專題02最值問題探究(原卷版+解析)

專題02最值問題探究知識回放知識回放“二次函數(shù)”最值當a>0，x=時二次函數(shù)有最小值，最小值；當a<0，x=時二次函數(shù)有最大值，最大值“兩定一動”型形如PA+kPB，k=1時如圖，兩定點A、B在直線l（動點P所在直線）的同側(cè)，PA+PB最小值為A’B的長度；形如PA+kPB，0<k<1時如圖，定點A、B其中點B在直線l（動點P所在直線）上，PA+kPB最小值為AD的長度；其中，k=sin∠PBD兩動兩定型兩定點A、B在河流兩岸，AQ+PQ+BP的最小值，其中PQ垂直于河岸最小值為A’B+PQ的長P、Q是∠AOB內(nèi)部定點，R，S為角兩邊的動點，四邊形PRSQ周長的最小值為P’Q’+PQ的長度一定兩動型P是∠AOB內(nèi)部定點，R，Q為角兩邊的動點，三角形PQR周長的最小值為P’P’’的長度與圓相關(guān)P為圓O外一點，A為圓O上一動點，PA的最小值為PA’，最大值為PA’’真題解析真題解析典例1.（2022?四川瀘州中考真題）如圖，在中，，，，半徑為1的圓在內(nèi)平移（圓可以與該三角形的邊相切），則點到圓上的點的距離的最大值為________．典例2.（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為_____．典例3.（2022?遼寧錦州中考真題）如圖，拋物線交x軸于點和，交y軸于點C．(1)求拋物線的表達式；(2)D是直線上方拋物線上一動點，連接交于點N，當?shù)闹底畲髸r，求點D的坐標；

典例4.（2022?廣西桂林中考真題）如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于C點，拋物線的對稱軸l與x軸交于點N，長為1的線段PQ（點P位于點Q的上方）在x軸上方的拋物線對稱軸上運動．(1)直接寫出A，B，C三點的坐標；(2)求CP+PQ+QB的最小值；(3)過點P作PM⊥y軸于點M，當CPM和QBN相似時，求點Q的坐標．典例5.（2022?廣西賀州中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，的平分線交AB于點G，點P是線段DG上的一個動點，則的周長最小值為__________．

典例6.（2022?黑龍江大慶中考真題）已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)圖象過，兩點．(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)如圖，函數(shù)的圖象分別與函數(shù)圖象交于A，B兩點，在y軸上是否存在點P，使得周長最小？若存在，求出周長的最小值；若不存在，請說明理由．真題演練真題演練1.（2022?江蘇徐州中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點，與軸交于點，與軸交于點，軸于點，，點關(guān)于直線的對稱點為點．(1)點是否在這個反比例函數(shù)的圖像上？請說明理由；(2)連接、，若四邊形為正方形．①求、的值；②若點在軸上，當最大時，求點的坐標．2.（2022?浙江舟山中考真題）已知點，在直線（k為常數(shù)，）上，若的最大值為9，則c的值為（

）A． B．2 C． D．13.（2022?山東濱州中考真題）如圖，在矩形中，．若點E是邊AD上的一個動點，過點E作且分別交對角線AC，直線BC于點O、F，則在點E移動的過程中，的最小值為________．4.（2022?寧夏中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別相交于、兩點，與反比例函數(shù)的圖象相交于點，，，：：．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)點是線段上任意一點，過點作軸平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點，連接當面積最大時，求點的坐標．

5.（2022?湖南湘西州中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．186.（2022?湖南婁底中考真題）菱形的邊長為2，，點、分別是、上的動點，的最小值為______．76.（2022?黑龍江龍東中考真題）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，AH是的平分線，于點E，點P是直線AB上的一個動點，則的最小值是________．

8.（2022?遼寧阜新中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖像交軸于點，，交軸于點．(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)如圖，點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段向點運動，點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段向點運動，點，同時出發(fā)．設(shè)運動時間為秒（）．當為何值時，的面積最大？最大面積是多少？9.（2022?廣西梧州中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與x，y軸交于點A，B，拋物線恰好經(jīng)過這兩點．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點C的坐標是，將繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，點A的對應(yīng)點是點E．①寫出點E的坐標，并判斷點E是否在此拋物線上；②若點P是y軸上的任一點，求取最小值時，點P的坐標．專題02最值問題探究知識回放知識回放“二次函數(shù)”最值當a>0，x=時二次函數(shù)有最小值，最小值；當a<0，x=時二次函數(shù)有最大值，最大值“兩定一動”型形如PA+kPB，k=1時如圖，兩定點A、B在直線l（動點P所在直線）的同側(cè)，PA+PB最小值為A’B的長度；形如PA+kPB，0<k<1時如圖，定點A、B其中點B在直線l（動點P所在直線）上，PA+kPB最小值為AD的長度；其中，k=sin∠PBD兩動兩定型兩定點A、B在河流兩岸，AQ+PQ+BP的最小值，其中PQ垂直于河岸最小值為A’B+PQ的長P、Q是∠AOB內(nèi)部定點，R，S為角兩邊的動點，四邊形PRSQ周長的最小值為P’Q’+PQ的長度一定兩動型P是∠AOB內(nèi)部定點，R，Q為角兩邊的動點，三角形PQR周長的最小值為P’P’’的長度與圓相關(guān)P為圓O外一點，A為圓O上一動點，PA的最小值為PA’，最大值為PA’’真題解析真題解析典例1.（2022?四川瀘州中考真題）如圖，在中，，，，半徑為1的圓在內(nèi)平移（圓可以與該三角形的邊相切），則點到圓上的點的距離的最大值為________．【答案】．【解析】如圖所示，當圓與AB、BC相切時，AM最長設(shè)切點分別為D、F，連接OB，∵，，∴，∴∴∵圓的半徑為1∴∴∴∴∴∴點到圓上的點的距離的最大值為．典例2.（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為_____．【答案】4【解析】解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案為：．典例3.（2022?遼寧錦州中考真題）如圖，拋物線交x軸于點和，交y軸于點C．(1)求拋物線的表達式；(2)D是直線上方拋物線上一動點，連接交于點N，當?shù)闹底畲髸r，求點D的坐標；【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：把點和代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：過點D作DH∥y軸，交AC于點H，如圖所示：設(shè)，直線AC的解析式為，由（1）可得：，∴，解得：，∴直線AC的解析式為，∴，∴，∵DH∥y軸，∴，∴，∵，∴當時，的值最大，∴典例4.（2022?廣西桂林中考真題）如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于C點，拋物線的對稱軸l與x軸交于點N，長為1的線段PQ（點P位于點Q的上方）在x軸上方的拋物線對稱軸上運動．(1)直接寫出A，B，C三點的坐標；(2)求CP+PQ+QB的最小值；(3)過點P作PM⊥y軸于點M，當CPM和QBN相似時，求點Q的坐標．【答案】(1)A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4)；(2)6【解析】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）．（2）將C（0，4）向下平移至，使，連接交拋物線的對稱軸l于Q，如圖所示：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵B，Q，共線，∴此時CP+PQ+BQ最小，最小值為的值，∵C（0，4），，∴，∵B（4，0），∴＝＝5，∴，∴CP+PQ+BQ最小值為6．典例5.（2022?廣西賀州中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，的平分線交AB于點G，點P是線段DG上的一個動點，則的周長最小值為__________．【答案】．【解析】解：如圖，在CD上取點H，使DH=DE，連接EH，PH，過點F作FK⊥CD于點K，在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，∴△DEH為等腰直角三角形，∵DG平分∠ADC，∴DG垂直平分EH，∴PE=PH，∴的周長等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，∴當點F、P、H三點共線時，的周長最小，最小值為FH+EF，∵E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，∴AE=DE=DH=3，AF=4，∴EF=5，∵FK⊥CD，∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，∴四邊形ADKF為矩形，∴DK=AF=4，F(xiàn)K=AD=6，∴HK=1，∴，∴FH+EF=，即的周長最小為．故答案為：典例6.（2022?黑龍江大慶中考真題）已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)圖象過，兩點．(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)如圖，函數(shù)的圖象分別與函數(shù)圖象交于A，B兩點，在y軸上是否存在點P，使得周長最?。咳舸嬖?，求出周長的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：把代入，得，解得，，所以反比例函數(shù)解析式是；（2）存在點P使△ABP周長最小，理由：解和得，和，，和，，作點B關(guān)于y軸的對稱點B’，連接AB’，交y軸于點P，當點A、P、B’在一條直線上時，線段AB’的長度最短，所以存在點P使△ABP周長最小，△ABP的周長=，．真題演練真題演練1.（2022?江蘇徐州中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點，與軸交于點，與軸交于點，軸于點，，點關(guān)于直線的對稱點為點．(1)點是否在這個反比例函數(shù)的圖像上？請說明理由；(2)連接、，若四邊形為正方形．①求、的值；②若點在軸上，當最大時，求點的坐標．【答案】(1)理由見解析；(2)①k=1，b=2；②點P的坐標為(0,-2)．【解析】解：（1）點E在這個反比例函數(shù)的圖像上．理由如下：一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點A，設(shè)點A的坐標為，點C關(guān)于直線AD的對稱點為點E，，AD平分CE，連接CE交AD于H，如圖所示：，軸于D，軸，，，，，在Rt中，，，為邊AD上的中線，即AH=DH，，，，點在這個反比例函數(shù)的圖像上；（2）①四邊形ACDE為正方形，，垂直平分，，設(shè)點的坐標為，，，，（負值舍去），，，把，代入得，；②延長交軸于，如圖所示：，，點與點關(guān)于軸對稱，，則點即為符合條件的點，由①知，，，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，當時，，即，故當最大時，點的坐標為．2.（2022?浙江舟山中考真題）已知點，在直線（k為常數(shù)，）上，若的最大值為9，則c的值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】B．【解析】解：把代入得：∴∵的最大值為9∴，且當時，有最大值，此時解得∴直線解析式為把代入得故選：B．3.（2022?山東濱州中考真題）如圖，在矩形中，．若點E是邊AD上的一個動點，過點E作且分別交對角線AC，直線BC于點O、F，則在點E移動的過程中，的最小值為________．【答案】【解析】過點D作交BC于M，過點A作，使，連接NE，四邊形ANEF是平行四邊形，，當N、E、C三點共線時，最小，四邊形ABCD是矩形，，，，四邊形EFMD是平行四邊形，，，，，，，，，即，，由勾股定理得，，，，的最小值為，故答案為：．4.（2022?寧夏中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別相交于、兩點，與反比例函數(shù)的圖象相交于點，，，：：．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)點是線段上任意一點，過點作軸平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點，連接當面積最大時，求點的坐標．【答案】(1)；(2)【解析】解：（1）如圖，過點A作軸于點F，∴，又∵，∽，∴，∵，，，，，，．點在反比例函數(shù)的圖象上，．反比例函數(shù)的表達式為：．（2）由題意可知，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，解得，直線的解析式為：．設(shè)點的橫坐標為，則，，，的面積為：．，時，面積取最大值，最大值為，將代入，得∴點D的坐標為．5.（2022?湖南湘西州中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18【答案】B【解析】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中點，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴當GH最小時，即MH⊥AB時四邊形ACGH的周長有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝8，∴四邊形ACGH的周長最小值為14+8＝22，故選：B．6.（2022?湖南婁底中考真題）菱形的邊長為2，，點、分別是、上的動點，的最小值為______．【答案】．【解析】解：如圖，過點C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，菱形的邊長為2，，中，PQ+QC的最小值為故答案為：7.（2022?黑龍江龍東中考真題）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，AH是的平分線，于點E，點P是直線AB上的一個動點，則的最小值是________．【答案】．【解析】解：如圖，作點O關(guān)于AB的對稱點F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，此時，PO+PE最小，最小值=EF的長，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=3，∠BAO=30°，∴OB==，∴OA=，∴點O關(guān)于AB的對稱點F，∴OF⊥AB，OG=FG，∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°，∵CE⊥AH于E，OA=OC，∴OE=OC=OA=，∴∠AEC=∠CAE，∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEO=∠CAE=15°，∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，∴由勾股定理，得EF=故答案為：．8.（2022?遼寧阜新中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖像交軸于點，，交軸于點．(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)如