專(zhuān)題09相似三角形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（重點(diǎn)突圍）

專(zhuān)題09相似三角形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題考點(diǎn)一相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間問(wèn)題（利用分類(lèi)討論思想）考點(diǎn)二相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段長(zhǎng)問(wèn)題（利用分類(lèi)討論思想）考點(diǎn)三相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段及線段和最值問(wèn)題考點(diǎn)四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與幾何及函數(shù)綜合問(wèn)題考點(diǎn)一相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間問(wèn)題（利用分類(lèi)討論思想）例題：（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在線段上以每秒的速度向O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線從開(kāi)始以每秒的速度向上平行移動(dòng)，分別與交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)t為_(kāi)_________時(shí)，與相似．【答案】6或【分析】分別用t表示OP與OE的長(zhǎng)度，根據(jù)與都是直角，當(dāng)與相似時(shí)，O與O是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，因此分∽與∽兩種情況討論,根據(jù)相似列方程解之即可．【詳解】解：∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在線段上以每秒的速度向O運(yùn)動(dòng)，，∴AP=2tcm，OP=(202t)cm，又∵動(dòng)直線從開(kāi)始以每秒的速度向上平行移動(dòng)，∴OE=tcm，根據(jù)與都是直角，O與O是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，因此分∽與∽兩種情況討論，當(dāng)∽，即時(shí)，，解得：，當(dāng)∽，即時(shí)，，解得：，綜上所述：當(dāng)t=6或時(shí)，與相似，故答案時(shí)：6或．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形相似進(jìn)行討論分析是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過(guò)______秒時(shí)與相似．【答案】或##或【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，與相似，則,,,利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行分類(lèi)討論：時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，然后解方程即可求出答案．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，與相似，則,,,∵，∴當(dāng)時(shí)，，即，解得：；當(dāng)時(shí)，，即，解得：；綜上所述：經(jīng)過(guò)或秒時(shí)，與相似，【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析題意列出方程求解．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，，過(guò)點(diǎn)B作射線．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)E作交射線于F，G是中點(diǎn)，連接．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，當(dāng)與相似且點(diǎn)D位于點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，t的值為_(kāi)____________．【答案】3或##或3【分析】若與相似，分情況討論，則或，由相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如下圖：，是的中點(diǎn)，．點(diǎn)D位于點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，即，，解得：，，若與相似，則或，或，或故答案為：3或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題．3．（2022·山東·測(cè)試·編輯教研五九年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，在矩形中，，，兩只小蟲(chóng)P和Q同時(shí)分別從A，B出發(fā)沿、向終點(diǎn)B，C方向前進(jìn)，小蟲(chóng)P每秒走，小蟲(chóng)Q每秒走，它們同時(shí)出發(fā)t秒時(shí)，以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似，則_____秒．【答案】2或5##5或2【分析】要使以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似，則要分兩種情況進(jìn)行分析．分別是或，從而解得所需的時(shí)間．【詳解】解：①若，則，即，解得；②若，則，即，解得．故答案為：2或5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類(lèi)討論思想解答是解題的關(guān)鍵．4．（2022·云南·一模）在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A出發(fā)向B以2cm秒的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向A以1cm/秒的速度移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t秒表示移動(dòng)的時(shí)間（0<x<6）那么，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？______．【答案】或【分析】根據(jù)題意，可分兩種情況來(lái)研究，列出關(guān)系式，代入數(shù)據(jù)解方程可得答案．【詳解】解：如圖：分兩種情況來(lái)計(jì)算：當(dāng)時(shí)，，得，解得；當(dāng)時(shí)，，得，解得，故當(dāng)或時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定定理與性質(zhì)，分類(lèi)討論是解決此類(lèi)題的關(guān)鍵．5．（2022·山東濰坊·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，，垂足為，線段上的動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，以線段為邊向上作正方形，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，當(dāng)點(diǎn)落在的邊上時(shí)，的值為_(kāi)_______．【答案】或11【分析】需要分在的左邊或右邊兩種情況分別求解即可．【詳解】解：，，，垂足為，，當(dāng)在的左邊時(shí)，如圖：在邊上，由題意得：，，，，，（秒，當(dāng)在的右邊時(shí)，如圖：由題意得：，，，，，，，（秒．故答案為：或11．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線截線段成比例、勾股定理、三角形相似，解題的關(guān)鍵是充分利用正方形性質(zhì)，討論的位置．6．（2022·遼寧·燈塔市第一初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為？【答案】(1)；(2)2或3．【分析】（1）由AO=6，BO=8得AB=10，①當(dāng)∠PAQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB．利用其對(duì)應(yīng)邊成比例解t；②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例解得t．（2）過(guò)點(diǎn)Q作QE垂直AO于點(diǎn)E，利用QEBO證明△AEQ∽△AOB，從而得到，從而得出==，再利用三角形面積解得t即可．（1）解：由AO=6，BO=8，，所以，所以AP=t，AQ=，①當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB所以，所以，解得(秒)②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB所以，所以解得(秒)∴當(dāng)t為或時(shí)，△AQP與△AOB相似．（2）過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AO于點(diǎn)E，∵QE⊥AO，BO⊥AO，∴QEBO，∴△AEQ∽△AOB，∴∴==，=解得：∴當(dāng)t=2或3時(shí)，△APQ的面積為個(gè)平方單位．【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)值，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，有一定的拔高難度，屬于難題．7．（2021·江蘇·陽(yáng)山中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，連接AE，以AE為邊向上作正方形AEFG．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．(1)如圖1，EF與CD交于點(diǎn)M，當(dāng)DM=2CM時(shí)，求此時(shí)t的值；(2)當(dāng)點(diǎn)F恰好落在矩形任意兩個(gè)頂點(diǎn)的所在直線上時(shí)，求出所有符合條件的t的值．【答案】(1)t=1或t=3(2)t=1或t=3或t=9或t=【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（2）分四種情況討論，根據(jù)矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)證明全等或相似，求得BE的長(zhǎng)度，進(jìn)而求解．（1）在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD=AB=3，∵DM=2CM，∴DM=2，CM=1，∵四邊形AEFG是正方形，四邊形ABCD是矩形，∴∠AEM=∠ADM=∠ABE=90°，AD=BC=4，∵∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CEM=90°，∴∠BAE=∠CEM，∴△ABE∽△ECM，∴，∴=，∴t=1或t=3；（2）分四種情況，1°當(dāng)點(diǎn)F在CD上時(shí)，如圖，∵矩形ABCD，∴∠ABE=∠ECF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠EFC=90°，∵正方形AEFG，∴∠AEF=90°，AE=EF，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，∠AEB=∠EFC，在△BAE和△CEF中，，∴△BAE≌△CEF（ASA），∴AB=EC=3，∴BE=BC﹣CE=4﹣3=1，∵動(dòng)點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，∴t=1；2°當(dāng)點(diǎn)F落在AD上時(shí)，如圖，∵AF時(shí)正方形AEFG的對(duì)角線，∴∠EAF=45°，∵矩形ABCD，∴∠B=∠BAD=90°，∴∠BAE=45°=∠AEB，∴BE=AB=3，∵動(dòng)點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，∴t=3；3°當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC交BC于點(diǎn)M，如圖，∵正方形AEFG，∴AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AEB+∠MEF=90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠MEF，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM=BE，EM=AB=3，設(shè)FM=BE=x，則MC=4﹣3﹣x=1﹣x，∵∠FCM=∠ACM，∠FMC=∠ABC，∴△FMC∽△ABC，∴，∴，解得：x=，即FM=BE=，∵動(dòng)點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，∴t=；4°當(dāng)點(diǎn)F落在BD上時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC交BC于點(diǎn)M，如圖，∵正方形AEFG，∴AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AEB+∠MEF=90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠MEF，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM=BE，EM=AB=3，設(shè)CE=a，則FM=BE=4+a，BM=7+a，∵∠DBC=∠FBM，∠FMB=∠DCB=90°，∴△FBM∽△DBC，∴，∴，解得a=5，∴BE=4+a=9，∵動(dòng)點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，∴t=9；故所有符合條件的t的值為t=1或t=3或t=9或t=．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，以動(dòng)點(diǎn)為背景考查了正方形，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形，矩形的性質(zhì)，利用全等或相似求出邊長(zhǎng)，進(jìn)而求解．8．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀與思考如圖是兩位同學(xué)對(duì)一道習(xí)題的交流，請(qǐng)認(rèn)真閱讀下列對(duì)話并完成相應(yīng)的任務(wù)．解決問(wèn)題：(1)寫(xiě)出正確的比例式及后續(xù)解答．(2)指出另一個(gè)錯(cuò)誤，并給出正確解答．拓展延伸：(3)如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝3cm，BC＝6cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，是否存在時(shí)刻t，使以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)＝，解答見(jiàn)解析(2)沒(méi)有進(jìn)行分類(lèi)討論，見(jiàn)解析(3)存在，t＝或t＝【分析】（1）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得＝，再進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意可知另一個(gè)錯(cuò)誤是沒(méi)有進(jìn)行分類(lèi)討論，進(jìn)行解答即可；（3）根據(jù)題意可知有兩種情況分別是和，然后列出方程進(jìn)行計(jì)算即可．（1）由題意得∵∴正確比例式是：＝，∴DE＝＝＝＝；（2）另一個(gè)錯(cuò)誤是沒(méi)有進(jìn)行分類(lèi)討論，如圖，過(guò)點(diǎn)D作∠ADE＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，則△ADE∽△ACB，∴＝，∴DE＝＝＝，綜合以上可得：DE為或．（3）由題意可知，有兩種情況，第一種：當(dāng)時(shí)，設(shè)AM=t，則AN=62t，則由得，解得：t=；第二種：當(dāng)時(shí)，則由，，解得：t=，綜上所述，當(dāng)t＝或t＝時(shí)以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)分類(lèi)討論．考點(diǎn)二相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段長(zhǎng)問(wèn)題（利用分類(lèi)討論思想）例題：（2022·河南·鄭州市樹(shù)人外國(guó)語(yǔ)中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D、E為AC、BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若將∠C沿DE折疊，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′落在AB上，且△ADC′恰好為直角三角形，則此時(shí)CD的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】依據(jù)△ADC′恰好為直角三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)∠ADC'＝90°時(shí)，當(dāng)∠DC'A＝90°時(shí)，分別依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，列方程求解，即可得到CD的長(zhǎng)．【詳解】解：①如圖，當(dāng)∠ADC'＝90°時(shí)，∠ADC'＝∠C，∴DC'CB，∴△ADC'∽△ACB，又∵AC＝3，BC＝4，∴，設(shè)CD＝C'D＝x，則AD＝3﹣x，∴，解得x，經(jīng)檢驗(yàn)：x是所列方程的解，∴CD；②如圖，當(dāng)∠DC'A＝90°時(shí)，∠＝90°，由折疊可得，∠C＝∠DC'E＝90°，∴C'B與CE重合，∵∠C＝∠AC'D＝90°，∠A＝∠A，∴△ADC'∽△ABC，Rt△ABC中，AB＝＝5，∴，設(shè)CD＝C'D＝x，則AD＝3﹣x，∴，解得x，經(jīng)檢驗(yàn)：是方程的解，∴CD；綜上所述，CD的長(zhǎng)為或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)得到比例式列方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東·濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）在中，，點(diǎn)P在上，且，點(diǎn)Q是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)______時(shí)，與相似．【答案】2或8##8或2【分析】分和兩種情況求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)椋?，所以，解得；?dāng)時(shí)，則，因?yàn)椋?，所以，解得；故答案為?或8．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正確進(jìn)行分類(lèi)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2021·河北·唐山市第九中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時(shí)，AE＝__________．【答案】或1【分析】分情況討論：∠CED=90°和∠CDE=90°，利用相似三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和直角三角形30度角的性質(zhì)分別可得AE的長(zhǎng)．【詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)∠CED=90°時(shí)，如圖1，過(guò)E作EF⊥CD于F，∵，AD＜BC，∴AB與CD不平行，∴，∴當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時(shí)，∴∠BEC=∠CDE=∠ADE，∵∠A=∠B=∠CED=90°，∴∠BCE=∠DCE，∴AE=EF，EF=BE，∴AE=BE=AB=，②當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，如圖2，當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時(shí)，∵，CE和BC相交，∴AD與CE不平行，∴，∴∠CEB=∠CED=∠AED=60°，∴∠BCE=∠DCE=∠ADE=30°，∵∠A=∠B=90°，∴BE=ED=2AE，∵AB=3，∴AE=1，綜上，AE的值為或1．故答案為：或1．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和直角三角形30度角的性質(zhì)，當(dāng)兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，要分情況進(jìn)行討論；正確畫(huà)圖是關(guān)鍵，注意不要丟解．3．（2022·河南·泌陽(yáng)縣光亞學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，當(dāng)與相似時(shí)，的長(zhǎng)度為_(kāi)__________．【答案】1或【分析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)，時(shí)，，此時(shí)；如圖2中，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，；分別求解即可得到答案．【詳解】解：如圖1所示：當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)；如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，，，，，，，，，，，，，，綜上所述，滿足條件的的值為1或，故答案為：1或．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，有一正方形，邊長(zhǎng)為，是邊上的中點(diǎn)，對(duì)角線上有一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，的值為_(kāi)_________．【答案】6或8．【分析】根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)得出比例式解答即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形∴BC＝CD＝，∠C＝90°∵是邊上的中點(diǎn)∴DE＝CE＝CD＝在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝設(shè)BF＝x，則有DF＝12﹣x，①當(dāng)△ABF∽△FDE時(shí)，由，即，解得x＝6．②當(dāng)△ABF∽△EDF時(shí)，由，即，解得，x＝8，綜上所述，BF的值為6或8．故答案為：6或8．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程進(jìn)行解答．5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AD上，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AE，垂足為F．當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若以P、F、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則PA的值為_(kāi)________．【答案】2或5【分析】分兩種情況討論，由相似三角形的判定和矩形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=2，如圖，若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB．∴PE∥AB．∴四邊形ABEP為矩形．∴PA=EB=2，如圖，若△PFE∽△ABE，則∠PEF=∠AEB．∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF．∴PE=PA．∵PF⊥AE，∴點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)．∵，∴．∵，即，∴PE=5，綜上所述：AP的值為2或5，故答案為：2或5．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)△ADP與△BCP相似時(shí)，DP=__________．【答案】2或8或5【分析】需要分類(lèi)討論：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，分別根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得DP的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=4，①當(dāng)△APD∽△PBC時(shí)，可得，即，解得：PD＝2或PD＝8；②當(dāng)△PAD∽△PBC時(shí)，可得，即，解得：DP＝5．綜上所述，DP的長(zhǎng)度是2或8或5．故答案為：2或8或5．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段及線段和最值問(wèn)題例題：（2021·湖南永州·一模）如圖已知中，，，，P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】【分析】在BC上取一點(diǎn)P，使CP=AP過(guò)B作BD⊥AP交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．則△BDP∽△ACP，推出DP=BP，所以PA+PB=PA+DP=AD，設(shè)CP=a，則AP=3a，a2+42=（3a）2，即得a=，因此AP=3，BP=3，DP=1，求出PA+PB=3+1=．【詳解】解：在BC上取一點(diǎn)P，使CP=AP，過(guò)B作BD⊥AP交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠D=∠C=90°∴△BDP∽△ACP，∴，即DP=BP，∴PA+PB=PA+DP=AD，設(shè)CP=a，則AP=3a，∴a2+42=（3a）2，∴a=，∴AP=3，∴BP=3，DP=1，∴PA+PB=3+1=故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了胡不歸問(wèn)題，正確構(gòu)建相似三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△CDE沿CE翻折得△CME，點(diǎn)M落在四邊形ABCE內(nèi)．點(diǎn)N為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NP//EM交MC于點(diǎn)P，則MN+NP的最小值為_(kāi)_______．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值為MF的長(zhǎng)，證明四邊形DEMG為菱形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】解：作點(diǎn)P關(guān)于CE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，由折疊的性質(zhì)知CE是∠DCM的平分線，∴點(diǎn)P′在CD上，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥CD于F，交CE于點(diǎn)G，∵M(jìn)N+NP=MN+NP′≤MF，∴MN+NP的最小值為MF的長(zhǎng)，

連接DG，DM，由折疊的性質(zhì)知CE為線段DM的垂直平分線，∵AD=CD=2，DE=1，∴CE==，∵CE×DO=CD×DE，

∴DO=，∴EO=，∵M(jìn)F⊥CD，∠EDC=90°，∴DE∥MF，∴∠EDO=∠GMO，

∵CE為線段DM的垂直平分線，∴DO=OM，∠DOE=∠MOG=90°，∴△DOE≌△MOG，∴DE=GM，∴四邊形DEMG為平行四邊形，

∵∠MOG=90°，∴四邊形DEMG為菱形，∴EG=2OE=，GM=DE=1，∴CG=，∵DE∥MF，即DE∥GF，∴△CFG∽△CDE，∴，即，

∴FG=，∴MF=1+=，∴MN+NP的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對(duì)稱(chēng)在解決線段和最小的問(wèn)題，熟悉對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的運(yùn)用和畫(huà)法，知道何時(shí)線段和最小，會(huì)運(yùn)用勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)求線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．2．（2022·陜西·西安濱河學(xué)校三模）如圖半徑為，為直徑，弦，點(diǎn)是半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（不與A、重合），過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則面積的最大值為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理即可求解．【詳解】解：半徑為，為直徑，，，，，，．，，，，．當(dāng)最大即為直徑時(shí)，最大，此時(shí)，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，解決本題的關(guān)鍵是證明．3．（2022·遼寧·沈陽(yáng)市第七中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)構(gòu)造直角三角形（點(diǎn)A，B，C按順時(shí)針排列），使，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)是，連接DB，則的最小值為_(kāi)__________．【答案】【分析】如圖，過(guò)作軸的垂線，過(guò)分別作且垂直于過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線，垂足分別為，交軸于，與軸交于點(diǎn)，證明，利用相似三角形的性質(zhì)可得在直線上運(yùn)動(dòng)，作關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)最小，再利用勾股定理可得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)作軸的垂線，過(guò)分別作且垂直于過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線，垂足分別為，交軸于，與軸交于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)則而，∴，解得：，∴在直線上運(yùn)動(dòng)，作關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)最小，∴∴的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用相似三角形的性質(zhì)證明在直線上運(yùn)動(dòng)是解本題的關(guān)鍵．4．（2020·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在中，，點(diǎn)D是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值____________．的最小值_______【答案】

；

．【分析】如圖，連接CD，在BC上取CE=，連結(jié)CD，ED．可證△DCE∽△BCD．可得DE=BD，當(dāng)點(diǎn)A，D，E在同一條直線時(shí)，AD+BD的值最小，在Rt△ACE中，由CE=，CA=4，可求AE=即可；在CA上取點(diǎn)F，使CF=1，連結(jié)FD，BF，可證△FCD∽△DCA．可得FD=AD，當(dāng)點(diǎn)B、D、F，在同一條直線時(shí)，BD+AD的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CB=3，根據(jù)勾股定理BF==即可，【詳解】解：①在BC上取CE=，連結(jié)CD，ED，∵CD=2，BC=3，∵∴又∵∠DCE=∠BCD，∴△DCE∽△BCD．∴，∴DE=BD，∴AD+BD=AD+DE，當(dāng)點(diǎn)A，D，E在同一條直線時(shí)，AD+BD的值最小，在Rt△ACE中，∵CE=，CA=4，∴AE=，∴AD+BD的最小值為．故答案為：．②如圖，連接CD，在CA上取點(diǎn)F，使CF=1，連結(jié)FD、BF，∵CD=2，AC=4，∴，∴，又∵∠FCD=∠ACD，∴△FCD∽△DCA．∴，∴DF=AD，∴BD+AD=BD+DF，當(dāng)點(diǎn)B，D，F(xiàn)在同一條直線時(shí)，BD+AD的值最小，在Rt△BCF中，∵CF=1，CB=3，∴BF==，∴BD+AD的最小值為．故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造相似三角形解決比例問(wèn)題，勾股定理，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是引輔助線準(zhǔn)確作出圖形是解題關(guān)鍵．5．（2020·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，，圓C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接最小值__________．最小值__________．【答案】

；

．【分析】如圖，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=1，連結(jié)AD，可證△PCD∽△BCP．可得PD=BP，當(dāng)點(diǎn)A，P，D在同一條直線時(shí)，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CA=6，根據(jù)勾股定理AD==即可；在AC上取CE=，△PCE∽△ACP．可得PE=AP，當(dāng)點(diǎn)B，P，E在同一條直線時(shí)，BP+AP的值最小，在Rt△BCE中，由CE=，CB=4，根據(jù)勾股定理BE=即可．【詳解】解：如圖，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=1，連結(jié)AD，∵CP=2，BC=4，，∴，∴，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD，當(dāng)點(diǎn)A，P，D在同一條直線時(shí)，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，∵CD=1，CA=6，∴AD==，∴AP+BP的最小值為．故答案為：在AC上取CE=，連接CP，PE∵∴又∵∠PCE=∠ACP，∴△PCE∽△ACP．∴，∴PE=AP，∴BP+AP=BP+PE，當(dāng)點(diǎn)B，P，E在同一條直線時(shí)，BP+AP的值最小，在Rt△BCE中，∵CE=，CB=4，∴BD=，∴BP+AP的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，構(gòu)造相似三角形解決比例問(wèn)題，勾股定理，掌握?qǐng)A的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是引輔助線準(zhǔn)確作出圖形是解題關(guān)鍵．6．（2022·福建·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接PB，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PB，交射線DC于點(diǎn)E，已知AD＝3，AC＝5．設(shè)AP的長(zhǎng)為x．(1)AB＝_______；當(dāng)x＝1時(shí)，＝______；(2)試探究：是否是定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)連接BE，設(shè)△PBE的面積為S，求S的最小值．【答案】(1)4，(2)是定值，(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用勾股定理即可求出AB，作PM⊥AB于M交CD于N，證明，利用相似比求出；（2）利用，求出相似比是個(gè)定值即可；（3）將△PBE的面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求最值即可．（1）解：作PM⊥AB于M交CD于N．如圖1所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3,∠ABC=90°，∵AC＝5，∴．∵∴∴∴，，∴，∵M(jìn)N＝AD＝3，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為4，；（2）結(jié)論：的值為定值．理由如下：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，如圖1所示：由PA＝x，可得．∴，，，∵△BMP∽△PNE，∴．當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，如圖2所示：同理得出．綜上所述：的值為定值．（3）在Rt△PBM中，，∵．∴，∴，∵0＜x＜5，∴時(shí)，S有最小值＝．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是：熟練掌握矩形的性質(zhì)，通過(guò)添加輔助線構(gòu)造三角形相似．本題還考查了二次函數(shù)求最值的問(wèn)題．考點(diǎn)四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與幾何及函數(shù)綜合問(wèn)題例題：（2022·上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)附屬松江實(shí)驗(yàn)學(xué)校花園分校九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥AB，交邊AC于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合），E是射線DC上一點(diǎn)，且∠EPD＝∠A．設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，△BEP的面積為y．(1)求證：AE＝2PE；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；(3)當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，求△BEP的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)y＝﹣+x，定義域是0＜x＜(3)或【分析】（1）先由已知條件判斷出，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出＝，再由，可知，再根據(jù)其對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出答案；（2）由，得＝＝，進(jìn)而可得出AE與DE的關(guān)系，作，垂足為點(diǎn)H，由可得出＝＝，進(jìn)而可得出y與x的關(guān)系式；另解：由x，根據(jù)＝，即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；（3）由，得＝，當(dāng)與相似時(shí)，只有兩種情形：或，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出答案．（1）解：∴＝，∴＝＝．（2）解：由得＝，作，垂足為點(diǎn)H，∴＝＝．∴HE＝x．又∵AB＝2，y＝（2﹣x）?x，即y＝﹣+x．∵點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，∴∴，定義域是．另解：由得＝＝，∴×x＝x，∴×x×2＝x，∴＝，即＝，∴y＝﹣+x．定義域是．（3）解：由，得＝，∴PE＝x?＝x．當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，只有兩種情形：或（i）當(dāng)時(shí)，＝，∴＝．解得x＝．∴﹣x××5+×＝．（ii）當(dāng)時(shí)，同理可得x＝，y＝．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，找出圖形中的相似三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵，在解（3）時(shí)要注意分類(lèi)討論，不要漏解．【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖南·衡東縣楊山實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖中，厘米，厘米，是的中點(diǎn)，點(diǎn)從出發(fā)，以厘米/秒的速度沿勻速向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)以1厘米/秒的速度從出發(fā)，沿勻速向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．(1)若，，求的值；(2)設(shè)點(diǎn)在上，四邊形為平行四邊形，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由中，厘米，厘米，是的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可求得與的長(zhǎng)，又由，，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得的值；（2）過(guò)點(diǎn)作于，由四邊形為平行四邊形，易證得，又由平行線分線段成比例定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；【詳解】（1）在中，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，，即，解得：；（2）過(guò)點(diǎn)作于，四邊形為平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，即，解得：，；【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東·青島三十九中九年級(jí)期中）如圖，在矩形中，是對(duì)角線，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度是；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度是1．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)t為何值時(shí)，?(2)設(shè)四邊形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積等于矩形面積的？(4)當(dāng)為時(shí)，是等腰三角形．【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)題意得出，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作，證明，得出，根據(jù)即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論建立方程，解方程即可求解．（4）根據(jù)等腰三角形的定義，分類(lèi)討論，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，，，∴，，∴，∵點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度是；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度是1，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，∴，∴，當(dāng)時(shí)，∴，∴，即，解得；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，，∴；（3）解：依題意，解得（不合題意，舍去）（4）解：∵是等腰三角形①當(dāng)時(shí)，即，解得；②當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，③若如圖，過(guò)點(diǎn)作∴，∴，∵∴∴解得∵∴不存在的情形，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的定義，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·四川·內(nèi)江市市中區(qū)全安鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，Rt△ABC的兩條直角邊cm，cm，點(diǎn)D沿AB從A向B運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/s，同時(shí)，點(diǎn)E沿BC從B向C運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．動(dòng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)終止．連結(jié)DE、CD、AE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（s）．(1)當(dāng)為何值時(shí)，△BDE與△ABC相似?(2)設(shè)△ADE的面積為S，求S與的函數(shù)解析式；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻，使?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)當(dāng)為秒或秒時(shí)，與相似(2)，(3)存在，當(dāng)t=，有CD⊥DE【分析】（1）設(shè)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AD=t，BD=4t，BE=2t，CE=52t（0≤t≤），然后分∠BDE=∠BAC，和∠BDE=∠BAC，兩種情況分別證明Rt△BDE∽R(shí)t△BCA，最后后分別根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段求出t的值即可；（2）過(guò)E作EF⊥AB于F，先證Rt△BEF∽R(shí)t△BAC，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段用t表示EF，BF，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可；（3）先計(jì)算出DF=ABADBF，若CD⊥DE，則易證得Rt△ACD∽R(shí)t△FDE，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段求出t即可．（1）∵，，∴BC=5cm，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，，，，，①當(dāng)，即時(shí)，，，即，∴，②當(dāng)即時(shí)，，∴，即，∴，即當(dāng)為秒或秒時(shí)，與相似；（2）過(guò)E作EF⊥AB于F，如圖，根據(jù)題意有∠BAC=90°，∵EF⊥AB，∴∠BFE=90°，∴，∴Rt△BEF∽R(shí)t△BCA，∴EF：AC=BF：AB=BE：BC，即EF：3=BF：4=2t：5，∴EF=，BF=，∴（）；即：，；（3）存在，理由如下：DF=ABADBF=4t=4t，若CD⊥DE，∴∠ADC+∠BDE=90°，∵∠ACD+∠ADC=90°，∴∠ACD=∠BDE，∵∠CAD=∠DFE=90°，∴Rt△ACD∽R(shí)t△FDE，∴，即，∴解得：t=，即當(dāng)t=，有CD⊥DE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證得三角形相似并根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022·上海市羅南中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PE⊥AP，PE交射線DC于點(diǎn)E，射線AE交射線BC于點(diǎn)F，設(shè)BP=x,CE=y(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)（P點(diǎn)與點(diǎn)B、C不重合），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；(2)當(dāng)x=3時(shí)，求CF的長(zhǎng)；(3)