專題23平行四邊形(原卷版+解析)

專題23平行四邊形【專題目錄】技巧1：判定平行四邊形的五種常用方法技巧2：平行四邊形中的折疊問題【題型】一、平行線的性質(zhì)【題型】二、平行線的性質(zhì)證明【題型】三、平行線性質(zhì)與判定【題型】四、平行線性質(zhì)與判定證明【題型】五、三角形中位線有關(guān)的面積計算【考綱要求】1、掌握平行四邊形的概念及有關(guān)性質(zhì)和判定，并能進(jìn)行計算和證明．2、了解鑲嵌的概念，會判斷幾種正多邊形能否進(jìn)行鑲嵌.【考點總結(jié)】一、平行四邊形平行四邊形平行四邊形的定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形的表示用符號“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形對邊平行且相等；幾何描述：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD,AD=BC;AB∥CD,AD∥BC

2、平行四邊形對角相等、鄰角互補；幾何描述：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠1+∠4=180°…

3、平行四邊形對角線互相平分；幾何描述：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AO=OC=12AC,BO=OD=1平行四邊形的判定定理1、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。2、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。3、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。4、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。平行四邊形的面積公式：面積=底×高【技巧歸納】技巧1：判定平行四邊形的五種常用方法【類型】一、利用兩組對邊分別平行判定平行四邊形1．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是邊BC上一點，且DE＝DC．求證：AD＝BE．【類型】二、利用兩組對邊分別相等判定平行四邊形2．如圖，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等邊三角形．求證：四邊形ADEF是平行四邊形．【類型】三、利用一組對邊平行且相等判定平行四邊形3．如圖，點E，F(xiàn)在□ABCD的邊BC，AD上，BE=13BC，F(xiàn)D=13AD，連接求證：四邊形BEDF是平行四邊形．【類型】四、利用兩組對角分別相等判定平行四邊形4.下面給出了四邊形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度數(shù)之比，其中能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．1：2：2：1B．2：2：1：1C．1：2：1：2D．1：1：2：2【類型】五、利用對角線互相平分平分判定平行四邊形5．如圖，將?ABCD的對角線BD向兩個方向延長，分別至點E和點F，BE＝DF．求證：四邊形AECF是平行四邊形．技巧2：平行四邊形中的折疊問題【類型】一、平行四邊形中的折疊問題1．如圖，E，F(xiàn)分別是￡ABCD的邊AD、BC上的點，EF＝6，∠DEF＝60°，將四邊形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于點G，則△GEF的周長為（）A．9 B．12 C．93 D．18【題型講解】【題型】一、平行線的性質(zhì)例1、如圖，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于點E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．則CE的長是（）A．5 B．6 C．4 D．5【題型】二、平行線的性質(zhì)證明例2、如圖，四邊形是平行四邊形，點E，B，D，F(xiàn)在同一條直線上，請?zhí)砑右粋€條件使得，下列不正確的是（）A． B． C． D．【題型】三、平行線性質(zhì)與判定例3、已知，O為對角線AC的中點，過O的一條直線交AD于點E，交BC于點F．（1）求證：；（2）若，的面積為2，求的面積．【題型】四、平行線性質(zhì)與判定證明例4、已知：如圖，在梯形中，，對角線、相交于點E，過點A作，交對角線于點F．（1）求證：；（2）如果，求證：線段是線段、的比例中項．【題型】五、三角形中位線有關(guān)的面積計算例5、如圖，△ABC中，AD、BE是兩條中線，則S△EDC：S△ABC=（）A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4相似三角形（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．在四邊形中，對角線和交于點，下列條件不能判斷四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，2．如圖，平行四邊形中，，點在上，且，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．如圖，△ABC中，AB＝10，AC＝7，BC＝9，點D、E、F分別是AB、AC、BC的中點，則四邊形DBFE的周長是（

）A．13 B．15 C．17 D．194．在中，對角線，相交于點，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．5．已知：如圖，在中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點．求證：四邊形EBFD是平行四邊形．以下是排亂的證明過程：①；②；③∴四邊形EBFD是平行四邊形；④又；⑤四邊形ABCD是平行四邊形．證明步驟正確的順序是（

）A．④→①→②→③→⑤ B．⑤→③→①→②→④C．⑤→②→④→①→③ D．⑤→②→①→④→③二、填空題6．如圖，在平行四邊形ABCD中，過AC中點O的直線分別交邊BC，AD于點E，F(xiàn)，連接AE，CF．只需添加一個條件即可證明四邊形AECF是菱形，這個條件可以是________（寫出一個即可）．7．如圖，兩把完全一樣的直尺疊放在一起，重合的部分構(gòu)成一個四邊形，這個四邊形是______形；如果直尺的寬度是，兩把直尺所夾的銳角為，那么這個四邊形的周長為______．三、解答題8．在四邊形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的長．相似三角形（提升測評）一、單選題1．如圖，?ABCD中，點E在邊BC上，以AE為折痕，將△ABE向上翻折，點B正好落在CD上的點F處，若△FCE的周長為7，△FDA的周長為21，則FD的長為（）A．5 B．6 C．7 D．82．如圖，在中，點D、E、F分別在邊上，連接，若，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．3．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于O，AC=14，BD=20，AB=11，則△COD的周長是（）A． B． C． D．4．如圖，四邊形中，ABDC，，，點，分別是邊和對角線的中點，且與對角線交于點，則的長為（）A． B． C． D．5．如圖，在中，．作交邊于點E，連接，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題6．已知邊長為4的等邊，D，E，F(xiàn)分別為邊，，的中點，P為線段上一動點，則的最小值為______．7．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B＝45°，AD＝2，E，H分別為邊AB，CD上一點．將平行四邊形ABCD沿EH翻折，使得AD的對應(yīng)線段FG經(jīng)過點C，若FG⊥CD，C為FG的中點，則EF的長度為_____．三、解答題8．如圖，已知矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點A作AEBD，交CB的延長線于點E．(1)求證：AE=AC；(2)若cos∠E=，CE=12，求矩形ABCD的面積．9．如圖，在四邊形中，，，點在延長線上，與交于點．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若平分，，，求和的長．專題23平行四邊形【專題目錄】技巧1：判定平行四邊形的五種常用方法技巧2：平行四邊形中的折疊問題【題型】一、平行線的性質(zhì)【題型】二、平行線的性質(zhì)證明【題型】三、平行線性質(zhì)與判定【題型】四、平行線性質(zhì)與判定證明【題型】五、三角形中位線有關(guān)的面積計算【考綱要求】1、掌握平行四邊形的概念及有關(guān)性質(zhì)和判定，并能進(jìn)行計算和證明．2、了解鑲嵌的概念，會判斷幾種正多邊形能否進(jìn)行鑲嵌.【考點總結(jié)】一、平行四邊形平行四邊形平行四邊形的定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形的表示用符號“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形對邊平行且相等；幾何描述：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD,AD=BC;AB∥CD,AD∥BC

2、平行四邊形對角相等、鄰角互補；幾何描述：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠1+∠4=180°…

3、平行四邊形對角線互相平分；幾何描述：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AO=OC=12AC,BO=OD=1平行四邊形的判定定理1、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。2、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。3、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。4、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。平行四邊形的面積公式：面積=底×高【技巧歸納】技巧1：判定平行四邊形的五種常用方法【類型】一、利用兩組對邊分別平行判定平行四邊形1．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是邊BC上一點，且DE＝DC．求證：AD＝BE．【分析】根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求出∠DEC＝∠C，再由∠B＝∠C得∠DEC＝∠B，所以AB∥DE，得出四邊形ABED是平行四邊形，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】證明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴四邊形ABED是平行四邊形．∴AD＝BE．【類型】二、利用兩組對邊分別相等判定平行四邊形2．如圖，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等邊三角形．求證：四邊形ADEF是平行四邊形．【分析】根據(jù)△ABD與△BCE是等邊三角形，利用邊角邊定理容易得到全等條件證明△ABC≌△DBE，然后利用全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)得到DE＝AC，又因為△ACF也是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等的性質(zhì)，AC＝AF，所以DE＝AF，同理可證AD＝EF，然后根據(jù)兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形即可證明；【解答】證明：∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，∴∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA＝60°，∴∠DBE＝∠ABC，在△ABC與△DBE中，BD=BA∠DBE=∠ABC∴△ABC≌△DBE（SAS）∴AC＝DE，又∵△ACF是等邊三角形，∴AF＝AC，∴DE＝AF，同理可得：EF＝AD，∴四邊形ADEF平行四邊形；【類型】三、利用一組對邊平行且相等判定平行四邊形3．如圖，點E，F(xiàn)在□ABCD的邊BC，AD上，BE=13BC，F(xiàn)D=13AD，連接求證：四邊形BEDF是平行四邊形．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC，AD∥BC，進(jìn)而得出DF＝BE，利用平行四邊形的判定解答即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE=13BC，F(xiàn)D=∴BE＝DF，∵DF∥BE，∴四邊形BEDF是平行四邊形．【類型】四、利用兩組對角分別相等判定平行四邊形4.下面給出了四邊形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度數(shù)之比，其中能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．1：2：2：1B．2：2：1：1C．1：2：1：2D．1：1：2：2【考點】平行四邊形的判定．【分析】根據(jù)題意可得出∠A與∠C是對角，∠B與∠D是對角，再由∠A=∠C，∠B=∠D，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意得：∠A與∠C是對角，∠B與∠D是對角，當(dāng)∠A=∠C，∠B=∠D時，四邊形ABCD是平行四邊形，故選項A、B、D不符合題意，選項C符合題意，故選：C．【類型】五、利用對角線互相平分平分判定平行四邊形5．如圖，將?ABCD的對角線BD向兩個方向延長，分別至點E和點F，BE＝DF．求證：四邊形AECF是平行四邊形．【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形易知OA＝OC，OC＝OD，再證得OE＝OF，即可得出結(jié)論．【解答】證明：連接AC，設(shè)AC與BD交于點O．如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵BE＝DF，∴OE＝OF．∴四邊形AECF是平行四邊形．技巧2：平行四邊形中的折疊問題【類型】一、平行四邊形中的折疊問題1．如圖，E，F(xiàn)分別是￡ABCD的邊AD、BC上的點，EF＝6，∠DEF＝60°，將四邊形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于點G，則△GEF的周長為（）A．9 B．12 C．93 D．18【分析】由折疊得：∠DEF＝∠D′EF＝60°，在由平行四邊形的對邊平行，得出內(nèi)錯角相等，得出△GEF是等邊三角形，已知邊長求出周長即可．【解答】解：由折疊得：∠DEF＝∠D′EF＝60°，∵四邊形ABCD是￡ABCD，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝60°，∴△GEF是等邊三角形，∴EF＝FG＝GE＝6，∴△GEF的周長為6×3＝18，故選：D．【題型講解】【題型】一、平行線的性質(zhì)例1、如圖，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于點E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．則CE的長是（）A．5 B．6 C．4 D．5【答案】C【提示】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義可得AD＝BC＝EB＝5，根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得CD＝AB＝8，∠EDC＝90°，根據(jù)勾股定理可求CE的長．【詳解】解：∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝5，∴AD＝5，∵EA＝3，ED＝4，在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，∴∠AED＝90°，∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．故選：C．【題型】二、平行線的性質(zhì)證明例2、如圖，四邊形是平行四邊形，點E，B，D，F(xiàn)在同一條直線上，請?zhí)砑右粋€條件使得，下列不正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【提示】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定，逐項進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF，∴∠ABE=∠CDF，A.若添加，則無法證明，故A錯誤；B.若添加，運用AAS可以證明，故選項B正確；C.若添加，運用ASA可以證明，故選項C正確；D.若添加，運用SAS可以證明，故選項D正確．故選：A．【題型】三、平行線性質(zhì)與判定例3、已知，O為對角線AC的中點，過O的一條直線交AD于點E，交BC于點F．（1）求證：；（2）若，的面積為2，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）16.【提示】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由ASA即可得出結(jié)論；（2）由于，O為對角線AC的中點，得出△AEO∽△ADC，根據(jù)的面積為2，可得△ADC的面積，進(jìn)而得到的面積．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵O是AC的中點，∴OA＝OC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）∵=1：2，O為對角線AC的中點，∴AO:AC=1:2，∵∠EAO＝∠DAC，∴△AEO∽△ADC，∵的面積為2，∴△ADC的面積為8，∴?ABCD的面積為【題型】四、平行線性質(zhì)與判定證明例4、已知：如圖，在梯形中，，對角線、相交于點E，過點A作，交對角線于點F．（1）求證：；（2）如果，求證：線段是線段、的比例中項．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）延長AF交BC于點G，可證AD=GC，由，可證，由，可證，進(jìn)而可證結(jié)論成立；（2）證明，可證，由（1）得，即，進(jìn)而可證線段是線段、的比例中項．【詳解】證明：（1）如圖，延長AF交BC于點G，∵，，∴四邊形AGCD是平行四邊形，∴AD=GC．∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線分線段成比例定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．【題型】五、三角形中位線有關(guān)的面積計算例5、如圖，△ABC中，AD、BE是兩條中線，則S△EDC：S△ABC=（）A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4【答案】D【解析】試題提示：∵△ABC中，AD、BE是兩條中線，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB，DE=AB，∴△EDC∽△ABC，∴S△EDC：S△ABC=（）2=．故選D．相似三角形（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．在四邊形中，對角線和交于點，下列條件不能判斷四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】利用平行四邊形的判定定理分別進(jìn)行分析即可．【詳解】A、根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不合題意；B、根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不合題意；C、根據(jù)一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不符合題意；D、根據(jù)一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．2．如圖，平行四邊形中，，點在上，且，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AD//CB，∠ADC+∠C=180°，得出∠D，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠DAE的度數(shù)．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CB，∴∠ADC+∠C=180°，∴∠D=180°-∠C=80°∴∠D=180°-100°=80°∵AE=AD，∴∠D=∠AED=80°∴∠DAE=180°-80°×2=20°故答案為：A．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形和內(nèi)角和定理等知識；關(guān)鍵是掌握平行四邊形對邊平行，對角相等．3．如圖，△ABC中，AB＝10，AC＝7，BC＝9，點D、E、F分別是AB、AC、BC的中點，則四邊形DBFE的周長是（

）A．13 B．15 C．17 D．19【答案】D【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)求出DE、EF的長即可求得四邊形DBFE的周長．【詳解】解：點D、E、F分別是AB、AC、BC的中點，DE、EF均為的中位線，，，AB＝10，BC＝9，，，四邊形DBFE的周長．故選：D．【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，判斷出DE、EF是三角形中位線，牢記中位線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．在中，對角線，相交于點，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出相應(yīng)結(jié)論，再逐項判斷即可．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=DO，AO=CO，AB=CD，∠ABC=∠ADC，∴A正確，B，C，D不一定成立.故選：A．【點睛】本題主要考查了根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解決問題，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.即平行四邊形的平行且對邊相等，對角線互相平分，對角相等，鄰角互補．5．已知：如圖，在中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點．求證：四邊形EBFD是平行四邊形．以下是排亂的證明過程：①；②；③∴四邊形EBFD是平行四邊形；④又；⑤四邊形ABCD是平行四邊形．證明步驟正確的順序是（

）A．④→①→②→③→⑤ B．⑤→③→①→②→④C．⑤→②→④→①→③ D．⑤→②→①→④→③【答案】C【分析】根據(jù)平行形四邊形的判定及性質(zhì)即可求得．【詳解】解：⑤四邊形ABCD是平行四邊形，②，④又，①，③∴四邊形EBFD是平行四邊形，故選C．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，正確書寫證明過程是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．如圖，在平行四邊形ABCD中，過AC中點O的直線分別交邊BC，AD于點E，F(xiàn)，連接AE，CF．只需添加一個條件即可證明四邊形AECF是菱形，這個條件可以是________（寫出一個即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)菱形的判定即可解．【詳解】是平行四邊形∴AD∥BC∴∠FAC=∠ECA，∠AFE=∠FEC，∵AO=CO∴△AOF≌△COE(AAS)∴AF=CE又∵AF=CE四邊形AECF是平行四邊形，又∵∴四邊形AECF是菱形．故答案為：（答案不唯一）【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定等，熟練掌握菱形判定是解決問題的關(guān)鍵．7．如圖，兩把完全一樣的直尺疊放在一起，重合的部分構(gòu)成一個四邊形，這個四邊形是______形；如果直尺的寬度是，兩把直尺所夾的銳角為，那么這個四邊形的周長為______．【答案】

菱

12【分析】先證四邊形是平行四邊形，再證，則平行四邊形是菱形，得，然后由等腰直角三角形的性質(zhì)求出的長，即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點作于，于．兩直尺的寬度相等為，．，，四邊形是平行四邊形，又平行四邊形的面積，，平行四邊形為菱形，，，是等腰直角三角形，，菱形的周長，故答案為：菱，．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題8．在四邊形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）3【分析】（1）根據(jù)兩組對邊分別平行證明該四邊形為平行四邊形．（2）利用等面積法求出CD長．【詳解】（1）證明：∵AD//BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠BAD+∠D＝180°，∴AB//CD，又∵AD//BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：∵AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，∴平行四邊形的面積＝BC×AE＝CD×AF，∵AF＝2AE，∴BC＝2CD＝6，∴CD＝3．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和等面積法的使用，掌握這兩點是解題關(guān)鍵．相似三角形（提升測評）一、單選題1．如圖，?ABCD中，點E在邊BC上，以AE為折痕，將△ABE向上翻折，點B正好落在CD上的點F處，若△FCE的周長為7，△FDA的周長為21，則FD的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)證明AD+DC＝14，此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；再運用△FDA的周長為21，求出FD的長，即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD＝BC，AB＝DC．由題意得，BE＝FE，AB＝AF．∵△FCE的周長為7，△FDA的周長為21，∴CE+CF+EF＝7，DF+AD+AF＝21，∴（CE+EF）+（DF+CF）+AD+AF＝28，即2（AD+DC）＝28，∴AD+DC＝14，即AD+AF＝14，∴FD＝21-14＝7．故選：C．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)以上性質(zhì)找到等量關(guān)系A(chǔ)D+DC＝14是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，點D、E、F分別在邊上，連接，若，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線分線段成比例定理，平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對每個選項進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：、，∴，故選項A正確；、∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，故選項B正確；、∵，∴，∵與的大小關(guān)系不能確定，∴，故選項C錯誤；、∵，∴，∴，故選項D正確，故選：C【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，正確應(yīng)用平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于O，AC=14，BD=20，AB=11，則△COD的周長是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB=CD=11，AO=CO=7，BO=DO=10，即可求△COD的周長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=11，AO=CO=AC=7，BO=DO=BD=10，∴△COD的周長=OC+OD+CD=28．故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練運用平行四邊形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．4．如圖，四邊形中，ABDC，，，點，分別是邊和對角線的中點，且與對角線交于點，則的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先證是的中位線，利用中位線的性質(zhì)得出，，再證為的中位線，進(jìn)而得出，即可求出的長．【詳解】點，分別是邊和對角線的中點，是的中位線，，，，，，，，點為的中點，為的中位線，，，故選B．【點睛】本題考查三角形中位線的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是掌握“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一”．5．如圖，在中，．作交邊于點E，連接，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點作于點，過點作于點，根據(jù)三角函數(shù)以及勾股定理求出的長度，然后根據(jù)三角形面積公式得出的長度，結(jié)果可得．【詳解】解：過點作于點，過點作于點，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，即，，，故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，含的直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握解直角三角形以及勾股定理是解本題的關(guān)鍵．二、填空題6．已知邊長為4的等邊，D，E，F(xiàn)分別為邊，，的中點，P為線段上一動點，則的最小值為______．【答案】4【分析】連接，，設(shè)交于點J，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)得出，，由三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接，，設(shè)交于點J，∵是等邊三角形，D、E、F分別為邊、、的中點，∴，，，∴，，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，