專題18最值問題中的胡不歸模型(原卷版+解析)

專題18最值問題中的胡不歸模型【模型展示】特點從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”）如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。?，記，結(jié)論BC+kAC的最小值【模型證明】解決方案構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。谇笮稳纭癙A+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．【題型演練】一、單選題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、C兩點，與x軸交于點，若P是x軸上一動點，點D的坐標(biāo)為，連接PD，則的最小值是（

）A．4 B． C． D．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．二、填空題3．如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動點，連接CE，則AE＋CE的最小值為___．4．如圖，在中，，，半徑為的經(jīng)過點，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設(shè)點是線段上任意一點不含端點，則的最小值為______．5．如圖，△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，AC＝4，則△ABC的面積為_；點D，點E，點F分別為BC，AB，AC上的動點，連接DE，EF，F(xiàn)D，則△DEF的周長最小值為_．6．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為_____．7．如圖，?中，，，為邊上一點，則的最小值為______．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為__________．9．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為_____．10．如圖，在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)有一動點P，且BP＝．連接CP，將線段PC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ．連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為___．三、解答題11．∠AOB＝30°，OM＝2，D為OB上動點，求MDOD的最小值．12．已知，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為AD上的兩點，連接BE、CF，并延長交于點G，連接DG，H為CF上一點，連接BH、DH，(1)如圖1，若H為CF的中點，且，，求線段AB的長；(2)如圖2，若，過點B作于點I，求證：；(3)如圖2，在（1）的條件下，P為線段AD（包含端點A、D）上一動點，連接CP，過點B作于點Q，將沿BC翻折得，N為直線AB上一動點，連接MN，當(dāng)面積最大時，直接寫出的最小值．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點A，B，拋物線恰好經(jīng)過這兩點．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點C的坐標(biāo)是，將繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，點A的對應(yīng)點是點E．①寫出點E的坐標(biāo)，并判斷點E是否在此拋物線上；②若點P是y軸上的任一點，求取最小值時，點P的坐標(biāo)．14．如圖1，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點B，在x軸上有一動點（），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式：(2)設(shè)△PMN的周長為，△AEN的周長為，若求m的值．(3)如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為（），連接、，求的最小值．15．如圖1，已知正方形ABCD，AB＝4，以頂點B為直角頂點的等腰Rt△BEF繞點B旋轉(zhuǎn)，BE＝BF＝，連接AE，CF．(1)求證：△ABE≌△CBF．(2)如圖2，連接DE，當(dāng)DE＝BE時，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面積）(3)如圖3，當(dāng)Rt△BEF旋轉(zhuǎn)到正方形ABCD外部，且線段AE與線段CF存在交點G時，若M是CD的中點，P是線段DG上的一個動點，當(dāng)滿足MP+PG的值最小時，求MP的值．16．如圖，矩形的頂點、分別在、軸的正半軸上，點的坐標(biāo)為，一次函數(shù)的圖象與邊、、軸分別交于點、、，，并且滿足，點是線段上的一個動點．（1）求的值；（2）連接，若的面積與四邊形的面積之比為，求點的坐標(biāo)；（3）求的最小值．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（0，），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點坐標(biāo)；（2）點M為拋物線的對稱軸上的一個動點，若平面內(nèi)存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，求點M的坐標(biāo)；（3）若P為y軸上的一個動點，連接PD，求PB＋PD的最小值．18．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，C為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交x軸于點D，連接BC，且tan∠CBD，如圖所示．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一個動點．①過點P作x軸的平行線交線段BC于點E，過點E作EF⊥PE交拋物線于點F，連接FB、FC，求△BCF的面積的最大值；②連接PB，求PC＋PB的最小值．19．在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點、(點在點的左側(cè))，，經(jīng)過點的一次函數(shù)的圖象與軸正半軸交于點，且與拋物線的另一個交點為，的面積為5．(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；(2)拋物線上的動點在一次函數(shù)的圖象下方，求面積的最大值，并求出此時點E的坐標(biāo)；(3)若點為軸上任意一點，在(2)的結(jié)論下，求的最小值．20．已知拋物線過點，兩點，與y軸交于點C，．(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；(2)過點A作，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；(3)點P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點，當(dāng)面積最大時，求點P的坐標(biāo)；(4)若點Q為線段OC上的一動點，問：是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．21．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．(1)求A、C兩點的坐標(biāo)；(2)連接AC，點P為直線AC上方拋物線上（不與A、C重合）的一動點，過點P作PD⊥AC交AC于點D，PE⊥x軸交AC于點E，求PD+DE的最大值及此時點P的坐標(biāo)；(3)如圖2，將原拋物線沿射線CB方向平移3個單位得到新拋物線y'，點M為新拋物線y'對稱軸上一點，在新拋物線y'上是否存在一點N，使以點C、A、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)，并選擇一個你喜歡的點寫出求解過程；若不存在，請說明理由．22．如圖，已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸從左至右依次交于A，B兩點，與ｙ軸交于點C，經(jīng)過點B的直線與拋物線的另一交點為D．（1）若點D的橫坐標(biāo)為-5，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，求的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止．當(dāng)點F的坐標(biāo)是多少時，點M在整個運動過程中用時最少．專題18最值問題中的胡不歸模型【模型展示】特點從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”）如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。?，記，結(jié)論BC+kAC的最小值【模型證明】解決方案構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．【題型演練】一、單選題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、C兩點，與x軸交于點，若P是x軸上一動點，點D的坐標(biāo)為，連接PD，則的最小值是（

）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H，根據(jù)，求出的最小值即可解決問題．【詳解】解：連接BC，過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．∵二次函數(shù)的圖像與x軸交于點，∴b＝2，∴二次函數(shù)的解析式為，令y＝0，-x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），令x＝0，y=3，∴B（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，-1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，設(shè)，則,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值為，∴的最小值為4．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．【答案】A【分析】過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．根據(jù)，求出的最小值即可解決問題．【詳解】解：過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，設(shè)，則,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值為，∴的最小值為4．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．二、填空題3．如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動點，連接CE，則AE＋CE的最小值為___．【答案】3【詳解】思路引領(lǐng)：在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點E作ET⊥AM于T，過點C作CH⊥AM于H．易證ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解決問題．答案詳解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2，在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點E作ET⊥AM于T，過點C作CH⊥AM于H．∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE，∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC?sin6°＝23，∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值為3，故答案為3．4．如圖，在中，，，半徑為的經(jīng)過點，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設(shè)點是線段上任意一點不含端點，則的最小值為______．【答案】【分析】過點作關(guān)于的平行線，過點作垂直于該平行線于，可將轉(zhuǎn)化為，此時就等于，當(dāng)共線時，即為所要求的最小值．【詳解】解：如圖所示，過點作關(guān)于的平行線，過點作垂直于該平行線于，，，，，，，，，當(dāng)，，三點共線，即在圖中在位置，在位置的時候有最小，當(dāng)，，三點共線時，有最小值，此時，的最小值為，故答案為．【點睛】本題主要考查了最值問題中的胡不歸問題，解題的關(guān)鍵是在于將進(jìn)行轉(zhuǎn)換．5．如圖，△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，AC＝4，則△ABC的面積為_；點D，點E，點F分別為BC，AB，AC上的動點，連接DE，EF，F(xiàn)D，則△DEF的周長最小值為_．【答案】

6+2

【分析】（1）過點A作AH⊥BC于H，根據(jù)∠BAC＝75°，∠C＝60°，即可得到（2）過點B作BJ⊥AC于J，作點F關(guān)于AB的對稱點M，點F關(guān)于BC的對稱點N，連接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此時△FE′D′的周長＝MN的長，然后證明△BMN是等腰直角三角形，BM的值最小時，MN的值最小，再根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)BF與BJ重合時，BM的值最小，由此求解即可.【詳解】解：①如圖，過點A作AH⊥BC于H．∴∠AHB=∠AHC=90°，∵∠BAC＝75°，∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝45°，∠HAC=30°∴BH=AH，∴∴AH＝BH＝2，∴BC＝BH+CH＝2+2，∴S△ABC＝?BC?AH＝?（2+2）＝6+2．②如圖，過點B作BJ⊥AC于J，作點F關(guān)于AB的對稱點M，點F關(guān)于BC的對稱點N，連接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此時△FE′D′的周長＝MN的長．∵BF＝BM＝BM，∠ABM＝∠ABJ，∠CBJ＝∠CBN，∴∠MBN＝2∠ABC＝90°，∴△BMN是等腰直角三角形，∴BM的值最小時，MN的值最小，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)BF與BJ重合時，BM的值最小，∵,∴MN的最小值為BJ＝，∴△DEF的周長的最小值為．故答案為：6+2，．【點睛】本題主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，垂線段最短，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.6．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為_____．【答案】5【分析】因為DG＝EF＝2，所以G在以D為圓心，2為半徑圓上運動，取DI＝1，可證△GDI∽△CDG，從而得出GI＝CG，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出BI是其最小值【詳解】解：如圖，在Rt△DEF中，G是EF的中點，∴DG＝，∴點G在以D為圓心，2為半徑的圓上運動，在CD上截取DI＝1，連接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，∴當(dāng)B、G、I共線時，BG+CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的概念，求得點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．7．如圖，?中，，，為邊上一點，則的最小值為______．【答案】【分析】作PH丄AD交AD的延長線于H，由直角三角形的性質(zhì)可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，當(dāng)H、P、B三點共線時HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．【詳解】如圖，過點作，交的延長線于，

四邊形是平行四邊形，，∴∵PH丄AD∴∴，，∴當(dāng)點，點，點三點共線時，HP+PB有最小值，即有最小值，此時，，，∴，則最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了胡不歸問題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識．構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為__________．【答案】6【分析】先求出點A，點B坐標(biāo)，由勾股定理可求AB的長，作點B關(guān)于OA的對稱點，可證是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得CH＝AC，則，即當(dāng)點，點C，點H三點共線時，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點，∴點A（3，0），點，∴AO＝3，，∴，作點B關(guān)于OA的對稱點，連接，，過點C作CH⊥AB于H，如圖所示：∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∵，∴，∵CH⊥AB，∴，∴，∴當(dāng)點，點C，點H三點共線時，有最小值，即2BC＋AC有最小值，此時，，是等邊三角形，∴，，∴，∴2BC＋AC的最小值為6．故答案為：6．【點睛】本題是胡不歸問題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，確定點C的位置是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為_____．【答案】4【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB＝2＝＝2BF，通過解直角三角形ABF，進(jìn)一步求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線．10．如圖，在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)有一動點P，且BP＝．連接CP，將線段PC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ．連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為___．【答案】5【分析】連接AC、AQ，先證明△BCP∽△ACQ得即AQ＝2，在AD上取AE＝1，證明△QAE∽△DAQ得EQ＝QD，故DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可．【詳解】解：如圖，連接AC、AQ，∵四邊形ABCD是正方形，PC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ，∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝，∴∠ACB=∠PCO，∴△BCP∽△ACQ，∴∵BP＝，∴AQ＝2，∴Q在以A為圓心，AQ為半徑的圓上，在AD上取AE＝1，∵，，∠QAE＝∠DAQ，∴△QAE∽△DAQ，∴即EQ＝QD，∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，連接CE，∴，∴DQ+CQ的最小值為5．故答案為：5．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠連接AC、AQ，證明兩對相似三角形求解.三、解答題11．∠AOB＝30°，OM＝2，D為OB上動點，求MDOD的最小值．【答案】【詳解】思路引領(lǐng)：(胡不歸經(jīng)典)作∠BON＝∠AOB＝30°，過點M作MC⊥ON于點C，交OB于點D′，當(dāng)MC⊥ON時，（此時點D′即為點D）MDOD＝MD+CD的值最小，最小值是CM的長，答案詳解：如圖，作∠BON＝∠AOB＝30°，過點M作MC⊥ON于點C，交OB于點D′，∴CD′OD′所以當(dāng)MC⊥ON時，（此時點D′即為點D）MDOD＝MD+CD的值最小，最小值是CM的長，∴在Rt△OCM中，∠OMC＝30°，OM＝2∴OC＝1，∴CM．答：MDOD的最小值為．12．已知，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為AD上的兩點，連接BE、CF，并延長交于點G，連接DG，H為CF上一點，連接BH、DH，(1)如圖1，若H為CF的中點，且，，求線段AB的長；(2)如圖2，若，過點B作于點I，求證：；(3)如圖2，在（1）的條件下，P為線段AD（包含端點A、D）上一動點，連接CP，過點B作于點Q，將沿BC翻折得，N為直線AB上一動點，連接MN，當(dāng)面積最大時，直接寫出的最小值．【答案】(1)3(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，設(shè)正方形的邊長為，，可得，在中，根據(jù)勾股定理建立方程，即可求解；（2）過點作于點，證明是等腰直角三角形，，進(jìn)而證明是等腰直角三角形，根據(jù)即可得證；（3）取的中點，連接，連接，以為底邊，在的左側(cè)作等腰直角三角形，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中點等于斜邊的一半可得，則當(dāng)時，的面積最大，由，可得當(dāng)三點共線時，取得最小值，證明四邊形是矩形，可得，即的最小值為．（1）解：∵四邊形是正方形，∴，H為CF的中點，，，設(shè)正方形的邊長為，，可得，在中，，即，解得，；（2）如圖，過點作于點，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，即；（3）如圖甲所示，取的中點，連接，連接，以為底邊，在的左側(cè)作等腰直角三角形，，，是直角三角形，將沿BC翻折得，是直角三角形，，當(dāng)時，的面積最大，是的中點，是等腰直角三角形，則也是等腰直角三角形，，此時如圖乙所示，則點與重合，，三點共線時，取得最小值，，，，則四邊形是矩形，，即的最小值為．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，兩點之間線段最短，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點A，B，拋物線恰好經(jīng)過這兩點．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點C的坐標(biāo)是，將繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，點A的對應(yīng)點是點E．①寫出點E的坐標(biāo)，并判斷點E是否在此拋物線上；②若點P是y軸上的任一點，求取最小值時，點P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①點E在拋物線上；②P（0，?）【分析】（1）先求出A、B坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出EF=AO=3，CF=CO=6，從而可求E的坐標(biāo)，然后把E的坐標(biāo)代入（1）的函數(shù)解析式中，從而判斷出點E是否在拋物線上；②過點E作EH⊥AB，交y軸于P，垂足為H，，則，得，可知HP＋PE的最小值為EH的長，從而解決問題．（1）解：當(dāng)x=0時，y=-4，當(dāng)y=0時，，∴x=-3，∴A（-3，0），B（0，-4），把A、B代入拋物線，得，∴，∴拋物線解析式為．（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），∴AO=3，CO=6，由旋轉(zhuǎn)知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°∴E到x軸的距離為6-3=3，∴點E的坐標(biāo)為（6，3），當(dāng)x=3時，，∴點E在拋物線上；②過點E作EH⊥AB，交y軸于P，垂足為H，∵A（?3，0），B（0，?4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∵，∴，∴，∴HP＋PE的最小值為EH的長，作EG⊥y軸于G，∵∠GEP＝∠ABO，∴tan∠GEP＝tan∠ABO，∴，∴，∴，∴OP＝?3＝，∴P（0，?）．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)，兩點之間、線段最短等知識，利用三角函數(shù)將轉(zhuǎn)化為HP的長是解題的關(guān)鍵．14．如圖1，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點B，在x軸上有一動點（），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式：(2)設(shè)△PMN的周長為，△AEN的周長為，若求m的值．(3)如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為（），連接、，求的最小值．【答案】(1)a=-．直線AB解析式為y=-x+3；(2)2(3)【分析】（1）令y=0，求出拋物線與x軸交點，列出方程即可求出a，根據(jù)待定系數(shù)法可以確定直線AB解析式；（2）由△PNM∽△ANE，推出，列出方程即可解決問題；（3）在y軸上取一點M使得OM′=，構(gòu)造相似三角形，可以證明AM′就是E′A+E′B的最小值．（1）令y=0，則ax2+（a+3）x+3=0，∴（x+1）（ax+3）=0，∴x=-1或-，∵拋物線y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），∴-=4，∴a=-．∵A（4，0），B（0，3），設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，則，解得，∴直線AB解析式為y=-x+3；（2）如圖1，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∵∴，∵NE∥OB，∴，∴，∵拋物線解析式為，∴，∴，解得m=2或4，經(jīng)檢驗x=4是分式方程的增根，∴m=2；（3）如圖2，在y軸上取一點M′使得OM′=，連接AM′，在AM′上取一點E′使得OE′=OE．∵OE′=2，OM′?OB=，∴OE′2=OM′?OB，∴，∵∠BOE′=∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴，∴，∴，此時最小（兩點間線段最短，A、M′、E′共線時），最小值．【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、最小值問題等知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，找到線段AM′就是的最小值．15．如圖1，已知正方形ABCD，AB＝4，以頂點B為直角頂點的等腰Rt△BEF繞點B旋轉(zhuǎn)，BE＝BF＝，連接AE，CF．(1)求證：△ABE≌△CBF．(2)如圖2，連接DE，當(dāng)DE＝BE時，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面積）(3)如圖3，當(dāng)Rt△BEF旋轉(zhuǎn)到正方形ABCD外部，且線段AE與線段CF存在交點G時，若M是CD的中點，P是線段DG上的一個動點，當(dāng)滿足MP+PG的值最小時，求MP的值．【答案】(1)見解析(2)2或6(3)【分析】（1）由“SAS”可證△ABE≌△CBF；（2）由“SSS”可證△ADE≌△ABE，可得∠DAE＝∠BAE＝45°，可證AH＝EH，由勾股定理可求BE的長，即可求解；（3）先確定點P的位置，過點B作BQ⊥CF于Q，由勾股定理可求CE的長，由平行線分線段成比例可求解．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵∠EBF＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，又∵BE＝BF，AB＝BC，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；(2)解：如圖2，過點E作EH⊥AB于H，∵△ABE≌△CBF，∴S△ABE＝S△CBF，∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，∴△ADE≌△ABE（SSS），∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∵EH⊥AB，∴∠EAB＝∠AEH＝45°，∴AH＝EH，∵BE2＝BH2+EH2，∴10＝EH2+（4﹣EH）2，∴EH＝1或3，當(dāng)EH＝1時∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×1＝2，當(dāng)EH＝3時∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×3＝6，∴S△BCF的值是2或6；(3)解：如圖3，過點P作PK⊥AE于K，由（1）同理可得△ABE≌△CBF，∴∠EAB＝∠BCF，∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠AGC＝90°，∵∠AGC＝∠ADC＝90°，∴點A，點G，點C，點D四點共圓，∴∠ACD＝∠AGD＝45°，∵PK⊥AG，∴∠PGK＝∠GPK＝45°，∴PK＝GK＝PG，∴MP+PG＝MP+PK，∴當(dāng)點M，點P，點K三點共線時，且點E，點G重合時，MP+PG值最小，即MP+PG最小，如圖4，過點B作BQ⊥CF于Q，∵BE＝BF＝，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，∴EF＝2，BQ＝EQ＝FQ＝，∵CQ＝，∴CE＝CQ﹣EQ＝，∵M(jìn)K⊥AE，CE⊥AE，∴MK∥CE，∴，又∵M(jìn)是CD的中點，∴DC＝2DM，∴MP＝CE＝．【點睛】本題主要考查勾股定理、全等三角形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)，熟練掌握勾股定理、全等三角形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，矩形的頂點、分別在、軸的正半軸上，點的坐標(biāo)為，一次函數(shù)的圖象與邊、、軸分別交于點、、，，并且滿足，點是線段上的一個動點．（1）求的值；（2）連接，若的面積與四邊形的面積之比為，求點的坐標(biāo)；（3）求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)，用表示點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）首先求出四邊形的面積，再根據(jù)條件求出的面積，即可解決問題；（3）過點作軸交于點，則，即可轉(zhuǎn)化為求的最小值，作點關(guān)于一次函數(shù)的對稱點，過點作軸的垂線交軸于點，交一次函數(shù)于點，即的最小值為，算出長度即可．【詳解】（1）在中，令，則，點的坐標(biāo)為，，，，把代入中得：，解得：；（2）由（1）得一次函數(shù)為，，，，，，，的面積與四邊形的面積之比為，的面積與四邊形的面積之比為，，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則，解得：，把代入中得：，；（3）如圖所示，過點作軸交于點，，，，作點關(guān)于一次函數(shù)的對稱點，且OO’與直線DF交于Q點，過點作軸的垂線交軸于點，，，當(dāng)、、在同一直線時最小，即的最小值為，，，，，在中，，，在中．，的最小值為．【點睛】本題考查幾何圖形與函數(shù)的綜合題，包括一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、四邊形的面積，解直角三角形以及胡不歸問題，屬于中考壓軸題．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（0，），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點坐標(biāo)；（2）點M為拋物線的對稱軸上的一個動點，若平面內(nèi)存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，求點M的坐標(biāo)；（3）若P為y軸上的一個動點，連接PD，求PB＋PD的最小值．【答案】（1）y=（x）2，（，）；（2）（，）或（，）或（，）或（，）或（，）；（3）【詳解】思路引領(lǐng)：（1）將A、B、C三點的坐標(biāo)代入y＝ax2+bx+c，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而得到其頂點坐標(biāo)；（2）當(dāng)以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形時，分三種情況：①以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時AM＝AB；②以B為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時BM＝AB；③線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，此時AM＝BM，分別列出方程，求解即可；（3）連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時PB+PD最小．最小值就是線段DH，求出DH即可．答案詳解：（1）由題意，解得，∴拋物線解析式為yx2x，∵yx2x（x）2，∴頂點坐標(biāo)（，）；（2）設(shè)點M的坐標(biāo)為（，y）．∵A（﹣1，0），B（0，），∴AB2＝1+3＝4．①以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時AM＝AB，則（1）2+y2＝4，解得y＝±，即此時點M的坐標(biāo)為（，）或（，）；②以B為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時BM＝AB，則（）2+（y）2＝4，解得y或y，即此時點M的坐標(biāo)為（，）或（，）；③線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，此時AM＝BM，則（1）2+y2＝（）2+（y）2，解得y，即此時點M的坐標(biāo)為（，）．綜上所述，滿足條件的點M的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）或（，）或（，）；（3）如圖，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時PB+PD最?。碛桑骸逴A＝1，OB，∴tan∠ABO，∴∠ABO＝30°，∴PHPB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此時PB+PD最短（垂線段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD，∠HAD＝60°，∴sin60°，∴DH，∴PB+PD的最小值為．18．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，C為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交x軸于點D，連接BC，且tan∠CBD，如圖所示．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一個動點．①過點P作x軸的平行線交線段BC于點E，過點E作EF⊥PE交拋物線于點F，連接FB、FC，求△BCF的面積的最大值；②連接PB，求PC＋PB的最小值．【答案】（1）；（2）①；②【詳解】思路引領(lǐng)：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），可得對稱軸為直線x＝2，由銳角三角函數(shù)可求點C坐標(biāo)，代入解析式可求解析式；（2）①先求出直線BC解析式，設(shè)P（2，t），可得點E（5t，t），點，可求EF的長，由三角形面積公式和二次函數(shù)性質(zhì)可求解；②根據(jù)圖形的對稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，過點P作PG⊥AC于G，可得PGPC，可得，過點B作BH⊥AC于點H，則PG+PB≥BH，即BH是PC+PB的最小值，由三角形面積公式可求解．答案詳解：（1）根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，∴D（2，0），又∵，∴CD＝BD?tan∠CBD＝4，即C（2，4），代入拋物線的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），解得，∴二次函數(shù)的解析式為x2；（2）①設(shè)P（2，t），其中0＜t＜4，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得

即直線BC的解析式為，令y＝t，得：，∴點E（5t，t），把代入，得，即，∴，∴△BCF的面積EF×BD（t），∴當(dāng)t＝2時，△BCF的面積最大，且最大值為；②如圖，據(jù)圖形的對稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，∴，過點P作PG⊥AC于G，則在Rt△PCG中，，∴，過點B作BH⊥AC于點H，則PG+PB≥BH，∴線段BH的長就是的最小值，∵，又∵，∴，即，∴的最小值為．19．在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點、(點在點的左側(cè))，，經(jīng)過點的一次函數(shù)的圖象與軸正半軸交于點，且與拋物線的另一個交點為，的面積為5．(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；(2)拋物線上的動點在一次函數(shù)的圖象下方，求面積的最大值，并求出此時點E的坐標(biāo)；(3)若點為軸上任意一點，在(2)的結(jié)論下，求的最小值．【答案】(1)；；(2)的面積最大值是，此時點坐標(biāo)為；(3)的最小值是3.【分析】(1)先寫出平移后的拋物線解析式，再把點代入可求得的值，由的面積為5可求出點的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求出橫坐標(biāo)，由、的坐標(biāo)可利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；(2)作軸交于，如圖，利用三角形面積公式，由構(gòu)建關(guān)于E點橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；(3)作關(guān)于軸的對稱點，過點作于點，交軸于點，則，利用銳角三角函數(shù)的定義可得出，此時最小，求出最小值即可．【詳解】解：(1)將二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物線解析式為，∵，∴點的坐標(biāo)為，代入拋物線的解析式得，，∴，∴拋物線的解析式為，即．令，解得，，∴，∴，∵的面積為5，∴，∴，代入拋物線解析式得，，解得，，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為．(2)過點作軸交于，如圖，設(shè)，則，∴，∴，，∴當(dāng)時，的面積有最大值，最大值是，此時點坐標(biāo)為．(3)作關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，過點作于點，交軸于點，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵、關(guān)于軸對稱，∴，∴，此時最小，∵，，∴，∴．∴的最小值是3．【點睛】主要考查了二次函數(shù)的平移和待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的有關(guān)計算和利用對稱的性質(zhì)求最值問題．解（1）題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法和相關(guān)點的坐標(biāo)的求解；解（2）題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；解（3）題的關(guān)鍵是作關(guān)于軸的對稱點，靈活應(yīng)用對稱的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的知識，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想把求的最小值轉(zhuǎn)化為求的長度．20．已知拋物線過點，兩點，與y軸交于點C，．(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；(2)過點A作，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；(3)點P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點，當(dāng)面積最大時，求點P的坐標(biāo)；(4)若點Q為線段OC上的一動點，問：是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：，頂點；(2)證明見解析；(3)點；(4)存在，的最小值為．【分析】(1)設(shè)交點式，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；(2)先證明四邊形ADBM為菱形，再根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形即可得證；(3)先求出直線BC的解析式，過點P作y軸的平行線交BC于點N，設(shè)點，則點N，根據(jù)可得關(guān)于x的二次函數(shù)，繼而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；(4)存在，如圖，過點C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點F，過點A作，垂足為H，交y軸于點Q，此時，則最小值，求出直線HC、AH的解析式即可求得H點坐標(biāo)，進(jìn)行求得AH的長即可得答案.【詳解】解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：，即：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：，則頂點；(2)，，∵A(1,0)，B(3,0)，∴OB=3，OA=1，∴AB=2，∴，又∵D(2，-1)，∴AD=BD=，∴AM=MB=AD=BD，∴四邊形ADBM為菱形，又∵，菱形ADBM為正方形；(3)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將點B、C的坐標(biāo)代入得：，解得：，所以直線BC的表達(dá)式為：y=-x+3，過點P作y軸的平行線交BC于點N，設(shè)點，則點N，則，，故有最大值，此時，故點；(4)存在，理由：如圖，過點C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點F，過點A作，垂足為H，交y軸于點Q，此時，則最小值，在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，∴OF=，∴F(-，0)，利用待定系數(shù)法可求得直線HC的表達(dá)式為：…①，∵∠COF=90°，∠FOC=30°，∴∠CFO=90°-30°=60°，∵∠AHF=90°，∴∠FAH=90°-60°=30°，∴OQ=AO?tan∠FAQ=，∴Q(0,)，利用待定系數(shù)法可求得直線AH的表達(dá)式為：…②，聯(lián)立①②并解得：，故點，而點，則，即的最小值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，解直角三角形的應(yīng)用，正方形的判定，最值問題等，綜合性較強，有一定的難度，正確把握相關(guān)知識，會添加常用輔助線是解題的關(guān)鍵.21．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．(1)求A、C兩點的坐標(biāo)；(2)連接AC，點P為直線AC上方拋物線上（不與A、C重合）的一動點，過點P作PD⊥AC交AC于點D，PE⊥x軸交AC于點E，求PD+DE的最大值及此時點P的坐標(biāo)；(3)如圖2，將原拋物線沿射線CB方向平移3個單位得到新拋物線y'，點M為新拋物線y'對稱軸上一點，在新拋物線y'上是否存在一點N，使以點C、A、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)，并選擇一個你喜歡的點寫出求解過程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A（﹣3，0），C(2)最大值，，(3)存在，此時或或，見解析【分析】（1）令x=0，求出y的值，可求出點C的坐標(biāo)；令y=0，可求出x的值，由此可求出點A的坐標(biāo)；（2）利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可表達(dá)PD+DE的值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值；（3）分三種情況：當(dāng)四邊形ACNM是平行四邊形時，當(dāng)ACMN時平行四邊形時，當(dāng)ANCM時平行四邊形時，分別利用點的平移和中點坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可．（1）在中，令x＝0，．∴C），令y＝0，x1＝﹣3，x2＝1，∵xA＜xB，∴A（﹣3，0），B（1，0）．（2）∵PE⊥x軸，y⊥x軸，∴PE∥y軸，∴∠PED＝∠ACO，∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴△PED∽△ACO，∴DE：PD：PE＝OC：OA：AC，在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，∴，∴，∴，，∴，當(dāng)PE最大時，PD+DE最大，設(shè)直線AC的解析式為：y＝kx+b，∵A（﹣3，0），，∴，∴直線．設(shè)，﹣3＜m＜0，∴，∴，∵，﹣3＜m＜0，∴時，，∴，∴．（3）存在，此時或或．在射線CB上取