∵CD是∠ACB的平分線∴∠DCB＝∠ACB＝36°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝72°+36°＝108°；（2）①證明：∵AE∥BC∴∠EAB＝∠B＝72°，∵∠B＝72°，∠DCB＝36°，∴∠ADE＝∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，即△ADE是等腰三角形；②解：結論：△ACE是等腰三角形．理由：∵CD是∠ACB的平分線，∴∠BCE＝∠ACE，∵AE∥BC，∴∠BCE＝∠E，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴△ACE是等腰三角形．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和判定，三角形內角和定理，三角形外角性質，平行線的性質的應用，主要考查學生的計算和推理能力．八．等腰三角形的判定與性質（共3小題）21．（2022秋?金華期末）如圖，在△ABC中，過點B作△ABC的角平分線AD的垂線，垂足為F，FG∥AB交AC于點G，若AB＝4，則線段FG的長為2．【分析】延長BF交AC于E，根據角平分線的定義得到∠BAD＝∠CAD，根據全等三角形的性質得到AE＝AB＝4，根據平行線的性質得到∠BAF＝∠AFG，得到AG＝FG，推出FG＝AE＝2．【解答】解：延長BF交AC于E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵BF⊥AD，∴∠AFB＝∠AFE＝90°，∵AF＝AF，∴△ABF≌△AEF（ASA），∴AE＝AB＝4，∵FG∥AB，∴∠BAF＝∠AFG，∴∠GAF＝∠FAG，∴AG＝FG，∵∠FAG+∠AEF＝∠AFG+∠EFG＝90°，∴∠GFE＝∠GEF，∴FG＝GE，∴FG＝AE＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，直角三角形的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．22．（2020秋?下城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC．過點A作BC的平行線交∠ABC的角平分線于點D，連接CD．（1）求證：△ACD為等腰三角形．（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度數．【分析】（1）利用平行線的性質得出∠1＝∠3，進而利用等腰三角形的性質得出AC＝AD即可；（2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3，根據已知條件得到∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，根據等腰三角形的性質得到∠ACB＝∠ABC＝40°，根據平行線的選擇得到∠ADC+∠ACD＝180°，于是得到結論．【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2．∵AD∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴AB＝AD．∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴△ACD為等腰三角形；（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，∠ABC＝40°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，由（1）知，AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，∴∠BDC＝50°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，平行線的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．23．（2022秋?濱江區(qū)校級期中）已知：如圖，點D在△ABC的外部，DE過點C，BC與AD交于點O．∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD．（1）求證：△ACE是等腰三角形；（2）過點A作AF⊥DE于點F，若，AE＝3，BC＝6，求線段AF的長．【分析】（1）由∠1＝∠3可得∠BAC＝∠DAE，由已知條件和三角形的內角和可得∠B＝∠D，然后即可根據ASA證明△ABC?△ADE，再根據全等三角形的性質和等腰三角形的定義即得結論；（2）根據全等三角形的性質可得，BC＝DE＝6，設EF＝x，則DF＝6﹣x，然后根據勾股定理即可得到關于x的方程，解出x，再根據勾股定理求解即可．【解答】（1）證明：∵∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠1＝∠2，∠AOB＝∠COD，∴∠B＝∠D，在△ABC與△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC＝AE，∴△ACE是等腰三角形；（2）解：∵AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AFD＝90°，∵△ABC≌△ADE，∴，BC＝DE＝6，設EF＝x，則DF＝6﹣x，則在直角三角形ADF和直角三角形AEF中，AF2＝AD2﹣DF2＝AE2﹣EF2，即，解得：x＝2，即EF＝2，∴．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和勾股定理等知識，屬于常考題型，熟練掌握上述知識是解題的關鍵．九．直角三角形的性質（共2小題）24．（2022秋?嘉興期末）若一個直角三角形其中一個銳角為40°，則該直角三角形的另一個銳角是（）A．60° B．50° C．40° D．30°【分析】根據直角三角形性質：兩銳角互余直接求解即可得到答案．【解答】解：∵直角三角形中兩銳角互余，∴若一個直角三角形其中一個銳角為40°，則該直角三角形的另一個銳角是90°﹣40°＝50°．故選：B．【點評】本題考查的是直角三角形的性質，熟記直角三角形中兩銳角互余是解決問題的關鍵．25．（2020秋?海曙區(qū)期末）具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C【分析】由三角形內角和為180°求得三角形的每一個角，再判斷形狀．【解答】解：A選項，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，為直角三角形，不符合題意；B選項，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，為直角三角形，不符合題意；C選項，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A選項，不符合題意；D選項，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三個角沒有90°角，故不是直角三角形，符合題意．故選：D．【點評】注意直角三角形中有一個內角為90°．一十．勾股定理（共3小題）26．（2022秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，AB＝AC＝13，BP⊥CP，BP＝8，CP＝6，則四邊形ABPC的面積為（）A．48 B．60 C．36 D．72【分析】過點A作AD⊥BC于D，由勾股定理求出BC的長，再根據等腰三角形三線合一定理求出BD的長，再由勾股定理求出AD的長，最后根據四邊形ABPC的面積＝S△ABC﹣S△BPC即可求解．【解答】解：如圖，過點A作AD⊥BC于D，在Rt△BPC中，由勾股定理得，BC＝，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中線，∴BD＝CD＝，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD＝＝＝12，∴S＝60，∵S＝24，∴四邊形ABPC的面積＝S△ABC﹣S△BPC＝60﹣24＝36，故選：C．【點評】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．27．（2022秋?西湖區(qū)校級期中）△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC邊上的高AD＝12，則BC＝14或4．【分析】分兩種情況討論：銳角三角形和鈍角三角形，根據勾股定理求得BD，CD，再由圖形求出BC，在銳角三角形中，BC＝BD+CD，在鈍角三角形中，BC＝CD﹣BD．【解答】解：（1）如圖，銳角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC邊上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，∴BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，∴CD＝9，∴BC的長為BD+DC＝5+9＝14；（2）鈍角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC邊上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，∴BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，∴CD＝9，∴BC的長為DC﹣BD＝9﹣5＝4．故答案為：14或4．【點評】本題考查了勾股定理，把三角形斜邊轉化到直角三角形中用勾股定理解答．28．（2022秋?平湖市期末）已知直角三角形的一直角邊長為17，另兩邊的長為自然數，則滿足條件的所有三角形的面積之和為1224．【分析】設直角三角形的斜邊長為x，另一條直角邊的長為y，根據勾股定理可得x2﹣y2＝172，從而可得（x+y）（x﹣y）＝289，然后分兩種情況，進行計算即可解答．【解答】解：設直角三角形的斜邊長為x，另一條直角邊的長為y，由題意得：x2﹣y2＝172，∴（x+y）（x﹣y）＝289，∵x，y是自然數，∴x+y與x﹣y也是自然數，當289＝17×17時，∴，解得：（不成立）；當289＝1×289時，∴，∴，∴這個三角形的面積＝×144×17＝1224，∴滿足條件的所有三角形的面積之和為1224，故答案為：1224．【點評】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．一十一．勾股定理的證明（共1小題）29．（2021秋?武義縣校級月考）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積為16，小正方形的面積為3，直角三角形的兩直角邊分別為a和b，那么（a+b）2的值為29．【分析】根據所求問題，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知條件得到ab的值，根據完全平方公式即可求解．【解答】解：大正方形的面積為16，得到它的邊長為4，即得a2+b2＝42＝16，由題意4×ab+3＝16，2ab＝13，所以（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16+13＝29，故答案為：29．【點評】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式的運用，解題的關鍵是注意觀察圖形：發(fā)現各個圖形的面積和a，b的關系．一十二．直角三角形全等的判定（共4小題）30．（2021秋?諸暨市期中）如圖所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E，F，則在下列條件中選擇一組，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是①②③（填入序號）①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF．【分析】根據BE⊥AD，CF⊥AD，可得∠AEB＝∠CFD，然后再利用全等三角形的判定定理分別進行分析即可．【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD，選擇①可利用AAS定理證明Rt△ABE≌Rt△DCF；選擇②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理證明Rt△ABE≌Rt△DCF；選擇③可利用HL定理證明Rt△ABE≌Rt△DCF；選擇④不能定理證明Rt△ABE≌Rt△DCF．故答案為：①②③．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．31．（2021春?婁底期末）如圖，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一點，且AE＝BC，∠1＝∠2．（1）Rt△ADE與Rt△BEC全等嗎？并說明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并說明理由．【分析】（1）根據∠1＝∠2，得DE＝CE，利用“HL”可證明Rt△ADE≌Rt△BEC；（2）是直角三角形，由Rt△ADE≌Rt△BEC得，∠3＝∠4，從而得出∠4+∠5＝90°，則△CDE是直角三角形．【解答】解：（1）全等，理由是：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE，在Rt△ADE和Rt△BEC中，，∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；（2）是直角三角形，理由是：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠3＝∠4，∵∠3+∠5＝90°，∴∠4+∠5＝90°，∴∠DEC＝90°，∴△CDE是直角三角形．【點評】考查了直角三角形的判定，全等三角形的性質，做題時要結合圖形，在圖形上找條件．32．（2022秋?諸暨市期中）如圖，在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，為了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的條件是AB＝DC（答案不唯一）（不添加字母和輔助線）．【分析】根據直角三角形全等的判定方法，即可解答．【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：AB＝DC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：AC＝BD，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：∠ABC＝∠DCB，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：∠ACB＝∠DBC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），故答案為：AB＝DC（答案不唯一）．【點評】本題考查了直角三角形全等的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關鍵．33．（2011秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，AC與BD相交于點O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC＝BD．說明OD＝OC成立的理由．【分析】由DA⊥AC，DB⊥BC，得到∠A和∠B都為直角，在直角三角形ACD和BCD中，由已知的邊AC＝BD，再加上公共邊DC，利用HL可得三角形ACD與三角形BCD全等，根據全等三角形的對應角相等，可得∠BDC＝∠ACD，最后根據等角對等邊可得證．【解答】證明：∵DA⊥AC，DB⊥BC（已知），∴∠A＝∠B＝90°（垂直定義），在Rt△ADC和Rt△BCD中，，∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），（4分）∴∠BDC＝∠ACD（全等三角形的對應角相等），∴OD＝OC（等角對等邊）．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，垂直定義，以及等腰三角形的判定，直角三角形是特殊的三角形，其全等的方法可以用HL來判定，即直角邊及斜邊對應相等的兩直角三角形全等，在證明邊相等或角相等時，常常構造三角形全等來解決問題．【過關檢測】一、單選題1．下列交通標志中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結合選項根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形；C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故選：D．【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形的關鍵是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．2．如圖，在4×4方格中作以AB為一邊的Rt△ABC，要求點C也在格點上，這樣的Rt△ABC能作出（）A．2個 B．3個 C．4個 D．6個【答案】D【詳解】當AB是斜邊時,則第三個頂點所在的位置有：C、D、E、H四個；當AB是直角邊，A是直角頂點時，第三個頂點是F點；當AB是直角邊，B是直角頂點時，第三個頂點是G.因而共有6個滿足條件的頂點.故選D.3．在中，，則是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷【答案】B【分析】根據三角形內角和為，結合已知條件求出的度數即可得到答案．【詳解】解：∵，∴可設，∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形，故選：B．【點睛】本題主要考查三角形內角和定理，三角形的分類，熟知三角形內角和定理是解題的關鍵．4．下列命題中，假命題的是（

）A．在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行B．面積相等的兩個三角形全等C．等腰三角形的頂角平分線垂直于底邊D．三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角【答案】B【分析】分別利用平行線的判定、三角形全等的判定方法、等腰三角形的性質以及三角形外角的性質逐一判斷即可．【詳解】A．在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行，是真命題，故選項A不合題意；B．面積相等的兩個三角形不一定全等，故選項B是假命題，符合題意；C．等腰三角形的頂角平分線垂直于底邊，是真命題，故選項C不合題意；D．三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角，是真命題，故選項D不合題意，故選：B【點睛】本題考查了命題的真假，熟練掌握已經學過的概念、性質、定理是解題的關鍵．5．如圖，，點D在AB的垂直平分線上，點E在AC的垂直平分線上，則的度數是(

).A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到DB=DA，EC=EA，根據等腰三角形的性質解答即可.【詳解】解：∵AB的垂直平分線交BC于點D，AC的垂直平分線交BC于點E，∴DB=DA，EC=EA，∵∠BAC=100°，∴∠B+∠C=80°，∵DB=DA，EC=EA，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∴∠DAB+∠EAC=80°，∴∠DAE=100°80°=20°，故選B.【點睛】本題考查了三角形內角和定理，線段垂直平分線性質的應用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．6．在如圖所示的趙爽弦圖中，在DH上取點M使得DM＝GH，連接AM、CM．若正方形EFGH的面積為6，則△ADM與△CDM的面積之差為（）A．3 B．2 C． D．不確定【答案】A【分析】由趙爽弦圖可知，正方形EFGH的邊長為，即AH?AE＝，AE＝CG，可得AH?CG＝，再表示出S△ADM?S△CDM，代入計算即可．【詳解】解：由趙爽弦圖可知：正方形EFGH的邊長為，AH＝DG＝CF＝BE，AE＝DH＝CG＝BF，∵DM＝GH，∴EH＝AH?AE＝AH?CG＝，∴S△ADM?S△CDM＝DM?AH?DM?CG＝DM?（AH?CG）＝××＝3，故選：A．【點睛】本題考查了趙爽弦圖的應用，三角形的面積，熟練掌握趙爽弦圖中包含的等量關系是解題的關鍵．7．如圖則等于()A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【詳解】試題分析：先根據平行線的性質求得∠A的度數，再根據三角形外角的性質即可求得結果.∵AB∥CD∴∠A=∠ECD=70°∵∠DBF=110°∴∠E=∠DBF∠A=40°故選B.考點：平行線的性質，三角形外角的性質點評：解答本題的關鍵是熟練掌握三角形外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.8．如圖所示,已知△ABC和△DCE均是等邊三角形,點B．C．E在同一條直線上,AE與BD交于點O,AE與CD交于點G,AC與BD交于點F,連接OC、FG,則下列結論中：①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC，正確的是（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】首先根據等邊三角形的性質，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根據全等三角形的對應邊相等即可證得①正確；又由全等三角形的對應角相等，得到∠CBD=∠CAE，根據ASA，證得△BCF≌△ACG，即可得到②正確，同理證得CF=CG，得到△CFG是等邊三角形，易得③正確．【詳解】首先根據等邊三角形的性質，得到BC=AC，CD=CE∵△ABC和△DCE均是等邊三角形，∴BC=AC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD,∠ACD=60°，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴AE=BD,(①正確)∠CBD=∠CAE，∵∠BCA=∠ACG=60°，AC=BC，∴△BCF≌△ACG(ASA)，∴AG=BF,(②正確)同理：△DFC≌△EGC(ASA)，∴CF=CG，∴△CFG是等邊三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG∥BE,(③正確)過C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，∵△BCD≌△ACE，∴∠BDC=∠AEC，∵CD=CE,∠CND=∠CMA=90°，∴△CDN≌△CEM，∴CM=CN，∵CM⊥AE，CN⊥BD，∴△Rt△OCN≌Rt△OCM(HL)∴∠BOC=∠EOC，∴④正確；故選D.【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，解題關鍵在于掌握各判定定理.9．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形拼成一個大的正方形，是我國古代數學的驕傲，巧妙地利用面積關系證明了勾股定理.已知小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a、b且ab=6，則圖中大正方形的邊長為（

）A．5 B． C．4 D．3【答案】B【分析】根據大正方形面積等于4個三角形面積與小正方形面積和即可求解．【詳解】解：∵直角三角形的兩直角邊分別為a、b且ab=6，∴S△=，大正方形的面積為：4S△+小正方形面積=4×3＋1＝13，所以大正方形的邊長為．故選B．【點睛】本題考查勾股弦圖的應用，算術平方根，掌握勾股弦圖的應用，算術平方根是解題關鍵．10．在中，D，E分別是AC、BC上的點，過點D作，，垂足分別是點F，G，連接DE，若，，則下面三個結論：①；②；③．其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【答案】C【分析】連接BD，根據垂直定義可得，再根據HL證明，然后根據全等三角形的性質可得，，即可判斷①，再根據等腰三角形的性質可得，從而可得，即可判斷②，最后根據，即可判斷③．【詳解】連接BD，，，，，，，，故①正確；，，，，，，故②正確；，，，和不全等，故③不正確；所以，上面三個結論，其中正確的是①②，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．二、填空題11．在△ABC中，AB=AC，請你再添加一個條件使得△ABC成為等邊三角形，這個條件可以是（只要寫出一個即可）．【答案】或等（答案不唯一）【分析】根據等邊三角形的判定方法即可求解.【詳解】∵在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，故只需或即可得出△ABC為等邊三角形.【點睛】此題主要考查等邊三角形的判定，解題的關鍵是熟知等邊三角形的判定方法.12．已知：如圖，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，則四邊形ABCD的面積為．【答案】/【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理證明△ACD是直角三角形，即可求解．【詳解】連接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝，AB⊥BC，∵AD＝3，即在△ACD中，，∴△ACD是直角三角形，即AC⊥CD，∴．故答案為：1+．【點睛】此題考查勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握運算法則是解題關鍵．13．一個等腰三角形的兩邊長分別為4cm和8cm，則周長是cm．【答案】20【分析】根據等腰三角形的性質分類討論，分4cm為腰和底兩種情況，再根據構成三角形的條件以及三角形周長公式計算即可．【詳解】解：一個等腰三角形的兩邊長分別為4cm和8cm，則當4cm的邊為腰時，這個三角形的三邊分別為4cm，4cm和8cm，，不能構成三角形，故此情形不存在，當4cm的邊為底時，這個三角形的三邊分別為4cm，8cm和8cm，周長為cm故答案為：20【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的三邊關系，分類討論是解題的關鍵．14．如圖，在中，，，點，是中線上兩點，，則圖中陰影面積是．【答案】【分析】根據三線合一可得，然后根據三角形的面積的關系可求解．【詳解】，是等腰三角形是邊上的中線，，，；故答案為：．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質及三角形的面積與等分線的關系，熟練掌握等腰三角形的性質及三角形的面積與等分線的關系是解題的關鍵．15．若a、b、c滿足a2+b2＝c2，則以a，b，c為邊的三角形是三角形．【答案】直角【分析】根據勾股定理的逆定理得出即可．【詳解】∵a、b、c滿足a2+b2＝c2，∴以a，b，c為邊的三角形是直角三角形，故答案為直角．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理逆定理的內容是解題的關鍵.16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，則∠B＝．【答案】53°【分析】根據直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解．【詳解】解：∵∠C=90°，∠A=37°，∴∠B=90°37°=53°．故答案為53°．【點睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質，熟記性質是解題的關鍵．17．“等腰三角形的兩條邊相等”的逆命題是．（填真命題或假命題）【答案】真命題【分析】交換命題的題設和結論即可得到該命題的逆命題，根據等腰三角形的定義判斷即可．【詳解】“等腰三角形的兩條邊相等”的逆命題是：兩條邊相等的三角形是等腰三角形；它是真命題，故答案為：真命題．【點睛】本題考查了命題的真假判斷、逆命題的概念，掌握等腰三角形的定義是解題的關鍵．18．在中，的垂直平分線交邊于D，交于點F，的垂直平分線交邊于E，交于點G，若，則等于°．【答案】或/85或95【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到，根據等腰三角形的性質得到，根據三角形內角和定理計算即可．【詳解】解：如圖1，∵分別垂直平分和，∴，∴，，∴，解得，，∴；如圖2，∵分別垂直平分和，∴，∴，，則，解得，，∴，故答案為：95或85．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．三、解答題19．已知，如圖，是的邊的中點，，，垂足分別為，，且，求證：．【答案】見解析【分析】根據證明，可得，根據等角對等邊即可得證．【詳解】證明：∵，，∴，∵D是的中點，∴，在與中，∴，∴，∴．【點睛】本題注意考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性質與判定，掌握證明三角形全等是解題的關鍵．20．如圖，小明爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算這塊土地的面積，以便估算產量．小明測得，又已知．求這塊土地的面積．【答案】這塊土地的面積為【分析】連接，勾股定理求得，然后勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，進而根據四邊形的面積=，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴是直角三角形，且，∴四邊形的面積為．答：這塊土地的面積為．【點睛】本題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解題的關鍵．21．如圖，已知點D為等腰直角三角形ABC內一點，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠CAD＝∠CBD＝15°，E為AD的延長線上的一點，且CE＝CA．（1）求證：DE平分∠BDC；（