【北京卷中考數(shù)學壓軸題模擬預測】專題3函數(shù)綜合壓軸大題模擬預測題強化訓練(尖子生難題突破)原卷版+解析

【北京卷中考數(shù)學壓軸題模擬預測】專題3函數(shù)綜合壓軸大題模擬預測題強化訓練（尖子生難題突破）一、解答題1．（2022·北京朝陽·二模）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線．(1)求拋物線的對稱軸（用含a的式子表示）；(2)若點（－1，），（a，），（1，）在拋物線上，且，求a的取值范圍．2．（2022·北京朝陽·二模）某公園在垂直于湖面的立柱上安裝了一個多孔噴頭，從噴頭每個孔噴出的水柱形狀都相同，可以看作是拋物線的一部分，當噴頭向四周同時噴水時，形成一個環(huán)狀噴泉，安裝后，通過測量其中一條水柱，獲得如下數(shù)據(jù)，在距立柱水平距離為d米的地點，水柱距離湖面的高度為h米，請解決以下問題：d（米）01.03.05.07.0h（米）3.24.25.04.21.8(1)在網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担鶕?jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑的曲線連接；(2)結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，直接寫出這條水柱最高點距離湖面的高度；(3)求所畫圖象對應的函數(shù)表達式；(4)從安全的角度考慮，需要在這個噴泉外圍設(shè)立一圈正方形護欄，這個噴泉的任何一條水柱在湖面上的落點到護欄的距離不能小于1米，請通過計算說明公園至少需要準備多少米的護欄（不考慮接頭等其他因素）．3．（2022·北京東城·二模）如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線經(jīng)過點，直線：經(jīng)過點．(1)求的值；(2)過點作垂直于軸的直線，與雙曲線交于點，與直線交于點．①當時，判斷與的數(shù)量關(guān)系；②當時，結(jié)合圖象，直接寫出的取值范圍．4．（2022·北京東城·二模）小強用竹籬笆圍一個面積為平方米的矩形小花園，他考慮至少需要幾米長的竹籬笆（不考慮接縫），根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，他做了如下的探究，請你完善他的思考過程．(1)建立函數(shù)模型：設(shè)矩形小花園的一邊長為米，則矩形小花園的另一邊長為__________米（用含的代數(shù)式表示）；若總籬笆長為米，請寫出總籬笆長（米）關(guān)于邊長（米）的函數(shù)關(guān)系式__________；(2)列表：根據(jù)函數(shù)的表達式，得到了與的幾組對應值，如下表：12345106表中________，________；(3)描點、畫出函數(shù)圖象：如圖，在平面直角坐標系中，將表中未描出的點，補充完整，并根據(jù)描出的點畫出該函數(shù)的圖象；(4)解決問題：根據(jù)以上信息可得，當__________時，有最小值．由此，小強確定籬笆長至少為_________米．5．（2022·北京東城·二模）在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸是直線．(1)直接寫出拋物線與軸的交點坐標；(2)求拋物線的頂點坐標（用含的式子表示）；(3)若拋物線與軸相交于兩點，且，求的取值范圍．6．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐標系xOy中，點、、是拋物線上三個點．(1)直接寫出拋物線與y軸的交點坐標；(2)當時，求b的值；(3)當時，求b的取值范圍．7．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)的圖象由函數(shù)平移得到，且過點．(1)求這個一次函數(shù)的表達式；(2)當時，對于x的每一個值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，求m的取值范圍．8．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸的交點為點和點B．(1)用含a的式子表示b；(2)求拋物線的對稱軸和點B的坐標；(3)分別過點和點作x軸的垂線，交拋物線于點M和點N，記拋物線在M，N之間的部分為圖象G（包括M，N兩點）．記圖形G上任意一點的縱坐標的最大值是m，最小值為n．①當時，求的最小值；②若存在實數(shù)t，使得，直接寫出a的取值范圍．9．（2022·北京市十一學校二模）在平面直角坐標系xOy中，已知點，，函數(shù)．(1)當函數(shù)的圖象經(jīng)過點Q時，求m的值并畫出直線y=－x－m．(2)若P，Q兩點中恰有一個點的坐標（x，y）滿足不等式組（m<0），求m的取值范圍．10．（2022·北京市十一學校二模）在平面直角坐標系xOy中，點A（t，2）（t≠0）在二次函數(shù)的圖象上．(1)當時，求拋物線對稱軸的表達式；(2)若點也在這個二次函數(shù)的圖象上．①當這個函數(shù)的最小值為0時，求t的值；②若在時，y隨x的增大而增大，求t的取值范圍．11．（2022·北京東城·一模）在平面直角坐標系中，拋物線與y軸交于點A．點是拋物線上的任意一點，且不與點A重合，直線經(jīng)過A，B兩點．(1)求拋物線的頂點坐標（用含m的式子表示）；(2)若點，在拋物線上，則a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；(3)若對于時，總有，求m的取值范圍．12．（2022·北京海淀·二模）由于慣性的作用，行駛中的汽車在剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，這段距離稱為“剎車距離”．某公司設(shè)計了一款新型汽車，現(xiàn)在對它的剎車性能（車速不超過150km/h）進行測試，測得數(shù)據(jù)如下表：車速v（km/h）0306090120150剎車距離s（m）07.819.234.252.875(1)以車速v為橫坐標，剎車距離s為縱坐標，在坐標系中描出表中各組數(shù)值所對應的點，并用平滑曲線連接這些點；(2)由圖表中的信息可知：①該型汽車車速越大，剎車距離越（填“大”或“小”）；②若該型汽車某次測試的剎車距離為40m，估計該車的速度約為km/h；(3)若該路段實際行車的最高限速為120km/h，要求該型汽車的安全車距要大于最高限速時剎車距離的3倍，則安全車距應超過m．13．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐標系xOy中，點（m–2,y1），（m,y2），（2-m,y3）在拋物線y=x2－2ax+1上，其中m≠1且m≠2．(1)直接寫出該拋物線的對稱軸的表達式（用含a的式子表示）；(2)當m=0時，若y1=y3，比較y1與y2的大小關(guān)系，并說明理由；(3)若存在大于1的實數(shù)m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范圍．14．（2022·北京市十一學校模擬預測）已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），頂點為D．(1)直接寫出函數(shù)圖象的對稱軸：_____；(2)若是等腰直角三角形，求的值；(3)當時，y的最大值m減去y的最小值n的結(jié)果不大于3，求a的取值范圍．15．（2022·北京房山·二模）已知二次函數(shù)．(1)二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線__________；(2)當時，y的最大值與最小值的差為9，求該二次函數(shù)的表達式；(3)若，對于二次函數(shù)圖象上的兩點，當時，均滿足，請結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出t的取值范圍．16．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點（﹣1，0），（0，2）．(1)求這個一次函數(shù)的表達式；(2)當x＞﹣2時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值小于一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的值，直接寫出m的取值范圍．17．（2022·北京門頭溝·一模）某景觀公園內(nèi)人工湖里有一組噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是一條拋物線．現(xiàn)測量出如下數(shù)據(jù)，在距水槍水平距離為米的地點，水柱距離湖面高度為米．（米）012.03…（米）1.62.12.52.10…(1)在下邊網(wǎng)格中建立適當平面直角坐標系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑曲線連接．(2)結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫的圖象，直接寫出水柱最高點距離湖面的高度；(3)求水柱在湖面上的落點距水槍的水平距離是多少？(4)現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立一個新的游玩項目．準備通過調(diào)節(jié)水槍高度使得公園的平頂游船能從噴泉最高點的正下方通過（兩次水柱噴出水嘴的初速度相同），如果游船寬度為3米，頂棚到水面的高度為2米，為了避免游船被淋到，頂棚到水柱的垂直距離不小于0.8米．問應如何調(diào)節(jié)水槍的高度才能符合要求？請通過計算說明理由．18．（2022·北京十一學校一分校一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線M：和直線l：．(1)拋物線M的對稱軸是直線．(2)若直線與拋物線M有兩個公共點，它們的橫坐標記為x1，x2，直線與直線l的交點橫坐標記為x3．若當時，總有，請結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．19．（2022·北京朝陽·一模）在平面直角坐標系中，點在拋物線上．(1)若，求的值；(2)若，求值的取值范圍．20．（2022·北京西城·一模）在平面直角坐標系xOy中，直線與坐標軸分別交于，兩點．將直線在x軸上方的部分沿x軸翻折，其余的部分保持不變，得到一個新的圖形，這個圖形與直線分別交于點C，D．(1)求k，b的值；(2)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點．記線段AC，CD，DA圍成的區(qū)域（不含邊界）為W．①當m=1時，區(qū)域W內(nèi)有______個整點；②若區(qū)域W內(nèi)恰有3個整點，直接寫出m的取值范圍．21．（2022·北京·東直門中學模擬預測）在平面直角坐標系中，對于點，給出如下定義：當點滿足時，稱點Q是點P的等和點．已知點．(1)在，，中，點P的等和點有______；(2)點A在直線上，若點P的等和點也是點A的等和點，求點A的坐標；(3)已知點和線段MN，對于所有滿足的點C，線段MN上總存在線段PC上每個點的等和點．若MN的最小值為5，直接寫出b的取值范圍．22．（2022·北京市第五中學分校模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）經(jīng)過點A（1，﹣1），與y軸交于點B．(1)直接寫出點B的坐標；(2)點P（m，n）是拋物線上一點，當點P在拋物線上運動時，n存在最大值N．①若N＝2，求拋物線的表達式；②若﹣9＜a＜﹣2，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出N的取值范圍．23．（2022·北京市第五中學分校模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，直線l1：y＝ax（a≠0）過點A（﹣2，1），直線l2：y＝mx+n過點B（﹣1，3）．(1)求直線l的解析式；(2)用含m的代數(shù)式表示n；(3)當x＜2時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝ax的值小于函數(shù)y＝mx+n的值，求m的取值范圍．24．（2022·北京市三帆中學模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，點，，在拋物線上．(1)若，，，求該拋物線的對稱軸并比較，，的大小；(2)已知拋物線的對稱軸為，若，求t的取值范圍．25．（2022·北京·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝x﹣1的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A（3，m）．(1)求m、k的值；(2)點P（xp，0）是x軸上的一點，過點P作x軸的垂線，交直線l于點M，交反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點N．橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點．記y＝（x＞0）的圖象在點A，N之間的部分與線段AM，MN圍成的區(qū)域（不含邊界）為W．①當xp＝5時，直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點的坐標為_____；②若區(qū)域W內(nèi)恰有6個整點，結(jié)合函數(shù)圖象，求出xp的取值范圍．26．（2022·北京十一學校一分校模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．(1)求拋物線的對稱軸（用含a的式子表示）；(2)①當x＝a時，求y的值；②若y1＝y(tǒng)2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．(3)若對于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范圍．27．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐標xOy中，點在拋物線上．(1)求拋物線的對稱軸；(2)拋物線上兩點，，且，．①當時，比較，的大小關(guān)系，并說明理由；②若對于，，都有，直接寫出t的取值范圍．28．（2022·北京·中國人民大學附屬中學分校一模）有這樣一個問題：探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．小亮根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探究．下面是小亮的探究過程，請補充完整：(1)函數(shù)中自變量x的取值范圍是；(2)表格是y與x的幾組對應值．x…02345…y…m…直接寫出m的值；(3)在平面直角坐標系中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點，根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象；(4)根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)下列特征：①該函數(shù)的圖象與直線越來越靠近而永不相交，該函數(shù)的圖象還與直線越來越靠近而永不相交．②請再寫出此函數(shù)的一條性質(zhì)：．(5)已知不等式的解集為或，則的值為．29．（2022·北京·中國人民大學附屬中學分校一模）在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點與的“非常距離”，給出如下定義：若，則點P1與點P2的“非常距離”為；若，則點P1與點P2的“非常距離”為．(1)已知點，B為y軸上的一個動點，①若點A與點B的“非常距離”為4，直接寫出點B的坐標：；②求點A與點B的“非常距離”的最小值；(2)已知C是直線上的一個動點，①若點D的坐標是(0，1)，求點C與點D的“非常距離”的最小值及相應的點C的坐標；②若點E是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點C與點E的“非常距離”的最小值及相應的點E和點C的坐標．30．（2022·北京·中國人民大學附屬中學朝陽學校一模）在平面直角坐標系xOy中，，為拋物線上兩點，其中．(1)求拋物線與x軸的交點坐標；(2)若，點M，N在拋物線上運動，當時，求a的值；(3)記拋物線在M，N兩點之間的部分為圖象G（包含M，N兩點），若圖象G上最高點與最低點的縱坐標之差為1，直接寫出t的取值范圍．【北京卷中考數(shù)學壓軸題模擬預測】專題3函數(shù)綜合壓軸大題模擬預測題強化訓練（尖子生難題突破）一、解答題1．（2022·北京朝陽·二模）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線．(1)求拋物線的對稱軸（用含a的式子表示）；(2)若點（－1，），（a，），（1，）在拋物線上，且，求a的取值范圍．【答案】(1)直線(2)或【解析】【分析】（1）直接根據(jù)函數(shù)表達式代入對稱軸求解即可；（2）分三種情況進行討論分析：①當時，②當時，③當時，根據(jù)二次函數(shù)的基本性質(zhì)及圖象求解即可得出結(jié)果．(1)解：∵拋物線表達式為，∴對稱軸為直線；(2)解：由題意可知拋物線開口向上．①當時，由，得．解得．由，得．解得．∴．②當時，由，得．解得．由，得．解得．∴．③當時，由，得．解得．由，得．解得．無解．綜上，或．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，理解題意，對a的值進行分類討論是解題關(guān)鍵．2．（2022·北京朝陽·二模）某公園在垂直于湖面的立柱上安裝了一個多孔噴頭，從噴頭每個孔噴出的水柱形狀都相同，可以看作是拋物線的一部分，當噴頭向四周同時噴水時，形成一個環(huán)狀噴泉，安裝后，通過測量其中一條水柱，獲得如下數(shù)據(jù)，在距立柱水平距離為d米的地點，水柱距離湖面的高度為h米，請解決以下問題：d（米）01.03.05.07.0h（米）3.24.25.04.21.8(1)在網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，根?jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑的曲線連接；(2)結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，直接寫出這條水柱最高點距離湖面的高度；(3)求所畫圖象對應的函數(shù)表達式；(4)從安全的角度考慮，需要在這個噴泉外圍設(shè)立一圈正方形護欄，這個噴泉的任何一條水柱在湖面上的落點到護欄的距離不能小于1米，請通過計算說明公園至少需要準備多少米的護欄（不考慮接頭等其他因素）．【答案】(1)見解析(2)5(3)(4)72米【解析】【分析】（1）在表格中建立坐標系，然后描點、連線即可；（2）觀察圖象即可；（3）由表中點（1.0，4.2），（5.0，4.2），可確定拋物線的對稱軸及頂點坐標，則設(shè)拋物線解析式為頂點式即可，再找點（1.0，4.2）代入即可求得解析式；（4）在求得的解析式中令h=0，則可求得d的值，即可確定所需護欄的長度．(1)坐標系及圖象如圖所示．(2)由圖象知，水柱最高點距離湖面的高度為5米．(3)∵拋物線經(jīng)過點（1.0，4.2），（5.0，4.2），∴拋物線的對稱軸為．∴拋物線的頂點坐標為（3.0，5.0）．設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為．把（1.0，4.2）代入，解得．∴所畫圖象對應的函數(shù)表達式為．(4)令，解得（舍），．∴每條水柱在湖面上的落點到立柱的水平距離為8米．∵這個噴泉的任何一條水柱在湖面上的落點到護欄的距離不能小于1米，∴正方形護欄的邊長至少為18米．則公園至少需要準備18×4=72（米）的護欄．【點睛】本題是二次函數(shù)的實際問題，考查了畫二次函數(shù)圖象，求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識，二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．3．（2022·北京東城·二模）如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線經(jīng)過點，直線：經(jīng)過點．(1)求的值；(2)過點作垂直于軸的直線，與雙曲線交于點，與直線交于點．①當時，判斷與的數(shù)量關(guān)系；②當時，結(jié)合圖象，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)k=-2，b=2；(2)①CD=CP；②【解析】【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法即可確定這兩個值；（2）①過點P(n,0)(n>0)作垂直于x軸的直線，與雙曲線交于點C，與直線l交于點D，由（1）得，雙曲線的解析式為，直線的解析式為：y=-2x+2，得出C(n，)，D（n，-2n+2），得出DC=，CP=，當n=2時，代入求解即可；②考慮當CD=CP時，解方程確定n的值，然后作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象求解即可．(1)解：∵雙曲線經(jīng)過點A(2,-1)，∴k=2×(-1)=-2，∵直線l經(jīng)過點B（2，-2），∴-2=-2×2+b，解得b=2，即k、b的值分別為：-2；2；(2)①過點P(n,0)(n>0)作垂直于x軸的直線，與雙曲線交于點C，與直線l交于點D，由（1）得，雙曲線的解析式為，直線的解析式為：y=-2x+2，∴C(n，)，D（n，-2n+2）∴DC=，CP=，當n=2時，P(2,0)、C(2,-1)、D(2,-2)，此時點C與點A重合，點D與點B重合，∴CD=-1-（-2）=1，CP=0-(-1)=1，∴CD=CP；②設(shè)直線l：y=-2x+2與x軸交于K，如圖：在y=-2x+2中，令y=0得x=1，∴K（1，0），由圖可知，當P位于K及右側(cè)，（2，0）及左側(cè)時，CD≤CP，∴1≤n≤2．【點睛】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，坐標系中兩點間的距離及數(shù)形結(jié)合思想等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．4．（2022·北京東城·二模）小強用竹籬笆圍一個面積為平方米的矩形小花園，他考慮至少需要幾米長的竹籬笆（不考慮接縫），根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，他做了如下的探究，請你完善他的思考過程．(1)建立函數(shù)模型：設(shè)矩形小花園的一邊長為米，則矩形小花園的另一邊長為__________米（用含的代數(shù)式表示）；若總籬笆長為米，請寫出總籬笆長（米）關(guān)于邊長（米）的函數(shù)關(guān)系式__________；(2)列表：根據(jù)函數(shù)的表達式，得到了與的幾組對應值，如下表：12345106表中________，________；(3)描點、畫出函數(shù)圖象：如圖，在平面直角坐標系中，將表中未描出的點，補充完整，并根據(jù)描出的點畫出該函數(shù)的圖象；(4)解決問題：根據(jù)以上信息可得，當__________時，有最小值．由此，小強確定籬笆長至少為_________米．【答案】(1)，(2)6.25，10(3)見解析(4)1.5，6【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的面積公式，求得另一邊的長，根據(jù)矩形的周長列出函數(shù)關(guān)系式；（2）將與代入（1）中函數(shù)關(guān)系式即可求解；（3）表中未描出的點，補充完整，并根據(jù)描出的點畫出該函數(shù)的圖象；（4）結(jié)合函數(shù)圖像即可求解．(1)解：∵面積為平方米的矩形小花園，設(shè)矩形小花園的一邊長為米，則矩形小花園的另一邊長為若總籬笆長為米，則故答案為：，(2)當時，，當時，故答案為：6.25，10(3)在坐標系描出點，，并用平滑的曲線連接點，如圖，(4)根據(jù)以上信息可得，當1.5時，有最小值為6．由此，小強確定籬笆長至少為6米．故答案為：1.5，6【點睛】本題考查了描點法畫函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，求函數(shù)值，理解題意，掌握描點法畫函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．5．（2022·北京東城·二模）在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸是直線．(1)直接寫出拋物線與軸的交點坐標；(2)求拋物線的頂點坐標（用含的式子表示）；(3)若拋物線與軸相交于兩點，且，求的取值范圍．【答案】(1)（0，1）；(2)（3，﹣9a+1）；(3)a【解析】【分析】（1）根據(jù)y軸上點的坐標特征，即可求出答案；（2）根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x＝3，求出b＝﹣6a，進而得出拋物線解析式，最后將代入拋物線解析式求出頂點坐標的縱坐標，即可得出結(jié)論；（3）①當a＜0時，拋物線開口向下，不妨設(shè)點A在點B的左側(cè)，由（1）知，拋物線與y軸的交點為（0，1），進而判斷出xA＜0，xB＞6，得出AB＝|xB﹣xA|＞6，判斷出此種情況不符合題意，②當a＞0時，拋物線的開口向上，判斷出在x軸上關(guān)于拋物線的對稱軸x＝3對稱且距離為4的兩點的坐標為（1，0），（5，0），再由當x＝1時，得出a﹣6a+1≥0，求出a，再根據(jù)y頂點＝﹣9a+1＜0，即可得出答案．(1)針對于拋物線y＝ax2+bx+1，令x＝0，則y＝1，∴拋物線與y軸的交點坐標為（0，1）；(2)∵拋物線y＝ax2+bx+1（a≠0）的對稱軸是直線x＝3，∴3，∴b＝﹣6a，∴拋物線的解析式為y＝ax2﹣6ax+1，當x＝3時，y＝9a﹣18a+1＝﹣9a+1，∴拋物線的頂點坐標為（3，﹣9a+1）；(3)①當a＜0時，拋物線開口向下，不妨設(shè)點A在點B的左側(cè)，由（1）知，拋物線y＝ax2+bx+1與y軸的交點為（0，1），∵拋物線y＝ax2+bx+1的對稱軸為直線x＝3，∴xA＜0，xB＞6，∴AB＝|xB﹣xA|＞6，∵AB≤4，∴此種情況不符合題意，②當a＞0時，拋物線的開口向上，由（2）知，拋物線的解析式為y＝ax2﹣6ax+1，在x軸上關(guān)于拋物線的對稱軸x＝3對稱且距離為4的兩點的坐標為（1，0），（5，0），∵AB≤4，∴當x＝1時，y＝ax2﹣6ax+1＝a﹣6a+1≥0，∴a，∵拋物線與x軸有兩個交點，∴y頂點＝﹣9a+1＜0，∴a，∴a．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，頂點坐標的求法，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．6．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐標系xOy中，點、、是拋物線上三個點．(1)直接寫出拋物線與y軸的交點坐標；(2)當時，求b的值；(3)當時，求b的取值范圍．【答案】(1)（0，1）；(2)-2；(3)-2＜b＜-1；【解析】【分析】（1）令x=0，代入拋物線求得y值即可解答；（2）利用拋物線的對稱性求得對稱軸，再計算求值即可；（3）根據(jù)，，將x的值代入拋物線解不等式，再求不等式的解的公共部分即可；(1)解：令x=0，得：y=0+0+1=1，∴拋物線與y軸的交點坐標（0，1）；(2)解：當時，由點，可得拋物線對稱軸為x=1，∴，∴b=-2，(3)解：由可得：1+b+1＜1，b＜-1，由可得：1-b+1＞1，b＜1，由可得：9+3b+1＞1-b+1，b＞-2，∴當時，-2＜b＜-1；【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合，一元一次不等式的應用，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)的圖象由函數(shù)平移得到，且過點．(1)求這個一次函數(shù)的表達式；(2)當時，對于x的每一個值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先根據(jù)一次函數(shù)圖象的平移可得，再將點代入即可得；（2）先根據(jù)可得，從而問題可轉(zhuǎn)化為當時，函數(shù)的值大于0，再分①和②兩種情況，解不等式即可得．(1)解：一次函數(shù)的圖象由函數(shù)平移得到，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，則這個一次函數(shù)的表達式為．(2)解：當時，對于的每一個值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，則，，即，則所求問題可轉(zhuǎn)化為當時，函數(shù)的值大于0，①當時，符合題意；②當時，則，解得，所以此時的取值范圍為，綜上，的取值范圍為．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的平移、待定系數(shù)法、一元一次不等式的應用，較難的是題（2），正確將問題進行轉(zhuǎn)化，并分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．8．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸的交點為點和點B．(1)用含a的式子表示b；(2)求拋物線的對稱軸和點B的坐標；(3)分別過點和點作x軸的垂線，交拋物線于點M和點N，記拋物線在M，N之間的部分為圖象G（包括M，N兩點）．記圖形G上任意一點的縱坐標的最大值是m，最小值為n．①當時，求的最小值；②若存在實數(shù)t，使得，直接寫出a的取值范圍．【答案】(1)(2)，(3)①1；②或【解析】【分析】（1）把點代入即可得；（2）由對稱軸公式可得拋物線的對稱軸為直線，由拋物線對稱性得點坐標；（3）①當時，，即得拋物線與軸交點坐標為，，與軸交點坐標為，頂點坐標為，當圖象為對稱圖形時有最小值，可得，，即得的最小值為；②由（1）知拋物線為，得，，，頂點坐標為，可分四種情況討論的取值：（Ⅰ）當，且時，，解得，可得；（Ⅱ）當，且時，，可得，（Ⅲ）當，且時，，可得；（Ⅳ）當，且時，，可得，即知當時，，同理可得：當時，也符合條件．(1)解：把點代入得：，；(2)解：由（1）知拋物線為，拋物線的對稱軸為直線，而關(guān)于直線的對稱點是，由拋物線對稱性得：點坐標；(3)解：①如圖：當時，，拋物線與軸交點坐標為，，與軸交點坐標為，頂點坐標為，由圖象知：當圖象為對稱圖形時有最小值，又，，，，，過點和點作軸的垂線，交拋物線于點和點，，，頂點坐標為，的最小值為；②點和點作軸的垂線，交拋物線于點和點，由（1）知拋物線為，，，，又拋物線對稱軸為直線，頂點坐標為，根據(jù)、點的相對位置和拋物線的開口方向可分以下四種情況討論的取值：（Ⅰ）當，且時，即圖象在對稱軸左側(cè)時，此時點的縱坐標最大，點的縱坐標最小，，解得，又，，且，；（Ⅱ）當，且時，即圖象在對稱軸右側(cè)時，此時點的縱坐標最大，點的縱坐標最小，，解得，又，，且，，（Ⅲ）當，且時，即最低點是拋物線頂點且點縱坐標大時，此時，，，解得，又，，，，；（Ⅳ）當，且時，即最低點是拋物線頂點時且點縱坐標大，此時，，，解得，又，，，，綜上所述，當時，，同理可得：當時，也符合條件，的取值范圍為或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，難度較大，解題的關(guān)鍵是分類討論圖象上縱坐標的大小值．9．（2022·北京市十一學校二模）在平面直角坐標系xOy中，已知點，，函數(shù)．(1)當函數(shù)的圖象經(jīng)過點Q時，求m的值并畫出直線y=－x－m．(2)若P，Q兩點中恰有一個點的坐標（x，y）滿足不等式組（m<0），求m的取值范圍．【答案】(1)m=－4，畫圖見解析(2)－3≤m<0或m≤－4【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，將Q點坐標代入即可求值，進而畫出直線的圖象；（2）不等式組表達含義為P、Q中的一點位于反比例函數(shù)圖象上方，位于一次函數(shù)圖象下方，根據(jù)m<0的條件，數(shù)形結(jié)合即可求出m的取值范圍．(1)解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點Q，∴m=－2×2=－4，一次函數(shù)的解析式為：y=－x+4，圖象如下．(2)解：由題意知，P、Q中的一點位于反比例函數(shù)圖象上方，位于一次函數(shù)圖象下方，∵m<0，∴反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，故P點在反比例函數(shù)圖象上方，∴存在兩種情況，①Q(mào)在反比例函數(shù)圖象上方，在一次函數(shù)圖象下方，P在一次函數(shù)圖象上或上方，即：，解得：－3≤m<0；②Q在反比例函數(shù)圖象上或下方，P在一次函數(shù)圖象下方，即：，解得：m≤－4；綜上所述，m的取值范圍為：－3≤m<0或m≤－4．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，解決本題難點是分析出反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與P、Q兩點的位置關(guān)系，得到關(guān)于m的不等式組．10．（2022·北京市十一學校二模）在平面直角坐標系xOy中，點A（t，2）（t≠0）在二次函數(shù)的圖象上．(1)當時，求拋物線對稱軸的表達式；(2)若點也在這個二次函數(shù)的圖象上．①當這個函數(shù)的最小值為0時，求t的值；②若在時，y隨x的增大而增大，求t的取值范圍．【答案】(1)直線x=2(2)①；②或t>5【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式確定二次函數(shù)圖象過點（0，2），再根據(jù)點A的坐標即可求出二次函數(shù)對稱軸的表達式．（2）①根據(jù)點（0，2）和點A坐標用t表示二次函數(shù)對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的最值情況列出方程并求解即可．②根據(jù)二次函數(shù)開口方向進行分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的增減性和點B坐標列出不等式（組）并求解即可．(1)解：∵二次函數(shù)解析式為，∴當x=0時，y=2．∴二次函數(shù)圖象經(jīng)過點（0，2）．∵t=4，∴點A（4，2）在二次函數(shù)的圖象上．∴二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線．(2)解：①∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，2）和（t，2），∴二次函數(shù)的對稱軸為直線．∴當時，二次函數(shù)取得最值．∵二次函數(shù)的最小值為0，且點也在這個二次函數(shù)的圖象上，∴．∴．②當a<0時．∵二次函數(shù)對稱軸是直線，在時，y隨x的增大而增大，∴．∴．∵點也在這個二次函數(shù)的圖象上，∴或．解得t>5或．∴或t>5．當a>0時．∵二次函數(shù)對稱軸是直線，在時，y隨x的增大而增大，∴．∴．∵點也在這個二次函數(shù)的圖象上，∴．∴該不等式組無解．綜上所述，t的取值范圍是或t>5．【點睛】本題考查二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的增減性，解一元一次方程，解一元一次不等式（組），正確應用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．11．（2022·北京東城·一模）在平面直角坐標系中，拋物線與y軸交于點A．點是拋物線上的任意一點，且不與點A重合，直線經(jīng)過A，B兩點．(1)求拋物線的頂點坐標（用含m的式子表示）；(2)若點，在拋物線上，則a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；(3)若對于時，總有，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）由，可得拋物線的頂點坐標；（2）由（1）可知，拋物線的對稱軸為直線，可知關(guān)于對稱軸對稱的點坐標為，進而可知的關(guān)系；（3）將代入，得，則，過A，B兩點的直線解析式為，當時，由題意知，當時，隨的增大而減小，，即，可得，可得；當時，由題意知，當時，隨的增大而減小，點關(guān)于直線的對稱點為，則，計算求出此時的取值范圍；進而可得的取值范圍．(1)解：∵，∴拋物線的頂點坐標為．(2)解：由（1）可知，拋物線的對稱軸為直線，∴關(guān)于對稱軸對稱的點坐標為，∴，故答案為：．(3)解：將代入，得，∴，將代入，解得，∴，當時，由題意知，當時，隨的增大而減小，∵，∴，即，解得，∴，∴；當時，由題意知，當時，隨的增大而減小，點關(guān)于直線的對稱點為，∵對于時，總有，∴，解得，∴；綜上所述，的取值范圍為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．12．（2022·北京海淀·二模）由于慣性的作用，行駛中的汽車在剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，這段距離稱為“剎車距離”．某公司設(shè)計了一款新型汽車，現(xiàn)在對它的剎車性能（車速不超過150km/h）進行測試，測得數(shù)據(jù)如下表：車速v（km/h）0306090120150剎車距離s（m）07.819.234.252.875(1)以車速v為橫坐標，剎車距離s為縱坐標，在坐標系中描出表中各組數(shù)值所對應的點，并用平滑曲線連接這些點；(2)由圖表中的信息可知：①該型汽車車速越大，剎車距離越（填“大”或“小”）；②若該型汽車某次測試的剎車距離為40m，估計該車的速度約為km/h；(3)若該路段實際行車的最高限速為120km/h，要求該型汽車的安全車距要大于最高限速時剎車距離的3倍，則安全車距應超過m．【答案】(1)見解析(2)①大；②100；(3)158.4【解析】【分析】（1）依題意描點連線即可．（2）①從所畫的圖像可以看出：s隨v的增大而增大，據(jù)此解答即可；從圖像可以看出：若該型汽車某次測試的剎車距離為40m，估計該車的速度約為100km/h；（3）從圖像可以看出：該車的速度約為120km/h，則該型汽車測試的剎車距離為52.8m，據(jù)此解答即可．(1)如圖所示：(2)①從所畫的圖像可以看出：s隨v的增大而增大，∴該型汽車車速越大，剎車距離越大；②從圖像可以看出：若該型汽車某次測試的剎車距離為40m，估計該車的速度約為100km/h；故答案為：①大；②100；(3)從圖像可以看出：該車的速度約為120km/h，則該型汽車測試的剎車距離為52.8m，∴該路段實際行車的最高限速為120km/h，要求該型汽車的安全車距要大于最高限速時剎車距離的3倍，則安全車距應超過158.4m．故答案為：158.4【點睛】本題考查從函數(shù)中獲取信息．此題為數(shù)學建模題，借助函數(shù)圖像解決實際問題．13．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐標系xOy中，點（m–2,y1），（m,y2），（2-m,y3）在拋物線y=x2－2ax+1上，其中m≠1且m≠2．(1)直接寫出該拋物線的對稱軸的表達式（用含a的式子表示）；(2)當m=0時，若y1=y3，比較y1與y2的大小關(guān)系，并說明理由；(3)若存在大于1的實數(shù)m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)a的取值范圍是【解析】【分析】（1）直接根據(jù)對稱軸公式求即可；（2）當時，這三個點分別為（，），（0，），（2，），再結(jié)合y1=y3，即可求出函數(shù)解析式，判斷即可；（3）將（m–2,y1），（m,y2），（2-m,y3）代入y=x2－2ax+1中，再解不等式即可；(1)解：；(2)當時，這三個點分別為（，），（0，），（2，），∵，∴（，）與（2，）關(guān)于對稱軸對稱，∴拋物線的對稱軸為，即．∴函數(shù)解析式為∴（0，）為拋物線的頂點．∵拋物線的開口向上，∴當時，為函數(shù)的最小值．∴．(3)將，和分別代入，得：，，．則有：，，于是成立，即為和同時成立，也即為和同時成立．①當時，，故，不存在大于1的實數(shù)m；②當時，，要使，則，也不存在大于1的實數(shù)m；③當時，，不符合題意；④時，只需取滿足的m即可滿足前述兩個不等式同時成立，即成立．綜上所述，a的取值范圍是．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（3）需要注意分類討論．14．（2022·北京市十一學校模擬預測）已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），頂點為D．(1)直接寫出函數(shù)圖象的對稱軸：_____；(2)若是等腰直角三角形，求的值；(3)當時，y的最大值m減去y的最小值n的結(jié)果不大于3，求a的取值范圍．【答案】(1)直線(2)或(3)當時，當時，；當時，；當時，當時，；當時，【解析】【分析】（1）根據(jù)對稱軸的公式代入計算即可；（2）根據(jù)題意，求出D坐標為，設(shè)拋物線與x軸交于點C，表示出AB的長度，根據(jù)，建立關(guān)于a的方程，求解即可；（3）分類討論，當時，當時，當時；當時，當時，當時，根據(jù)“y的最大值m減去y的最小值n的結(jié)果不大于3”列不等式進行求解即可．(1)，，對稱軸為直線，故答案為：直線；(2)由題意得，D坐標為，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點C，此時，，令，則，，解得，，，，，整理得，解得或或或，二次函數(shù)，，且當時，二次函數(shù)與x軸只有一個交點，故不符合題意；綜上，或；(3)當時，當時，y的最大值為時，，y的最小值為時，，，解得，；當時，y的最大值為時，，y的最小值為時，，，解得，；當時，當時，y的最大值為時，，y的最小值為時，，，解得，；當時，y的最大值為時，，y的最小值為時，，，解得，；綜上，當時，當時，；當時，；當時，當時，；當時，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握知識點并能夠運用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．15．（2022·北京房山·二模）已知二次函數(shù)．(1)二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線__________；(2)當時，y的最大值與最小值的差為9，求該二次函數(shù)的表達式；(3)若，對于二次函數(shù)圖象上的兩點，當時，均滿足，請結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)2；(2)或；(3)0≤t≤4．【解析】【分析】（1）由對稱軸是直線x=-，可求解；；（2）分a＞0和a＜0兩種情況討論，分別用含a的式子表示出最大值和最小值，列出關(guān)于a的方程，求出a即可；（3）求出x=5時對應的y的值，找到滿足條件的t的范圍．(1)解：（1）由題意可得：對稱軸是直線x=?=2，故答案為：2；(2)∵，∴二次函數(shù)的頂點坐標為（2，-4a），①當a＞0時，在0≤x≤5中，最大值是當x=5時y的值，即，最小值是當x=2時y的值，即-4a，∴5a-（-4a）=9，∴a=1，∴該二次函數(shù)的解析式為，②當a＜0時，在0≤x≤5中，最大值是當x=2時y的值，即-4a，最小值是當x=5時y的值，即，∴-4a-5a=9，∴a=-1，∴該二次函數(shù)的表達式為，綜上所述，該二次函數(shù)的表達式為或；(3)由（2）知拋物線的對稱軸為x=2，當x=5時，，∴y1≥5a，由拋物線的對稱性知x=-1時，y=5a，又∵a＜0，∴-1≤t-1，t+1≤5，∴0≤t≤4．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是要會求拋物線與x軸的交點坐標，熟記拋物線的對稱軸的公式，增減性等基本性質(zhì)．16．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點（﹣1，0），（0，2）．(1)求這個一次函數(shù)的表達式；(2)當x＞﹣2時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值小于一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的值，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）通過待定系數(shù)法將點，代入解析式求出的值，進而可得一次函數(shù)表達式；（2）由題意知，將代入得，則，根據(jù)題意：，如圖，當時，與平行，可知當時，成立；當時，將代入中得，解得，由一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，當時，當時，成立；進而可得m的取值范圍．(1)∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，∴，解得：，∴一次函數(shù)的表達式為：．(2)解：由（1）得：，將代入得，則根據(jù)題意：，如圖，當時，與平行，可知當時，成立；當時，將代入中得，解得由一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，當時，當時，成立；綜上所述，∴m的取值范圍為．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．運用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．17．（2022·北京門頭溝·一模）某景觀公園內(nèi)人工湖里有一組噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是一條拋物線．現(xiàn)測量出如下數(shù)據(jù)，在距水槍水平距離為米的地點，水柱距離湖面高度為米．（米）012.03…（米）1.62.12.52.10…(1)在下邊網(wǎng)格中建立適當平面直角坐標系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑曲線連接．(2)結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫的圖象，直接寫出水柱最高點距離湖面的高度；(3)求水柱在湖面上的落點距水槍的水平距離是多少？(4)現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立一個新的游玩項目．準備通過調(diào)節(jié)水槍高度使得公園的平頂游船能從噴泉最高點的正下方通過（兩次水柱噴出水嘴的初速度相同），如果游船寬度為3米，頂棚到水面的高度為2米，為了避免游船被淋到，頂棚到水柱的垂直距離不小于0.8米．問應如何調(diào)節(jié)水槍的高度才能符合要求？請通過計算說明理由．【答案】(1)見解析；(2)2.5米；(3)2.5米；(4)水槍高度調(diào)節(jié)到2.1米以上，理由見解析．【解析】【分析】（1）建立坐標系，描點、用平滑的曲線連接即可；（2）直接由圖像可得結(jié)果；（2）觀察圖象并根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求出最高點的高度，設(shè)二次函數(shù)的頂點式，求解即可；（3）由題意知設(shè)出二次函數(shù)圖象平移后的解析式，根據(jù)題意求解即可．(1)以水槍與湖面的交點為原點，水槍所在的直線為縱軸建立平面直角坐標系，如圖所示：(2)由圖象可知水柱最高點距離湖面的高度為2.5米；(3)根據(jù)圖象設(shè)二次函數(shù)的解析式為h=a（d-2）2+2.5將（1，2.1）代入h=a（d-2）2+2.5得a=-，∴拋物線的解析式為，即，令h=0，則，解得：，4.5-2=2.5，∴水柱在湖面上的落點距水槍的水平距離是2.5米；(4)設(shè)水槍高度至少向上調(diào)節(jié)m米，由題意知調(diào)節(jié)后的水槍所噴出的拋物線的解析式為，當橫坐標為2+=3.5時，縱坐標的值大于等于2++0.8=2.8，∴，解得：m≥1.2，∴水槍高度至少向上調(diào)節(jié)1.2米0.9+1.2=2.1∴水槍高度調(diào)節(jié)到2.1米以上．【點睛】本題考查了二次函數(shù)噴泉的應用，二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的圖象建立二次函數(shù)模型．18．（2022·北京十一學校一分校一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線M：和直線l：．(1)拋物線M的對稱軸是直線．(2)若直線與拋物線M有兩個公共點，它們的橫坐標記為x1，x2，直線與直線l的交點橫坐標記為x3．若當時，總有，請結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式求解即可；（2）畫出函數(shù)的大致圖象，當，由可得：，當時，，結(jié)合函數(shù)圖像可知：即可求出a的范圍．(1)解：由題意可知：對稱軸，∴拋物線M的對稱軸是直線．(2)解：∵中，∴二次函數(shù)與x軸有兩個交點，圖象大致如下：當時，由可得：，解之得：當時，∵直線與直線的交點橫坐標記為x3．若當時，總有，∴，解之得．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)．及不等式，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)圖像得出關(guān)于a的不等式．19．（2022·北京朝陽·一模）在平面直角坐標系中，點在拋物線上．(1)若，求的值；(2)若，求值的取值范圍．【答案】(1)0(2)【解析】【分析】（1）將和分別代入函數(shù)解析式，根據(jù)，可解出b的值，再將代入函數(shù)解析式，可解出c的值；（2）若，由于函數(shù)圖像開口向上，函數(shù)值越小離對稱軸越近，函數(shù)值越大離對稱軸越遠，結(jié)合二次函數(shù)對稱性可判斷出對稱軸的取值范圍，把點帶入中求出，進而可求出值的取值范圍．(1)解：將和分別代入解析式，得，，，，解得，把點帶入中，得，解得，函數(shù)解析式為當，；(2)解：，中，，函數(shù)圖像開口向上，又，，，解得，把點帶入中，得，，將代入解析式，得，，，，，即．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，牢固掌握以上知識點并學會數(shù)形結(jié)合是做出本題的關(guān)鍵．20．（2022·北京西城·一模）在平面直角坐標系xOy中，直線與坐標軸分別交于，兩點．將直線在x軸上方的部分沿x軸翻折，其余的部分保持不變，得到一個新的圖形，這個圖形與直線分別交于點C，D．(1)求k，b的值；(2)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點．記線段AC，CD，DA圍成的區(qū)域（不含邊界）為W．①當m=1時，區(qū)域W內(nèi)有______個整點；②若區(qū)域W內(nèi)恰有3個整點，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)(2)1；【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得直線的解析式；（2）①畫出圖象，確定點B關(guān)于x軸的對稱點及與直線的交點C，根據(jù)圖象可求解；②利用圖象找到區(qū)域W內(nèi)恰好有1個整點和恰有3個整點時的m的取值即可求解．(1)∵直線與坐標軸分別交于，兩點,∴，解得，且．(2)如圖所示，點B關(guān)于x軸的對稱點坐標為(0，-4)當m=1時，直線l2的解析式為，恰好過(0，-4)，即為交點C，此時區(qū)域W內(nèi)有1個整點E，故答案為：1如圖所示，當m=1時，直線l2的解析式為，恰好經(jīng)過整點G，F(xiàn)，當直線恰好經(jīng)過整點H時，區(qū)域W內(nèi)恰有3個整點，此時把整點H的坐標(0，-5)代入得，，解得，∴區(qū)域W內(nèi)恰有3個整點時，m的取值范圍為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用圖象求解問題，通過畫圖象確定臨界點是解題的關(guān)鍵．21．（2022·北京·東直門中學模擬預測）在平面直角坐標系中，對于點，給出如下定義：當點滿足時，稱點Q是點P的等和點．已知點．(1)在，，中，點P的等和點有______；(2)點A在直線上，若點P的等和點也是點A的等和點，求點A的坐標；(3)已知點和線段MN，對于所有滿足的點C，線段MN上總存在線段PC上每個點的等和點．若MN的最小值為5，直接寫出b的取值范圍．【答案】(1)，；(2)；(3)．【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義計算即可；（2）由（1）可知，P的等和點縱坐標比橫坐標大2，根據(jù)等和點的定義，A的橫坐標比縱坐標大2，由此可得方程，求解即可；（3）因為線段MN上總存在線段PC上每個點的等和點．且MN的最小值為5，所以PC的最大距離不能超過5，分別找到點P和點C的等和點所在的區(qū)域或直線，然后得到MN取得最大值時，b的邊界即可．(1)解：由題意可知：∵，∴點Q1是點P的等和點；∵，∴點Q2不是點P的等和點；∵，∴點Q3是點P的等和點；∴點P的等和點有，，(2)解：設(shè)，由（1）可知，P的等和點縱坐標比橫坐標大2，∵點P的等和點也是點A的等和點，∴A的橫坐標比縱坐標大2，則，解之得：，故，(3)解：∵P（2，0），∴P點的等和點在直線y=x+2上，∵B（b，0），∴B點的等和點在直線y=x+b上，設(shè)直線y=x+b與y軸的交點為B'（0，b），∵BC=1，∴C點在以B為圓心，半徑為1的圓上，∴點C的等和點是兩條直線及其之間與其平行的所有平行線上，以B'為圓心，1為半徑作圓，過點B'作y=x+2的垂線交圓與N點，交直線于M點，∵MN的最小值為5，∴B'M最小值為4，在Rt△B'MP'中，B'P=，∴PB=，∴OB=，同理當B點在y軸左側(cè)時OB=，∴≤b≤．【點睛】本題考查新定義，涉及到平面直角坐標系，坐標軸上兩點之間的距離，一次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意進行求解，（3）較難，需理解題意將其轉(zhuǎn)化為求PC最大值問題．22．（2022·北京市第五中學分校模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）經(jīng)過點A（1，﹣1），與y軸交于點B．(1)直接寫出點B的坐標；(2)點P（m，n）是拋物線上一點，當點P在拋物線上運動時，n存在最大值N．①若N＝2，求拋物線的表達式；②若﹣9＜a＜﹣2，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出N的取值范圍．【答案】(1)B（0，2）(2)①；②2≤N＜3【解析】【分析】（1）根據(jù)y軸上點的坐標特征求得即可；（2）①由題意得拋物線的頂點為（0，2），把A（1，?1）代入即可求出a的值，繼而求出拋物線的表達式；②把點A（1，?1）代入y＝ax2＋bx＋2得出a與b的關(guān)系，再把a＝?9和a＝?3代入求出對應b的值，從而求出拋物線解析式，利用解析式求出最大值，即可得到N的取值范圍．(1)解：把x＝0代入y＝ax2＋bx＋2得，y＝2，∴B（0，2）；(2)解：①依題意，當N＝2時，該拋物線的頂點為（0，2），設(shè)拋物線的解析式為，由拋物線過A（1，?1），得a＋2＝?1，解得a＝?3，∴拋物線的表達式為；②∵拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）經(jīng)過點A（1，?1），∴?1＝a＋b＋2，∴b＝?3?a，由題意得N是拋物線頂點的縱坐標，∴，設(shè)，其函數(shù)圖象如下圖所示，由函數(shù)圖象可知時，y隨x增大而減小，當時，y隨x增大而增大∴當x＝?3時，則，此時，函數(shù)有最小值為2，當x＝?2時，則，當x＝?9時，則，此時，函數(shù)有最大值為3，∴2≤N＜3．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及最值的求法是解決問題的關(guān)鍵．23．（2022·北京市第五中學分校模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，直線l1：y＝ax（a≠0）過點A（﹣2，1），直線l2：y＝mx+n過點B（﹣1，3）．(1)求直線l的解析式；(2)用含m的代數(shù)式表示n；(3)當x＜2時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝ax的值小于函數(shù)y＝mx+n的值，求m的取值范圍．【答案】(1)直線l1：；(2)；(3)m的取值范圍為．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法將A（﹣2，1）代入y＝ax（a≠0）即可求解；（2）將點B（﹣1，3）代入y＝mx+n即可用含m的代數(shù)式表示n；（3）由，得直線l2：y＝mx+m+3，解得l1、l2的交點橫坐標為，由當x＜2時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝ax的值小于函數(shù)y＝mx+n的值，得且，進而分兩種情況討論求解即可．(1)解：y＝ax（a≠0）過點A（﹣2，1），，，直線l1：；(2)解：直線l2：y＝mx+n過點B（﹣1，3），，；(3)，直線l2：y＝mx+m+3，解得，當x＜2時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝ax的值小于函數(shù)y＝mx+n的值，且，當即時，有，解得，這與相矛盾，當即時，有，解得，故，m的取值范圍為．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)與不等式的關(guān)系，分類討論求解不等式是解題的關(guān)鍵．24．（2022·北京市三帆中學模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，點，，在拋物線上．(1)若，，，求該拋物線的對稱軸并比較，，的大??；(2)已知拋物線的對稱軸為，若，求t的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）首先可求得拋物線的解析式及對稱軸所在的直線，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得結(jié)論；（2）分兩種情況，即開口向上和向下時，分別討論計算即可求得．(1)解：，，該拋物線的開口向下，對稱軸為直線，當x=-1時，y取最大值，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小(2)解：當x=0時，y=c，①當時，若，則函數(shù)圖象如圖所示：當時，當時，②當時，拋物線開口向下時，y隨x的增大而減小，與不符合故不存在此種情況綜上，t的取值范圍為．【點睛】本題考查了根據(jù)二次函數(shù)的圖象比較函數(shù)值的大小，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解決此類題的關(guān)鍵．25．（2022·北京·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝x﹣1的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A（3，m）．(1)求m、k的值；(2)點P（xp，0）是x軸上的一點，過點P作x軸的垂線，交直線l于點M，交反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點N．橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點．記y＝（x＞0）的圖象在點A，N之間的部分與線段AM，MN圍成的區(qū)域（不含邊界）為W．①當xp＝5時，直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點的坐標為_____；②若區(qū)域W內(nèi)恰有6個整點，結(jié)合函數(shù)圖象，求出xp的取值范圍．【答案】(1)m＝2，k＝6(2)①（4，2）；②當0＜xp＜1或6＜xP≤7時，區(qū)域W內(nèi)有6個整點【解析】【分析】（1）將A（3，m）代入y=x-1，得到m=2，A（3，2），再把A（3，2）代入y=，得到k=6；（2）①當時，根據(jù)A（3，2）、M（5，4）、N（5，），知道，區(qū)域W內(nèi)的整點坐標為（4，2）；②結(jié)合函數(shù)圖象可知，當0＜xp＜1時，區(qū)域W內(nèi)有6個整點；當6＜xP≤7時，區(qū)域W內(nèi)有6個整點．(1)∵直線l：y＝x﹣1的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A（3，m），∴m＝3﹣1＝2，∴點A（3，2），∵反比例函數(shù)y＝過點A，∴k＝3×2＝6；(2)①當xp＝5時，M、N兩點的坐標為M（5，4）、N（5，），∵A（3，2），∴區(qū)域W內(nèi)的整點的坐標為（4，2），②當點P在點A左邊時，如圖1，結(jié)合函數(shù)圖象可知，當0＜xp＜1時，區(qū)域W內(nèi)有6個整點；當點P在點A右時，如圖2，結(jié)合函數(shù)圖象可知，當6＜xP≤7時，區(qū)域W內(nèi)有6個整點；綜上所述：當0＜xp＜1或6＜xP≤7時，區(qū)域W內(nèi)有6個整點．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)，新定義整點，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，熟練運用先定義整點，結(jié)合函數(shù)與不等式．26．（2022·北京十一學校一分校模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．(1)求拋物線的對稱軸（用含a的式子表示）；(2)①當x＝a時，求y的值；②若y1＝y(tǒng)2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．(3)若對于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范圍．【答案】(1)對稱軸為直線x＝a﹣1(2)①y=0；②x1＝a﹣2(3)a≥﹣1【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸x＝﹣求解即可；（2）①將x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a求解即可；②若y1＝y(tǒng)2＝0，則﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，解方程并根據(jù)x1＜x2，求出x1的值．（3）由題意得出x1＜﹣2，則只需討論x1＜a﹣1的情況，分兩種情況：①當a≥﹣1時，又有兩種情況：x1＜x2＜a﹣1，x1＜a﹣1＜x2，分別結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及x1+x2＜﹣4計算即可；②當a＜﹣1時，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此時x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合題意．(1)解：拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝a﹣1；(2)解：①當x＝a時，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a＝0；②當y1＝y(tǒng)2＝0時，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0，∵x1＜x2，∴x1＝a﹣2；(3)解：①當a≥﹣1時，∵x1＜x2，x1+x2＜﹣4，∴x1＜﹣2，只需討論x1＜a﹣1的情況．若x1＜x2＜a﹣1，∵x＜a﹣1時，y隨著x的增大而增大，∴y1＜y2，符合題意；若x1＜a﹣1＜x2，∵a﹣1≥﹣2，∴2（a﹣1）≥﹣4，∵x1+x2＜﹣4，∴x1+x2＜2（a﹣1）．∴x1＜2（a﹣1）﹣x2．∵x＝2（a﹣1）﹣x2時，y1＝y(tǒng)2，x＜a﹣1時，y隨著x的增大而增大，∴y1＜y2，符合題意．②當a＜﹣1時，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此時x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合題意；綜上所述，a的取值范圍是a≥﹣1．【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)、求函數(shù)值、運用二次函數(shù)求不等式等知識點，靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．27．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐標xOy中，點在拋物線上．(1)求拋物線的對稱軸；(2)拋物線上兩點，，且，．①當時，比較，的大小關(guān)系，并說明理由；②若對于，，都有，直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)(2)①，理由見詳解；②或【解析】【分析】（1）對于拋物線，令，可得，可知點（0，2）在拋物線上，根據(jù)點也在拋物線上，由拋物線的對稱性，可知該拋物線的對稱軸為；（2）根據(jù)題意，大致畫出拋物線圖象．①當時，根據(jù)題意可計算、的取值范圍，再結(jié)合拋物線圖象判斷，的大小即可；②分情況討論，當、、三種情況下，區(qū)域和區(qū)域的位置及移動方向，確定滿足條件的t的取值范圍．(1)解：對于拋物線，令，可得，即該拋物線與y軸的交點為點（0，2），又∵點也在拋物線上，∴根據(jù)拋物線的對稱性，可知該拋物線的對稱軸為；(2)根據(jù)題意，大致畫出拋物線圖象，如下圖，①當時，根據(jù)題意可知，，，，即有，，由圖象可知，；②若對于，，都有，可分情況討論，如下圖：當時，，，由圖象對稱性可知，成立；當時，區(qū)域向左移動，區(qū)域向右移動且都移動t個單位，由圖象對稱性可知，成立；當時，區(qū)域、區(qū)域相向移動，兩區(qū)域相遇時，有，解得，在時，成立；相遇后，再繼續(xù)運動，兩區(qū)域分離時，有，解得；分離后，即時，隨著t的增大，由圖象對稱性可知，成立；綜上所述，滿足條件的t的取值范圍為：或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)及二次函數(shù)的綜合應用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，用數(shù)形結(jié)合和分情況討論的數(shù)學思想分析問題．28．（2022·北京·中國人民大學附屬中學分校一模）有這樣一個問題：探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．小亮根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探究．下面是小亮的探究過程，請補充完整：(1)函數(shù)中自變量x的取值范圍是；(2)表格是y與x的幾組對應值．x…02345…y…m…直接寫出m的值；(3)在平面直角坐標系中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點，根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象；(4)根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)下列特征：①該函數(shù)的圖象與直線越來越靠近而永不相交，該函數(shù)的圖象還與直線越來越靠近而永不相交．②請再寫出此函數(shù)的一條性質(zhì)：