題型04最值問題之隱圓（原卷版）

最值問題之隱圓知識點(diǎn)精講借助“隱圓”解決幾何最值問題的理論依據(jù)有兩個(gè)：①定圓的所有弦中，直徑最長；②圓外一點(diǎn)與圓心的連線上，該點(diǎn)和此直線與圓的近交點(diǎn)距離最短、遠(yuǎn)交點(diǎn)距離最長.如圖，動點(diǎn)P到圓上一點(diǎn)距離PQ的最大值和最小值：連接動點(diǎn)何圓心（OP），與圓交于M、N兩點(diǎn)PQ最大值：PM（OP+r），PQ最小值：PN（OPr）這類最值問題，首先要判斷動點(diǎn)是否在圓上運(yùn)動.1、動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長2、直角所對的是直徑3、定弦定角4、四點(diǎn)共圓針對訓(xùn)練一、單選題1．如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)．，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．如圖，菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60°，P是AB上一點(diǎn)，BP=3，Q是CD邊上一動點(diǎn)，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應(yīng)點(diǎn)A′．當(dāng)CA′的長度最小時(shí)，CQ的長為（）A．5 B．7 C．8 D．3．如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，連接，在點(diǎn)變化的過程中，線段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．4．如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個(gè)動點(diǎn)，滿足，則線段CP長的最小值為（

）A． B．2 C． D．5．如圖，⊙O的半徑是，P是⊙O上一動點(diǎn)，A是⊙O內(nèi)部一點(diǎn)，且，則下列說法正確的是（

）①PA的最小值為；②PA的最大值為；③當(dāng)時(shí)，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面積最大為．A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④6．如圖，菱形ABCD邊長為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．37．正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E、F分別是CD、BC邊上的動點(diǎn)，且始終滿足DE=CF，DF、AE相交于點(diǎn)G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，連接BH．則BH的最小值為（

）A． B． C． D．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)E、F分別是正方形OACD的邊OD、AC上的動點(diǎn)，且，過原點(diǎn)O作，垂足為H，連接HA、HB，則面積的最大值為（

）A． B．12 C． D．9．如圖，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．連接BD，CE，將△繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)最大時(shí)，△ACE的面積為（

）．A．6 B． C．9 D．10．如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的動點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上的動點(diǎn)，且．連結(jié)，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，長方形ABCD中，，BC=2，點(diǎn)E是DC邊上的動點(diǎn)，現(xiàn)將△BEC沿直線BE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，則點(diǎn)D到點(diǎn)F的最短距離為________．12．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB＝2，點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動點(diǎn)，AC⊥AP交直線PB于點(diǎn)C，則△ABC的最大面積是_________．13．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中點(diǎn)，E為AB上一動點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于DE的對稱點(diǎn)在△ABC內(nèi)（不含△ABC的邊上），則BE長的范圍為______．14．如圖，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，為坐標(biāo)平面內(nèi)一動點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為____________．15．如圖，是⊙O的弦，點(diǎn)C在⊙O內(nèi)，，連接，若⊙O的半徑是4，則長的最小值為______．16．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點(diǎn)，且CD＝3，E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BF，則BF的最小值為_______．17．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，M為線段的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為__________．18．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點(diǎn)，連接DE，則線段DE長度的最小值為______．19．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E為邊AD上一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且線段EF＝4，點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為_____．20．如圖，已知，外心為，，，分別以，為腰向形外作等腰直角三角形與，連接，交于點(diǎn)，則的最小值是______．21．如圖，⊙O的直徑AB為2，C為⊙O上的一個(gè)定點(diǎn)，∠ABC＝30°，動點(diǎn)P從A出發(fā)，沿半圓弧向B點(diǎn)運(yùn)動（點(diǎn)P與點(diǎn)C在直徑AB的異側(cè)），當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動停止，在運(yùn)動過程中，過點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長線于點(diǎn)D，連接AD，則線段AD的最大值為______________．22．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的動點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、，則四邊形面積的最小值為______．23．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P在射線BC上，則的最小值為__________________．三、解答題24．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動點(diǎn)，且∠AFE＝90°（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時(shí)，∠AED最大．25．問題背景如圖（1），△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直線l繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，過B，C兩點(diǎn)分別向直線l作垂線BD，CE，垂足為D，E，此時(shí)△ABD可以由△CAE通過旋轉(zhuǎn)變換得到，請寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角的大?。ㄈ∽钚⌒D(zhuǎn)角度）．嘗試應(yīng)用如圖（2），△ABC為等邊三角形，直線l繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，D、E為直線l上兩點(diǎn)，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通過旋轉(zhuǎn)變換得到嗎？若可以，請指出旋轉(zhuǎn)中心O的位置并說明理由；拓展創(chuàng)新如圖