專題02最值問題探究(原卷版+解析)

專題02最值問題探究知識(shí)回放知識(shí)回放“二次函數(shù)”最值當(dāng)a>0，x=時(shí)二次函數(shù)有最小值，最小值；當(dāng)a<0，x=時(shí)二次函數(shù)有最大值，最大值“兩定一動(dòng)”型形如PA+kPB，k=1時(shí)如圖，兩定點(diǎn)A、B在直線l（動(dòng)點(diǎn)P所在直線）的同側(cè)，PA+PB最小值為A’B的長(zhǎng)度；形如PA+kPB，0<k<1時(shí)如圖，定點(diǎn)A、B其中點(diǎn)B在直線l（動(dòng)點(diǎn)P所在直線）上，PA+kPB最小值為AD的長(zhǎng)度；其中，k=sin∠PBD兩動(dòng)兩定型兩定點(diǎn)A、B在河流兩岸，AQ+PQ+BP的最小值，其中PQ垂直于河岸最小值為A’B+PQ的長(zhǎng)P、Q是∠AOB內(nèi)部定點(diǎn)，R，S為角兩邊的動(dòng)點(diǎn)，四邊形PRSQ周長(zhǎng)的最小值為P’Q’+PQ的長(zhǎng)度一定兩動(dòng)型P是∠AOB內(nèi)部定點(diǎn)，R，Q為角兩邊的動(dòng)點(diǎn)，三角形PQR周長(zhǎng)的最小值為P’P’’的長(zhǎng)度與圓相關(guān)P為圓O外一點(diǎn)，A為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，PA的最小值為PA’，最大值為PA’’真題解析真題解析典例1.（2022?四川瀘州中考真題）如圖，在中，，，，半徑為1的圓在內(nèi)平移（圓可以與該三角形的邊相切），則點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值為________．典例2.（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為_____．典例3.（2022?遼寧錦州中考真題）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)和，交y軸于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)D是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)N，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

典例4.（2022?廣西桂林中考真題）如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)N，長(zhǎng)為1的線段PQ（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋物線對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)．(1)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求CP+PQ+QB的最小值；(3)過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，當(dāng)CPM和QBN相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．典例5.（2022?廣西賀州中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，的平分線交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為__________．

典例6.（2022?黑龍江大慶中考真題）已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)圖象過，兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)如圖，函數(shù)的圖象分別與函數(shù)圖象交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．真題演練真題演練1.（2022?江蘇徐州中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)．(1)點(diǎn)是否在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上？請(qǐng)說明理由；(2)連接、，若四邊形為正方形．①求、的值；②若點(diǎn)在軸上，當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．2.（2022?浙江舟山中考真題）已知點(diǎn)，在直線（k為常數(shù)，）上，若的最大值為9，則c的值為（

）A． B．2 C． D．13.（2022?山東濱州中考真題）如圖，在矩形中，．若點(diǎn)E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作且分別交對(duì)角線AC，直線BC于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)E移動(dòng)的過程中，的最小值為________．4.（2022?寧夏中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，，：：．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連接當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

5.（2022?湖南湘西州中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．186.（2022?湖南婁底中考真題）菱形的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為______．76.（2022?黑龍江龍東中考真題）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，AH是的平分線，于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．

8.（2022?遼寧阜新中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖像交軸于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（）．當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？最大面積是多少？9.（2022?廣西梧州中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線恰好經(jīng)過這兩點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是，將繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．專題02最值問題探究知識(shí)回放知識(shí)回放“二次函數(shù)”最值當(dāng)a>0，x=時(shí)二次函數(shù)有最小值，最小值；當(dāng)a<0，x=時(shí)二次函數(shù)有最大值，最大值“兩定一動(dòng)”型形如PA+kPB，k=1時(shí)如圖，兩定點(diǎn)A、B在直線l（動(dòng)點(diǎn)P所在直線）的同側(cè)，PA+PB最小值為A’B的長(zhǎng)度；形如PA+kPB，0<k<1時(shí)如圖，定點(diǎn)A、B其中點(diǎn)B在直線l（動(dòng)點(diǎn)P所在直線）上，PA+kPB最小值為AD的長(zhǎng)度；其中，k=sin∠PBD兩動(dòng)兩定型兩定點(diǎn)A、B在河流兩岸，AQ+PQ+BP的最小值，其中PQ垂直于河岸最小值為A’B+PQ的長(zhǎng)P、Q是∠AOB內(nèi)部定點(diǎn)，R，S為角兩邊的動(dòng)點(diǎn)，四邊形PRSQ周長(zhǎng)的最小值為P’Q’+PQ的長(zhǎng)度一定兩動(dòng)型P是∠AOB內(nèi)部定點(diǎn)，R，Q為角兩邊的動(dòng)點(diǎn)，三角形PQR周長(zhǎng)的最小值為P’P’’的長(zhǎng)度與圓相關(guān)P為圓O外一點(diǎn)，A為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，PA的最小值為PA’，最大值為PA’’真題解析真題解析典例1.（2022?四川瀘州中考真題）如圖，在中，，，，半徑為1的圓在內(nèi)平移（圓可以與該三角形的邊相切），則點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值為________．【答案】．【解析】如圖所示，當(dāng)圓與AB、BC相切時(shí)，AM最長(zhǎng)設(shè)切點(diǎn)分別為D、F，連接OB，∵，，∴，∴∴∵圓的半徑為1∴∴∴∴∴∴點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值為．典例2.（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為_____．【答案】4【解析】解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時(shí)PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案為：．典例3.（2022?遼寧錦州中考真題）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)和，交y軸于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)D是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)N，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：把點(diǎn)和代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：過點(diǎn)D作DH∥y軸，交AC于點(diǎn)H，如圖所示：設(shè)，直線AC的解析式為，由（1）可得：，∴，解得：，∴直線AC的解析式為，∴，∴，∵DH∥y軸，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，的值最大，∴典例4.（2022?廣西桂林中考真題）如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)N，長(zhǎng)為1的線段PQ（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋物線對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)．(1)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求CP+PQ+QB的最小值；(3)過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，當(dāng)CPM和QBN相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4)；(2)6【解析】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）．（2）將C（0，4）向下平移至，使，連接交拋物線的對(duì)稱軸l于Q，如圖所示：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵B，Q，共線，∴此時(shí)CP+PQ+BQ最小，最小值為的值，∵C（0，4），，∴，∵B（4，0），∴＝＝5，∴，∴CP+PQ+BQ最小值為6．典例5.（2022?廣西賀州中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，的平分線交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為__________．【答案】．【解析】解：如圖，在CD上取點(diǎn)H，使DH=DE，連接EH，PH，過點(diǎn)F作FK⊥CD于點(diǎn)K，在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，∴△DEH為等腰直角三角形，∵DG平分∠ADC，∴DG垂直平分EH，∴PE=PH，∴的周長(zhǎng)等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，∴當(dāng)點(diǎn)F、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，最小值為FH+EF，∵E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，∴AE=DE=DH=3，AF=4，∴EF=5，∵FK⊥CD，∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，∴四邊形ADKF為矩形，∴DK=AF=4，F(xiàn)K=AD=6，∴HK=1，∴，∴FH+EF=，即的周長(zhǎng)最小為．故答案為：典例6.（2022?黑龍江大慶中考真題）已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)圖象過，兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)如圖，函數(shù)的圖象分別與函數(shù)圖象交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得周長(zhǎng)最小？若存在，求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：把代入，得，解得，，所以反比例函數(shù)解析式是；（2）存在點(diǎn)P使△ABP周長(zhǎng)最小，理由：解和得，和，，和，，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B’，連接AB’，交y軸于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)A、P、B’在一條直線上時(shí)，線段AB’的長(zhǎng)度最短，所以存在點(diǎn)P使△ABP周長(zhǎng)最小，△ABP的周長(zhǎng)=，．真題演練真題演練1.（2022?江蘇徐州中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)．(1)點(diǎn)是否在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上？請(qǐng)說明理由；(2)連接、，若四邊形為正方形．①求、的值；②若點(diǎn)在軸上，當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)理由見解析；(2)①k=1，b=2；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-2)．【解析】解：（1）點(diǎn)E在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上．理由如下：一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，，AD平分CE，連接CE交AD于H，如圖所示：，軸于D，軸，，，，，在Rt中，，，為邊AD上的中線，即AH=DH，，，，點(diǎn)在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上；（2）①四邊形ACDE為正方形，，垂直平分，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，（負(fù)值舍去），，，把，代入得，；②延長(zhǎng)交軸于，如圖所示：，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，則點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)，由①知，，，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，即，故當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．2.（2022?浙江舟山中考真題）已知點(diǎn)，在直線（k為常數(shù)，）上，若的最大值為9，則c的值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】B．【解析】解：把代入得：∴∵的最大值為9∴，且當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)解得∴直線解析式為把代入得故選：B．3.（2022?山東濱州中考真題）如圖，在矩形中，．若點(diǎn)E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作且分別交對(duì)角線AC，直線BC于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)E移動(dòng)的過程中，的最小值為________．【答案】【解析】過點(diǎn)D作交BC于M，過點(diǎn)A作，使，連接NE，四邊形ANEF是平行四邊形，，當(dāng)N、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，最小，四邊形ABCD是矩形，，，，四邊形EFMD是平行四邊形，，，，，，，，，即，，由勾股定理得，，，，的最小值為，故答案為：．4.（2022?寧夏中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，，：：．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連接當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)【解析】解：（1）如圖，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)F，∴，又∵，∽，∴，∵，，，，，，．點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，．反比例函數(shù)的表達(dá)式為：．（2）由題意可知，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，解得，直線的解析式為：．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，，的面積為：．，時(shí)，面積取最大值，最大值為，將代入，得∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為．5.（2022?湖南湘西州中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18【答案】B【解析】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長(zhǎng)＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴當(dāng)GH最小時(shí)，即MH⊥AB時(shí)四邊形ACGH的周長(zhǎng)有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝8，∴四邊形ACGH的周長(zhǎng)最小值為14+8＝22，故選：B．6.（2022?湖南婁底中考真題）菱形的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為______．【答案】．【解析】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點(diǎn)F重合，Q與G重合時(shí)，PQ+QC最小，菱形的邊長(zhǎng)為2，，中，PQ+QC的最小值為故答案為：7.（2022?黑龍江龍東中考真題）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，AH是的平分線，于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．【答案】．【解析】解：如圖，作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，此時(shí)，PO+PE最小，最小值=EF的長(zhǎng)，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=3，∠BAO=30°，∴OB==，∴OA=，∴點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，∴OF⊥AB，OG=FG，∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°，∵CE⊥AH于E，OA=OC，∴OE=OC=OA=，∴∠AEC=∠CAE，∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEO=∠CAE=15°，∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，∴由勾股定理，得EF=故答案為：．8.（2022?遼寧阜新中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖像交軸于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如