專題13平行四邊形(題型歸納)(原卷版+解析)2

專題13平行四邊形題型分析題型分析題型演練題型演練題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求解題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求解1．在下列性質(zhì)中，平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．對邊相等 B．對角相等 C．對角線相等 D．內(nèi)角和為2．如圖，平行四邊形中，對角線相交于點，點E是的中點，則與的面積比為（

）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：53．如圖，平行四邊形中，的平分線交于E，，，則的長（）A．4 B．5 C．5.5 D．64．在中，的平分線交于點，的平分線交于點，若，，則的長是______．5．如圖，平行四邊形中，點E在上，以為折痕，把向上翻折，點A正好落在邊的點F處，若的周長為6，的周長為，那么的長為_________．6．如圖，在平行四邊形中，，，．求平行四邊形的面積．7．如圖，在平行四邊形中，是它的一條對角線．(1)尺規(guī)作圖：作的垂直平分線，分別交，于點E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)連接，若，求的度數(shù)．8．已知：中，，AE平分交BC于E點．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)．題型二利用平行四邊形的性質(zhì)證明題型二利用平行四邊形的性質(zhì)證明9．如圖，在平行四邊形中，，，的平分線交于，交的延長線于點，則（

）A． B． C． D．10．如圖，中，點O為對角線AC的中點，直線l經(jīng)過點O分別與BC，AD交與點M，N，下列結(jié)論中，不一定成立的是（

）A． B． C． D．11．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上的一動點，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則線段AQ長度的最小值為（

）A．6 B．8 C． D．12．如圖，在中，對角線AC，BD相交于點O，過點O作OE⊥AC交AD于E，如果AE＝4，DE＝3，DC＝5，則AC長為______．13．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B＝45°，AD＝2，E，H分別為邊AB，CD上一點．將平行四邊形ABCD沿EH翻折，使得AD的對應(yīng)線段FG經(jīng)過點C，若FG⊥CD，C為FG的中點，則EF的長度為_____．14．已知：如圖，在平行四邊形中，點、為對角線上兩點，且求證：．15．如圖，在中，．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在上截取，使；作的平分線交于點F．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）所作的圖形中，連接交于點G，證明：．16．如圖，在?ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∠DAE＝35°．(1)求證：△AED≌△CFB；(2)求∠CBF的度數(shù)．17．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC⊥DE，AE=AD，AE交BC于O．(1)求證：∠BCA=∠EAC；(2)若CE=3，AC=4，求COE的周長．18．如圖，在平行四邊形中，，是對角線，是的平分線，交邊的延長線于點．(1)證明：；(2)若，，寫出圖中長度等于的所有線段．題型三判斷能否構(gòu)成平行四邊形題型三判斷能否構(gòu)成平行四邊形19．下列命題中，真命題的是（）A．一組對角相等且一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．一組對邊平行且一組對角互補的四邊形是平行四邊形C．兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 D．一組鄰邊相等且一組對邊平行的四邊形是平行四邊形20．下列四組條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（

）．A．AB＝DC，AD＝BC B．C．，AB＝DC D．，AD＝BC21．如圖，四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，下列不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（

）A． B．C． D．22．如圖，是四邊形的邊延長線上的一點，且，則下列條件中不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A． B． C． D．23．下列命題錯誤的是（

）A．一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線的四邊形不一定是平行四邊形B．一組對角相等且這一組對角的頂點所連接的對角線平分另一條對角線的四邊形不一定是平行四邊形C．一組對角相等且這一組對角的頂點連接的對角線被另一條對角線平分的四邊形不一定是平行四邊形D．一組對邊相等一組對角相等的四邊形不一定是平行四邊形題型四證明四邊形是平行四邊形題型四證明四邊形是平行四邊形24．如圖，已知在四邊形中，，點F是的中點，連接交于點A，且點E是的中點，求證：四邊形是平行四邊形．25．如圖，已知在四邊形中，，點是的中點，連接交于點，且點是的中點，求證：四邊形是平行四邊形．26．已知，點B，D在線段AF上，，且．(1)求證：；(2)連接，，求證：四邊形是平行四邊形．27．如圖，在中，點，分別是，的中點，點是延長線上的一點，且，連接，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求四邊形的面積．28．如圖，點A，F(xiàn)，C，D在同一直線上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．(1)求證：∠ACB＝∠DFE；(2)連接BF，CE，直接判斷四邊形BFEC的形狀．29．如圖，中，D是邊上任意一點，F(xiàn)是中點，過點C作∥交的延長線于點E，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形：(2)若，，，求的長．30．已知：如圖，在四邊形ABCD中，，對角線AC、BD相交于點O，且O是AC的中點．(1)求證：≌；(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形．31．如圖，在四邊形中，點E，C為對角線上的兩點，．連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求證：．題型五利用矩形的性質(zhì)求角度和線段長度題型五利用矩形的性質(zhì)求角度和線段長度32．如圖，矩形中，，交于點O，M，N分別為，的中點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．33．如圖，矩形中，于，且：：，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．34．如圖，矩形ABCD的頂點A，C分別在直線a，b上，且，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．35．如圖，矩形的對角線，，則的長是（

）A． B． C． D．36．如圖，點為矩形對角線與的交點，若，則的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．637．如圖，矩形的對角線交于點O，，則的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．38．如圖，在矩形中，對角線，相交于點，于點，于點．（1）求證：．（2）若，求的度數(shù)．39．如圖，在平行四邊形中，于點，延長至點，使，連接，與交于點．(1)求證：四邊形為矩形；(2)若，，，求的長．40．如圖，在矩形中，E是上一點，于點F，設(shè)．(1)若，求證：；(2)若，，且D、B、F在同一直線上時，求λ的值．41．如圖，在四邊形中，，，，，分別為，的中點，連接，，延長交的延長線于點．(1)求證：四邊形為矩形；(2)若，，求的長度．結(jié)果可保留根號題型六利用矩形的性質(zhì)證明題型六利用矩形的性質(zhì)證明42．如圖，四邊形是矩形，對角線相交于點，交的延長線于點．求證：．43．如圖，在矩形中，點在邊上，，，垂足為．試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．44．如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，且AF＝CE，求證：DF＝BE．45．如圖，在平行四邊形ABCD中，點M是AD邊的中點，連接BM，CM，且BM＝CM．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若△BCM是直角三角形，寫出AD與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．46．在矩形ABCD中，E在BC的延長線上，連接DE，過點B作BF//DE交DA的延長線于點F．(1)求證：BF＝DE；(2)連接AE，若AF＝1，AB＝2，AD，求證：AE平分∠DEB．47．如圖，在矩形中，對角線、交于點，過點作，交的延長線于點．(1)求證：；(2)若，，求的周長．題型七證明四邊形是矩形題型七證明四邊形是矩形48．如圖，在平行四邊形中，對角線、交于點，點為的中點，于點，點為上一點，連接，，且．(1)求證：四邊形為矩形；(2)若，，，求的長．49．如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，且．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長．50．如圖，中，為邊的中點，連接并延長交的延長線于點，延長至點，使，連接、、．(1)求證：；(2)若，求證：四邊形是矩形．51．如圖，已知在中，，小明同學(xué)進行了以下操作：第一步：作出的中點E；第二步：連接并延長到D，使得；第三步：連接和．則四邊形是什么特殊四邊形？請說明理由．52．如圖，在平行四邊形中，是對角線．(1)用基本尺規(guī)作圖完成以下作圖，取邊的點E，使得，并延長與的延長線交于點F，再連接；(2)若，猜想四邊形的形狀，并說明理由．題型八利用菱形的性質(zhì)求解題型八利用菱形的性質(zhì)求解53．如圖，菱形中，交于，于，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．54．如圖，在菱形中，，分別在，上，且，與交于點，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．55．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，點M是AD邊的中點，點N是AB邊上一動點，將AMN沿MN所在的直線翻折得到，連接，則線段長度的最小值是（

）A．－1 B．－1 C．－1 D．256．如圖，菱形中，E，F(xiàn)分別是，的中點．若菱形的周長為32，則線段的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．1257．在菱形中，，，則菱形的周長為（

）A．48 B．30 C．20 D．1058．如圖，在菱形中，，則菱形的周長是（

）A． B． C． D．59．如圖，菱形的對角線與相交于點O，過點O的直線分別交，于點E，F(xiàn)．若陰影部分的面積為5，則菱形的面積為（

）A．10 B．15C．20 D．2560．如圖，已知菱形的兩條對角線與長分別是和，則這個菱形的面積是（

）A． B． C． D．61．如圖，四邊形是菱形，于點．若，，則的長度為（

）A． B． C． D．題型九利用菱形的性質(zhì)證明題型九利用菱形的性質(zhì)證明62．下列說法正確的是（

）A．對角線相等的四邊形是矩形B．矩形的對角線相等且互相平分C．對角線互相垂直的四邊形是菱形D．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形63．下列命題中正確的是（

）A．菱形的對角線相等 B．矩形的對角線互相垂直平分C．對角線平分對角的平行四邊形是菱形 D．對角線相等的四邊形是矩形64．下列說法正確的是（

）A．矩形的對角線互相垂直 B．矩形的鄰邊相等C．菱形的對角線互相垂直平分 D．菱形的對角線相等65．以下條件中能判定平行四邊形為菱形的是（

）A． B． C． D．66．如圖，在中，、分別為邊、的中點，點、在上，且，若添加一個條件使四邊形是菱形，則下列可以添加的條件是A． B． C． D．題型十證明四邊形是菱形題型十證明四邊形是菱形67．如圖，菱形的對角線，相交于點O，E，F(xiàn)分別為邊，的中點，連接，，.(1)求證：四邊形是菱形；(2)如果，，求線段的長．68．如圖，在中，，D是的中點，過點作，且，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．69．如圖，在矩形中，對角線交于點，分別過點作，的平行線交于點，連接交于點．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．70．如圖1，在中，，，是斜邊上的中線，點E為射線上一點，將沿折疊，點B的對應(yīng)點為點F．(1)若，垂足為G，點F與點D在直線的異側(cè)，連接．如圖2，判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，，則的長度為____________．71．如圖，在中，點D是邊的中點，點F，E分別是及其延長線上的點，，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)當(dāng)滿足____________條件時，四邊形為菱形．（填寫序號）①．②，③，④．題型十一利用正方形的性質(zhì)求解題型十一利用正方形的性質(zhì)求解72．如圖，在正方形中，為上一點，連接，交對角線于點，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．73．如圖，在正方形中，對角線相交于點O．E、F分別為上一點，且，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．74．如圖，邊長為5的正方形中，點E、F分別在邊、上，連接、、．已知平分，，則的長為（

）A．2 B．4 C． D．75．如圖，在正方形中，與相交于點，，點為上任意一點，于點，于點，則的值為（

）A． B． C． D．76．如圖，已知，相鄰兩條平行線間的距離都等于，如果正方形的四個頂點分別在四條直線上，與交于點，則正方形的面積為（

）A． B． C． D．77．如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的兩直角邊EF，EG分別交BC，DC于點M，N．若正方形ABCD邊長為4，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（

）A．2 B．4 C．6 D．878．如圖，將一張長方形紙對折，再對折，然后沿圖中虛線剪下，剪下的圖形展開后可得到（

）A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五邊形79．如圖，正方形ABCD中，AB=12，點E在邊CD上，且BG=CG，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF，下列結(jié)論：①∠EAG＝45°：②CE＝3DE；③AG∥CF；④S△FGC=，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型十二利用正方形的性質(zhì)證明題型十二利用正方形的性質(zhì)證明80．如圖，在正方形中，將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，，若，，則線段的長為（

）A． B． C． D．81．如圖，已知正方形的邊長為4，是對角線上一點，于點，于點，連接，．給出下列結(jié)論：①；②四邊形的周長為8；③；④的最小值為2．其中正確結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個82．如圖，在正方形中，點E、點F分別在上，且，若四邊形的面積是，的長為1，則正方形的邊長為（）A． B． C． D．83．如圖，在正方形紙片中，對角線，交于點，折疊正方形紙片，使落在上，點恰好與上的點重合，展開后，折疊分別交，于，，連接，下列結(jié)論：①②③④四邊形是菱形，正確的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個84．已知：如圖，，是正方形的對角線上的兩點，且．那么四邊形不具備的條件是（

）A．對角線相等 B．四邊相等 C．對角線互相垂直 D．對邊平行題型十三證明四邊形是正方形題型十三證明四邊形是正方形85．在中，，點D是的中點，連接，過點B，C分別作，，、交于點F．(1)求證：四邊形是菱形；(2)當(dāng)和滿足怎樣的關(guān)系時，四邊形是正方形？并證明你的結(jié)論．86．如圖，、是中的內(nèi)、外角平分線，于，于，交的延長線于．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)與相等嗎？為什么？(3)當(dāng)滿足______時，四邊形是一個正方形？并給出證明．87．在中，平分，于點，交于點，，連接.(1)求證：；(2)當(dāng)滿足什么條件時四邊形是正方形？請說明理由.88．如圖，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E是DB延長線上一點，若AE＝CE．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若∠BAO＝∠ABO，判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由．89．如圖1，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE＝AF，DE⊥AF于點G．(1)求證：四邊形ABCD是正方形；(2)延長CB到點H，使得BH＝AE，判斷△AHF的形狀，并說明理由．(3)如圖2，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE與AF相交于點G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，請類比（2），求DE的長．專題13平行四邊形題型分析題型分析題型演練題型演練題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求解題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求解1．在下列性質(zhì)中，平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．對邊相等 B．對角相等 C．對角線相等 D．內(nèi)角和為【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】∵平行四邊形的對邊相等，對角相等，內(nèi)角和為，∴平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是對角線相等；故選：C．2．如圖，平行四邊形中，對角線相交于點，點E是的中點，則與的面積比為（

）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5【答案】C【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可知，，得出；即，再根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形∴，∴∴∵點是的中點∴∴故選：C．3．如圖，平行四邊形中，的平分線交于E，，，則的長（）A．4 B．5 C．5.5 D．6【答案】B【分析】由在平行四邊形中，的平分線交于點E，易證得，繼而求得的長．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴．故選：B4．在中，的平分線交于點，的平分線交于點，若，，則的長是______．【答案】4或8【分析】分兩種情形討論即可①如圖1中，點在點左側(cè)，②如圖2中，點在點右側(cè)．由平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的判定可得出答案．【詳解】解：如圖，四邊形是平行四邊形，，，，，又平分，，，，同理可證：，，，，，；如圖中，同理可知，，，．，綜上所述為或，故答案為：或．5．如圖，平行四邊形中，點E在上，以為折痕，把向上翻折，點A正好落在邊的點F處，若的周長為6，的周長為，那么的長為_________．【答案】7【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：，，從而平行四邊形的周長可以轉(zhuǎn)化為的周長的周長，求出，再由的周長，即可求出的長．【詳解】∵向上翻折，點A正好落在邊上，∴，，∵的周長為6，的周長為20，∴，，∴，∴∵，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，即，∴．故答案為：7．6．如圖，在平行四邊形中，，，．求平行四邊形的面積．【答案】【分析】過D作于E，由平行四邊形的性質(zhì)得，，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得，然后由勾股定理得，即可解決問題．【詳解】解：如圖，過D作于E，則，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴平行四邊形的面積．7．如圖，在平行四邊形中，是它的一條對角線．(1)尺規(guī)作圖：作的垂直平分線，分別交，于點E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作法畫出圖形，即可求解；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而得到，再由三角形的外角性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求；（2）解：∵垂直平分，∴，∴，∴．8．已知：中，，AE平分交BC于E點．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)128°；(2)116°；【分析】（1）由ABCD是平行四邊形可得AD∥BC，由兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得∠BAD；（2）由角平分線的定義可得∠DAE，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得∠AEC；【詳解】(1)解：∵ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠B=52°，∴∠BAD=180°-52°=128°，(2)解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=∠BAD=64°；∵AD∥BC，∴∠DAE+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-64°=116°；題型二利用平行四邊形的性質(zhì)證明題型二利用平行四邊形的性質(zhì)證明9．如圖，在平行四邊形中，，，的平分線交于，交的延長線于點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出，再結(jié)合角平分線的定義可證∠CBF=∠CFB，進而可求出DF的長．【詳解】解：∵平行四邊形ABCD，，，∴，AB=CD=3，BC=AD=5，∴∠ABE=∠CFE，∵∠ABC的平分線交AD于點E，∴∠ABE=∠CBF，∴∠CBF=∠CFB，∴CF=CB=5，∴DF=CF-CD=5-3=2故選：C．10．如圖，中，點O為對角線AC的中點，直線l經(jīng)過點O分別與BC，AD交與點M，N，下列結(jié)論中，不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)逐項推理證明即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，A成立，不符合題意；∵AD∥BC，∴，∵點O為對角線AC的中點，∴，∵，∴，∴，，C、D成立，不符合題意；不一定成立，B符合題意；故選：B．11．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上的一動點，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則線段AQ長度的最小值為（

）A．6 B．8 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短，可以得到當(dāng)CP⊥AB時，CP取得最小值，此時CP的值就是AQ的最小值，從而可以解答本題．【詳解】解：∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴AQ＝PC，∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，∴當(dāng)CP⊥AB時，CP取得最小值，∵∠BAC＝45°，，設(shè)，在Rt△APC中，AB＝AC＝8，則，即，解得，故選：D．12．如圖，在中，對角線AC，BD相交于點O，過點O作OE⊥AC交AD于E，如果AE＝4，DE＝3，DC＝5，則AC長為______．【答案】【分析】連接CE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO＝CO，然后判斷出OE垂直平分AC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得CE＝AE＝4，利用勾股定理的逆定理得到∠CED＝90°，得到△AEC是等腰直角三角形，即可求得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接CE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴CE＝AE＝4，∵DE＝3，∴CE2+DE2＝42+32＝52＝CD2，∴∠CED＝90°，∴∠AEC＝90°，∴△AEC是等腰直角三角形，∴AC＝AE＝4，故答案為：4．13．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B＝45°，AD＝2，E，H分別為邊AB，CD上一點．將平行四邊形ABCD沿EH翻折，使得AD的對應(yīng)線段FG經(jīng)過點C，若FG⊥CD，C為FG的中點，則EF的長度為_____．【答案】【分析】延長CF與AB交于點M，由平行四邊形的性質(zhì)得BC，GM⊥AB，即可得，然后可得GF，∠EFG，進而得FM，∠EFM，即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖：延長CF與AB交于點M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，BC=AD=2，∵FG⊥CD，∴CM⊥AB，∵∠B=45°，∴BM=CM，∴，∴CM，由折疊知GF=AD=2，∵C為FG的中點，∴CG=1，∴，∵∠EFG=∠A=180°-∠B=135°，∴∠MFE＝45°，∴．故答案為：．14．已知：如圖，在平行四邊形中，點、為對角線上兩點，且求證：．【答案】見解析【分析】證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，，在和中，，，，即．15．如圖，在中，．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在上截取，使；作的平分線交于點F．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）所作的圖形中，連接交于點G，證明：．【答案】(1)作圖見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用尺規(guī)作圖畫出圖形，即可求解；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而得到，再由平分，可得，從而得到，進而得到，即可．【詳解】（1）解：如圖所示，點E、F即為所求；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，即，∴．16．如圖，在?ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∠DAE＝35°．(1)求證：△AED≌△CFB；(2)求∠CBF的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)∠CBF＝55°【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得到∠DAE＝∠BCF，再結(jié)合條件即可．（2）利用互余求角度，結(jié)合（1）中的全等解題即可．【詳解】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AD＝CB，又AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC．∴∠DEA＝∠BFC＝90°，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（AAS）；（2）解：在Rt△ADE中，∠DAE＝35°，∠DEA＝C＝90°，∠ADE＝90°﹣∠DAE＝55°，∵△AED≌△CFB（AAS），∴∠CBF＝∠ADE＝55°17．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC⊥DE，AE=AD，AE交BC于O．(1)求證：∠BCA=∠EAC；(2)若CE=3，AC=4，求COE的周長．【答案】(1)證明見解析；(2)8【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明∠DAC=∠BCA，再由三線合一定理證明，即可證明∠BCA=∠EAC；（2）先根據(jù)等角對等邊證明OA=OC，再由勾股定理求出AE的長，最后證明△COE的周長=AE+CE即可得到答案．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴∠DAC=∠BCA，∵AE=AD，AC⊥ED，∴，∴∠BCA=∠EAC；（2）解：∵∠BCA=∠EAC，∴OA=OC，∵AC⊥DE，即∠ACE=90°，∴在Rt△ACE中，由勾股定理得：，∴△COE的周長=CE+OC+OE=OA+OE+CE=AE+CE=8．18．如圖，在平行四邊形中，，是對角線，是的平分線，交邊的延長線于點．(1)證明：；(2)若，，寫出圖中長度等于的所有線段．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得出，，進而得出答案；（2）利用等邊三角形的判定方法得出和是等邊三角形，再證明得出≌（ASA），即可得出，進而可判定為矩形，再利用矩形的性質(zhì)可得，進而可得答案．【詳解】（1）證明：如圖，是的平分線，，四邊形是平行四邊形，，，，，，．（2）解：，理由：如圖，，，，，，則是等邊三角形，可得，，，，是直角三角形，，在和中，≌（ASA），，又，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形．，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，是等邊三角形，，．題型三判斷能否構(gòu)成平行四邊形題型三判斷能否構(gòu)成平行四邊形19．下列命題中，真命題的是（）A．一組對角相等且一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．一組對邊平行且一組對角互補的四邊形是平行四邊形C．兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 D．一組鄰邊相等且一組對邊平行的四邊形是平行四邊形【答案】C【分析】對各個命題逐一判斷后找到正確的即可確定真命題．【詳解】解：、一組對角相等且一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，如等腰梯形，原命題是假命題,不符合題意；B、一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題,不符合題意；C、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，原命題是真命題,符合題意；D、一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題,不符合題意；故選：C20．下列四組條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（

）．A．AB＝DC，AD＝BC B．C．，AB＝DC D．，AD＝BC【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可．【詳解】解：A．∵AB=DC，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形），故該選項不符合題意；B．∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形），故該選項不符合題意；C．∵，AB=DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），故該選項不符合題意；D．由，AD=BC不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故該選項符合題意；故選：D．21．如圖，四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，下列不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理推理判斷即可．【詳解】因為，所以∠ABD=∠CDB，因為∠AOB=∠COD，所以△AOB≌△COD，所以O(shè)B=OD，所以四邊形ABCD是平行四邊形，故A可以，不符合題意；因為，所以∠DAC=∠BCA，因為AC=CA，所以△ACD≌△CAB，所以AD=BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形，故B可以，不符合題意；因為，無法判定四邊形ABCD是平行四邊形，故C不可以，符合題意；因為，所以四邊形ABCD是平行四邊形，故D可以，不符合題意；故選：C．22．如圖，是四邊形的邊延長線上的一點，且，則下列條件中不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線的判定方法判斷即可得到結(jié)果．【詳解】解：A.，，，四邊形是平行四邊形，故不符合題意；B.，，，四邊形是平行四邊形，故不符合題意；C.，，不能判斷四邊形是平行四邊形，故符合題意；D.，，，，，，四邊形是平行四邊形，故不符合題意．故選：C．23．下列命題錯誤的是（

）A．一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線的四邊形不一定是平行四邊形B．一組對角相等且這一組對角的頂點所連接的對角線平分另一條對角線的四邊形不一定是平行四邊形C．一組對角相等且這一組對角的頂點連接的對角線被另一條對角線平分的四邊形不一定是平行四邊形D．一組對邊相等一組對角相等的四邊形不一定是平行四邊形【答案】B【分析】根據(jù)所給的每一個命題進行推導(dǎo)，看是否符合平行四邊形的判定定理：A、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；B、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；C、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；D、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；【詳解】A、一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形，但不能證明另一組對邊也相等或平行，故該命題正確；B、一組對角相等，這一組對角的頂點所連接的對角線平分另一條對角線的四邊形是四邊形，能證明另一組對角也相等，故該命題錯誤；C、一組對角相等，這一組對角的頂點所連接的對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形，不能證明另一組對角也相等，故該命題正確；D、一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形，不能證明另一組對邊也相等或平行，故該命題正確；故選：B．題型四證明四邊形是平行四邊形題型四證明四邊形是平行四邊形24．如圖，已知在四邊形中，，點F是的中點，連接交于點A，且點E是的中點，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【分析】先證明，得，再證，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，∵點F是的中點，∴，在和中，，∴，∴，∵點E是的中點，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形．25．如圖，已知在四邊形中，，點是的中點，連接交于點，且點是的中點，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【分析】根據(jù)角邊角，證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等量代換，得出，再根據(jù)平行四邊形的判定定理，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，∵點是的中點，∴，在和中，，∴，∴，∵點是的中點，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形．26．已知，點B，D在線段AF上，，且．(1)求證：；(2)連接，，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由得到，即，由得到，即可證明；（2）連接，，由（1）知，可得，，則，即可證得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖所示：∵，∴．∴．∵，∴．在和中，∵，∴．（2）連接，，由（1）知，∴，．∴．∴四邊形是平行四邊形．27．如圖，在中，點，分別是，的中點，點是延長線上的一點，且，連接，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)12cm2【分析】（1）證DE是△ABC的中位線，得DEBC，BC=2DE，再證DE=BF，即可得出四邊形DEFB是平行四邊形；（2）由（1）得：BF=DE=3，四邊形DEFB是平行四邊形，勾股定理求得，進而求得，根據(jù)四邊形的面積=BF?CD，即可求解．【詳解】（1）證明：∵點D，E分別是AC，AB的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DEBC，BC=2DE，∵CF=3BF，∴BC=2BF，∴DE=BF，∴四邊形DEFB是平行四邊形；（2）解：由（1）得：DE=BF=3cm，∵D是AC的中點，CE=5cm，∴AB=10cm，BC=6cm，∵∠ACB=90°，∴AC=（cm），∴CD=cm∴四邊形DEFB的面積=BF?CD=4×3=12（cm2）．28．如圖，點A，F(xiàn)，C，D在同一直線上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．(1)求證：∠ACB＝∠DFE；(2)連接BF，CE，直接判斷四邊形BFEC的形狀．【答案】(1)見解析(2)四邊形BFEC是平行四邊形【分析】（1）證△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由（1）可知，∠ACB=∠DFE，則BC∥EF，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AF=CD，∴AF＋CF=CD＋CF，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，△ABC≌△DEF（SSS）（2）如圖，四邊形BFEC是平行四邊形，理由如下：由（1）可知，∠ACB=∠DFE，∴BCEF，又∶BC=EF，四邊形BFEC是平行四邊形．29．如圖，中，D是邊上任意一點，F(xiàn)是中點，過點C作∥交的延長線于點E，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形：(2)若，，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，于是得到四邊形ADCE是平行四邊形；（2）過點C作于點G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，．∵F是AC中點，∴．在與中，，∴，∴．∵，∴四邊形ADCE是平行四邊形；（2）解：過點C作于點G，在中，，，，，由勾股定理得，∴，在中，，，，∴，∴．30．已知：如圖，在四邊形ABCD中，，對角線AC、BD相交于點O，且O是AC的中點．(1)求證：≌；(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由平行線的性質(zhì)，得到∠ABO=∠CDO，∠BAO=∠DCO，再結(jié)合AO=CO，即可證明結(jié)論成立；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到AB=CD，即可證明四邊形ABCD是平行四邊形．【詳解】（1）證明：∵AB//CD∴∠ABO=∠CDO，∠BAO=∠DCO，∵O是AC的中點，∴AO=CO，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（AAS）；（2）證明：由（1）知△AOB≌△COD，∴AB=CD又AB//CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．31．如圖，在四邊形中，點E，C為對角線上的兩點，．連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由可得，證明，則，，進而結(jié)論得證；（2）由，可知，，則，證明，進而結(jié)論得證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形．（2）證明：由（1）知，，∴，AC=DE，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴．題型五利用矩形的性質(zhì)求角度和線段長度題型五利用矩形的性質(zhì)求角度和線段長度32．如圖，矩形中，，交于點O，M，N分別為，的中點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，得到．【詳解】解：∵矩形中，，交于點O，則，∵∴在中，M，N分別為，的中點∴∴故選：A33．如圖，矩形中，于，且：：，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用矩形的性質(zhì)結(jié)合：：，求解再求解再利用角的和差即可得到答案．【詳解】解：∵矩形中，∴∵：：，∴∵，∴∵∴∴故選C．34．如圖，矩形ABCD的頂點A，C分別在直線a，b上，且，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先過點D作，由，可求得∠3的度數(shù)，易得，繼而求得答案．【詳解】解：過點D作，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．35．如圖，矩形的對角線，，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分可得，再根據(jù)鄰角互補求出的度數(shù)，然后得到是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得解【詳解】解：在矩形中，，，，是等邊三角形，，，故選：C．36．如圖，點為矩形對角線與的交點，若，則的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】D【分析】根據(jù)矩形的兩條對角線相等，即可解答．【詳解】解：四邊形是矩形，，故選：D．37．如圖，矩形的對角線交于點O，，則的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合已知求得，從而得出，在中，由勾股定理可求得的長．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴∴∵，∴，∴，在中，故選：D．38．如圖，在矩形中，對角線，相交于點，于點，于點．（1）求證：．（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）18°【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是矩形得出OA=OD，再證△AEO≌△DFO（AAS），即可得出結(jié)論．（2）由矩形的性質(zhì)得出∠BAD=90°，OA=OB，則∠OAB=∠OBA，結(jié)合已知求出∠BAE=36°，則∠OBA=∠OAB=54°，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴，AC=BD；∴OA=OD∵AE⊥BD于點E，DF⊥AC于點F，∴∠AEO=∠DFO=90°，在△AEO和△DFO中，∴△AEO≌△DFO（AAS），∴AE=DF，（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠BAE：∠EAD=2：3，∴∠BAE=36°，∵∠AEB=90°∴∠OBA=∠OAB=90°-36°=54°，∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=54°-36°=18°．39．如圖，在平行四邊形中，于點，延長至點，使，連接，與交于點．(1)求證：四邊形為矩形；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線段的和差關(guān)系可得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，即可得出，，可證明四邊形AEFD為平行四邊形，根據(jù)即可得結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，可得為直角三角形，利用“面積法”可求出的長，即可得答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∴平行四邊形為矩形；（2）解：由（1）知，四邊形為矩形，∴，，∵，∴∴為直角三角形，，∴，∴，即，∴，∴．40．如圖，在矩形中，E是上一點，于點F，設(shè)．(1)若，求證：；(2)若，，且D、B、F在同一直線上時，求λ的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用證明解題；（2）利用同角的余角相等得到，利用三角函數(shù)、勾股定理解得長，進而求出的值．【詳解】（1）證明：連接，如圖：∵四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）當(dāng)D、B、F在同一直線上時，如圖所示：∵四邊形為矩形，∴，在中，，，∴∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，，∴．41．如圖，在四邊形中，，，，，分別為，的中點，連接，，延長交的延長線于點．(1)求證：四邊形為矩形；(2)若，，求的長度．結(jié)果可保留根號【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，，得到四邊形為平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和，得到，即可得證；（2）證明，得到，根據(jù)矩形的性質(zhì)，求出，進而得到，再利用勾股定理，進行求解即可?！驹斀狻浚?）證明：在四邊形中，，，四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是矩形；（2）解：，，為的中點，．在和中，，，四邊形是矩形，，，為的中點，，在中，由勾股定理得：．題型六利用矩形的性質(zhì)證明題型六利用矩形的性質(zhì)證明42．如圖，四邊形是矩形，對角線相交于點，交的延長線于點．求證：．【答案】見詳解【分析】根據(jù)矩形的對角線相等可得，對邊平行可得，再證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得，從而得證．【詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴，，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴．43．如圖，在矩形中，點在邊上，，，垂足為．試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】，理由見解析【分析】根據(jù)題中條件，可以判斷．要證明兩條線段相等，只需證明包含這兩條邊的，再利用兩個三角形全等的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：．理由如下：在矩形中，，，，，，，在和中，，，．44．如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，且AF＝CE，求證：DF＝BE．【答案】見解析【分析】利用矩形的性質(zhì)，證明Rt△ADF≌Rt△CBE，即可得解．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°，在Rt△ADF與Rt△CBE中，AD＝CB，AF＝CE，∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），∴DF＝BE．45．如圖，在平行四邊形ABCD中，點M是AD邊的中點，連接BM，CM，且BM＝CM．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若△BCM是直角三角形，寫出AD與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由SSS證明△ABM≌△DCM，得出∠A=∠D，由平行線的性質(zhì)得出∠A+∠D=，證出∠A=，即可得出結(jié)論；（2）先證明△BCM是等腰直角三角形，得出∠MBC=，再證明△ABM是等腰直角三角形，得出AB=AM，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵點M是AD邊的中點，∴AM=DM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，，在△ABM和△DCM中，∵，∴△ABM≌△DCM（SSS），∴∠A=∠D，∵，∴∠A+∠D=，∴∠A=，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：AD與AB之間的數(shù)量關(guān)系：AD=2AB，理由如下：∵△BCM是直角三角形，BM=CM，∴△BCM是等腰直角三角形，∴∠MBC=，由（1）得：四邊形ABCD是矩形，∴，∴，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AB=AM，∵點M是AD邊的中點，∴AD=2AM，∴AD=2AB．46．在矩形ABCD中，E在BC的延長線上，連接DE，過點B作BF//DE交DA的延長線于點F．(1)求證：BF＝DE；(2)連接AE，若AF＝1，AB＝2，AD，求證：AE平分∠DEB．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，BF∥DE，即可得出四邊形FBED是平行四邊形，進而解答即可；（2）由勾股定理得出BF，由平行四邊形的性質(zhì)得出DF∥BE，DE=BF，則∠DAE=∠AEB，證出DE=AD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAE=∠DEA，得出∠AEB=∠DEA即可．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵BF∥DE，∴四邊形FBED是平行四邊形，∴BF=DE；（2）如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠FAB=90°，∵AF=1，AB=2，∴由勾股定理得：，∵四邊形BEDF為平行四邊形，∴DF∥BE，DE=BF，∴∠DAE=∠AEB，∵AD，∴DE=AD，∴∠DAE=∠DEA，∴∠AEB=∠DEA，即AE平分∠DEB．47．如圖，在矩形中，對角線、交于點，過點作，交的延長線于點．(1)求證：；(2)若，，求的周長．【答案】(1)證明見解析(2)27【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，BC∥AD，根據(jù)平行四邊形的判定可推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，從而結(jié)論得證；（2）先根據(jù)勾股定理求得的長，再根據(jù)矩形的性質(zhì)并結(jié)合（1）可得，即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，，即，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，在中，，，∴，由（1）知，；∴的周長為：．∴的周長為．題型七證明四邊形是矩形題型七證明四邊形是矩形48．如圖，在平行四邊形中，對角線、交于點，點為的中點，于點，點為上一點，連接，，且．(1)求證：四邊形為矩形；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)21【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形完成證明．（2）利用矩形性質(zhì)，得到是等腰直角三角形，求得的長，過D作于M，則是等腰直角三角形，運用勾股定理求得的長即可得解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵點E為的中點，∴是的中位線，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴，∴四邊形為矩形．（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，由（1）可知，四邊形為矩形，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，如圖，過D作于M，則是等腰直角三角形，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴．49．如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，且．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出，且，求出，根據(jù)矩形的判定推出即可；（2）根據(jù)矩形性質(zhì)求出，求出，解直角三角形求出即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：∵，，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴．∴．50．如圖，中，為邊的中點，連接并延長交的延長線于點，延長至點，使，連接、、．(1)求證：；(2)若，求證：四邊形是矩形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）只需要利用證明即可；（2）只需要證明與相等且互相平分，即可證明四邊形是矩形．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵為邊的中點，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴與相等且互相平分，∴四邊形是矩形；51．如圖，已知在中，，小明同學(xué)進行了以下操作：第一步：作出的中點E；第二步：連接并延長到D，使得；第三步：連接和．則四邊形是什么特殊四邊形？請說明理由．【答案】矩形，理由見解析【分析】由題意易得，然后可證四邊形是平行四邊形，進而根據(jù)矩形的判定定理可求解．【詳解】解：四邊形是矩形，理由如下：∵E是AC的中點，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形為矩形．52．如圖，在平行四邊形中，是對角線．(1)用基本尺規(guī)作圖完成以下作圖，取邊的點E，使得，并延長與的延長線交于點F，再連接；(2)若，猜想四邊形的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)四邊形是矩形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)作一個角等于已知角的作法，即可求解；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而得到，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得到，可證得四邊形是平行四邊形，即可．【詳解】（1）解∶如圖，即為所求；（2）解∶四邊形是矩形，理由如下：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，即，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．題型八利用菱形的性質(zhì)求解題型八利用菱形的性質(zhì)求解53．如圖，菱形中，交于，于，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由菱形的性質(zhì)可得，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴，∴，故選：A．54．如圖，在菱形中，，分別在，上，且，與交于點，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，，得到，從而得到，得到，利用等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，，∴又∵，∴∴，即為的中點∴，∴故選C55．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，點M是AD邊的中點，點N是AB邊上一動點，將AMN沿MN所在的直線翻折得到，連接，則線段長度的最小值是（

）A．－1 B．－1 C．－1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意，在N的運動過程中在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運動，當(dāng)C取最小值時，由兩點之間線段最短知此時M、、C三點共線，得出的位置，進而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出C的長即可．【詳解】解：如圖所示：由折疊可知M=MA，∵M為AD中點，∴2MA=2MD=AD=2，∴M=MA=1是定值，∵M+C≥MC，∴當(dāng)線段長度是最小值時，在MC上，過點M作MF⊥DC于點F，∵菱形ABCD，∴CDAB∴∠FDM=∠A=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=MD=，∴FC=FD+CD=，F(xiàn)M=，∴MC=，∴C=MC-M=-1．故選：B．56．如圖，菱形中，E，F(xiàn)分別是，的中點．若菱形的周長為32，則線段的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【分析】先由菱形的性質(zhì)求出菱形的邊長，再根據(jù)三角形中位線定理求解即可．【詳解】解：∵菱形的周長為32，∴，∴，∵E，F(xiàn)分別是，的中點．∴是的中位線，∴，故選：A．57．在菱形中，，，則菱形的周長為（

）A．48 B．30 C．20 D．10【答案】C【分析】根據(jù)菱形對角線互相垂直平分的性質(zhì)，可以求得，，在中，根據(jù)勾股定理可以求得的長，即可求菱形的周長．【詳解】解：菱形對角線互相垂直平分，如下圖：，，，菱形的周長．故選：C．58．如圖，在菱形中，，則菱形的周長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由菱形中，，，根據(jù)菱形的性質(zhì)，可求得，，，然后由勾股定理求得的長，即可解答．【詳解】解：∵菱形中，，，∴，，，，∴，∴，∴菱形的周長，故選：D．59．如圖，菱形的對角線與相交于點O，過點O的直線分別交，于點E，F(xiàn)．若陰影部分的面積為5，則菱形的面積為（

）A．10 B．15C．20 D．25【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得，，，，可利用ASA證明，可得，即可得，即可得．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，，，在和中，∴（ASA），∴，∴，∴，故選：C．60．如圖，已知菱形的兩條對角線與長分別是和，則這個菱形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接由菱形面積等于對角線乘積的一半列式計算即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，∴，故選：C．61．如圖，四邊形是菱形，于點．若，，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用菱形的面積等于對角線乘積的一半，也等于邊長乘以高解題．【詳解】∵四邊形為菱形，∴，設(shè)與交于點O，，則，，，即．故選C．題型九利用菱形的性質(zhì)證明題型九利用菱形的性質(zhì)證明62．下列說法正確的是（

）A．對角線相等的四邊形是矩形B．矩形的對角線相等且互相平分C．對角線互相垂直的四邊形是菱形D．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形【答案】B【分析】利用平行四邊形的判定，矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定依次判斷可求解．【詳解】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項A不符合題意；B、矩形的對角線相等且互相平分，故選項B符合題意；C、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故選項C不符合題意；D、一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，故選項D不符合題意；故選：B．63．下列命題中正確的是（

）A．菱形的對角線相等 B．矩形的對角線互相垂直平分C．對角線平分對角的平行四邊形是菱形 D．對角線相等的四邊形是矩形【答案】C【分析】分別根據(jù)矩形的性質(zhì)與判斷、菱形的判斷與性質(zhì)對各選項進行逐一判斷即可．【詳解】解：A．菱形的對角線互相垂直平分，且每一條對角線平分一組對角，故A不符合題意；B．矩形的對角線相等且互相平分，不一定互相垂直，故B不符合題意；C．對角線平分對角的平行四邊形是菱形，描述正確，故C符合題意；D．對角線相等的四邊形不一定是矩形，故D不符合題意．故選：C．64．下列說法正確的是（

）A．矩形的對角線互相垂直 B．矩形的鄰邊相等C．菱形的對角線互相垂直平分 D．菱形的對角線相等【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，以及特殊平行四邊形的性質(zhì)逐個進行判定即可．【詳解】解：A、矩形的對角線不一定垂直，故錯誤；B、矩形鄰邊不一定相等，故錯誤；C、菱形的對角線互相垂直平分，故正確；D、菱形對角線不相等，故錯誤．故選：C．65．以下條件中能判定平行四邊形為菱形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)菱形的判定定理即可進行解答．【詳解】解：如圖：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；故選：C．66．如圖，在中，、分別為邊、的中點，點、在上，且，若添加一個條件使四邊形是菱形，則下列可以添加的條件是A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，推出四邊形是平行四邊形，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，推出四邊形是平行四邊形，連接交于，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：可以添加的條件是，理由：四邊形是平行四邊形，，，、分別為邊、的中點，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，即，，，，，，四邊形是平行四邊形，連接交于，，，，四邊形是菱形，故選：D．題型十證明四邊形是菱形題型十證明四邊形是菱形67．如圖，菱形的對角線，相交于點O，E，F(xiàn)分別為邊，的中點，連接，，.(1)求證：四邊形是菱形；(2)如果，，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）要證明四邊形是菱形，可根據(jù)“四條邊相等的四邊形是菱形”或“一組鄰邊相等的平行四邊形菱形”進行證明；（2）根據(jù)四邊形是菱形可以得出，，結(jié)合，可求出的長，進而得到的長；又因為E，F(xiàn)分別為邊，的中點，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可求出線段的長．【詳解】（1）（1）∵四邊形是菱形，∴，又∵分別是的中點，∴是△的中位線∴，，∴∵，，∴，∴四邊形是菱形.（2）（2）∵菱形，∴，，∴，∴∵分別是、的中點，∴68．如圖，在中，，D是的中點，過點作，且，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)24【分析】（1）根據(jù)菱形的判定即可證明四邊形ADCF是菱形；（2）根據(jù)，，根據(jù)即可求菱形ADCF的面積．【詳解】（1）證明：，且是的中點，又四邊形是平行四邊形．平行四邊形是菱形．（2）解：平行四邊形是菱形，，是的中點，，69．如圖，在矩形中，對角線交于點，分別過點作，的平行線交于點，連接交于點．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，再由矩形的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論；（2）先由矩形性質(zhì)，得，再判定是等邊三角形，得，再由菱形的性質(zhì)得,，然后由勾股定理長，即可求得長，最后由菱形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵矩形，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：∵矩形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，由（1）知：四邊形是菱形，∴，∴在中，由勾股定理，得，∴，∴，答：菱形的面積為．70．如圖1，在中，，，是斜邊上的中線，點E為射線上一點，將沿折疊，點B的對應(yīng)點為點F．(1)若，垂足為G，點F與點D在直線的異側(cè)，連接．如圖2，判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，，則的長度為____________．【答案】(1)四邊形為菱形，理由見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)菱形的判定定理證明即可；（2）證明，作交于點H，設(shè)，則，求出，進一步可求出．【詳解】（1）解：四邊形為菱形，理由如下：∵，，∴，∵是斜邊上的中線，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，∴，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形．（2）解：∵，，∴，∵是斜邊上的中線，∴，∵，∴，作交于點H，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，解得：，∴．故答案為：71．如圖，在中，點D是邊的中點，點F，E分別是及其延長線上的點，，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)當(dāng)滿足____________條件時，四邊形為菱形．（填寫序號）①．②，③，④．【答案】(1)見詳解(2)①，理由見詳解【分析】（1）由已知條件，據(jù)證得，則可證得，繼而證得四邊形是平行四邊形；（2）由，得到，由得，即互相垂直平分，然后根據(jù)菱形的判定，可得四邊形是菱形．【詳解】（1）證明：在中，D是邊的中點，∴∵，∴，在和中，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）滿足條件①時四邊形為菱形．理由：若時，為等腰三角形，∵為中線，∴，即，由（1）知，，∴，∴平行四邊形為菱形．故答案為：①．題型十一利用正方形的性質(zhì)求解題型十一利用正方形的性質(zhì)求解72．如圖，在正方形中，為上一點，連接，交對角線于點，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)可得，再根據(jù)定理證出，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，在和中，，，，故選：A．73．如圖，在正方形中，對角線相交于點O．E、F分別為上一點，且，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正方形的對角線互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴．∵，∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴．在和中，∴（SAS）．∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴．故選：B．74．如圖，邊長為5的正方形中，點E、F分別在邊、上，連接、、．已知平分，，則的長為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)正方形性質(zhì)和角平分線的定義，證明，得到，，再利用“”證明，得到，最后利用勾股定理即可求出的長．【詳解】解：過A作，四邊形是正方形，，，，，平分，，在和中，，，在和中，,在中，解得：，故選D．75．如圖，在正方形中，與相交于點，，點為上任意一點，于點，于點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)四邊形是正方形，得出，，，即可得出四邊形是矩形，，可判斷，然后根據(jù)勾股定理求出答案．【詳解】∵四邊形是正方形，∴，，．∵，∴四邊形是矩形，∴．在中，，∴，∴．在中，，解得cm（負(fù)值舍去），∴的值為cm．故選：B．76．如圖，已知，相鄰兩條平行線間的距離都等于，如果正方形的四個頂點分別在四條直線上，與交于點，則正方形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點D作，交于G點，交于F點，然后證明出和全等，從而得出，根據(jù)勾股定理求出的平方，即正方形的面積．【詳解】解：過點D作，交于G點，交于F點，∵，，∴，即．∵為正方形，∴．∴．又∵，∴．在和中，∴，∴．∵，∴，即正方形ABCD的面積為5．故選B．77．如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的兩直角邊EF，EG分別交BC，DC于點M，N．若正方形ABCD邊長為4，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】連接ED，由EC=AE得到點E是AC的中點，然后結(jié)合正方形的性質(zhì)得到ED=EC、∠EDN=∠ECM=45°、∠DEC=90°，進而結(jié)合EF⊥EG得到∠MEC=∠NED，從而得證△MEC≌△NED，再由全等三角形的性質(zhì)得到重疊部分四邊形EMCN的面積與△EDC的面積，最后由正方形的邊長求得結(jié)果．【詳解】解：連接ED，∵AE=EC，∴點E是AC的中點，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DEC=90°，DE=EC，∠EDN=∠ECM=45°，∴∠DEN+∠NEC=90°，∵EF⊥EG，∴∠MEC+∠NEC=90°，∴∠DEN=∠CEM，∴△MEC≌△NED（ASA），∴，∴，∵正方形ABCD的邊長為4，∴AC=4，∴ED=EC=2，∴=?ED?EC=×2×2=4，∴重疊部分四邊形EMCN的面積為4．故選：B．78．如圖，將一張長方形紙對折，再對折，然后沿圖中虛線剪下，剪下的圖形展開后可得到（

）A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五邊形【答案】C【分析】根據(jù)題意知，對折實際上就是對稱，對折兩次的話，剪下應(yīng)有4條邊，并且這4條邊還相等，從而可以進行從題后的答案中選擇．【詳解】解：由題意知，對折實際上就是對稱，對折2次的話，剪下應(yīng)有4條邊，并且這4條邊還相等，且每個角等于90度，其只有正方形滿足這一條件．故選C．79．如圖，正方形ABCD中，AB=12，點E在邊CD上，且BG=CG，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF，下列結(jié)論：①∠EAG＝45°：②CE＝3DE；③AG∥CF；④S△FGC=，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①由正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可證明Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），推出∠BAG=∠FAG，根據(jù)∠DAE=∠FAE，可得∠EAG=∠BAD=45°；②由題意得EF=DE，GB=CG=GF=6，設(shè)DE=EF=x，則CE=12-x，在Rt△ECG中，（12-x）2+36=（x+6）2，求出x，則可得到CE=2DE；③由CG=BG，BG=GF，可得CG=GF，則∠GFC=∠GCF，因為∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，可推出∠AGB=∠GCF，則AG∥CF；④由S△GCE=×GC×CE，又因為△GFC和△FCE等高，可得S△GFC：S△FEC=3：2，S△GFC=×24=．【詳解】解：①∵正方形ABCD，∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，由折疊的性質(zhì)可得，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°=∠B，AB=AF，又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴∠BAG=∠FAG，∵∠DAE=∠FAE，∴∠EAG=∠BAD=45°，故①正確；②由題意得EF=DE，GB=CG=GF=6，設(shè)DE=EF=x，則CE=12-x，在Rt△ECG中，（12-x）2+62=（x+6）2，∴x=4，∴DE=4，CE=8，∴CE=2DE，故②錯誤；③∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴∠GFC=∠GCF，∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∵∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴AG∥CF，故③正確；④∵S△GCE=×GC×CE=×6×8=24，又∵GF=6，EF=4，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FEC=3：2，∴S△GFC=×24=，故④正確；綜上，正確的是①③④，共3個．故選：C．題型十二利用正方形的性質(zhì)證明題型十二利用正方形的性質(zhì)證明80．如圖，在正方形中，將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，，若，，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過作，垂足為，根據(jù)兩個三角形全等的判定定理，確定，從而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，確定為等腰三角形，結(jié)合“三線合一”得到是邊上的中線，進而，即，在中，，，利用勾股定理求解即可得到答案．【詳解】解：過作，垂足為，如圖所示：，，在正方形中，，，，，在和中，，，將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，，，由“三線合一”可得是邊上的中線，即，，在中，，，設(shè)，則，由勾股定理得到，即，化簡得，解得或（線段長負(fù)值舍去），，故選：B．81．如圖，已知正方形的邊長為4，是對角線上一點，于點，于點，連接，．給出下列結(jié)論：①；②四邊形的周長為8；③；④的最小值為2．其中正確結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】由題意可得，，則四邊形是矩形，可以得出，，即可判定①②，連接，則有，要使最小，則為最小，根據(jù)點到直線垂線段最短即可求解．【詳解】∵四邊形是正方形，且邊長為4，∴，，，，∵，，∴，∴四邊形是矩形，、都是等腰直角三角形，∴，，∴，故①錯誤；∴，故②正確；連接，如圖所示，∵四邊形是矩形，∴，∴，，，∴（SAS），∴，故③正確；要使最小，則為最小，則需滿足，∴此時為等腰直角三角形，∵，∴，即，∴，∴的最小值為，故④錯誤；綜上分析：正確的有2個，故B正確．故選：B．82．如圖，在正方形中，點E、點F分別在上，且，若四邊形的面積是，的長為1，則正方形的邊長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)三角形的面積公式得到，由勾股定理即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，在與中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，∴，故選：D．83．如圖，在正方形紙片中，對角線，交于點，折疊正方形紙片，使落在上，點恰好與上的點重合，展開后，折疊分別交，于，，連接，下列結(jié)論：①②③④四邊形是菱形，正確的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)得出，，再由三角形的內(nèi)角和求出．故①正確；由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)，判斷出四邊形是平行四邊形，再由，得出四邊形是菱形